Teorema del coseno (di Carnot): formula, dimostrazioni, formula inversa ed esercizi

Il teorema del coseno, in Italia detto anche teorema di Carnot, è il teorema di Pitagora esteso a tutti i triangoli: lega un lato agli altri due e all’angolo compreso tra loro. Con il teorema dei seni è lo strumento per risolvere un triangolo qualsiasi, e in Fisica 1 serve ogni volta che sommi due forze o due velocità. In questa pagina vediamo l’enunciato e il legame con Pitagora, il significato del termine $2bc\cos\alpha$, perché si chiama di Carnot, tre dimostrazioni, la formula inversa per gli angoli e perché non è ambigua, il test acutangolo o ottusangolo, quando il triangolo esiste, la somma di due vettori, la mediana, il caso LLA visto con il coseno, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: Pitagora con una correzione

Prendi due aste lunghe $b$ e $c$, incernierate in un estremo come le gambe di un compasso. Aperte a $90°$, le punte distano $\sqrt{b^2 + c^2}$, per Pitagora. Chiudendole si avvicinano, fino a $\lvert b - c \rvert$ con le aste sovrapposte; aprendole si allontanano, fino a $b + c$ con le aste in linea. Il teorema del coseno dice esattamente di quanto: corregge Pitagora con un termine che dipende dal coseno dell’angolo.

L’enunciato

Usiamo le notazioni della trigonometria: vertici $A$, $B$, $C$; lati $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$; angoli $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ nei vertici $A$, $B$, $C$. Ogni lato sta di fronte all’angolo con la «stessa lettera».

Le tre formule sono la stessa con le lettere scambiate. A sinistra c’è un lato; a destra ci sono gli altri due e l’angolo compreso tra loro, che è anche l’angolo opposto al lato di sinistra. Vale per tutti i triangoli: acutangoli, rettangoli e ottusangoli.

Il legame con Pitagora

Se $\alpha = 90°$, allora $\cos\alpha = 0$ e resta $a^2 = b^2 + c^2$: il teorema di Pitagora è il caso dell’angolo retto. Il termine $-2bc\cos\alpha$ è la correzione, e il suo segno dice tutto:

• se $\alpha$ è acuto, $\cos\alpha > 0$ e il lato $a$ è più corto di quanto direbbe Pitagora: $a^2 < b^2 + c^2$;
• se $\alpha$ è ottuso, $\cos\alpha < 0$, il termine diventa positivo e $a$ è più lungo: $a^2 > b^2 + c^2$.

Con $\alpha = 0°$ e $\alpha = 180°$ (triangolo schiacciato) la formula dà $(b - c)^2$ e $(b + c)^2$, il compasso chiuso e quello disteso: un buon controllo del segno.

Cosa misura 2bc cos α: una proiezione

Traccia l’altezza $CH$ dal vertice $C$ sulla retta $AB$. Il segmento $AH$ è la proiezione del lato $b$ sulla retta del lato $c$. Se $\alpha$ è acuto, nel triangolo rettangolo $AHC$ vale $AH = b\cos\alpha$, quindi

$$2bc\cos\alpha = 2 \cdot c \cdot AH$$

cioè il doppio dell’area del rettangolo che ha per lati $c$ e la proiezione di $b$. Se $\alpha$ è ottuso, $H$ cade fuori dal triangolo, dalla parte opposta a $B$: la proiezione misura $-b\cos\alpha$, positivo perché il coseno è negativo, e il rettangolo si aggiunge invece di togliersi.

In parole: $a^2$ è $b^2 + c^2$, meno (angolo acuto) o più (angolo ottuso) due volte $c$ per la proiezione di $b$ su $c$. Il segno del coseno fa la scelta da solo.

Perché si chiama teorema di Carnot

L’idea è antica. Negli Elementi di Euclide (circa 300 a.C.) le proposizioni 12 e 13 del libro II dicono, senza coseni, proprio quello che abbiamo appena visto: in un triangolo ottusangolo il quadrato sul lato opposto all’angolo ottuso supera la somma dei quadrati sugli altri due lati di due volte il rettangolo formato da uno di questi lati e dalla proiezione dell’altro su di esso; se l’angolo è acuto, il quadrato è minore della stessa quantità.

