Trigonometria: seno, coseno, tangente e teoremi sui triangoli rettangoli

La trigonometria calcola lati e angoli dei triangoli con seno, coseno e tangente, e parte sempre dal triangolo rettangolo. I due teoremi sui triangoli rettangoli ti servono in Analisi 1 per i problemi di geometria e in Fisica 1 per scomporre forze e velocità; all’esame compaiono quasi sempre, da soli o dentro problemi più grandi. In questa pagina vediamo la differenza tra goniometria e trigonometria, le notazioni e come riconoscere cateto opposto e adiacente, seno, coseno, tangente e cotangente come rapporti tra i lati, il primo e il secondo teorema con la dimostrazione, Pitagora letto con la trigonometria, i triangoli notevoli, gli angoli con le funzioni inverse, la calcolatrice in gradi, i controlli, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Goniometria e trigonometria

Nei capitoli precedenti hai studiato seno, coseno e tangente come funzioni di un angolo, sulla circonferenza goniometrica: è la goniometria, dal greco gonía, «angolo», e métron, «misura». Ora le usiamo per lo scopo per cui sono nate, misurare i triangoli: è la trigonometria, da trígonon, «triangolo».

L’idea è semplice. Misurare un angolo è facile; misurare certe distanze no, come l’altezza di una montagna o la distanza di una nave dalla costa. La trigonometria parte da alcuni angoli e da una sola distanza nota, e ricava tutte le altre.

Le notazioni

In un triangolo $ABC$ si usa una convenzione fissa:

• i vertici si indicano con le lettere maiuscole $A$, $B$, $C$;
• il lato opposto a ciascun vertice con la stessa lettera minuscola: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$;
• gli angoli nei vertici con le lettere greche: $\alpha$ in $A$, $\beta$ in $B$, $\gamma$ in $C$.

Così ogni lato sta di fronte all’angolo con la «stessa lettera»: $a$ ad $\alpha$, $b$ a $\beta$, $c$ a $\gamma$. Nel triangolo rettangolo l’angolo retto si mette di solito in $A$: allora $a$ è l’ipotenusa, il lato più lungo, e $b$ e $c$ sono i cateti. Gli angoli acuti sono complementari: $\beta + \gamma = 90°$.

Cateto opposto e cateto adiacente

Fissato un angolo acuto:

• il cateto opposto gli sta di fronte: è il cateto che non passa per il suo vertice;
• il cateto adiacente parte dal suo vertice e, insieme all’ipotenusa, forma l’angolo.

Per $\beta$ il cateto opposto è $b = AC$ e l’adiacente è $c = AB$; per $\gamma$ i ruoli si scambiano. Anche l’ipotenusa tocca l’angolo, ma non è un cateto.

La trappola delle lettere. Se l’angolo retto non è in $A$, o i vertici hanno altri nomi, non fidarti delle formule imparate con le lettere. Segui tre passi:

1. l’ipotenusa è il lato che non ha per estremo il vertice dell’angolo retto;
2. il cateto opposto all’angolo che ti interessa è il lato che non ha per estremo il suo vertice;
3. il cateto rimasto è l’adiacente.

Se il triangolo $ABC$ è rettangolo in $C$, per esempio, l’ipotenusa è $c = AB$, non $a$; per l’angolo $\alpha$ il cateto opposto è $a = BC$ e l’adiacente è $b = AC$.

Seno, coseno e tangente come rapporti tra i lati

Definizione. Se $\beta$ è un angolo acuto di un triangolo rettangolo:

$$\begin{gathered} \sin\beta = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} = \frac{b}{a} \\[6pt] \cos\beta = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \frac{c}{a} \\[6pt] \tan\beta = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{b}{c} \\[6pt] \cot\beta = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}} = \frac{c}{b} \end{gathered}$$

Sono numeri puri, rapporti tra due lunghezze. Per l’altro angolo acuto i cateti si scambiano:

$$\begin{gathered} \sin\gamma = \frac{c}{a} = \cos\beta \\[4pt] \cos\gamma = \frac{b}{a} = \sin\beta \\[4pt] \tan\gamma = \frac{c}{b} = \cot\beta \end{gathered}$$

È la regola degli angoli complementari degli archi associati: il coseno è il seno del complementare.

Perché non dipendono dalle dimensioni del triangolo

Il rapporto $\frac{b}{a}$ dipende solo dall’angolo $\beta$, non da quanto è grande il triangolo. Due triangoli rettangoli con lo stesso angolo acuto $\beta$ hanno gli stessi angoli, $90°$, $\beta$ e $90° - \beta$, quindi per il criterio dei due angoli sono simili: i lati dell’uno sono quelli dell’altro moltiplicati per uno stesso fattore $k$, e i rapporti non cambiano, perché $\frac{k\,b}{k\,a} = \frac{b}{a}$.

