Insiemi numerici N, Z, Q e R: naturali, interi, razionali, reali ed esercizi svolti

Gli insiemi numerici sono le fondamenta di Analisi 1: domini, disequazioni e limiti vivono tutti dentro i numeri reali. Per capire cosa rende speciali i reali conviene fare il percorso completo, perché ogni insieme nasce da un’equazione che nel precedente non si può risolvere. In questa pagina vediamo $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ con le loro notazioni, i decimali periodici e la frazione generatrice, perché $\sqrt{2}$ è irrazionale, la completezza e la proprietà di Archimede, gli intervalli, la retta reale estesa e gli intorni, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

In formule:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

I numeri naturali

I numeri naturali sono quelli che usiamo per contare:

$$\mathbb{N} = \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots\}$$

Sullo zero esistono due convenzioni: molti testi di Analisi lo includono, altri partono da 1. In questo sito lo zero è un numero naturale, e i naturali senza lo zero si indicano con $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\}$ (si trova anche $\mathbb{N}^+$). Controlla la convenzione del tuo professore.

Un insieme è chiuso rispetto a un’operazione se, operando su due suoi elementi, il risultato resta nell’insieme. $\mathbb{N}$ è chiuso rispetto a somma e prodotto, ma non rispetto alla sottrazione: $1 - 3 = -2$ non è naturale. Detto con un’equazione,

$$x + 3 = 1$$

non ha soluzioni in $\mathbb{N}$. Per risolverla servono i numeri negativi.

I numeri interi

Aggiungendo ai naturali i loro opposti si ottengono gli interi relativi:

$$\mathbb{Z} = \{\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots\}$$

La lettera viene dal tedesco Zahlen, «numeri». $\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto a somma, sottrazione e prodotto, e $x + 3 = 1$ ora ha la soluzione $x = -2$. Non è chiuso rispetto alla divisione: l’equazione

$$2x = 3$$

non ha soluzioni intere, perché $2x$ è pari e $3$ è dispari.

Con gli apici si indicano sottoinsiemi: $\mathbb{Z}^+$ sono gli interi positivi, $\mathbb{R}^+$ i reali positivi. Ma apici e pedici non hanno un significato universale (lo zero c’è o no?): nel dubbio scrivi l’insieme per esteso, come $\{x \in \mathbb{R} : x \geq 0\}$.

I numeri razionali

I numeri razionali sono i quozienti di due interi, con il denominatore diverso da zero (la $\mathbb{Q}$ sta per «quoziente»):

$$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0 \right\}$$

Lo stesso numero ha infinite scritture: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6}$. Tra tutte ce n’è una sola ridotta ai minimi termini con denominatore positivo, cioè con $p$ e $q$ senza divisori comuni oltre a 1: si ottiene dividendo entrambi per il loro massimo comun divisore. Ogni intero è razionale, perché $n = \frac{n}{1}$: per questo $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

In $\mathbb{Q}$ funzionano tutte e quattro le operazioni (tranne la divisione per zero): somme, prodotti e quozienti di frazioni sono ancora frazioni.

$$\begin{gathered} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \\[6pt] \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \end{gathered}$$

Un insieme con le quattro operazioni e le solite regole di calcolo si chiama campo: $\mathbb{Q}$ è il primo campo della catena. Ogni equazione $ax = b$ con $a \neq 0$ ha soluzione $x = \frac{b}{a}$: $2x = 3$ dà $x = \frac{3}{2}$.

Come riconoscere un razionale dalla forma decimale

$$\begin{gathered} \frac{3}{4} = 0{,}75 \qquad \frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} \\[6pt] \frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6} \qquad \frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857} \end{gathered}$$

La barra indica il periodo, le cifre che si ripetono all’infinito; le cifre dopo la virgola che vengono prima del periodo, come l’1 di $0{,}1\overline{6}$, formano l’antiperiodo. Alcuni testi scrivono $0{,}1(6)$.