La versione trigonometrica viene dall’astronomia. Il persiano Jamshid al-Kashi (circa 1380-1429), a Samarcanda, nella Chiave dell’aritmetica (1427) spiegò come risolvere un triangolo dati due lati e l’angolo compreso, con una formula equivalente alla nostra: per questo in Francia si chiama théorème d’Al-Kashi. Nel Cinquecento François Viète lo scrisse per primo con la notazione algebrica.

In Italia il nome si riferisce di solito a Lazare Carnot (1753-1823), matematico e uomo politico francese, che usò la formula nella sua Géométrie de position (1803), quando il teorema era già noto da secoli. Non confonderlo con il teorema di Carnot della termodinamica, che è di suo figlio Sadi.

Tre dimostrazioni

Con le coordinate

Metti il vertice $A$ nell’origine e il lato $c$ sul semiasse positivo delle $x$, così $B = (c,\ 0)$. Il vertice $C$ sta a distanza $b$ dall’origine, su una semiretta che forma l’angolo $\alpha$ con l’asse $x$, quindi per la definizione di seno e coseno

$$C = (b\cos\alpha,\ b\sin\alpha)$$

Il lato $a$ è la distanza tra $B$ e $C$:

$$\begin{gathered} a^2 = (b\cos\alpha - c)^2 + (b\sin\alpha)^2 \\ a^2 = b^2\cos^2\alpha - 2bc\cos\alpha + c^2 + b^2\sin^2\alpha \end{gathered}$$

Raccogliendo $b^2$ e usando la relazione fondamentale $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$$

La dimostrazione vale per qualsiasi angolo, senza distinguere casi: se $\alpha$ è ottuso il coseno è negativo e il vertice $C$ si sposta da solo a sinistra dell’asse $y$.

Con l’altezza e Pitagora

Segue la figura della proiezione. Nel triangolo rettangolo $AHC$ l’altezza è $CH = b\sin\alpha$ (con $\alpha$ ottuso è $b\sin(180° - \alpha)$, lo stesso numero). Per il segmento $HB$:

• se $\alpha$ è acuto, $AH = b\cos\alpha$ e $HB = \lvert c - b\cos\alpha \rvert$; il valore assoluto serve quando $H$ cade oltre $B$, cioè quando $\beta$ è ottuso;
• se $\alpha$ è ottuso, $HB = HA + AB = -b\cos\alpha + c$;
• se $\alpha$ è retto, $H$ coincide con $A$ e la tesi è Pitagora.

In ogni caso $HB^2 = (c - b\cos\alpha)^2$, e Pitagora nel triangolo rettangolo $CHB$ dà

$$\begin{gathered} a^2 = CH^2 + HB^2 \\ a^2 = b^2\sin^2\alpha + (c - b\cos\alpha)^2 \\ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \end{gathered}$$

sviluppando il quadrato e usando di nuovo $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Con i vettori

Se conosci il prodotto scalare dei vettori, chiama $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ e $\vec{c} = \overrightarrow{AB}$: partono da $A$ e formano l’angolo $\alpha$. Il lato $a$ è il vettore $\overrightarrow{BC} = \vec{b} - \vec{c}$, e il quadrato del modulo è il prodotto scalare del vettore con sé stesso:

$$\begin{gathered} a^2 = (\vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) \\ {} = b^2 + c^2 - 2\,\vec{b} \cdot \vec{c} \\ {} = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \end{gathered}$$

Tutto il teorema è nascosto nella definizione $\vec{b} \cdot \vec{c} = bc\cos\alpha$.

Primo uso: il terzo lato

Con due lati e l’angolo compreso (il caso LAL) il teorema dà il terzo lato in una riga.

Esempio 1. Dati $b = 3$, $c = 8$ e $\alpha = 60°$, con $\cos 60° = \frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} a^2 = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \\ a^2 = 73 - 24 = 49 \\ {} \implies a = 7 \end{gathered}$$

Ricorda il triangolo $3$, $7$, $8$: lo ritroveremo. Con un angolo compreso ottuso la correzione si somma (esercizio 1). Per gli altri due angoli usa la formula inversa qui sotto; la trappola dell’arcoseno è spiegata nella risoluzione dei triangoli qualsiasi.

