Applicazioni della trigonometria: altezze, distanze, vettori, forze ed esercizi

Le applicazioni della trigonometria sono il motivo per cui la studiamo: misurare un’altezza o una distanza irraggiungibile, disegnare le carte geografiche, calcolare l’area di un terreno, scomporre e sommare le forze in fisica. All’esame compaiono come problemi “a parole”, in cui il difficile non è il calcolo ma capire quale triangolo guardare. Gli strumenti li abbiamo già: i teoremi sui triangoli rettangoli, il teorema dei seni e il teorema del coseno. In questa pagina vediamo un metodo per i problemi, gli angoli di elevazione e di depressione, l’altezza di una torre con due angoli, la triangolazione e la distanza tra due punti inaccessibili, l’area di un terreno, le componenti di un vettore, la somma di due forze, il piano inclinato, l’angolo tra due rette, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il metodo per i problemi

Ogni problema di trigonometria applicata si risolve con la stessa scaletta:

1. Disegna uno schizzo grande, visto di lato (altezze) o dall’alto (distanze sul terreno, rotte).
2. Dai un nome a tutto: lettere ai punti e agli angoli; segna i dati e cerchia l’incognita.
3. Scegli il triangolo: uno che contenga l’incognita e di cui conosci tre elementi (due oltre all’angolo retto, se è rettangolo), almeno uno dei quali è un lato. Se non c’è, cerca un triangolo “di appoggio” che ti dia il lato mancante.
4. Scegli il teorema: nel triangolo rettangolo seno, coseno, tangente e Pitagora; nel triangolo qualsiasi il teorema dei seni se conosci un lato e l’angolo opposto, il teorema del coseno se conosci due lati e l’angolo compreso, o tre lati. Tutti i casi sono nella risoluzione dei triangoli qualsiasi.
5. Calcola con la calcolatrice in gradi (modalità DEG), senza arrotondare i passaggi intermedi.
6. Controlla unità di misura, ordine di grandezza (una torre alta 3 km vuol dire un errore), il lato più lungo opposto all’angolo più grande e i casi limite.

Angoli di elevazione e di depressione

L’angolo di elevazione è l’angolo tra l’orizzontale e la linea di vista quando guardi un oggetto più in alto di te; l’angolo di depressione è quello tra l’orizzontale e la linea di vista quando guardi più in basso. Entrambi si misurano dall’orizzontale, mai dalla verticale.

Se da $A$ vedi $B$ con un angolo di depressione $\delta$, da $B$ vedi $A$ con un angolo di elevazione uguale a $\delta$: le orizzontali in $A$ e in $B$ sono parallele e la linea di vista è una trasversale, quindi i due angoli sono alterni interni.

Esempio. Dalla cima di un faro, a 30 m sul livello del mare, vedi due barche allineate con il faro, con angoli di depressione di $12°$ e $20°$. Quanto distano tra loro?

Dalla barca la cima del faro si vede con un angolo di elevazione uguale a quello di depressione. Nel triangolo rettangolo con il faro come cateto verticale, la distanza orizzontale è il cateto adiacente all’angolo:

$$\begin{gathered} d_1 = \frac{30}{\tan 12°} \approx 141{,}14 \text{ m} \\ d_2 = \frac{30}{\tan 20°} \approx 82{,}42 \text{ m} \end{gathered}$$

Le barche distano $d_1 - d_2 \approx 58{,}7$ m, e l’angolo più piccolo corrisponde alla barca più lontana, come deve essere. Con un solo angolo basta un triangolo rettangolo, come per l’edificio nella risoluzione dei triangoli rettangoli. Il caso interessante è quando la base non si raggiunge.

L’altezza di una torre con due angoli

Vuoi l’altezza $h$ di una torre, ma la sua base $H$ è dentro un recinto. Misuri l’angolo di elevazione $\alpha$ della cima $P$ da un punto $A$, ti avvicini alla torre in linea retta di una distanza $d$, fino al punto $B$, e misuri di nuovo: ottieni un angolo $\beta$ più grande.

