Risoluzione dei triangoli qualsiasi: quale teorema usare, casi ed esercizi svolti

Risolvere un triangolo significa trovare tutti i suoi lati e i suoi angoli partendo da tre dati. Per i triangoli rettangoli bastano seno, coseno e tangente; per un triangolo qualsiasi servono il teorema dei seni e il teorema del coseno. Il difficile è capire quale teorema usare e in che ordine: è la domanda di quasi ogni esercizio di trigonometria all’esame, e tornerà in Fisica 1 con la somma dei vettori. In questa pagina vediamo quali dati servono e perché le sigle ricordano i criteri di congruenza, la scaletta per scegliere il teorema, un esempio per ogni caso con le sue trappole, come arrotondare, la formula di Erone, altezze, mediane, bisettrici e raggi, i quadrilateri, i controlli finali, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Quali dati servono

Un triangolo ha sei elementi: tre lati e tre angoli. Usiamo le notazioni della trigonometria: vertici $A$, $B$, $C$, lati $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ e angoli $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ in $A$, $B$, $C$, così ogni lato sta di fronte all’angolo con la «stessa lettera». Gli angoli sono in gradi: calcolatrice in modalità DEG.

Servono tre dati, di cui almeno uno è un lato. Tre angoli non bastano: il terzo si ricava dagli altri due, perché $\alpha + \beta + \gamma = 180°$, e tutti i triangoli con gli stessi angoli sono simili, cioè hanno la stessa forma ma grandezze diverse. È un lato a fissare la scala.

Perché le sigle sono quelle dei criteri di congruenza

Le sigle dicono come sono disposti i dati: LAL sono due lati e l’angolo compreso, ALA un lato e i due angoli adiacenti, LAA un lato, un angolo adiacente e quello opposto, LLL tre lati. Sono i criteri di congruenza della geometria: due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente uguali due lati e l’angolo compreso, un lato e due angoli (LAA è il secondo criterio generalizzato) oppure i tre lati.

Non è una coincidenza. Un criterio dice che quei dati individuano un solo triangolo, a meno di spostarlo o ribaltarlo: la soluzione, se esiste, è unica, e i teoremi servono solo a calcolare ciò che la geometria dice già determinato.

LLA, due lati e un angolo non compreso, non è un criterio: con gli stessi dati si possono costruire due triangoli diversi, come mostra la figura del compasso nel teorema dei seni. Per questo è l’unico caso con due soluzioni. Un’eccezione: se l’angolo noto sta di fronte al più lungo dei due lati, il triangolo è unico. Il criterio «ipotenusa e un cateto» dei triangoli rettangoli è proprio un LLA di questo tipo.

Quale teorema e in che ordine

Nella figura i quattro casi: in blu i lati noti, in arancione gli angoli noti, tratteggiati i lati da trovare.

Tutto dipende da una domanda: c’è un lato di cui conosci anche l’angolo opposto? Il teorema dei seni lega due coppie lato-angolo opposto, quindi ne serve una completa; il teorema del coseno lega tre lati e un angolo, e funziona proprio quando coppie complete non ce ne sono.

1. Disegna il triangolo e segna i dati con le lettere giuste: $a$ di fronte ad $\alpha$, e così via.
2. Se conosci due angoli, trova subito il terzo per differenza da $180°$.
3. Se hai una coppia completa, usa il teorema dei seni (con LLA le soluzioni possono essere due).
4. Se non c’è (casi LAL e LLL), usa il teorema del coseno: per il terzo lato o per gli angoli.
5. Con il seno cerca solo angoli opposti a lati che non sono il più lungo; l’angolo opposto al lato più lungo trovalo con il coseno o per differenza.
6. Fai i controlli finali.

Dati	Strumento	Soluzioni
ALA o LAA: un lato e due angoli	somma degli angoli, poi seni	una
LAL: due lati e l’angolo compreso	coseno, poi un angolo acuto con i seni	una
LLL: tre lati	coseno per gli angoli	una, se esiste
LLA: due lati e un angolo opposto	seni, con la discussione	zero, una o due
AAA: tre angoli	nessuno	infinite, simili

Un lato e due angoli: casi ALA e LAA

È il caso più tranquillo: il triangolo esiste se i due angoli noti hanno somma minore di $180°$, ed è unico. Trovato il terzo angolo, ogni lato ha il suo angolo opposto.