Secondo uso: gli angoli dai tre lati

Ricavando il coseno da ciascuna delle tre formule si ottiene la formula inversa:

$$\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ \cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ \cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{gathered}$$

Al numeratore c’è la somma dei quadrati dei due lati che formano l’angolo, meno il quadrato del lato opposto; al denominatore il doppio prodotto dei due lati che formano l’angolo.

Perché qui non c’è ambiguità

Gli angoli di un triangolo stanno tra $0°$ e $180°$, e in questo intervallo il coseno è strettamente decrescente: scende da $1$ a $-1$ senza mai ripetere un valore. Quindi a ogni numero strettamente compreso tra $-1$ e $1$ corrisponde un solo angolo, ed è quello che restituisce l’arcocoseno. Con il seno non è così: $\sin 30° = \sin 150°$, e l’arcoseno dà solo l’angolo acuto. Il segno del coseno dice subito com’è l’angolo: positivo se è acuto, zero se è retto, negativo se è ottuso.

Esempio 2. Lati $a = 13$, $b = 7$, $c = 8$. L’angolo opposto al lato più lungo:

$$\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{49 + 64 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{-56}{112} \\ \cos\alpha = -\frac{1}{2} \implies \alpha = 120° \end{gathered}$$

Un secondo angolo, di nuovo con la formula inversa:

$$\begin{gathered} \cos\beta = \frac{169 + 64 - 49}{2 \cdot 13 \cdot 8} = \frac{184}{208} \\ \cos\beta = \frac{23}{26} \implies \beta \approx 27{,}80° \end{gathered}$$

e il terzo per differenza: $\gamma \approx 180° - 120° - 27{,}80° = 32{,}20°$. Controllo con la formula inversa:

$$\cos\gamma = \frac{169 + 49 - 64}{2 \cdot 13 \cdot 7} = \frac{11}{13}$$

che dà di nuovo $\gamma \approx 32{,}20°$. Se avessi cercato $\alpha$ con il teorema dei seni, invece, l’arcoseno ti avrebbe dato $60°$: l’angolo sbagliato.

Acutangolo, rettangolo o ottusangolo?

Il segno di $\cos\alpha$ è quello del numeratore $b^2 + c^2 - a^2$, perché il denominatore $2bc$ è positivo: basta confrontare dei quadrati, senza calcolare nessun coseno. E basta farlo per l’angolo opposto al lato più lungo, che è il più grande: se è acuto lo sono tutti; se è retto o ottuso, gli altri due sono per forza acuti. Se $a$ è il lato più lungo:

Confronto	Angolo $\alpha$	Triangolo
${a^2 < b^2 + c^2}$	acuto	acutangolo
${a^2 = b^2 + c^2}$	retto	rettangolo
${a^2 > b^2 + c^2}$	ottuso	ottusangolo

La riga centrale è anche la dimostrazione più rapida dell’inverso del teorema di Pitagora: se $a^2 = b^2 + c^2$, allora $\cos\alpha = 0$ e $\alpha = 90°$.

Esempio 3. Il triangolo di lati $8$, $9$, $12$ è acutangolo per un soffio: $144 < 64 + 81 = 145$, e il suo angolo più grande misura circa $89{,}60°$. Con lati $8$, $9$, $13$ si ha $169 > 145$: ottusangolo, con l’angolo più grande di circa $99{,}59°$. E il triangolo $6$, $8$, $10$ è rettangolo, perché $100 = 36 + 64$.

Quando il triangolo esiste

Con tre numeri positivi qualsiasi la formula inversa dà sempre un numero, ma è il coseno di un angolo solo se sta strettamente tra $-1$ e $1$. E questa condizione è esattamente la disuguaglianza triangolare.