Con le tangenti

Chiama $x = BH$ la distanza incognita di $B$ dalla torre. Nei triangoli rettangoli $BHP$ e $AHP$ l’altezza è il cateto opposto all’angolo, la distanza dalla torre quello adiacente:

$$\begin{gathered} h = x\tan\beta \\ h = (x + d)\tan\alpha \end{gathered}$$

Uguagliando, $x\,(\tan\beta - \tan\alpha) = d\tan\alpha$. La tangente è crescente tra $0°$ e $90°$, quindi $\tan\beta - \tan\alpha > 0$ e possiamo dividere:

$$\begin{gathered} x = \frac{d\tan\alpha}{\tan\beta - \tan\alpha} \\ h = \frac{d\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha} \end{gathered}$$

Con il teorema dei seni

Nel triangolo obliquo $ABP$, colorato nella figura, l’angolo in $A$ è $\alpha$, quello in $B$ è $180° - \beta$ (il supplementare dell’angolo di elevazione), quindi quello in $P$ è $\beta - \alpha$. Il teorema dei seni dà $BP$, opposto ad $A$, e il triangolo rettangolo $BHP$ dà l’altezza:

$$\begin{gathered} BP = \frac{d\sin\alpha}{\sin(\beta - \alpha)} \\ h = BP\sin\beta = \frac{d\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\beta - \alpha)} \end{gathered}$$

Perché è la stessa formula. Dividi numeratore e denominatore per $\cos\alpha\cos\beta$: sopra resta $d\tan\alpha\tan\beta$, e sotto, con la formula di sottrazione del seno,

$$\begin{gathered} \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos\alpha\cos\beta} \\ {} = \frac{\sin\beta\cos\alpha - \cos\beta\sin\alpha}{\cos\alpha\cos\beta} \\ {} = \tan\beta - \tan\alpha \end{gathered}$$

Esempio. Con $\alpha = 30°$, $\beta = 45°$ e $d = 100$ m, usando $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$ e $\tan 45° = 1$ e razionalizzando:

$$\begin{gathered} h = \frac{100 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{100}{\sqrt{3} - 1} \\ h = 50\left(\sqrt{3} + 1\right) \approx 136{,}6 \text{ m} \end{gathered}$$

Con i seni, $h = \frac{100\sin 30°\sin 45°}{\sin 15°} \approx 136{,}6$ m: stesso risultato. Controllo: con $\beta = 45°$ il triangolo $BHP$ è isoscele, e infatti $x = h$. Nota anche che se $\beta$ si avvicina ad $\alpha$ il denominatore tende a zero e $h$ cresce senza limite: se avvicinandoti l’angolo quasi non cambia, la torre è lontanissima. Nella realtà all’altezza trovata va aggiunta quella dello strumento da terra. Un altro esempio è l’esercizio del campanile negli esercizi svolti di trigonometria.

La triangolazione: una distanza inaccessibile

Vuoi sapere quanto dista un albero $T$ sull’altra riva di un fiume. Su una riva fissi due punti $A$ e $B$ a 50 m di distanza, la base, e misuri gli angoli tra la base e la direzione dell’albero: $75°$ in $A$ e $60°$ in $B$.

È un caso ALA. L’angolo in $T$ è $180° - 75° - 60° = 45°$, e il teorema dei seni dà $AT$, opposto all’angolo in $B$:

$$\begin{gathered} AT = \frac{AB\sin 60°}{\sin 45°} = \frac{50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ AT = 25\sqrt{6} \approx 61{,}24 \text{ m} \end{gathered}$$