Esempio 1 (ALA). Dati $c = 12$, $\alpha = 50°$, $\beta = 70°$. Il terzo angolo è $\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°$, opposto al lato noto, e il rapporto del teorema dei seni vale

$$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{12}{\sin 60°} \approx 13{,}856$$

Ogni altro lato è questo rapporto per il seno dell’angolo opposto:

$$\begin{gathered} a \approx 13{,}856 \cdot \sin 50° \approx 10{,}61 \\ b \approx 13{,}856 \cdot \sin 70° \approx 13{,}02 \end{gathered}$$

Controllo: il lato più lungo, $b$, sta di fronte all’angolo più grande. Quel rapporto è anche il diametro $2R$ della circonferenza circoscritta: gratis hai $R \approx 6{,}93$.

E nel caso LAA? Con $a$, $\alpha$ e $\beta$, per esempio, la coppia completa $a$, $\alpha$ c’è fin dall’inizio e il terzo angolo serve solo per l’ultimo lato; nel caso ALA, invece, il lato noto aspetta la somma degli angoli. Un caso LAA è nell’esercizio 1.

Due lati e l’angolo compreso: caso LAL

Il triangolo esiste sempre ed è unico. Nessun lato ha accanto il suo angolo opposto, quindi si parte dal coseno.

Esempio 2. Dati $a = 9$, $b = 6$, $\gamma = 40°$. Il terzo lato è

$$\begin{gathered} c^2 = 81 + 36 - 2 \cdot 9 \cdot 6\cos 40° \\ c^2 \approx 117 - 82{,}733 = 34{,}267 \\ c \approx 5{,}854 \end{gathered}$$

Ora gli angoli, con la trappola più comune del capitolo. Prova a cercare $\alpha$ con i seni:

$$\begin{gathered} \sin\alpha = \frac{a\sin\gamma}{c} = \frac{9\sin 40°}{5{,}854} \approx 0{,}9883 \\ \alpha = \arcsin 0{,}9883 \approx 81{,}2° \end{gathered}$$

È sbagliato. L’arcoseno dà sempre un angolo tra $-90°$ e $90°$, ma $\sin\alpha = \sin(180° - \alpha)$. Qui $\alpha$ sta di fronte al lato più lungo, $a = 9$, ed è ottuso: vale $180° - 81{,}2° = 98{,}8°$. Nella figura i due angoli con lo stesso seno: quello vero in $A$ e il suo supplementare, l’angolo esterno, che è quello della calcolatrice.

Lo potevi prevedere: $a^2 = 81$ supera $b^2 + c^2 \approx 70{,}27$, quindi $\alpha$ è ottuso (è il test del teorema del coseno). Le strade sicure sono due.

Con i seni, sull’angolo giusto. $\beta$ è opposto a un lato che non è il più lungo, quindi è acuto; poi $\alpha$ per differenza:

$$\begin{gathered} \sin\beta = \frac{6\sin 40°}{5{,}854} \approx 0{,}6588 \\ \beta \approx 41{,}21° \\ \alpha = 180° - 40° - 41{,}21° \approx 98{,}79° \end{gathered}$$

Con il coseno, che non sbaglia mai, perché l’arcocoseno arriva fino a $180°$:

$$\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{36 + 34{,}267 - 81}{2 \cdot 6 \cdot 5{,}854} \approx -0{,}1528 \\ \alpha \approx 98{,}79° \end{gathered}$$

Il segno meno dice subito che l’angolo è ottuso.

Tre lati: caso LLL

Prima si controlla che il triangolo esista: ogni lato deve essere minore della somma degli altri due (disuguaglianza triangolare), e basta verificarlo per il lato più lungo. Con lati $2$, $3$ e $6$ il triangolo non c’è, perché $6 > 2 + 3$.

Perché il teorema del coseno se ne accorge da solo. Con $2$, $3$ e $6$ darebbe, per l’angolo opposto al lato $6$,

$$\cos\gamma = \frac{4 + 9 - 36}{2 \cdot 2 \cdot 3} = -\frac{23}{12} \approx -1{,}92$$

e nessun angolo ha un coseno minore di $-1$. Non è un caso: il coseno sta strettamente tra $-1$ e $1$ esattamente quando vale la disuguaglianza triangolare, come dimostriamo nel teorema del coseno. Fuori da $[-1, 1]$ l’arcocoseno dà errore; con $\pm 1$ il «triangolo» è schiacciato su una retta.