Perché è vero. Moltiplica per $2bc$, che è positivo, e ricorda che $b^2 + c^2 - 2bc = (b - c)^2$ e $b^2 + c^2 + 2bc = (b + c)^2$:

$$\begin{gathered} \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} < 1 \iff (b - c)^2 < a^2 \\ \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} > -1 \iff a^2 < (b + c)^2 \end{gathered}$$

Passando alle radici, le due condizioni insieme dicono $\lvert b - c \rvert < a < b + c$, che equivale alle tre disuguaglianze triangolari $a < b + c$, $b < a + c$, $c < a + b$. Viceversa, se il numero sta tra $-1$ e $1$, prendi l’angolo $\alpha$ che ha quel coseno e costruiscigli attorno i lati $b$ e $c$: per il teorema il terzo lato è proprio $a$, quindi il triangolo esiste. Se il coseno vale esattamente $1$ o $-1$, il «triangolo» è schiacciato su una retta.

In pratica, se la calcolatrice dà errore sull’arcocoseno il triangolo non c’è. Con lati $4$, $5$ e $10$ il coseno dell’angolo opposto a $10$ verrebbe $(16 + 25 - 100)/40 = -1{,}475$: infatti $10 > 4 + 5$.

La somma di due vettori: perché il meno diventa un più

In Fisica il teorema serve soprattutto per sommare vettori, e lì un segno sembra cambiare. Non cambia il teorema: cambia l’angolo.

Siano $\vec{u}$ e $\vec{v}$ due vettori di moduli $u$ e $v$, disegnati con la stessa origine, e $\theta$ l’angolo tra loro. Per sommarli metti la coda di $\vec{v}$ sulla punta di $\vec{u}$: il triangolo che si forma ha lati $u$, $v$ e $\lvert \vec{u} + \vec{v} \rvert$, ma il suo angolo tra i lati $u$ e $v$ è $180° - \theta$, non $\theta$, perché due angoli consecutivi del parallelogramma costruito sui vettori sono supplementari. Con $\cos(180° - \theta) = -\cos\theta$, dagli archi associati:

$$\begin{gathered} \lvert \vec{u} + \vec{v} \rvert^2 \\ {} = u^2 + v^2 - 2uv\cos(180° - \theta) \\ {} = u^2 + v^2 + 2uv\cos\theta \end{gathered}$$

Tre controlli: con $\theta = 0°$ trovi $u + v$, con $\theta = 90°$ Pitagora, con $\theta = 180°$ trovi $\lvert u - v \rvert$. Per la differenza, invece, l’angolo resta $\theta$, ed è la dimostrazione con i vettori: $\lvert \vec{u} - \vec{v} \rvert^2 = u^2 + v^2 - 2uv\cos\theta$.

Con la formula della somma si calcola la forza risultante di due forze inclinate, e lo stesso ragionamento dà l’ampiezza nella somma di due moti armonici, dove gli angoli sono in radianti e l’angolo del triangolo è $\pi - \Delta\varphi$. Un esempio completo, con la direzione della risultante, è nelle applicazioni della trigonometria; un altro è l’esercizio 4. Sommando la formula della somma e quella della differenza si ottiene la regola del parallelogramma, $d_1^2 + d_2^2 = 2(u^2 + v^2)$, dimostrata negli esercizi svolti di trigonometria.

Un’applicazione: la lunghezza della mediana

La mediana relativa al lato $a$ è il segmento che unisce il vertice $A$ al punto medio $M$ del lato $BC$.

Perché è vero. Chiama $m = AM$ e $\varphi = \widehat{AMB}$. I triangoli $AMB$ e $AMC$ hanno in comune il lato $AM$, hanno $BM = MC = \frac{a}{2}$ e i loro angoli in $M$ sono supplementari, $\varphi$ e $180° - \varphi$. Il teorema del coseno nei due triangoli, con $2 \cdot m \cdot \frac{a}{2} = am$:

$$\begin{gathered} c^2 = m^2 + \frac{a^2}{4} - am\cos\varphi \\ b^2 = m^2 + \frac{a^2}{4} + am\cos\varphi \end{gathered}$$

Sommando, i termini con il coseno si cancellano: $b^2 + c^2 = 2m^2 + \frac{a^2}{2}$. Ricavando $m$:

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$

È il teorema della mediana, che porta il nome di Apollonio di Perga (III-II secolo a.C.), anche se la fonte più antica che lo riporta è Pappo di Alessandria, nel IV secolo d.C. Per le altre mediane si scambiano le lettere.