La distanza $d$ dell’albero dalla riva è il cateto opposto all’angolo in $A$: $d = AT\sin 75° \approx 59{,}15$ m. In generale, con base $b$ e angoli $\alpha$ e $\beta$ ai suoi estremi, l’angolo in $T$ è $180° - (\alpha + \beta)$, che ha lo stesso seno di $\alpha + \beta$, e quindi

$$d = \frac{b\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$$

Un po’ di storia

È il principio della triangolazione: si misura con cura una sola base, poi solo angoli, e con una catena di triangoli si coprono distanze enormi. Nel 1615 l’olandese Willebrord Snellius misurò così un grado di meridiano, con una rete di quattordici punti, soprattutto campanili, tra Alkmaar e Bergen op Zoom; descrisse il metodo nel libro Eratosthenes Batavus (1617), «l’Eratostene olandese». Tra il 1792 e il 1798 i francesi Delambre e Méchain misurarono per triangolazione l’arco di meridiano tra Dunkerque e Barcellona: da quella misura venne la lunghezza del metro, definito nel 1791 come la decimilionesima parte della distanza tra il polo nord e l’equatore.

La distanza tra due punti inaccessibili

Ora i punti irraggiungibili sono due, $P$ e $Q$, sull’altra riva. Dalla base $AB = 100$ m misuri quattro angoli: $\widehat{BAP} = 50°$ e $\widehat{BAQ} = 95°$ in $A$, $\widehat{ABP} = 100°$ e $\widehat{ABQ} = 45°$ in $B$. Si lavora su tre triangoli.

1. Triangolo $ABP$. L’angolo in $P$ è $30°$, e il teorema dei seni dà $AP = \frac{100\sin 100°}{\sin 30°} \approx 196{,}96$ m.
2. Triangolo $ABQ$. L’angolo in $Q$ è $40°$, quindi $AQ = \frac{100\sin 45°}{\sin 40°} \approx 110{,}01$ m.
3. Triangolo $APQ$. Conosci $AP$, $AQ$ e l’angolo compreso $\widehat{PAQ} = 95° - 50° = 45°$: serve il teorema del coseno.

$$\begin{gathered} PQ^2 = AP^2 + AQ^2 - 2\,AP \cdot AQ\cos 45° \\ PQ^2 \approx 38\,794 + 12\,101 - 30\,642 \\ PQ^2 \approx 20\,253 \\ {} \implies PQ \approx 142{,}3 \text{ m} \end{gathered}$$

È lo schema tipico dei problemi d’esame più lunghi: due volte il teorema dei seni per trovare due lati, poi il teorema del coseno nel terzo triangolo.

L’area di un terreno

Per misurare un terreno non servono le altezze dei triangoli: basta l’area con il seno,

$$S = \frac{1}{2}\,a\,b\sin\gamma$$

dove $a$ e $b$ sono due lati e $\gamma$ è l’angolo compreso tra loro. Un poligono si divide in triangoli con le diagonali uscenti da un vertice.

Esempio. Un topografo nel vertice $A$ di un campo quadrilatero $ABCD$ misura $AB = 60$ m, $AC = 100$ m, $AD = 70$ m, $\widehat{BAC} = 40°$ e $\widehat{CAD} = 55°$. La diagonale $AC$ divide il campo in due triangoli:

$$\begin{gathered} S_1 = \tfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 100\sin 40° \approx 1928{,}4 \text{ m}^2 \\ S_2 = \tfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot 70\sin 55° \approx 2867{,}0 \text{ m}^2 \end{gathered}$$

L’area è circa 4795 m², quasi mezzo ettaro, senza camminare lungo i confini.

Le componenti di un vettore

In fisica forze, velocità e spostamenti sono vettori, spiegati dall’inizio nella guida sui vettori in fisica. Un vettore $\vec{F}$ di modulo $F$, che forma l’angolo $\theta$ con il semiasse positivo delle $x$ (in senso antiorario), ha componenti

$$\begin{gathered} F_x = F\cos\theta \\ F_y = F\sin\theta \end{gathered}$$

Se $\theta$ è acuto è il primo teorema dei triangoli rettangoli: il vettore è l’ipotenusa, le componenti i cateti. Ma le formule valgono per qualsiasi angolo, perché sono la definizione di seno e coseno sulla circonferenza goniometrica: i segni vengono da soli. Una forza di 20 N a $150°$ ha $F_x = 20\cos 150° \approx -17{,}32$ N e $F_y = 20\sin 150° = 10$ N: punta in alto a sinistra.