Esempio 3. Lati $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$. Esiste, perché $6 < 4 + 5$. Si parte dall’angolo opposto al lato più lungo, l’unico che può essere ottuso:

$$\begin{gathered} \cos\gamma = \frac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{8} \\ \gamma \approx 82{,}82° \end{gathered}$$

Il coseno è positivo: il triangolo è acutangolo. Poi

$$\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{3}{4} \\ \alpha \approx 41{,}41° \end{gathered}$$

e $\beta = 180° - \alpha - \gamma \approx 55{,}77°$, confermato da $\cos\beta = \frac{9}{16}$. Una curiosità: $\gamma$ è esattamente il doppio di $\alpha$. Con la duplicazione, $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - 1 = \frac{1}{8} = \cos\gamma$, e due angoli tra $0°$ e $180°$ con lo stesso coseno sono uguali. Il perché lo scopri nell’esercizio 6.

Due lati e l’angolo opposto: caso LLA

È il caso ambiguo, discusso in dettaglio con riga e compasso nel teorema dei seni. Qui la ricetta. Dati $a$, $b$ e l’angolo $\alpha$ opposto ad $a$:

$$\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a}$$

Se questo numero supera $1$, nessun triangolo. Altrimenti i candidati sono $\beta_1$, acuto, dato dall’arcoseno, e $\beta_2 = 180° - \beta_1$, e ciascuno va bene solo se $\alpha + \beta < 180°$. Due scorciatoie:

• se $a > b$, l’angolo noto sta di fronte al più lungo dei due lati e il triangolo è uno solo: $\beta$ è opposto a un lato che non è il più lungo, quindi è acuto;
• se $a < b$ e $\alpha$ è acuto, confronta $a$ con $h = b\sin\alpha$, la distanza di $C$ dalla retta $AB$: due triangoli se $a > h$, uno rettangolo in $B$ se $a = h$, nessuno se $a < h$.

Con $a < b$ e $\alpha$ retto o ottuso il triangolo non esiste; con $a = b$ è isoscele, e c’è solo se $\alpha$ è acuto.

Esempio 4. Dati $\alpha = 50°$, $b = 12$, $a = 10$. Qui $a < b$ e $h = 12\sin 50° \approx 9{,}19$ è minore di $a$: due triangoli.

$$\begin{gathered} \sin\beta = \frac{12\sin 50°}{10} \approx 0{,}9193 \\ \beta_1 \approx 66{,}82° \quad \beta_2 \approx 113{,}18° \end{gathered}$$

Vanno bene entrambi, perché $50° + 113{,}18° < 180°$. I terzi angoli sono $\gamma_1 \approx 63{,}18°$ e $\gamma_2 \approx 16{,}82°$, e da $c = \frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}$ si trovano $c_1 \approx 11{,}65$ e $c_2 \approx 3{,}78$.

L’alternativa con il coseno. Il teorema del coseno sull’angolo noto, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$, è un’equazione di secondo grado nel lato $c$:

$$\begin{gathered} 100 = 144 + c^2 - 24\cos 50° \cdot c \\ c^2 - 15{,}427\,c + 44 = 0 \end{gathered}$$

Le sue radici sono ancora $c_1 \approx 11{,}65$ e $c_2 \approx 3{,}78$: ogni radice positiva è un triangolo, senza angoli da scartare a mano. Il metodo completo è nel teorema del coseno.

Arrotondare senza perdere precisione

Ogni valore calcolato porta un piccolo errore, e i passaggi successivi possono ingrandirlo. Due regole: usa i dati del testo ogni volta che puoi, e dei valori calcolati tieni almeno quattro cifre significative (o lasciali nella memoria della calcolatrice). Arrotonda solo i risultati finali.