Esempio 4. Nel triangolo dell’esempio 1, con $a = 7$, $b = 3$ e $c = 8$, la mediana relativa al lato $c$ è

$$\begin{gathered} m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 9 - 64} \\ m_c = \frac{\sqrt{52}}{2} = \sqrt{13} \end{gathered}$$

cioè circa $3{,}61$. Controllo con le coordinate della prima dimostrazione: $C = \left(\frac{3}{2};\ \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$, il punto medio di $AB$ è $(4;\ 0)$ e la loro distanza al quadrato è $\frac{25}{4} + \frac{27}{4} = 13$.

Il caso LLA visto con il coseno

Se conosci due lati e l’angolo opposto a uno dei due, per esempio $a$, $b$ e $\alpha$, di solito si usa il teorema dei seni con il suo caso ambiguo. Ma va bene anche il coseno: nella formula di $a^2$ l’unica incognita è $c$, e si ottiene un’equazione di secondo grado:

$$c^2 - 2b\cos\alpha \cdot c + (b^2 - a^2) = 0$$

Ogni radice positiva è un triangolo. Due radici positive, una sola o nessuna corrispondono ai due, uno o zero triangoli del caso ambiguo, visti da un’altra parte e senza arcoseno. Il discriminante diviso per $4$ vale $a^2 - b^2\sin^2\alpha$, cioè $a^2 - h^2$, dove $h = b\sin\alpha$ è la distanza di $C$ dalla retta $AB$.

Esempio 5. Con $b = 3$, $\alpha = 60°$ e $a = 7$:

$$\begin{gathered} c^2 - 3c + 9 - 49 = 0 \\ c^2 - 3c - 40 = 0 \\ (c - 8)(c + 5) = 0 \end{gathered}$$

La radice $c = -5$ si scarta e resta $c = 8$: un solo triangolo, quello dell’esempio 1. Se invece $a = 2$, l’equazione $c^2 - 3c + 5 = 0$ ha discriminante $9 - 20 = -11$: nessun triangolo, perché $a$ è più corto di $h = 3\sin 60° \approx 2{,}60$. Due radici positive si hanno quando $h < a < b$: lo vedi nell’esercizio 6.

Gli errori più comuni

• Usare un angolo che non è compreso tra i due lati. In $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ l’angolo è quello tra $b$ e $c$, cioè l’opposto di $a$. Se ne conosci un altro, ricava prima quello giusto oppure usa l’equazione del caso LLA.
• Dimenticare il fattore 2. Il termine è $2bc\cos\alpha$, non $bc\cos\alpha$. Controllo veloce: con $\alpha = 0°$ deve venire $(b - c)^2$.
• Prendere positivo il coseno di un angolo ottuso. $\cos 120° = -\frac{1}{2}$: con un angolo ottuso il termine $-2bc\cos\alpha$ diventa positivo e $a^2$ supera $b^2 + c^2$.
• Scrivere (b − c)² al posto della formula. Il coseno non si semplifica: $(b - c)^2$ è il caso $\alpha = 0°$, un triangolo schiacciato.
• Calcolatrice in radianti. In modalità RAD $\cos 60$ dà circa $-0{,}952$ invece di $0{,}5$: qui gli angoli sono in gradi, serve DEG.
• Andare avanti con la radice di un numero negativo. Con due lati e l’angolo compreso, $b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ vale almeno $(b - c)^2$ e non è mai negativo: se lo è, hai sbagliato un conto. Con tre lati un coseno fuori da $[-1,\ 1]$, o nel caso LLA un discriminante negativo, vuol dire invece che il triangolo non esiste.
• Arrotondare troppo presto. Nel triangolo $8$, $9$, $12$ il coseno dell’angolo più grande è $\frac{1}{144} \approx 0{,}0069$: arrotondato a $0{,}01$ dà $89{,}43°$ invece di $89{,}60°$, arrotondato a $0$ dà un angolo retto che non c’è.
• Usare poi l’arcoseno per l’angolo opposto al lato più lungo. L’arcoseno dà solo angoli acuti: nel triangolo $7$, $8$, $13$ darebbe $60°$ invece di $120°$. Per quell’angolo usa il coseno, oppure la differenza da $180°$.

