Esercizi svolti sulle disequazioni logaritmiche: verso, proprietà, fratte e parametri

1. $2 = \log_5 25$ e la base 5 è maggiore di 1: il verso resta.

Un argomento maggiore o uguale a 25 è positivo: la C.E. è automatica. La soluzione è $[28,\ +\infty)$.

2. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8$, quindi $-3 = \log_{1/2} 8$. La base è minore di 1: il verso si inverte.

Anche qui l’argomento, maggiore di 8, è positivo. La soluzione è $(-\infty,\ -4)$.

3. $1 = \ln e$, base maggiore di 1, il verso resta. Ma ora l’argomento deve stare sotto $e$ e non tutti i numeri minori di $e$ sono positivi, quindi la C.E. va aggiunta.

Con $e \approx 2{,}718$ l’estremo destro vale circa $-1{,}141$. La soluzione è $\left(-\frac{5}{2},\ \frac{e - 5}{2}\right)$.

4. La base $0{,}2 = \frac{1}{5}$ è minore di 1 e $\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$, quindi $-1 = \log_{0{,}2} 5$. Il verso si inverte e sull’argomento resta un $\leq$: la C.E. va aggiunta.

La soluzione è $(-1,\ 4]$.

Verifica. Punto 3: per $x = -2$ si ha $\ln 1 = 0 < 1$, vero; per $x = -1$ si ha $\ln 3 \approx 1{,}10$, falso. Punto 4: per $x = 4$ si ha $\log_{0{,}2} 5 = -1$, e il 4 è incluso; per $x = 9$ si ha $\log_{0{,}2} 10 \approx -1{,}43$, falso.

Un logaritmo può avere qualsiasi segno: i casi «sempre veri» e «impossibili» nascono dall’argomento, e il trucco è completare il quadrato.

1. $-2 = \log_{1/2} 4$ e la base è minore di 1: il verso si inverte, e con il $\geq$ sull’argomento la C.E. è automatica. Siccome $x^2 + 6x + 13 = (x + 3)^2 + 4$:

Un quadrato non è mai negativo: sempre vera, $S = \mathbb{R}$.

2. $1 = \log_3 3$, la base è maggiore di 1 e il verso resta; con il $<$ la C.E. va aggiunta:

La seconda chiede $(x - 2)^2 < 0$: impossibile, $S = \emptyset$. L’argomento vale almeno 3, e il logaritmo almeno 1.

3. $0 = \ln 1$, quindi $0 < x^2 - 2x + 2 \leq 1$, cioè $0 < (x - 1)^2 + 1 \leq 1$. La prima disuguaglianza è sempre vera, la seconda chiede $(x - 1)^2 \leq 0$, che vale solo per $x = 1$. La soluzione è un punto solo, $S = \{1\}$: né sempre vera né impossibile.

4. C.E.: $x + 1 > 0$ e $x > 0$, cioè $x > 0$. La base è maggiore di 1, e $x + 1 > x$ equivale a $1 > 0$ che è vera per ogni $x$. Ma la disequazione esiste solo nel dominio: la soluzione è $S = (0,\ +\infty)$, non $\mathbb{R}$.

Verifica. Punto 3: per $x = 1$ si ha $\ln 1 = 0 \leq 0$, vero; per $x = 0$ si ha $\ln 2 \approx 0{,}69$, falso. Punto 4: per $x = -\frac{1}{2}$ il primo membro vale $\log_2 \frac{1}{2} = -1$, ma $\log_2\left(-\frac{1}{2}\right)$ non esiste.

Si confrontano gli argomenti. La positività serve solo su quello che, dopo il confronto, risulta il più piccolo: l’altro è positivo di conseguenza.

1. Base 3, il verso resta. L’argomento più piccolo è $x^2 - 3x$, quindi il sistema è

La prima, $x(x - 3) > 0$, dà $x < 0$ oppure $x > 3$. La seconda è $x^2 - 4x - 5 \leq 0$, cioè $(x - 5)(x + 1) \leq 0$: $-1 \leq x \leq 5$. Intersecando sulla retta reale:

cioè $[-1,\ 0) \cup (3,\ 5]$. La condizione $x + 5 > 0$ non serve: in questi intervalli è vera da sola.

2. Base $\frac{1}{2}$, il verso si inverte, e ora il più piccolo è $x^2 + 2x$:

La prima dà $x < -2$ oppure $x > 0$. La seconda è $x^2 + 3x - 4 < 0$, cioè $(x + 4)(x - 1) < 0$: $-4 < x < 1$. Intersecando, la soluzione è $(-4,\ -2) \cup (0,\ 1)$.