Un esempio. Nell’esempio 2 il lato vero è $c \approx 5{,}854$. Arrotondalo a $5{,}9$, un errore inferiore all’1%, e cerca $\alpha$ con i seni, correggendo con il supplementare:

$$\begin{gathered} \sin\alpha = \frac{9\sin 40°}{5{,}9} \approx 0{,}9805 \\ \alpha \approx 180° - 78{,}67° = 101{,}33° \end{gathered}$$

invece di $98{,}79°$: due gradi e mezzo di errore. Vicino a $90°$ il seno cambia pochissimo, quindi a una piccola variazione del seno corrisponde una grande variazione dell’angolo. Con $c = 5{,}854$ si ottiene $98{,}80°$. Anche per questo l’angolo più grande va cercato con il coseno.

La formula di Erone

Con tre lati l’area si calcola senza passare dagli angoli. Sia $p = \frac{a + b + c}{2}$ il semiperimetro.

La dimostra Erone di Alessandria, vissuto nel I secolo d.C., nel primo libro della Metrica; secondo lo storico Thomas Heath forse la conosceva già Archimede, più di due secoli prima.

Perché è vera. Parti dall’area con il seno, $S = \frac{1}{2}\,bc\sin\alpha$. Siccome $\alpha$ è tra $0°$ e $180°$, $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$, con il coseno dal teorema del coseno. Elevando al quadrato:

$$\begin{gathered} 16S^2 = 4b^2c^2\left(1 - \cos^2\alpha\right) \\ {} = 4b^2c^2 - \left(b^2 + c^2 - a^2\right)^2 \end{gathered}$$

È la differenza di quadrati $(2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2$; scomponendola, e poi scomponendo le due differenze di quadrati che escono:

$$\begin{gathered} 16S^2 = \left[a^2 - (b - c)^2\right] \\ {} \cdot \left[(b + c)^2 - a^2\right] \\ {} = (a - b + c)(a + b - c) \\ {} \cdot (b + c - a)(a + b + c) \end{gathered}$$

Ogni fattore è un doppio: $a + b + c = 2p$, $b + c - a = 2(p - a)$, $a - b + c = 2(p - b)$, $a + b - c = 2(p - c)$. Quindi $16S^2 = 16\,p\,(p - a)(p - b)(p - c)$, e basta estrarre la radice.

Esempio 5. Per il triangolo 4, 5, 6, $p = 7{,}5$:

$$\begin{gathered} S = \sqrt{7{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}5} \\ S = \frac{15\sqrt{7}}{4} \approx 9{,}92 \end{gathered}$$

Controllo: da $\cos\gamma = \frac{1}{8}$ viene $\sin\gamma = \sqrt{1 - \frac{1}{64}} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$, e $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$. Ancora più semplice: per il triangolo isoscele 5, 5, 6 la formula dà $p = 8$ e $S = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = 12$, come base per altezza diviso due, $\frac{6 \cdot 4}{2}$ (l’altezza $4$ viene da Pitagora).

Altezze, mediane, bisettrici e raggi

Risolto il triangolo, il resto viene quasi gratis.

Altezze: $h_a = \frac{2S}{a}$, oppure $h_a = b\sin\gamma = c\sin\beta$. Raggi: dal teorema dei seni $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, con qualsiasi coppia lato-angolo opposto; il raggio inscritto è $r = \frac{S}{p}$.

Mediane. La mediana $m_a$ va da $A$ al punto medio $M$ di $BC$. Si trova con il teorema del coseno nel triangolo $ABM$, come nella formula della mediana:

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$$

Bisettrici. La bisettrice $\ell_a$ divide il triangolo in due triangoli con angolo $\frac{\alpha}{2}$ in $A$, e la somma delle loro aree è l’area totale. Con $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$:

$$\begin{gathered} \tfrac{1}{2}\,(b + c)\,\ell_a\sin\tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{1}{2}\,bc\sin\alpha \\ \ell_a = \frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b + c} \end{gathered}$$

Esempio 6. Con $S = \frac{15\sqrt{7}}{4}$, nel triangolo 4, 5, 6:

• l’altezza sul lato più lungo è $h_c = \frac{2S}{6} = \frac{5\sqrt{7}}{4} \approx 3{,}31$;
• da $\cos\alpha = \frac{3}{4}$ viene $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$, quindi $R = \frac{4}{2\sin\alpha} = \frac{8}{\sqrt{7}} \approx 3{,}02$;
• la mediana sul lato $c$, scambiando le lettere nella formula, è $m_c = \frac{\sqrt{2 \cdot 16 + 2 \cdot 25 - 36}}{2} = \frac{\sqrt{46}}{2} \approx 3{,}39$;
• la bisettrice di $\gamma$, con $\cos\frac{\gamma}{2} = \cos\alpha = \frac{3}{4}$ perché $\gamma = 2\alpha$, è $\ell_c = \frac{2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{3}{4}}{9} = \frac{10}{3}$.