Perché è vero. Fai la divisione in colonna di $p$ per $q$. A ogni passo il resto è uno dei numeri $0, 1, \dots, q - 1$: solo $q$ possibilità. Se a un certo punto il resto è 0, la divisione finisce e il decimale è finito. Altrimenti, dopo al massimo $q$ passi un resto deve ripetersi, e da lì la divisione rifà esattamente gli stessi conti: le cifre si ripetono, cioè il decimale è periodico. Per $\frac{1}{7}$ i resti sono 1, 3, 2, 6, 4, 5 e poi di nuovo 1: il periodo ha 6 cifre, il massimo possibile con $q = 7$. Il viceversa è la regola della frazione generatrice, qui sotto.

Un criterio utile: una frazione ridotta ai minimi termini dà un decimale finito se e solo se il denominatore non ha fattori primi diversi da 2 e 5. Così $\frac{7}{20} = 0{,}35$ perché $20 = 2^2 \cdot 5$, mentre $\frac{5}{12} = 0{,}41\overline{6}$ è periodico perché 12 contiene il fattore 3.

Da un numero periodico alla frazione

Prendiamo $x = 0{,}1\overline{6}$. Moltiplichiamo per 100 e per 10, in modo che dopo la virgola restino solo cifre del periodo:

$$\begin{gathered} 100x = 16{,}666\dots \\ 10x = 1{,}666\dots \end{gathered}$$

Sottraendo, le code infinite si cancellano:

$$90x = 15 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$

Controllo: $1 : 6 = 0{,}1666\dots$ Il calcolo si riassume in una regola, quella della frazione generatrice:

• al numeratore, il numero formato da tutte le cifre fino alla fine del primo periodo, meno il numero formato dalle cifre che vengono prima del periodo;
• al denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.

$$\begin{gathered} 0{,}1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{1}{6} \\[6pt] 0{,}\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11} \\[6pt] 2{,}\overline{45} = \frac{245 - 2}{99} = \frac{27}{11} \end{gathered}$$

I razionali sono densi, ma hanno dei buchi

Tra due razionali $a < b$, per quanto vicini, ce n’è sempre un altro, per esempio la loro media:

$$a < \frac{a + b}{2} < b$$

Tra $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{2}$, per esempio, c’è $\frac{5}{12}$. Ripetendo, tra due razionali ce ne sono infiniti: si dice che $\mathbb{Q}$ è denso. Anzi, tra due numeri reali distinti c’è sempre un razionale, come vedremo con la proprietà di Archimede.

Sembrerebbe che i razionali riempiano la retta. E invece no: $x^2 = 2$ non ha soluzioni in $\mathbb{Q}$.

Perché √2 non è razionale

Il numero $\sqrt{2}$ non è un’astrazione: per il teorema di Pitagora è la diagonale di un quadrato di lato 1. Puntando il compasso nell’origine e ribaltando la diagonale sulla retta, ottieni un punto preciso, a distanza $\sqrt{2}$ dallo zero.

Eppure quel punto non corrisponde a nessuna frazione. La scoperta che diagonale e lato non hanno un’unità di misura comune risale alla scuola pitagorica, nel V secolo a.C. (la tradizione la attribuisce a Ippaso di Metaponto). Prima ci serve un piccolo fatto.

Lemma. Se $m^2$ è pari, allora $m$ è pari. Infatti, se $m$ fosse dispari, cioè $m = 2k + 1$, avremmo $m^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, che è dispari.

Dimostrazione

Ragioniamo per assurdo: supponiamo che $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$, con $m$ e $n$ interi positivi. Possiamo prendere la frazione ridotta ai minimi termini, quindi $m$ e $n$ non hanno fattori comuni. Elevando al quadrato:

$$2 = \frac{m^2}{n^2} \quad \Longrightarrow \quad m^2 = 2n^2$$

Quindi $m^2$ è pari e, per il lemma, anche $m$ è pari: $m = 2k$. Sostituendo:

$$4k^2 = 2n^2 \quad \Longrightarrow \quad n^2 = 2k^2$$

Ora è $n^2$ a essere pari, quindi anche $n$ è pari. Ma allora $m$ e $n$ hanno il fattore 2 in comune, contro l’ipotesi che la frazione fosse ridotta. La contraddizione dice che l’ipotesi iniziale era falsa: $\sqrt{2}$ non è razionale.