Il problema inverso: modulo e direzione

Se conosci le componenti, il modulo viene da Pitagora e l’angolo dalla tangente:

$$\begin{gathered} F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \\ \tan\theta = \frac{F_y}{F_x} \quad (F_x \neq 0) \end{gathered}$$

La regola completa:

1. calcola $\theta_0 = \arctan\frac{F_y}{F_x}$;
2. se $F_x > 0$ (quadranti I e IV), $\theta = \theta_0$; nel IV quadrante $\theta_0$ è negativo, e aggiungendo $360°$ lo porti tra $0°$ e $360°$;
3. se $F_x < 0$ (quadranti II e III), $\theta = \theta_0 + 180°$;
4. se $F_x = 0$, $\theta = 90°$ per $F_y > 0$ e $\theta = 270°$ per $F_y < 0$.

La funzione atan2(y, x) dei linguaggi di programmazione fa lo stesso calcolo, ma dà l’angolo tra $-180°$ e $180°$: nel III e nel IV quadrante restituisce $\theta - 360°$. Esempio: il vettore $(-3;\ -4)$ ha modulo $\sqrt{9 + 16} = 5$; la calcolatrice dà $\arctan\frac{4}{3} \approx 53{,}13°$, la direzione del vettore opposto. Il vettore sta nel terzo quadrante, quindi $\theta \approx 233{,}13°$.

La somma di due vettori

Due forze $F_1 = 30$ N e $F_2 = 40$ N sono applicate allo stesso punto e formano un angolo $\theta = 60°$. Quanto vale la forza risultante, e in che direzione agisce?

Per la regola del parallelogramma la risultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ è la diagonale del parallelogramma costruito sui due vettori; equivale a mettere la coda di $\vec{F}_2$ sulla punta di $\vec{F}_1$. Nel triangolo che si forma, l’angolo opposto a $R$ non è $\theta$ ma $180° - \theta = 120°$: due angoli consecutivi di un parallelogramma sono supplementari.

Il modulo con il teorema del coseno

Con il teorema del coseno e $\cos(180° - \theta) = -\cos\theta$:

$$\begin{gathered} R^2 = F_1^2 + F_2^2 - 2F_1F_2\cos(180° - \theta) \\ R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta \end{gathered}$$

Nota il segno più. Tre controlli: con $\theta = 0°$ la formula dà $R = F_1 + F_2$, con $\theta = 90°$ dà Pitagora, con $\theta = 180°$ dà $R = \lvert F_1 - F_2 \rvert$. Nel nostro caso:

$$\begin{gathered} R^2 = 900 + 1600 + 2400 \cdot \tfrac{1}{2} = 3700 \\ {} \implies R = \sqrt{3700} \approx 60{,}83 \text{ N} \end{gathered}$$

La direzione con il teorema dei seni

L’angolo $\varphi$ tra $\vec{R}$ e $\vec{F}_1$ è opposto al lato $F_2$, e $\sin(180° - \theta) = \sin\theta$:

$$\begin{gathered} \sin\varphi = \frac{F_2\sin\theta}{R} = \frac{20\sqrt{3}}{60{,}83} \approx 0{,}5695 \\ {} \implies \varphi \approx 34{,}72° \end{gathered}$$

Per tenere fermo il punto serve la forza equilibrante $\vec{E} = -\vec{R}$: 60,83 N nel verso opposto, cioè a $214{,}72°$ dalla direzione di $\vec{F}_1$. È la forza che fa, per esempio, un gancio a cui sono legate due funi tirate con $F_1$ e $F_2$.