Esercizi svolti

1. Due sentieri e un angolo ottuso

Testo. Due sentieri partono dallo stesso rifugio formando un angolo di $125°$. Marco percorre $3$ km sul primo, Anna $4{,}5$ km sul secondo. Quanto distano, in linea d’aria?

La distanza $d$ è il lato opposto all’angolo di $125°$, compreso tra i due tratti di sentiero: è un caso LAL, con $\cos 125° \approx -0{,}5736$.

$$\begin{gathered} d^2 = 3^2 + 4{,}5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4{,}5\cos 125° \\ d^2 \approx 29{,}25 - 27 \cdot (-0{,}5736) \\ d^2 \approx 29{,}25 + 15{,}49 = 44{,}74 \\ d \approx 6{,}69 \text{ km} \end{gathered}$$

Controllo con le coordinate: Marco è in $(3;\ 0)$, Anna in $(4{,}5\cos 125°;\ 4{,}5\sin 125°) \approx (-2{,}58;\ 3{,}69)$, e la distanza al quadrato è $5{,}58^2 + 3{,}69^2 \approx 44{,}7$. Marco e Anna distano circa $6{,}7$ km: più dei $5{,}41$ km che darebbe Pitagora, come deve essere con un angolo ottuso.

2. I tre angoli dai tre lati

Testo. Un triangolo ha lati $a = 6$, $b = 9$ e $c = 13$. Trova i suoi angoli e stabilisci se è acutangolo o ottusangolo.

Esiste, perché $13 < 6 + 9$. Il lato più lungo è $c$ e $169 > 36 + 81 = 117$: il triangolo è ottusangolo in $C$. Partiamo proprio da $\gamma$:

$$\begin{gathered} \cos\gamma = \frac{36 + 81 - 169}{2 \cdot 6 \cdot 9} = -\frac{52}{108} \\ \cos\gamma = -\frac{13}{27} \approx -0{,}4815 \\ \gamma \approx 118{,}78° \end{gathered}$$

Gli altri due angoli, sempre con la formula inversa:

$$\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{81 + 169 - 36}{2 \cdot 9 \cdot 13} = \frac{107}{117} \\ \alpha \approx 23{,}86° \\ \cos\beta = \frac{36 + 169 - 81}{2 \cdot 6 \cdot 13} = \frac{31}{39} \\ \beta \approx 37{,}36° \end{gathered}$$

Controlli: $23{,}86° + 37{,}36° + 118{,}78° = 180°$, e i rapporti del teorema dei seni $6/\sin\alpha$, $9/\sin\beta$, $13/\sin\gamma$ valgono tutti circa $14{,}83$. L’angolo ottuso sta, come deve, di fronte al lato più lungo.

3. Quando il triangolo è ottusangolo

Testo. Per quali valori di $x$ i numeri $x$, $x + 1$, $x + 2$ sono le misure dei lati di un triangolo? Per quali valori il triangolo è ottusangolo, rettangolo o acutangolo?

Esistenza. Serve $x > 0$, e il lato più lungo è $x + 2$. La disuguaglianza che conta è $x + 2 < x + (x + 1)$, cioè $x > 1$; le altre due, $x < 2x + 3$ e $x + 1 < 2x + 2$, sono vere per ogni $x > 0$. Quindi il triangolo esiste se e solo se $x > 1$.

L’angolo più grande. È l’angolo $\gamma$ opposto al lato $x + 2$. Il numeratore della formula inversa:

$$\begin{gathered} x^2 + (x + 1)^2 - (x + 2)^2 \\ {} = x^2 + x^2 + 2x + 1 - x^2 - 4x - 4 \\ {} = x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \end{gathered}$$

Dividendo per $2x(x + 1)$:

$$\cos\gamma = \frac{(x - 3)(x + 1)}{2x(x + 1)} = \frac{x - 3}{2x}$$

Per $x > 1$ il denominatore è positivo, quindi il segno è quello di $x - 3$: il triangolo è ottusangolo per $1 < x < 3$, rettangolo per $x = 3$ (il triangolo $3$, $4$, $5$) e acutangolo per $x > 3$. Controlli: con $x = 2$, lati $2$, $3$, $4$, si ha $16 > 4 + 9$ e $\cos\gamma = -\frac{1}{4}$, cioè $\gamma \approx 104{,}48°$; con $x = 5$, lati $5$, $6$, $7$, si ha $49 < 25 + 36$ e $\cos\gamma = \frac{1}{5}$, cioè $\gamma \approx 78{,}46°$. Per $x$ vicino a $1$ il coseno è vicino a $-1$: il triangolo è quasi schiacciato.