I quadrilateri: una diagonale e due triangoli

Una diagonale divide un quadrilatero in due triangoli. Scegli quella che chiude un triangolo di cui conosci già tre elementi, risolvilo, e usa la diagonale come dato nell’altro.

Esempio 7. Nel quadrilatero convesso $ABCD$ sono noti $AB = 6$, $AD = 4$, $\widehat{DAB} = 75°$, $BC = 5$ e $CD = 7$. Troviamo $BD$, l’angolo in $C$ e l’area. Il triangolo $ABD$ è un caso LAL:

$$\begin{gathered} BD^2 = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4\cos 75° \\ BD^2 \approx 52 - 12{,}423 = 39{,}577 \\ BD \approx 6{,}291 \end{gathered}$$

Ora $BCD$ è un caso LLL, ed esiste perché $7 < 5 + 6{,}291$:

$$\begin{gathered} \cos\widehat{BCD} = \frac{25 + 49 - 39{,}577}{2 \cdot 5 \cdot 7} \approx 0{,}4918 \\ \widehat{BCD} \approx 60{,}54° \end{gathered}$$

L’area è la somma delle due aree con il seno:

$$\begin{gathered} S_{ABD} = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sin 75° \approx 11{,}59 \\ S_{BCD} = \tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7\sin 60{,}54° \approx 15{,}24 \end{gathered}$$

quindi $S \approx 26{,}83$. Controllo: Erone sui lati $5$, $7$ e $6{,}291$ dà di nuovo $15{,}24$.

I controlli finali

Prima di consegnare, verifica che:

• la somma degli angoli sia $180°$, a meno degli arrotondamenti;
• al lato più lungo stia di fronte l’angolo più grande, al più corto il più piccolo;
• ci sia al massimo un angolo ottuso, opposto al lato più lungo;
• ogni lato sia minore della somma degli altri due.

Il controllo più forte: ricalcola un lato con il teorema che non hai usato.

Gli errori più comuni

• Usare l’arcoseno per l’angolo opposto al lato più lungo. Dà un angolo acuto anche quando quello vero è ottuso: usa il coseno o la differenza da $180°$.
• Usare il teorema dei seni senza una coppia completa. Nei casi LAL e LLL si parte dal teorema del coseno.
• Dimenticare la seconda soluzione nel caso LLA. Oltre a $\beta_1$ c’è sempre il candidato $180° - \beta_1$, da controllare.
• Accettare la seconda soluzione senza controllo. $\beta_2$ vale solo se $\alpha + \beta_2 < 180°$, altrimenti gli angoli superano $180°$.
• Non controllare l’esistenza nel caso LLL. Con lati 2, 3, 6 non c’è nessun triangolo: un coseno fuori da $[-1, 1]$, con i conti giusti, vuol dire proprio questo.
• Arrotondare i valori intermedi. Un lato arrotondato al decimo può spostare un angolo di qualche grado.
• Angoli che non sommano a 180°. Qualche centesimo è arrotondamento; un grado intero è un errore da cercare.
• L’angolo più grande non è opposto al lato più lungo. È il segno sicuro di un angolo sbagliato, quasi sempre un ottuso preso per acuto.

Esercizi svolti

1. Un lato e due angoli

Testo. In un triangolo $ABC$ sono noti $c = 20$ cm, $\alpha = 28°$ e $\gamma = 117°$. Trova $\beta$, i lati $a$ e $b$, il raggio della circonferenza circoscritta e l’area.