Il piano inclinato

Per un corpo di massa $m$ su un piano inclinato di un angolo $\alpha$ conviene un asse parallelo al piano e uno perpendicolare, e scomporre lungo questi il peso $P = mg$.

Perché l’angolo tra il peso e la perpendicolare al piano è $\alpha$. Il peso è perpendicolare al terreno e la perpendicolare al piano è perpendicolare al piano: due angoli acuti con i lati rispettivamente perpendicolari sono uguali. Nel triangolo rettangolo con il peso come ipotenusa, la componente perpendicolare è adiacente ad $\alpha$ e quella parallela è opposta:

$$\begin{gathered} P_{\parallel} = mg\sin\alpha \\ P_{\perp} = mg\cos\alpha \end{gathered}$$

$P_\parallel$ fa scivolare il corpo, $P_\perp$ lo preme contro il piano ed è bilanciata dalla reazione normale. Casi limite: con $\alpha = 0°$ si ha $P_\parallel = 0$, con $\alpha = 90°$ (parete verticale) $P_\parallel = mg$ e il corpo cade.

Esempio. Una cassa di 10 kg su un piano di $30°$ ha peso $P = 98{,}1$ N, e

$$\begin{gathered} P_{\parallel} = 98{,}1 \cdot \sin 30° = 49{,}05 \text{ N} \\ P_{\perp} = 98{,}1 \cdot \cos 30° \approx 84{,}96 \text{ N} \end{gathered}$$

Se il piano è liscio, l’accelerazione è $a = g\sin\alpha \approx 4{,}9$ m/s², metà di $g$. Attrito e angolo limite sono nell’articolo sul piano inclinato con e senza attrito.

L’angolo tra due rette

Una retta non verticale $y = mx + q$ forma con il semiasse positivo delle $x$ un angolo $\alpha$, con $0° \le \alpha < 180°$, tale che $\tan\alpha = m$: il coefficiente angolare è una tangente. Se due rette formano con l’asse $x$ gli angoli $\alpha_1$ e $\alpha_2$, gli angoli tra loro sono $\lvert \alpha_1 - \alpha_2 \rvert$ e il suo supplementare. Con la formula di sottrazione della tangente, valida se $1 + m_1 m_2 \neq 0$:

$$\begin{gathered} \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \frac{\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2}{1 + \tan\alpha_1\tan\alpha_2} \\ {} = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \end{gathered}$$

Due angoli supplementari hanno tangenti opposte, e quello acuto ha tangente positiva: basta il valore assoluto.

Perché $m_1 m_2 = -1$ vuol dire perpendicolari. Con $m_1 = \tan\alpha_1$ e $m_2 = \tan\alpha_2$, raccogliendo $\cos\alpha_1\cos\alpha_2$:

$$\begin{gathered} \cos(\alpha_1 - \alpha_2) \\ {} = \cos\alpha_1\cos\alpha_2 + \sin\alpha_1\sin\alpha_2 \\ {} = \cos\alpha_1\cos\alpha_2\,(1 + m_1 m_2) \end{gathered}$$

I due coseni non sono nulli (le rette non sono verticali), quindi $\cos(\alpha_1 - \alpha_2) = 0$, cioè le rette sono perpendicolari, se e solo se $1 + m_1 m_2 = 0$. Se una retta è verticale la formula non vale: l’angolo acuto con una retta di coefficiente $m$ è $90° - \arctan\lvert m \rvert$.

Esempio. Per le rette $y = 2x$ e $y = -x + 1$:

$$\tan\theta = \left\lvert \frac{2 - (-1)}{1 + 2 \cdot (-1)} \right\rvert = \lvert -3 \rvert = 3$$

quindi $\theta = \arctan 3 \approx 71{,}57°$. Controllo: le rette formano con l’asse $x$ gli angoli $\arctan 2 \approx 63{,}43°$ e $135°$, e $135° - 63{,}43° = 71{,}57°$. Con le pendenze delle rette tangenti, la stessa formula dà l’angolo tra due curve.