Altri numeri irrazionali

Con un ragionamento simile, basato sulla scomposizione in fattori primi, si dimostra un risultato più generale.

Quindi $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{8}$ sono irrazionali, mentre $\sqrt{9} = 3$. Due regole permettono di costruire tanti altri irrazionali:

• razionale + irrazionale è irrazionale. Se fosse $r + x = s$ con $r$ e $s$ razionali, sarebbe $x = s - r$ razionale. Quindi $1 + \sqrt{2}$ è irrazionale;
• razionale non nullo per irrazionale è irrazionale, con lo stesso ragionamento: $3\sqrt{2}$ e $\frac{\sqrt{2}}{5}$ sono irrazionali.

Con due irrazionali, invece, può succedere di tutto: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ e $\sqrt{2} + (2 - \sqrt{2}) = 2$.

Sono irrazionali anche $\pi$ (lo dimostrò Johann Heinrich Lambert, in un lavoro pubblicato nel 1768) e il numero di Nepero $e$ (Eulero, 1737), con dimostrazioni che vanno oltre questo corso.

Gli irrazionali sono «di più» dei razionali

Razionali e irrazionali sono entrambi infiniti, ma in un senso preciso gli irrazionali sono molti di più. Un insieme infinito è numerabile se i suoi elementi si possono mettere in fila, $a_1, a_2, a_3, \dots$, cioè in corrispondenza biunivoca con i naturali. $\mathbb{Z}$ lo è ($0, 1, -1, 2, -2, \dots$), e anche $\mathbb{Q}$, percorrendo a zig-zag la tabella delle frazioni.

$\mathbb{R}$ invece non è numerabile: lo dimostrò Georg Cantor nel 1874 (il famoso «argomento diagonale» è del 1891). Quindi nemmeno gli irrazionali lo sono, altrimenti $\mathbb{R}$, unione di due insiemi numerabili, sarebbe numerabile.

I numeri reali

Razionali e irrazionali insieme formano i numeri reali $\mathbb{R}$: in pratica, tutti gli allineamenti decimali, finiti o infiniti, periodici o no. Fissati sulla retta un’origine, un verso e un’unità di misura, a ogni reale corrisponde un punto e a ogni punto un reale: è la retta reale.

Insieme	Chiuso rispetto a	Senza soluzione
$\mathbb{N}$	$+$ e $\cdot$	$x + 3 = 1$
$\mathbb{Z}$	$+$, $-$ e $\cdot$	$2x = 3$
$\mathbb{Q}$	$+$, $-$, $\cdot$, $:$	$x^2 = 2$
$\mathbb{R}$	$+$, $-$, $\cdot$, $:$	$x^2 = -1$

Nella tabella «:» è la divisione per un numero diverso da zero. Anche i reali hanno un limite: nessun quadrato è negativo, quindi $x^2 = -1$ non ha soluzioni reali. Per risolverla servono i numeri complessi $\mathbb{C}$, che escono dal programma di questo capitolo.

Un campo ordinato completo

In Analisi $\mathbb{R}$ si definisce con tre gruppi di proprietà: è un campo, è ordinato ed è completo. Anche $\mathbb{Q}$ è un campo ordinato: gli manca la completezza.