È un caso LAA: $c$ è opposto all’angolo noto $\gamma$, quindi la coppia completa c’è già. Il terzo angolo è $\beta = 180° - 28° - 117° = 35°$, e

$$2R = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{20}{\sin 117°} \approx 22{,}447$$

Gli altri lati sono $2R$ per il seno dell’angolo opposto:

$$\begin{gathered} a \approx 22{,}447 \cdot \sin 28° \approx 10{,}54 \text{ cm} \\ b \approx 22{,}447 \cdot \sin 35° \approx 12{,}87 \text{ cm} \end{gathered}$$

Il raggio è $R \approx 11{,}22$ cm. Per l’area, due lati e l’angolo compreso:

$$\begin{gathered} S = \tfrac{1}{2}\,bc\sin\alpha \\ S \approx \tfrac{1}{2} \cdot 12{,}875 \cdot 20\sin 28° \\ S \approx 60{,}44 \text{ cm}^2 \end{gathered}$$

Controllo con il coseno: $a^2 + b^2 - 2ab\cos 117° \approx 111{,}05 + 165{,}76 + 123{,}19 = 400{,}00$, proprio $c^2$. E il lato più lungo sta di fronte all’unico angolo ottuso.

2. Due lati e l’angolo compreso, con un angolo ottuso

Testo. Risolvi il triangolo con $b = 5$, $c = 9$ e $\alpha = 38°$, e calcola la sua area.

È un caso LAL. Il terzo lato:

$$\begin{gathered} a^2 = 25 + 81 - 2 \cdot 5 \cdot 9\cos 38° \\ a^2 \approx 106 - 70{,}921 = 35{,}079 \\ a \approx 5{,}923 \end{gathered}$$

Il lato più lungo è $c = 9$, e $c^2 = 81$ supera $a^2 + b^2 \approx 60{,}08$: $\gamma$ è ottuso. Con i seni cerchiamo quindi $\beta$, opposto al lato più corto:

$$\begin{gathered} \sin\beta = \frac{5\sin 38°}{5{,}923} \approx 0{,}5197 \\ \beta \approx 31{,}31° \\ \gamma = 180° - 38° - 31{,}31° \approx 110{,}69° \end{gathered}$$

Con i seni su $\gamma$ avresti trovato $\sin\gamma \approx 0{,}9355$ e l’arcoseno avrebbe dato $69{,}31°$, il supplementare di quello vero. Controllo con il coseno:

$$\begin{gathered} \cos\gamma = \frac{35{,}079 + 25 - 81}{2 \cdot 5{,}923 \cdot 5} \approx -0{,}3532 \\ \gamma \approx 110{,}69° \end{gathered}$$

L’area, con i dati del testo, è $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 9 \cdot \sin 38° \approx 13{,}85$.

3. Tre lati e un angolo ottuso

Testo. Un triangolo ha lati $a = 9$, $b = 10$ e $c = 17$. Verifica che esiste, stabilisci se è ottusangolo, trova gli angoli e calcola l’area in due modi.

Esiste, perché $17 < 9 + 10$. Siccome $17^2 = 289$ supera $9^2 + 10^2 = 181$, l’angolo $\gamma$ opposto a $c$ è ottuso:

$$\begin{gathered} \cos\gamma = \frac{81 + 100 - 289}{2 \cdot 9 \cdot 10} = -\frac{3}{5} \\ \gamma \approx 126{,}87° \end{gathered}$$

Per $\alpha$, di nuovo con il coseno:

$$\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{100 + 289 - 81}{2 \cdot 10 \cdot 17} = \frac{77}{85} \\ \alpha \approx 25{,}06° \end{gathered}$$

e $\beta = 180° - 126{,}87° - 25{,}06° = 28{,}07°$, confermato da $\cos\beta = \frac{81 + 289 - 100}{2 \cdot 9 \cdot 17} = \frac{15}{17}$.

Area con Erone. Con $p = 18$:

$$S = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$$

Area con il seno. Da $\cos\gamma = -\frac{3}{5}$ viene $\sin\gamma = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$, positivo come ogni seno di un angolo del triangolo:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 36$$

Stesso valore esatto. Già che ci sei, l’altezza sul lato più lungo è $h_c = \frac{2 \cdot 36}{17} \approx 4{,}24$.

4. Due triangoli, uno o nessuno

Testo. In un triangolo $\alpha = 52°$ e $b = 15$. Risolvi il triangolo se $a = 13$. Quanti triangoli ci sono se invece $a = 16$? E se $a = 11$?

L’angolo è acuto e la distanza di $C$ dalla retta $AB$ è $h = 15\sin 52° \approx 11{,}82$.