Gli errori più comuni

• Usare il segno meno nella somma di due vettori. Se $\theta$ è l’angolo tra i vettori, $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta$: nel triangolo l’angolo opposto a $R$ è $180° - \theta$.
• Fidarsi dell’arcotangente senza guardare il quadrante. Se $F_x < 0$ bisogna aggiungere $180°$, altrimenti trovi la direzione del vettore opposto.
• Fidarsi dell’arcoseno per un angolo che può essere ottuso. Se l’angolo è opposto al lato più lungo, usa il teorema del coseno o le componenti.
• Misurare elevazione e depressione dalla verticale. Si misurano sempre dall’orizzontale.
• Scambiare seno e coseno nel piano inclinato. La componente parallela è $mg\sin\alpha$: con $\alpha = 0°$ deve annullarsi.
• Usare la calcolatrice in radianti. Con i dati in gradi serve la modalità DEG: se $\sin 30$ ti dà $-0{,}988$, sei in radianti (vedi angoli e radianti).
• Arrotondare troppo presto. Nei problemi a più passaggi gli errori di arrotondamento si accumulano: tieni i valori in memoria.

Esercizi svolti

1. Le componenti della velocità di un pallone

Testo. Un pallone viene calciato da terra con velocità $v_0 = 20$ m/s, inclinata di $35°$ sull’orizzontale. Trova le componenti della velocità iniziale e la gittata $G$ su un campo piano, sapendo che $G = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$. Quale altro angolo di lancio darebbe la stessa gittata?

La velocità è l’ipotenusa, le componenti sono i cateti:

$$\begin{gathered} v_{0x} = 20\cos 35° \approx 16{,}38 \text{ m/s} \\ v_{0y} = 20\sin 35° \approx 11{,}47 \text{ m/s} \end{gathered}$$

Controllo: $v_{0x}^2 + v_{0y}^2 \approx 268{,}4 + 131{,}6 = 400 = 20^2$. Per la gittata serve $\sin 70° \approx 0{,}9397$:

$$G = \frac{400 \cdot \sin 70°}{9{,}81} \approx 38{,}32 \text{ m}$$

Per la stessa gittata serve lo stesso $\sin 2\theta$. Siccome $\sin 70° = \sin 110°$, va bene anche $2\theta = 110°$, cioè $\theta = 55°$, il complementare di $35°$. Il pallone arriva a circa 38,3 m con entrambi gli angoli, come spiega il moto parabolico.

2. Modulo e direzione dalle componenti

Testo. Due forze hanno componenti $\vec{a} = (-12;\ 5)$ N e $\vec{b} = (12;\ -5)$ N. Trova modulo e direzione di ciascuna, come angolo con il semiasse positivo delle $x$.

I moduli sono uguali:

$$a = b = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ N}$$

Per le direzioni la calcolatrice dà lo stesso numero, perché il rapporto $F_y/F_x$ è lo stesso:

$$\arctan\left(-\frac{5}{12}\right) \approx -22{,}62°$$

Ma i vettori sono diversi. $\vec{a}$ ha $F_x < 0$ e $F_y > 0$: sta nel secondo quadrante, quindi $\theta_a \approx -22{,}62° + 180° = 157{,}38°$. $\vec{b}$ ha $F_x > 0$ e $F_y < 0$: sta nel quarto quadrante e l’arcotangente va bene, $\theta_b \approx -22{,}62°$, cioè $337{,}38°$. Le direzioni differiscono di $180°$: infatti $\vec{b} = -\vec{a}$. Controllo: $13\cos 157{,}38° \approx -12$ e $13\sin 157{,}38° \approx 5$.