4. Aereo e vento

Testo. Un aereo vola a $200$ km/h rispetto all’aria, con la prua verso nord, mentre il vento soffia a $50$ km/h verso sud-est. Trova la velocità dell’aereo rispetto al suolo e di quanto devia dalla direzione nord.

La velocità rispetto al suolo è la somma vettoriale della velocità rispetto all’aria e di quella del vento. Disegnati con la stessa origine, i due vettori (nord e sud-est) formano l’angolo $\theta = 135°$: vale la formula con il più, e $2 \cdot 200 \cdot 50 = 20\,000$.

$$\begin{gathered} v^2 = 200^2 + 50^2 + 20\,000\cos 135° \\ v^2 = 42\,500 - 10\,000\sqrt{2} \\ v^2 \approx 28\,358 \implies v \approx 168{,}4 \text{ km/h} \end{gathered}$$

perché $\cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Nel triangolo è lo stesso conto con l’angolo $180° - 135° = 45°$ e il segno meno.

La deviazione $\varphi$ è l’angolo del triangolo tra $v$ e il lato di $200$. Sta di fronte al lato più corto, quello di $50$, quindi è acuta:

$$\begin{gathered} \cos\varphi = \frac{200^2 + v^2 - 50^2}{2 \cdot 200 \cdot v} \\ \cos\varphi \approx \frac{65\,858}{67\,359} \approx 0{,}9777 \\ \varphi \approx 12{,}12° \end{gathered}$$

verso est, dove spinge il vento. Controllo con le componenti (asse $x$ verso est, $y$ verso nord): $v_x = 50\cos 45° \approx 35{,}36$ e $v_y = 200 - 50\sin 45° \approx 164{,}64$, da cui $\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx 168{,}4$ e $\tan\varphi \approx 0{,}2147$, cioè $\varphi \approx 12{,}12°$. L’aereo viaggia a circa $168$ km/h: il vento in parte lo frena.

5. La diagonale di un quadrilatero

Testo. Un terreno ha la forma del quadrilatero $ABCD$ con $AB = 40$ m, $BC = 25$ m, $CD = 30$ m, $DA = 35$ m, e l’angolo in $B$ misura $100°$. Trova la diagonale $AC$, l’angolo $\delta$ nel vertice $D$ e l’area del terreno.

La diagonale $AC$ è un lato comune ai triangoli $ABC$ (due lati e l’angolo compreso) e $ACD$ (tre lati).

Triangolo ABC. Con $2 \cdot 40 \cdot 25 = 2000$ e $\cos 100° \approx -0{,}1736$:

$$\begin{gathered} AC^2 = 1600 + 625 - 2000\cos 100° \\ AC^2 \approx 2225 + 347{,}30 \\ AC^2 \approx 2572{,}30 \implies AC \approx 50{,}72 \text{ m} \end{gathered}$$

Triangolo ACD. Esiste, perché $50{,}72 < 30 + 35$. Nella formula inversa usa $AC^2 \approx 2572{,}30$ così com’è, senza ricalcolarlo da $AC$ arrotondato:

$$\begin{gathered} \cos\delta = \frac{30^2 + 35^2 - AC^2}{2 \cdot 30 \cdot 35} \\ \cos\delta \approx \frac{2125 - 2572{,}30}{2100} \approx -0{,}2130 \\ \delta \approx 102{,}30° \end{gathered}$$

Area. Somma le aree dei due triangoli, ciascuna metà del prodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso, come nell’area di un triangolo:

$$\begin{gathered} S_1 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 25\sin 100° \approx 492{,}40 \\ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 35\sin\delta \approx 512{,}95 \end{gathered}$$

quindi $S \approx 1005{,}4$ m². Controllo di $S_2$ con la formula di Erone: il semiperimetro è $p \approx 57{,}86$ e $\sqrt{p\,(p - 30)(p - 35)(p - 50{,}72)} \approx 512{,}9$. La diagonale misura circa $50{,}72$ m, l’angolo in $D$ circa $102{,}30°$ e il terreno circa $1005$ m².