Con $a = 13$ vale $h < a < b$: due triangoli.

$$\begin{gathered} \sin\beta = \frac{15\sin 52°}{13} \approx 0{,}9092 \\ \beta_1 \approx 65{,}40° \quad \beta_2 \approx 114{,}60° \end{gathered}$$

e $52° + 114{,}60° < 180°$ conferma $\beta_2$. I lati $c = \frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}$, con $\frac{13}{\sin 52°} \approx 16{,}497$:

	Triangolo 1	Triangolo 2
$\beta$	${\approx 65{,}40°}$	${\approx 114{,}60°}$
${\gamma = 180° - \alpha - \beta}$	${\approx 62{,}60°}$	${\approx 13{,}40°}$
$c$	${\approx 14{,}65}$	${\approx 3{,}82}$

Controllo con l’equazione del coseno in $c$, cioè $c^2 - 30\cos 52° \cdot c + 56 = 0$: le radici devono avere somma $30\cos 52° \approx 18{,}47$ e prodotto $56$, e infatti $14{,}65 + 3{,}82 = 18{,}47$ e $14{,}65 \cdot 3{,}82 \approx 56$.

Con $a = 16$ l’angolo noto sta di fronte al più lungo dei due lati: un solo triangolo. Infatti $\sin\beta = \frac{15\sin 52°}{16} \approx 0{,}7388$ dà $\beta \approx 47{,}63°$, mentre $132{,}37°$ si scarta perché $52° + 132{,}37° > 180°$. Quindi $\gamma \approx 80{,}37°$ e $c = \frac{16\sin 80{,}37°}{\sin 52°} \approx 20{,}02$. Nell’equazione in $c$ il prodotto delle radici è $225 - 256 = -31$: una radice positiva e una negativa, un solo triangolo.

Con $a = 11$ il lato è più corto di $h$: $\sin\beta = \frac{15\sin 52°}{11} \approx 1{,}075 > 1$, nessun triangolo.

5. Un quadrilatero

Testo. Nel quadrilatero convesso $ABCD$ sono noti $AB = 5$, $BC = 8$, $\widehat{ABC} = 120°$, $CD = 6$ e $\widehat{BCD} = 85°$. Trova la diagonale $AC$, il lato $AD$, gli angoli in $A$ e in $D$ e l’area.

La diagonale $AC$ chiude il triangolo $ABC$, un caso LAL. Con $\cos 120° = -\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) \\ AC^2 = 129 \\ AC = \sqrt{129} \approx 11{,}358 \end{gathered}$$

L’angolo in $B$ è ottuso, quindi gli altri due angoli di $ABC$ sono acuti e i seni non hanno trappole:

$$\begin{gathered} \sin\widehat{BCA} = \frac{5\sin 120°}{\sqrt{129}} \approx 0{,}3812 \\ \widehat{BCA} \approx 22{,}41° \\ \widehat{BAC} = 180° - 120° - 22{,}41° = 37{,}59° \end{gathered}$$

La diagonale divide l’angolo in $C$: nel triangolo $ACD$ l’angolo in $C$ è $\widehat{ACD} = 85° - 22{,}41° = 62{,}59°$. Di nuovo un caso LAL:

$$\begin{gathered} AD^2 = 129 + 36 - 2\sqrt{129} \cdot 6\cos 62{,}59° \\ AD^2 \approx 165 - 62{,}745 = 102{,}255 \\ AD \approx 10{,}11 \end{gathered}$$

In $ACD$ il lato più lungo è $AC$, opposto all’angolo in $D$: con i seni cerchiamo l’angolo in $A$, opposto al lato più corto, $CD = 6$, e l’angolo in $D$ per differenza.

$$\begin{gathered} \sin\widehat{CAD} = \frac{6\sin 62{,}59°}{10{,}112} \approx 0{,}5267 \\ \widehat{CAD} \approx 31{,}78° \\ \widehat{ADC} = 180° - 62{,}59° - 31{,}78° \\ \widehat{ADC} = 85{,}63° \end{gathered}$$

L’angolo in $A$ è $\widehat{BAC} + \widehat{CAD} = 37{,}59° + 31{,}78° = 69{,}37°$. Controllo: $69{,}37° + 120° + 85° + 85{,}63° = 360°$, la somma degli angoli di un quadrilatero. L’area è la somma di quelle dei due triangoli:

$$\begin{gathered} S_{ABC} = \tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8\sin 120° = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32 \\ S_{ACD} = \tfrac{1}{2}\sqrt{129} \cdot 6\sin 62{,}59° \approx 30{,}25 \end{gathered}$$

quindi $S \approx 47{,}57$.