L’ordine e le disuguaglianze

Presi due reali $a$ e $b$, vale sempre una e una sola tra $a < b$, $a = b$, $a > b$. Le regole che usi in ogni disequazione sono queste:

$$\begin{gathered} a < b \ \Rightarrow\ a + c < b + c \\ a < b,\ c > 0 \ \Rightarrow\ ac < bc \\ a < b,\ c < 0 \ \Rightarrow\ ac > bc \end{gathered}$$

La terza è quella da tenere a mente: moltiplicando per un numero negativo il verso si inverte. Da $-2x < 6$ si ottiene $x > -3$. Tre conseguenze che userai di continuo:

• $a^2 \geq 0$ per ogni $a$, con l’uguale solo per $a = 0$;
• se $0 < a < b$, allora $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$: tra numeri positivi i reciproci invertono l’ordine;
• se $0 \leq a < b$, allora $a^2 < b^2$; con i negativi no: $-3 < 2$, ma $9 > 4$.

L’assioma di completezza

Un numero $M$ è un maggiorante di un insieme $A$ se nessun elemento di $A$ lo supera, e l’estremo superiore $\sup A$ è il più piccolo dei maggioranti (tutti i dettagli in estremo superiore e inferiore).

In $\mathbb{Q}$ questo è falso. Considera

$$A = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$$

$A$ non è vuoto (contiene 0 e 1) ed è limitato superiormente da 2, perché se $x \geq 2$ allora $x^2 \geq 4$. Nei reali il suo estremo superiore è $\sqrt{2}$. Tra i razionali, invece, un maggiorante più piccolo di tutti non c’è.

Perché è vero. Per ogni razionale $s > 0$ costruiamo il razionale positivo

$$t = \frac{2s + 2}{s + 2}$$

Con un po’ di algebra si verifica che

$$\begin{gathered} t - s = \frac{2 - s^2}{s + 2} \\[6pt] t^2 - 2 = \frac{2\,(s^2 - 2)}{(s + 2)^2} \end{gathered}$$

Un razionale $s$ è maggiorante di $A$ esattamente quando $s > 0$ e $s^2 > 2$ ($s^2 = 2$ è impossibile). Infatti se $s \leq 0$, l’elemento $1 \in A$ lo supera; se $s > 0$ e $s^2 < 2$, le formule danno $t > s$ e $t^2 < 2$: $t \in A$ supera $s$; se $s > 0$ e $s^2 > 2$, ogni $x \in A$ ha $x^2 < 2 < s^2$, quindi $x < s$.

Ma se $s$ è un maggiorante razionale, le formule danno $t < s$ e $t^2 > 2$: $t$ è un maggiorante razionale più piccolo. Partendo da $\frac{3}{2}$ si ottengono $\frac{10}{7} \approx 1{,}4286$, $\frac{17}{12} \approx 1{,}4167$, $\frac{58}{41} \approx 1{,}4146$: maggioranti sempre più vicini a $\sqrt{2} = 1{,}41421\dots$, senza mai un ultimo. È questo il «buco» di $\mathbb{Q}$.

La completezza garantisce che $\sqrt{2}$ esista come numero reale e fa funzionare i limiti delle successioni monotone, il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass.

La proprietà di Archimede

Qui $\varepsilon$, «epsilon», indica un numero positivo, di solito piccolo. Sembra ovvio, ma è una conseguenza della completezza.

Perché è vero. Se fosse falso, $\mathbb{N}$ sarebbe limitato superiormente e, per la completezza, avrebbe un estremo superiore $s$. Il numero $s - 1$ è più piccolo di $s$, quindi non è un maggiorante: esiste un naturale $n > s - 1$. Ma allora $n + 1 > s$, e $n + 1$ è un naturale: $s$ non era un maggiorante. Assurdo.