6. Due triangoli con gli stessi dati

Testo. In un triangolo $ABC$ sono noti $\alpha = 60°$, $b = 12$ e $a = 11$. Trova $c$ con il teorema del coseno, controlla il risultato con il teorema dei seni e calcola l’area di ciascun triangolo che trovi. Quale dei triangoli è ottusangolo?

Con il coseno. L’incognita è $c$, e $\cos 60° = \frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} 121 = 144 + c^2 - 2 \cdot 12 \cdot c \cdot \frac{1}{2} \\ c^2 - 12c + 23 = 0 \end{gathered}$$

Con la formula ridotta, $\frac{\Delta}{4} = 36 - 23 = 13$, quindi

$$\begin{gathered} c = 6 \pm \sqrt{13} \\ c_1 \approx 9{,}61 \quad c_2 \approx 2{,}39 \end{gathered}$$

Due radici positive: due triangoli. Primo controllo: il prodotto delle radici è $23 = b^2 - a^2$ e la loro somma è $12 = 2b\cos\alpha$. Siamo infatti nel caso $h < a < b$, con $h = 12\sin 60° \approx 10{,}39$.

Con i seni.

$$\begin{gathered} \sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a} = \frac{6\sqrt{3}}{11} \approx 0{,}9448 \\ \beta_1 \approx 70{,}87° \quad \beta_2 \approx 109{,}13° \end{gathered}$$

Sono accettabili entrambi, perché $60° + 109{,}13° < 180°$. I terzi angoli sono $\gamma_1 \approx 49{,}13°$ e $\gamma_2 \approx 10{,}87°$, e $c = 11\sin\gamma/\sin 60°$ dà di nuovo $9{,}61$ e $2{,}39$. Tieni almeno tre decimali negli angoli: con $\gamma_2$ arrotondato a $10{,}87°$ verrebbe $2{,}395$.

Aree. $S = \frac{1}{2}\,b\,c\sin\alpha = 3\sqrt{3}\,c$, quindi $S_1 = 3\sqrt{3}\,(6 + \sqrt{13}) \approx 49{,}91$ e $S_2 = 3\sqrt{3}\,(6 - \sqrt{13}) \approx 12{,}44$.

Quale è ottusangolo. Il lato più lungo è $b = 12$ in entrambi. Nel primo $144 < 121 + c_1^2 \approx 213{,}27$: acutangolo. Nel secondo $144 > 121 + c_2^2 \approx 126{,}73$: ottusangolo in B, con $\cos\beta_2 = -\sqrt{13}/11$, d’accordo con $\beta_2 \approx 109{,}13°$. Stessi dati, due triangoli: uno acutangolo di area $49{,}91$ circa, uno ottusangolo di area $12{,}44$ circa.

Altri problemi, mescolati con il resto del capitolo, sono negli esercizi svolti di trigonometria.

In sintesi

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$, con $\alpha$ compreso tra $b$ e $c$; con $\alpha = 90°$ è Pitagora.
• $2bc\cos\alpha$ è il doppio prodotto di $c$ per la proiezione di $b$: si toglie con l’angolo acuto, si aggiunge con l’ottuso.
• Si dimostra con le coordinate, con l’altezza, o con il prodotto scalare.
• LAL: il terzo lato. LLL: gli angoli con la formula inversa, $\cos\alpha = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)$, senza ambiguità.
• Il segno di $b^2 + c^2 - a^2$, con $a$ lato più lungo, classifica il triangolo; il coseno sta tra $-1$ e $1$ esattamente quando vale la disuguaglianza triangolare.
• Vettori: $\lvert \vec{u} + \vec{v} \rvert^2 = u^2 + v^2 + 2uv\cos\theta$, perché nel triangolo l’angolo è $180° - \theta$.
• Mediana: $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$. LLA: un’equazione di secondo grado in $c$, una radice positiva per ogni triangolo.

Ora hai tutti gli strumenti. Nel prossimo articolo li mettiamo insieme per risolvere qualsiasi triangolo, scegliendo ogni volta quello giusto: risoluzione dei triangoli qualsiasi.