Il triangolo più comodo ha l’ipotenusa uguale a 1: è il triangolo $OHP$ della circonferenza goniometrica, con il vertice di $\beta$ nell’origine e i cateti uguali alle coordinate di $P$, cioè $\cos\beta$ e $\sin\beta$. Un triangolo con lo stesso angolo e ipotenusa $a$ è questo triangolo ingrandito $a$ volte.

Quindi le due definizioni, con la circonferenza e con il triangolo, danno gli stessi numeri per ogni angolo acuto. La circonferenza in più dà seno e coseno anche agli angoli ottusi, negativi o maggiori di un giro, per i quali un triangolo rettangolo non esiste.

Il primo teorema dei triangoli rettangoli

Perché è vero. Da $\sin\beta = \frac{b}{a}$, moltiplicando per $a$, viene $b = a\sin\beta$. Lo stesso cateto $b$ è adiacente a $\gamma$, quindi $\cos\gamma = \frac{b}{a}$ e $b = a\cos\gamma$. Per $c$ si ragiona allo stesso modo, con i ruoli scambiati.

Letto al contrario, il teorema dà l’ipotenusa, e si divide:

$$a = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\cos\beta}$$

Il seno di un angolo acuto è minore di 1, quindi l’ipotenusa viene più lunga del cateto, come deve essere.

Esempio 1. Un triangolo rettangolo ha ipotenusa $a = 10$ e un angolo $\beta = 30°$. Allora

$$\begin{gathered} b = 10\sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \\ c = 10\cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \end{gathered}$$

I cateti come proiezioni dell’ipotenusa

Il cateto $c = a\cos\beta$ è la proiezione dell’ipotenusa sulla retta di $c$: la sua «ombra» sotto una luce che arriva perpendicolare. Allo stesso modo $b = a\sin\beta$ è la proiezione sulla retta dell’altro cateto. È quello che si fa in fisica con i vettori: un vettore di modulo $F$ che forma un angolo acuto $\theta$ con l’asse $x$ è l’ipotenusa, e le sue componenti sono i cateti:

$$\begin{gathered} F_x = F\cos\theta \\ F_y = F\sin\theta \end{gathered}$$

Il caso generale, con i segni per ogni quadrante, è nei vettori in fisica; piani inclinati e angoli di elevazione sono nelle applicazioni della trigonometria.

Il secondo teorema dei triangoli rettangoli

Perché è vero. Dividendo le due formule del primo teorema, l’ipotenusa si semplifica:

$$\frac{b}{c} = \frac{a\sin\beta}{a\cos\beta} = \tan\beta$$

quindi $b = c\tan\beta$. Per $\gamma$, invece, $b$ è il cateto adiacente e $c$ quello opposto, quindi $\cot\gamma = \frac{b}{c}$ e $b = c\cot\gamma$. Qui l’ipotenusa non compare: il secondo teorema serve quando ci sono due cateti e un angolo.

Esempio 2. Un triangolo rettangolo ha il cateto $c = 6$ e l’angolo $\beta = 60°$, opposto all’altro cateto. Allora $b = 6\tan 60° = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$, e l’ipotenusa viene dal primo teorema al contrario:

$$a = \frac{c}{\cos\beta} = \frac{6}{\cos 60°} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$

Controllo con Pitagora: $36 + 108 = 144 = 12^2$.

Pitagora e la relazione fondamentale

Dividendo per $a^2$ il teorema di Pitagora, $b^2 + c^2 = a^2$, si ottiene:

$$\begin{gathered} \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 = 1 \\ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 \end{gathered}$$

È la relazione fondamentale della goniometria, letta nel triangolo. Serve a passare da una funzione all’altra: se $\sin\beta = \frac{3}{5}$, allora $\cos\beta = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$, con la radice positiva perché l’angolo è acuto.

Il triangolo dice anche quanto valgono le funzioni di un angolo acuto, cioè per $0° < \beta < 90°$:

• $0 < \sin\beta < 1$ e $0 < \cos\beta < 1$, perché i cateti sono più corti dell’ipotenusa: $b^2 = a^2 - c^2 < a^2$;
• $\tan\beta$ può essere qualsiasi numero positivo: per ogni $k > 0$, nel triangolo con cateti $1$ e $k$ l’angolo opposto al cateto $k$ ha tangente $k$. La tangente è minore di 1 se $\beta < 45°$ e diventa grandissima quando $\beta$ si avvicina a $90°$.

Lato grande, angolo grande. Tra $0°$ e $90°$ il seno è strettamente crescente, come mostrano i grafici delle funzioni goniometriche. Siccome $b = a\sin\beta$ e $c = a\sin\gamma$, il cateto più lungo sta di fronte all’angolo più grande.