3. L’angolo tra due rette

Testo. (a) Trova l’angolo acuto tra le rette $r: y = 3x - 1$ e $s: y = \frac{1}{2}x + 2$. (b) Trova i coefficienti angolari delle rette che formano un angolo di $45°$ con la retta $y = 2x$.

(a) Con $m_1 = 3$ e $m_2 = \frac{1}{2}$:

$$\tan\theta = \left\lvert \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} \right\rvert = \frac{5/2}{5/2} = 1$$

quindi $\theta = 45°$.

(b) Cerchiamo $m$, con $m \neq -\frac{1}{2}$, tale che $\left\lvert \frac{m - 2}{1 + 2m} \right\rvert = \tan 45° = 1$. Il valore assoluto dà due casi. Se la frazione vale $1$:

$$\begin{gathered} m - 2 = 1 + 2m \\ {} \implies m = -3 \end{gathered}$$

Se la frazione vale $-1$:

$$\begin{gathered} m - 2 = -1 - 2m \\ 3m = 1 \implies m = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Verifica: con $m = -3$ la frazione vale $\frac{-5}{-5} = 1$, con $m = \frac{1}{3}$ vale $\frac{-5/3}{5/3} = -1$. Una retta verticale formerebbe con $y = 2x$ un angolo di $90° - \arctan 2 \approx 26{,}57°$, quindi non è soluzione. Le rette cercate sono $y = -3x + q$ e $y = \frac{1}{3}x + q$, con $q$ qualsiasi; tra loro sono perpendicolari, perché $(-3) \cdot \frac{1}{3} = -1$: ruotando di $45°$ in un verso e nell’altro si ottengono direzioni a $90°$.

4. Due forze e la forza equilibrante

Testo. Due funi legate allo stesso anello lo tirano con forze $F_1 = 50$ N e $F_2 = 80$ N, che formano un angolo di $120°$. Trova modulo e direzione della risultante e la forza che deve fare un gancio per tenere fermo l’anello.

Con la formula della somma, e $\cos 120° = -\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} R^2 = 2500 + 6400 + 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) \\ R^2 = 8900 - 4000 = 4900 \\ {} \implies R = 70 \text{ N} \end{gathered}$$

La risultante è più piccola di $F_2$: con un angolo ottuso le forze in parte si contrastano. L’angolo $\varphi$ tra $\vec{R}$ e $\vec{F}_1$ è opposto a $F_2 = 80$ N, il lato più lungo del triangolo, quindi potrebbe essere ottuso: meglio il teorema del coseno.

$$\begin{gathered} \cos\varphi = \frac{F_1^2 + R^2 - F_2^2}{2F_1R} \\ \cos\varphi = \frac{2500 + 4900 - 6400}{7000} = \frac{1}{7} \end{gathered}$$

Il coseno è positivo, quindi $\varphi = \arccos\frac{1}{7} \approx 81{,}79°$ è acuto. Controllo con le componenti, con $\vec{F}_1$ sull’asse $x$: $R_x = 50 + 80\cos 120° = 10$ N, $R_y = 80\sin 120° \approx 69{,}28$ N, $\tan\varphi \approx 6{,}928$, $\varphi \approx 81{,}79°$. Il gancio deve esercitare la forza equilibrante: 70 N nel verso opposto a $\vec{R}$, cioè a $261{,}79°$ dalla direzione di $\vec{F}_1$.

5. La rotta di una nave

Testo. In navigazione la rotta è l’angolo misurato dal nord in senso orario. Una nave parte dal porto $O$ e naviga per 30 km con rotta $45°$ (nord-est) fino al punto $A$, poi per 20 km verso est (rotta $90°$) fino al punto $B$. A che distanza è dal porto? Con quale rotta sarebbe andata direttamente da $O$ a $B$?