L’uso più importante: tra due reali c’è sempre un razionale. Siano $a < b$. Per Archimede scegliamo $n \geq 1$ con $\frac{1}{n} < b - a$: le frazioni con denominatore $n$ avanzano a passi di $\frac{1}{n}$, più corti del tratto da $a$ a $b$, quindi una ci cade dentro. Precisamente, sia $m$ il più piccolo intero maggiore di $na$, cioè $m - 1 \leq na < m$. Dividendo per $n$:

$$a < \frac{m}{n} \leq a + \frac{1}{n} < b$$

Esempio: tra $\sqrt{2} = 1{,}41421\dots$ e $1{,}42$ la distanza è circa $0{,}0058$, quindi va bene $n = 200$. Poiché $200\sqrt{2} = 282{,}84\dots$, si prende $m = 283$, e infatti $\frac{283}{200} = 1{,}415$ sta tra i due numeri.

Gli intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ senza buchi: se due numeri gli appartengono, gli appartengono anche tutti quelli compresi tra loro. Gli intervalli limitati hanno due estremi $a < b$, e la parentesi dice se l’estremo è incluso (quadra) o escluso (tonda).

Notazione	Insieme	Tipo
$[a, b]$	$a \leq x \leq b$	limitato, chiuso
$(a, b)$	$a < x < b$	limitato, aperto
$[a, b)$	$a \leq x < b$	limitato, semiaperto
$(a, b]$	$a < x \leq b$	limitato, semiaperto
$[a, +\infty)$	$x \geq a$	illimitato, chiuso
$(a, +\infty)$	$x > a$	illimitato, aperto
$(-\infty, b]$	$x \leq b$	illimitato, chiuso
$(-\infty, b)$	$x < b$	illimitato, aperto
$(-\infty, +\infty)$	ogni $x$	è tutto $\mathbb{R}$

Due osservazioni:

• in molti libri italiani le parentesi tonde si scrivono come quadre rovesciate: $]a, b[$ al posto di $(a, b)$ e $[a, b[$ al posto di $[a, b)$. Il significato è identico; in questo sito usiamo le tonde;
• dalla parte dell’infinito la parentesi è sempre tonda, perché $+\infty$ e $-\infty$ non sono numeri reali.

Le soluzioni delle disequazioni e il dominio di una funzione si scrivono quasi sempre come intervalli o unioni di intervalli. Per esempio, $x^2 > 4$ ha come soluzione $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

La retta reale estesa

Aggiungendo ai reali i simboli $+\infty$ e $-\infty$ si ottiene la retta reale estesa $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$, con la convenzione $-\infty < x < +\infty$ per ogni $x$ reale.

Attenzione: $\pm\infty$ non sono numeri. Se $+\infty$ fosse un numero con le solite regole, da $+\infty + 1 = +\infty$, sottraendo $+\infty$ ai due membri, otterremmo $1 = 0$. Per questo in $\overline{\mathbb{R}}$ si definiscono solo alcune operazioni:

$$\begin{gathered} x + (+\infty) = +\infty \quad (x \in \mathbb{R}) \\ (+\infty) + (+\infty) = +\infty \\ x \cdot (+\infty) = +\infty \quad (x > 0) \end{gathered}$$

e allo stesso modo $x \cdot (+\infty) = -\infty$ se $x < 0$. Restano senza definizione $+\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$ e $\frac{\infty}{\infty}$: sono le forme indeterminate che impareremo a risolvere con i limiti. In compenso, nella retta estesa ogni insieme non vuoto ha estremo superiore: $+\infty$ se non è limitato superiormente.

Gli intorni

Dato un punto $x_0$ e un numero $r > 0$, l’intorno di $x_0$ di raggio $r$ è l’intervallo aperto centrato in $x_0$:

$$\begin{gathered} I_r(x_0) = (x_0 - r,\ x_0 + r) \\ I_r(x_0) = \{x \in \mathbb{R} : |x - x_0| < r\} \end{gathered}$$

cioè i punti che distano da $x_0$ meno di $r$: la scrittura con il valore assoluto è quella delle definizioni. Per esempio, l’intorno di 3 di raggio $0{,}5$ è $(2{,}5;\ 3{,}5)$. Per i limiti destro e sinistro si usano l’intorno destro $[x_0, x_0 + r)$ e l’intorno sinistro $(x_0 - r, x_0]$.