Verifica. Punto 1: per $x = 4$ si confrontano $\log_3 4$ e $\log_3 9$, vero; per $x = 1$ l’argomento $x^2 - 3x$ vale $-2$ e il primo logaritmo non esiste. Punto 2: per $x = \frac{1}{2}$ gli argomenti valgono $\frac{5}{4}$ e $\frac{7}{2}$, e con base minore di 1 il più piccolo ha il logaritmo più grande: vero.

La regola d’oro: le C.E. si scrivono sulla disequazione di partenza, prima di compattare, e si mettono a sistema.

1. C.E.: $x > -1$ e $x > 3$, cioè $x > 3$. Compatta il primo membro e scrivi $5 = \log_2 32$; la base è maggiore di 1, il verso resta:

Le radici sono $-5$ e $7$, perché $(-5) \cdot 7 = -35$ e $-5 + 7 = 2$: valori interni, $-5 \leq x \leq 7$. Con le C.E. la soluzione è $(3,\ 7]$.

2. C.E.: $x > 2$ e $x > -4$, cioè $x > 2$. Porta il termine con il meno a destra e il $-1$ a sinistra, con $1 = \log_3 3$: così ottieni un prodotto invece di una frazione.

L’intervallo sta già dentro le C.E.: la soluzione è $[5,\ +\infty)$.

Verifica. Punto 1: per $x = 7$ si ha $\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$, e il 7 è incluso. Punto 2: per $x = 5$ si ha $\log_3 3 - \log_3 9 = -1$, incluso; per $x = 3$ si ha $0 - \log_3 7 \approx -1{,}77$, falso.

Le proprietà valgono solo tra logaritmi con la stessa base. Si porta tutto in base 2 con il cambiamento di base, $\log_{a^k} f = \frac{1}{k}\log_a f$.

1. C.E.: $x > 2$ e $x > -4$, cioè $x > 2$. Siccome $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, si ha $\log_{\sqrt{2}}(x - 2) = 2\log_2(x - 2)$: il coefficiente è 2, non $\frac{1}{2}$. Il 2 entra come esponente:

cioè $x(x - 5) < 0$: $0 < x < 5$. Con le C.E. la soluzione è $(2,\ 5)$. Il pezzo $0 < x \leq 2$ è nato quando il 2 è entrato come esponente: lo elimina l’intersezione.

2. C.E.: $x > -8$ e $x > 0$, cioè $x > 0$. Siccome $\frac{1}{4} = 2^{-2}$, si ha $\log_{1/4}(x + 8) = -\frac{1}{2}\log_2(x + 8)$. Moltiplica per 2, che è positivo, porta il termine con il meno a destra e scrivi $2 = \log_2 4$:

cioè $(x - 8)(x + 4) \leq 0$: $-4 \leq x \leq 8$. Con le C.E. la soluzione è $(0,\ 8]$.

Verifica. Punto 1: per $x = 3$ si ha $\log_{\sqrt{2}} 1 = 0 < \log_2 7$, vero; per $x = 6$ si ha $\log_{\sqrt{2}} 4 = 4$ contro $\log_2 10 \approx 3{,}32$, falso. Punto 2: per $x = 8$ si ha $\log_{1/4} 16 + \log_2 8 = -2 + 3 = 1$, incluso.

1. C.E.: $x > 0$. Poni $t = \ln x$: su $t$ non ci sono condizioni, perché il logaritmo assume tutti i valori reali, e la disequazione diventa

Tornando alla $x$, con $\ln$ crescente:

La soluzione è $\left[\frac{1}{\sqrt{e}},\ e\right]$, circa $0{,}607 \leq x \leq 2{,}718$.

2. C.E.: $x > 0$ e $x \neq 1$, perché $x$ è una base. Con $t = \log_3 x$, $t \neq 0$, si ha $\log_x 3 = \frac{1}{t}$. Si porta tutto a sinistra, senza moltiplicare per $t$:

Nell’ultimo passaggio hai cambiato segno al numeratore e invertito il verso. Il numeratore $(t - 1)(t + 1)$ è positivo fuori da $-1$ e $1$, il denominatore per $t > 0$:

Quindi $-1 \leq t < 0$ oppure $t \geq 1$. Tornando alla $x$ con la base $3 > 1$:

Verifica. Punto 1: per $x = 1$ si ha $0 \leq 1$, vero; per $x = e^2$ si ha $8 - 2 = 6$, falso. Punto 2: per $x = \frac{1}{2}$ si confrontano $\log_{1/2} 3 \approx -1{,}58$ e $\log_3 \frac{1}{2} \approx -0{,}63$, vero; per $x = 2$ si confrontano $\log_2 3 \approx 1{,}58$ e $\log_3 2 \approx 0{,}63$, falso.