Disegna il nord in alto e l’est a destra. Il primo tratto, prolungato oltre $A$, forma $45°$ con il secondo, diretto verso est: l’angolo interno in $A$ del triangolo $OAB$ è $180° - 45° = 135°$. Conosci due lati e l’angolo compreso, e $\cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\begin{gathered} OB^2 = 30^2 + 20^2 - 2 \cdot 30 \cdot 20\cos 135° \\ OB^2 = 1300 + 600\sqrt{2} \approx 2148{,}5 \\ {} \implies OB \approx 46{,}35 \text{ km} \end{gathered}$$

L’angolo $\varphi$ in $O$, tra $OA$ e $OB$, è opposto al lato più corto, $AB = 20$ km, quindi è acuto e l’arcoseno va bene:

$$\begin{gathered} \sin\varphi = \frac{20\sin 135°}{OB} \approx \frac{14{,}14}{46{,}35} \\ \sin\varphi \approx 0{,}3051 \\ {} \implies \varphi \approx 17{,}76° \end{gathered}$$

La rotta diretta è $45° + 17{,}76° \approx 62{,}76°$. Controllo con le componenti verso est e verso nord: $x = 30\sin 45° + 20 \approx 41{,}21$ km e $y = 30\cos 45° \approx 21{,}21$ km, da cui $\sqrt{x^2 + y^2} \approx 46{,}35$ km e $\arctan\frac{x}{y} \approx 62{,}76°$. La nave è a circa 46,4 km dal porto, che avrebbe raggiunto con una rotta di circa $63°$.

6. La quota di un aereo

Testo. Un aereo vola a quota costante, a 720 km/h, e si allontana da te lungo una rotta rettilinea passata sopra la tua testa. A un certo istante lo vedi con un angolo di elevazione di $60°$; 10 secondi dopo l’angolo è sceso a $30°$. A che quota vola? Trascura l’altezza dei tuoi occhi.

La velocità è $720 / 3{,}6 = 200$ m/s, quindi in 10 s l’aereo percorre $d = 2000$ m. È il problema della torre a ruoli scambiati: tu stai fermo e la “torre”, la verticale dall’aereo al suolo, si sposta. Se $h$ è la quota, le distanze orizzontali nei due istanti sono:

$$\begin{gathered} x_1 = \frac{h}{\tan 60°} = \frac{h}{\sqrt{3}} \\ x_2 = \frac{h}{\tan 30°} = h\sqrt{3} \end{gathered}$$

La loro differenza è lo spazio percorso:

$$\begin{gathered} h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = 2000 \\ h \cdot \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} = 2000 \\ {} \implies h = 1000\sqrt{3} \approx 1732 \text{ m} \end{gathered}$$

Controllo con la formula della torre, con $\alpha = 30°$ e $\beta = 60°$:

$$\begin{gathered} h = \frac{2000 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{2000}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \\ h = 1000\sqrt{3} \end{gathered}$$

Le distanze orizzontali sono $x_1 = 1000$ m e $x_2 = 3000$ m, plausibili: l’aereo vola a circa 1,73 km di quota.

In sintesi

• Metodo: disegno, nomi, il triangolo giusto, il teorema giusto, calcolatrice in gradi, controllo finale.
• Elevazione e depressione si misurano dall’orizzontale; la depressione da $A$ verso $B$ è uguale all’elevazione da $B$ verso $A$.
• Torre con due angoli: $h = \dfrac{d\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha} = \dfrac{d\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\beta - \alpha)}$.
• Triangolazione: $d = \dfrac{b\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$; per due punti inaccessibili, due volte i seni e poi il coseno.
• Area di un terreno: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ su ciascun triangolo.
• Componenti: $F_x = F\cos\theta$, $F_y = F\sin\theta$; all’inverso $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$ e, se $F_x < 0$, arcotangente più $180°$.
• Somma di due vettori: $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta$; piano inclinato: $mg\sin\alpha$ parallela, $mg\cos\alpha$ perpendicolare.
• Angolo tra due rette: $\tan\theta = \left\lvert \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right\rvert$; perpendicolari se e solo se $m_1 m_2 = -1$.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti di trigonometria.