Anche $+\infty$ e $-\infty$ hanno i loro intorni: un intorno di $+\infty$ è una semiretta $(M, +\infty)$, un intorno di $-\infty$ è una semiretta $(-\infty, M)$, con $M$ reale qualsiasi. «Per $x$ in un intorno di $+\infty$» vuol dire «per $x$ abbastanza grande».

Due proprietà, semplici ma decisive nei teoremi sui limiti:

• l’intersezione di due intorni dello stesso punto è ancora un intorno, quello con il raggio più piccolo;
• due punti distinti hanno intorni disgiunti: basta un raggio pari a metà della loro distanza. Per 1 e 2, con $r = 0{,}5$, gli intorni $(0{,}5;\ 1{,}5)$ e $(1{,}5;\ 2{,}5)$ non hanno punti in comune. È la chiave per dimostrare che il limite, se esiste, è unico.

Gli errori più comuni

• Pensare che un decimale con infinite cifre sia irrazionale. $\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$ è razionale: un irrazionale ha infinite cifre e non è periodico.
• Credere che $0{,}\overline{9}$ sia un po’ meno di 1. È esattamente 1: la frazione generatrice è $\frac{9}{9}$.
• Dimenticare l’antiperiodo. $0{,}1\overline{6}$ non è $\frac{16}{99}$ né $\frac{16}{90}$, ma $\frac{16 - 1}{90} = \frac{1}{6}$. Controlla sempre con la divisione.
• Pensare che la somma o il prodotto di due irrazionali sia irrazionale. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4$: solo «razionale più irrazionale» è sicuramente irrazionale.
• Dimostrare che $\sqrt{2}$ è irrazionale senza la frazione ridotta. Senza l’ipotesi «ridotta ai minimi termini», trovare $m$ e $n$ pari non contraddice nulla.
• Non invertire il verso moltiplicando per un negativo, o per un’espressione di segno sconosciuto come $x$. E attenzione ai quadrati: $-3 < 2$, ma $9 > 4$.
• Trattare l’infinito come un numero. $[3, +\infty]$ è sbagliato, e $+\infty - \infty$ non fa 0: è una forma indeterminata.

Esercizi svolti

1. Classificare i numeri

Testo. Per ciascun numero stabilisci il più piccolo insieme tra $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ a cui appartiene: $\frac{12}{4}$, $-\sqrt{16}$, $0{,}25$, $0{,}1\overline{6}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$, $(1 + \sqrt{2})^2$, $\sqrt[3]{-8}$, $\frac{\pi}{2}$.

Prima di classificare, semplifica: l’aspetto inganna.

Numero	Vale	Insieme
$\frac{12}{4}$	$3$	$\mathbb{N}$
$-\sqrt{16}$	$-4$	$\mathbb{Z}$
$0{,}25$	$\frac{1}{4}$	$\mathbb{Q}$
$0{,}1\overline{6}$	$\frac{1}{6}$	$\mathbb{Q}$
$\sqrt{12}$	$2\sqrt{3}$	$\mathbb{R}$, irrazionale
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$	$\sqrt{16} = 4$	$\mathbb{N}$
$(1 + \sqrt{2})^2$	$3 + 2\sqrt{2}$	$\mathbb{R}$, irrazionale
$\sqrt[3]{-8}$	$-2$	$\mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{2}$	$1{,}5707\dots$	$\mathbb{R}$, irrazionale

Le giustificazioni per gli irrazionali:

• $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, e $\sqrt{3}$ è irrazionale perché 3 non è un quadrato perfetto: razionale non nullo per irrazionale;
• $(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$. Se fosse un razionale $r$, sarebbe $\sqrt{2} = \frac{r - 3}{2}$ razionale: assurdo;
• se $\frac{\pi}{2}$ fosse un razionale $q$, anche $\pi = 2q$ lo sarebbe.