6. Da esame: un angolo doppio di un altro

Testo. a) Dimostra che in ogni triangolo $a^2 = b^2 + bc$ se e solo se $\alpha = 2\beta$. b) Trova il triangolo con lati interi consecutivi in cui l’angolo opposto al lato maggiore è il doppio di quello opposto al lato minore.

a) Per il teorema del coseno $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$, quindi la condizione diventa

$$\begin{gathered} b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha = b^2 + bc \\ c^2 - 2bc\cos\alpha = bc \\ c = b\,(1 + 2\cos\alpha) \end{gathered}$$

dividendo per $c$, che è positivo. Per il teorema dei seni $c = 2R\sin\gamma$ e $b = 2R\sin\beta$, e $\sin\gamma = \sin(180° - \alpha - \beta) = \sin(\alpha + \beta)$. Dividendo per $2R$ e usando la formula di addizione:

$$\begin{gathered} \sin(\alpha + \beta) = \sin\beta\,(1 + 2\cos\alpha) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ {} = \sin\beta + 2\sin\beta\cos\alpha \\ \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin\beta \\ \sin(\alpha - \beta) = \sin\beta \end{gathered}$$

Siccome $\sin\beta > 0$, anche $\sin(\alpha - \beta) > 0$: $\alpha - \beta$, che sta tra $-180°$ e $180°$, è tra $0°$ e $180°$. Lì gli angoli con seno $\sin\beta$ sono $\beta$ e $180° - \beta$; il secondo darebbe $\alpha = 180°$, impossibile. Resta $\alpha - \beta = \beta$, cioè $\alpha = 2\beta$. Viceversa, se $\alpha = 2\beta$ allora $\sin(\alpha - \beta) = \sin\beta$, e ogni passaggio è un’equivalenza: rifacendoli all’indietro si arriva a $a^2 = b^2 + bc$.

b) I lati sono $n - 1$, $n$ e $n + 1$, con $n > 2$ perché il triangolo esista. Nella formula del punto a) l’angolo doppio sta di fronte ad $a$ e quello «metà» di fronte a $b$, quindi $a = n + 1$, $b = n - 1$ e $c = n$:

$$\begin{gathered} (n + 1)^2 = (n - 1)^2 + (n - 1)\,n \\ n^2 + 2n + 1 = 2n^2 - 3n + 1 \\ n^2 - 5n = 0 \end{gathered}$$

Scartata $n = 0$, resta $n = 5$: i lati sono 4, 5 e 6, il triangolo dell’esempio 3. Controllo: $6^2 = 36 = 4^2 + 4 \cdot 5$. Provando anche le altre coppie di angoli si scopre che è l’unico triangolo con lati interi consecutivi in cui un angolo è il doppio di un altro.

Altri problemi, mescolati con il resto del capitolo, sono negli esercizi svolti di trigonometria.

In sintesi

• Servono tre dati, di cui almeno un lato. ALA, LAA, LAL e LLL sono criteri di congruenza: soluzione unica. LLA no.
• Coppia completa lato-angolo opposto: teorema dei seni. Nessuna coppia completa (LAL, LLL): teorema del coseno.
• L’arcoseno dà solo angoli acuti: l’angolo opposto al lato più lungo trovalo con il coseno o per differenza.
• LLL: prima la disuguaglianza triangolare; un coseno fuori da $[-1, 1]$ vuol dire che il triangolo non esiste.
• LLA: zero, uno o due triangoli, uno solo se l’angolo noto sta di fronte al più lungo dei due lati; in alternativa, un’equazione di secondo grado nel terzo lato.
• Erone: $S = \sqrt{p\,(p - a)(p - b)(p - c)}$; poi $h_a = \frac{2S}{a}$, $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, $r = \frac{S}{p}$.
• Un quadrilatero si risolve con una diagonale e due triangoli.
• Usa i dati del testo, tieni quattro cifre e controlla somma degli angoli e ordine tra lati e angoli.

Nell’ultimo articolo di teoria del capitolo vediamo a cosa serve tutto questo fuori dai libri: applicazioni della trigonometria.