C.E.: $x > 0$, e il denominatore $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$ diverso da zero, cioè $x \neq 1$ e $x \neq 4$. Il denominatore cambia segno: non si moltiplica per lui, si studiano i segni separatamente.

Numeratore. $1 + \log_{1/2} x \geq 0$ significa $\log_{1/2} x \geq -1 = \log_{1/2} 2$. La base è minore di 1: il verso si inverte, e la C.E. va aggiunta.

Il numeratore è positivo per $0 < x < 2$, nullo in $x = 2$, negativo per $x > 2$.

Denominatore. $(x - 1)(x - 4)$ è positivo per $x < 1$ oppure $x > 4$, negativo tra 1 e 4.

Tabella, sulla semiretta $x > 0$:

La frazione è positiva nel primo e nel terzo tratto, e nulla in $x = 2$, che si include perché c’è il $\geq$; in 1 e in 4 non esiste. La soluzione è

cioè $(0,\ 1) \cup [2,\ 4)$.

Verifica. Per $x = \frac{1}{2}$: numeratore $1 + 1 = 2$, denominatore $\frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{7}{4}$, frazione positiva. Per $x = 3$: numeratore $1 - \log_2 3 \approx -0{,}58$, denominatore $-2$, frazione positiva. Per $x = 5$: numeratore circa $-1{,}32$ e denominatore 4, frazione negativa.

Servono le regole del valore assoluto. Con il verso «maggiore» vale, per ogni $B$, anche negativo:

1. C.E.: $x > 0$. Con $A = \ln x - 2$ e $B = \ln x$ le due possibilità sono

La prima è impossibile, la seconda dà $0 < x < e$. La soluzione è l’unione dei due casi: $(0,\ e)$.

2. C.E.: $x^2 > 0$ e $|x - 3| > 0$, cioè $x \neq 0$ e $x \neq 3$. Il quadrato resta dentro: scrivere $\log_2\left(x^2\right) = 2\log_2 x$ farebbe perdere tutte le $x$ negative. Porta il termine con il meno a destra, con $2 = \log_2 4$:

Ora i due casi del valore assoluto.

• Se $x > 3$: $x^2 \leq 4x - 12$, cioè $(x - 2)^2 + 8 \leq 0$, impossibile.
• Se $x < 3$: $x^2 \leq 12 - 4x$, cioè $(x + 6)(x - 2) \leq 0$, quindi $-6 \leq x \leq 2$, tutto dentro $x < 3$.

Con le C.E. resta da togliere $x = 0$:

Verifica. Punto 1: per $x = 2$ si ha $|0{,}69 - 2| = 1{,}31 > 0{,}69$, vero; per $x = 5$ si ha $|1{,}61 - 2| = 0{,}39$, che non supera $1{,}61$. Punto 2: per $x = -6$ si ha $\log_2 36 - \log_2 9 = \log_2 4 = 2$, incluso; per $x = 4$ si ha $\log_2 16 - 0 = 4$, falso.

Ci sono due logaritmi, uno dentro l’altro: le condizioni si scrivono strato per strato.

Dominio. Il logaritmo interno richiede $x - 1 > 0$. Quello esterno richiede un argomento positivo:

Base 2 e verso $<$: lo $0$ a sinistra è la C.E. del logaritmo interno. Il dominio è $D = (1,\ 3)$.

Segno e zeri. Il logaritmo naturale è positivo quando il suo argomento supera 1, non 0:

cioè $1 < x < 2$. Allo stesso modo $f(x) = 0$ quando $\log_2(x - 1) = 0$, cioè in $x = 2$. Quindi $f > 0$ su $(1,\ 2)$, $f(2) = 0$ e $f < 0$ su $(2,\ 3)$.

Vicino agli estremi. Quando $x$ si avvicina a 1, $\log_2(x - 1)$ scende senza limite: l’argomento esterno cresce senza limite, e $f$ con lui. Quando $x$ si avvicina a 3, l’argomento esterno tende a 0 restando positivo, e $f$ scende senza limite. Le rette $x = 1$ e $x = 3$ sono asintoti verticali, che con i limiti scriverai in una riga negli asintoti.

Verifica. Per $x = \frac{3}{2}$: $f = \ln\left(1 - \log_2 \frac{1}{2}\right) = \ln 2 > 0$. Per $x = \frac{5}{2}$: $\log_2 \frac{3}{2} \approx 0{,}585$ e $f \approx \ln 0{,}415 \approx -0{,}88 < 0$. Per $x = 4$: $\log_2 3 \approx 1{,}58$, l’argomento esterno è negativo e $4 \notin D$.