Nota infine che $\sqrt[3]{-8} = -2$, perché $(-2)^3 = -8$, e che due irrazionali, $\sqrt{2}$ e $\sqrt{8}$, hanno dato un naturale.

2. Da numero periodico a frazione

Testo. Scrivi come frazione ridotta ai minimi termini: a) $0{,}\overline{27}$; b) $1{,}2\overline{3}$; c) $0{,}0\overline{45}$.

a) Periodo di due cifre, nessun antiperiodo:

$$0{,}\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

b) Con il metodo della sottrazione, $x = 1{,}2333\dots$:

$$\begin{gathered} 100x = 123{,}333\dots \\ 10x = 12{,}333\dots \\ 90x = 111 \ \Longrightarrow\ x = \frac{111}{90} = \frac{37}{30} \end{gathered}$$

È proprio la regola: $\frac{123 - 12}{90}$.

c) L’antiperiodo è lo 0 dopo la virgola (una cifra), il periodo è 45 (due cifre): il denominatore è 990.

$$0{,}0\overline{45} = \frac{45 - 0}{990} = \frac{45}{990} = \frac{1}{22}$$

Controllo con la divisione: $3 : 11 = 0{,}2727\dots$, $37 : 30 = 1{,}2333\dots$, $1 : 22 = 0{,}04545\dots$ I tre risultati sono $\frac{3}{11}$, $\frac{37}{30}$ e $\frac{1}{22}$.

3. Il logaritmo in base 2 di 3 è irrazionale

Testo. Dimostra che $\log_2 3$ è irrazionale.

Per definizione di logaritmo, $y = \log_2 3$ è il numero tale che $2^y = 3$. Poiché $2^1 = 2 < 3 < 4 = 2^2$, si ha $1 < y < 2$: in particolare $y > 0$.

Supponiamo per assurdo $y = \frac{m}{n}$, con $m$ e $n$ interi positivi. Allora $2^{m/n} = 3$ ed elevando alla $n$:

$$2^m = 3^n$$

Il primo membro è pari, perché $m \geq 1$; il secondo è dispari, perché è un prodotto di fattori 3. Un numero non può essere pari e dispari: l’ipotesi era falsa, e $\log_2 3 \approx 1{,}585$ è irrazionale. Qui non è servito ridurre la frazione.

4. La somma di due radici

Testo. Dimostra che $\sqrt{6}$ è irrazionale e deduci che $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ è irrazionale.

Primo passo. Per assurdo $\sqrt{6} = \frac{m}{n}$, frazione ridotta ai minimi termini. Allora $m^2 = 6n^2$, quindi $m^2$ è pari e anche $m$ lo è: $m = 2k$. Sostituendo:

$$4k^2 = 6n^2 \quad \Longrightarrow \quad 2k^2 = 3n^2$$

Quindi $3n^2$ è pari. Siccome 3 è dispari, e il prodotto di due dispari è dispari, $n^2$ deve essere pari, e così $n$. Allora $m$ e $n$ sono entrambi pari: contraddizione.

Secondo passo. Supponiamo $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$, con $r$ razionale. Elevando al quadrato:

$$\begin{gathered} r^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} \\[4pt] \sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2} \end{gathered}$$

Il secondo membro è razionale, quindi lo sarebbe $\sqrt{6}$: assurdo per il primo passo. Dunque $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}146$ è irrazionale. Non bastava dire «somma di due irrazionali»: una somma di irrazionali può essere razionale.

5. Intervalli e operazioni tra insiemi

Testo. Siano $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - x - 6 \leq 0\}$ e $B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| < 2\}$. Scrivi $A$ e $B$ come intervalli, poi trova $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, il complementare di $A$ e gli interi di $A$. Esiste un intorno di 3 contenuto in $A \cap B$? E un intorno di 2?

Si ha $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$, che è $\leq 0$ tra le radici, estremi compresi. Per $B$, la disuguaglianza $|x - 3| < 2$ equivale a $-2 < x - 3 < 2$, cioè $1 < x < 5$: $B$ è l’intorno di 3 di raggio 2.

$$A = [-2,\ 3] \qquad B = (1,\ 5)$$

Disegnando i due intervalli sulla retta, come in insiemi e operazioni tra insiemi:

$$\begin{gathered} A \cap B = (1,\ 3] \\ A \cup B = [-2,\ 5) \\ A \setminus B = [-2,\ 1] \\ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \end{gathered}$$

Gli interi di $A$ sono $A \cap \mathbb{Z} = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Nota che 1 sta in $A \setminus B$ perché $B$ è aperto in 1.

Nessun intorno di 3 è contenuto in $A \cap B$: qualunque sia $r > 0$, l’intorno $(3 - r,\ 3 + r)$ contiene numeri maggiori di 3, che non stanno in $A \cap B$. Per 2 invece sì: l’intorno $(1, 3)$, di raggio 1, è contenuto in $(1, 3]$. Il punto 2 è «interno» ad $A \cap B$, il 3 sta «sul bordo».

6. Un irrazionale tra due numeri qualsiasi

Testo. Dimostra che tra due numeri reali $a < b$ c’è sempre un numero irrazionale. Poi trovane uno tra $\frac{1}{3}$ e $0{,}34$.

Dimostrazione. Per la densità dei razionali esiste un razionale $r$ con $a < r < b$. Per la proprietà di Archimede esiste un naturale $n \geq 1$ con $n > \frac{\sqrt{2}}{b - r}$, cioè $\frac{\sqrt{2}}{n} < b - r$. Poniamo

$$x = r + \frac{\sqrt{2}}{n}$$

$\frac{\sqrt{2}}{n}$ è irrazionale (razionale non nullo per irrazionale), quindi anche $x$ lo è (razionale più irrazionale). Inoltre $x > r > a$ e $x < r + (b - r) = b$.

Il caso concreto. Qui $a = \frac{1}{3}$ è già razionale, quindi possiamo prendere direttamente $r = \frac{1}{3}$ (basta $x > r \geq a$). La distanza è

$$0{,}34 - \frac{1}{3} = \frac{102 - 100}{300} = \frac{1}{150}$$

Serve $n > 150\sqrt{2} \approx 212{,}1$: va bene $n = 213$ o, più comodo, $n = 1000$.

$$x = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{1000} = 0{,}33474\dots$$

che sta davvero tra $0{,}3333\dots$ e $0{,}34$. Anche gli irrazionali, quindi, sono densi: tra due reali qualsiasi ci sono sia razionali sia irrazionali. Altri esercizi li trovi negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

In sintesi

• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$: ogni insieme risolve un’equazione impossibile nel precedente, $x + 3 = 1$, $2x = 3$, $x^2 = 2$.
• I razionali sono i decimali finiti o periodici; un periodico si converte con la frazione generatrice, e $0{,}\overline{9} = 1$.
• $\sqrt{n}$ è irrazionale se $n$ non è un quadrato perfetto; anche $\pi$ ed $e$ sono irrazionali.
• $\mathbb{R}$ è un campo ordinato completo: ogni insieme non vuoto e limitato superiormente ha estremo superiore. $\mathbb{Q}$ è denso ma non completo.
• Archimede: per ogni $x$ reale c’è un naturale $n > x$. Tra due reali ci sono sempre un razionale e un irrazionale.
• Moltiplicando una disuguaglianza per un numero negativo il verso si inverte.
• Verso $\pm\infty$ la parentesi è sempre tonda: $\pm\infty$ non sono numeri.
• L’intorno di $x_0$ di raggio $r$ è $(x_0 - r,\ x_0 + r)$; gli intorni di $\pm\infty$ sono le semirette $(M, +\infty)$ e $(-\infty, M)$.

Ora che conosciamo i reali, vediamo da vicino la proprietà che li rende completi: tocca a estremo superiore e inferiore.