1. C.E.: l’argomento deve essere positivo. Con $t = 3^x$, che è positivo, si ha $9^x = t^2$:

Siccome $t > 0$, resta $t > 2$, cioè $x > \log_3 2$. Questa volta la C.E. non è automatica.

Ora scrivi $x + 1 = \log_3 3^{x+1}$. La base è maggiore di 1, il verso resta, e $3^{x+1} = 3t$:

cioè $0 \leq t \leq 5$. Insieme alla C.E. $t > 2$ resta $2 < t \leq 5$, cioè $2 < 3^x \leq 5$. Tornando alla $x$:

circa $0{,}631 < x \leq 1{,}465$.

2. C.E.: $x > 0$, perché la base di una potenza con esponente reale deve essere positiva. I due membri sono positivi e $\log_2$ è strettamente crescente: applicarlo ai due membri non cambia il verso. Siccome $\log_2 x^{\log_2 x} = (\log_2 x)^2$, con $t = \log_2 x$:

cioè $-1 \leq t \leq 2$, e quindi $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$. La soluzione è $\left[\frac{1}{2},\ 4\right]$.

Verifica. Punto 1: per $x = 1$ si ha $\log_3(9 - 6) = 1 \leq 2$, vero; per $x = \frac{1}{2}$ l’argomento vale $3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$ e il logaritmo non esiste. Punto 2: per $x = 2$ si ha $2^1 = 2 \leq 8$, vero; per $x = 8$ si ha $8^3 = 512$ contro 32, falso.

Completa il quadrato:

Il valore minimo dell’argomento, raggiunto in $x = 1$, è $k - 1$.

1. Il logaritmo esiste per ogni $x$ se l’argomento è sempre positivo, cioè se il suo minimo è positivo: $k - 1 > 0$, quindi $k > 1$.

2. Base maggiore di 1 e verso $>$: con $1 = \log_2 2$ la disequazione equivale a

con la C.E. automatica. Il primo membro vale 0 in $x = 1$, quindi la disequazione è vera per ogni $x$ se e solo se $3 - k < 0$, cioè $k > 3$. Per $k = 3$ è falsa solo in $x = 1$, dove il logaritmo vale esattamente 1. Lo conferma il discriminante di $x^2 - 2x + k - 2$: $\frac{\Delta}{4} = 3 - k < 0$.

3. Per $k = 1$ l’argomento è $(x - 1)^2$. Base maggiore di 1 e verso $\leq$: la C.E. va aggiunta.

La soluzione è

con $1 - \sqrt{2} \approx -0{,}414$ e $1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414$.

Verifica. Con $k = 4$ e $x = 1$: $\log_2 3 \approx 1{,}58 > 1$, vero anche nel punto più delicato. Con $k = 1$ e $x = 2$: $\log_2 1 = 0 \leq 1$, vero; in $x = 1$ il logaritmo di 0 non esiste.

La $x$ sta dentro il logaritmo e fuori: nessun passaggio algebrico la isola. Le soluzioni sono le $x$ in cui la curva $y = \log_2 x$ sta sopra la retta $y = x - 2$, o la tocca. Porta tutto a sinistra:

una funzione continua per $x > 0$, di cui serve il segno.

Un punto esatto. $h(4) = 2 - 4 + 2 = 0$: la curva e la retta passano entrambe per $(4,\ 2)$.

Un secondo punto. Con $\log_2 \frac{1}{4} = -2$ e $\log_2 \frac{1}{2} = -1$ si trova $h\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4}$ e $h\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$: segni opposti. Per il teorema degli zeri c’è uno zero $\alpha$ tra $\frac{1}{4}$ e $\frac{1}{2}$.

Non ce ne sono altri. Il grafico di $\log_2 x$ è strettamente concavo, come abbiamo visto nella funzione logaritmica, e una retta taglia il grafico di una funzione strettamente concava al massimo in due punti. Con le derivate lo ritroverai nel capitolo su concavità e flessi.

Quanto vale $\alpha$. Si restringe l’intervallo tenendo il tratto in cui $h$ cambia segno: $h(0{,}3) \approx -0{,}037$ e $h(0{,}4) \approx 0{,}28$, poi $h(0{,}31) \approx 0{,}0003$. Siccome $h(0{,}305) \approx -0{,}018$ è negativo, $0{,}305 < \alpha < 0{,}31$ e $\alpha \approx 0{,}31$.

Il segno. Tra due zeri consecutivi $h$ non cambia segno, altrimenti il teorema degli zeri darebbe un altro zero. Basta una prova per tratto:

La soluzione è

Verifica. Per $x = 2$: $\log_2 2 = 1 \geq 0$, vero. Per $x = \frac{1}{8}$: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$ contro $-\frac{15}{8}$, falso.