I due triangoli notevoli

Due triangoli rettangoli tornano di continuo. La dimostrazione dei loro lati è nei valori notevoli: qui li usiamo come strumenti.

Angoli	Lati	Come si riconosce
30°, 60°, 90°	$1$, $\sqrt{3}$, $2$	ipotenusa doppia del cateto minore
45°, 45°, 90°	$1$, $1$, $\sqrt{2}$	cateti uguali

Nel 30-60-90 il cateto minore sta di fronte all’angolo di 30°: se misura 5, l’ipotenusa misura 10 e l’altro cateto $5\sqrt{3}$. Un triangolo rettangolo isoscele con ipotenusa 8 ha i cateti di $\frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$. I risultati restano esatti, senza calcolatrice.

Dai lati agli angoli

Le definizioni, lette al contrario, danno gli angoli con le funzioni inverse:

$$\begin{gathered} \beta = \arcsin\frac{b}{a} \\[4pt] \beta = \arccos\frac{c}{a} \\[4pt] \beta = \arctan\frac{b}{c} \end{gathered}$$

Scegli la funzione che usa i lati dati dal testo, non valori già arrotondati.

Perché non c’è ambiguità. Tra $0°$ e $90°$ seno e tangente sono strettamente crescenti e il coseno è strettamente decrescente: ogni valore è preso una sola volta. E l’intervallo sta dentro i valori restituiti dalle inverse (da $-90°$ a $90°$ arcoseno e arcotangente, da $0°$ a $180°$ l’arcocoseno), quindi la calcolatrice dà proprio l’angolo acuto cercato. In un triangolo qualsiasi, invece, un angolo può essere ottuso. L’arcocoseno dà ancora l’angolo giusto, ma $\sin\gamma = \frac{1}{2}$ lascia due possibilità, $30°$ e $150°$: è il caso ambiguo del teorema dei seni, come nelle soluzioni in gradi delle equazioni goniometriche.

Esempio 3. Un triangolo rettangolo ha i cateti $b = 3$ e $c = 4$; con Pitagora l’ipotenusa è $a = 5$. Per gli angoli:

$$\begin{gathered} \tan\beta = \frac{3}{4} \implies \beta = \arctan\frac{3}{4} \approx 36{,}87° \\ \gamma = 90° - \beta \approx 53{,}13° \end{gathered}$$

Controllo con un’altra funzione: anche $\arcsin\frac{3}{5} \approx 36{,}87°$.

Dati impossibili. Se il rapporto per l’arcoseno è maggiore di 1, come con un cateto di 7 e un’ipotenusa di 5, la calcolatrice dà errore: quel triangolo non esiste.

Gradi e radianti: la calcolatrice in DEG

Con i triangoli gli angoli sono in gradi: metti la calcolatrice in modalità DEG e fai la prova, $\sin 30$ deve dare $0{,}5$. Se dà circa $-0{,}988$ sei in RAD e stai calcolando il seno di 30 radianti: tutti i conti successivi saranno sbagliati, senza che niente sembri strano. Vale anche al contrario: in RAD, $\arctan\frac{3}{4}$ dà $0{,}6435$, cioè radianti, invece di $36{,}87°$. Le conversioni sono in angoli e radianti.

Per scrivere un angolo in gradi, primi e secondi (un grado vale 60 primi, un primo 60 secondi) si moltiplica la parte decimale per 60, due volte:

$$\begin{gathered} 36{,}8699° = 36° + 0{,}8699 \cdot 60' \\ {} = 36°\,52{,}194' \\ {} = 36°\,52' + 0{,}194 \cdot 60'' \\ {} \approx 36°\,52'\,12'' \end{gathered}$$

Attenzione: $36°\,52'$ non è $36{,}52°$, perché i primi non sono cifre decimali.

Il metodo e i controlli

1. Disegna il triangolo e segna l’angolo retto e i dati.
2. Dai un nome ai lati rispetto all’angolo che usi: ipotenusa, cateto opposto, cateto adiacente.
3. Scegli la formula con i dati e una sola incognita: se c’entra l’ipotenusa seno o coseno, con due cateti la tangente. L’altro angolo acuto è $90°$ meno quello noto.
4. Calcola con tutte le cifre e arrotonda solo alla fine.
5. Controlla: l’ipotenusa è il lato più lungo; il cateto più lungo sta di fronte all’angolo più grande; gli angoli acuti sommano $90°$; i lati rispettano Pitagora.

Un po’ di storia

La trigonometria nasce in astronomia. La prima tavola delle corde di cui si ha notizia la compilò Ipparco, nel II secolo a.C., ma è andata perduta. Quella di Tolomeo, nell’Almagesto (II secolo d.C.), ci è arrivata: dà la corda degli archi da mezzo grado a 180°, di mezzo grado in mezzo grado. In un cerchio di raggio $R$ la corda di un arco di ampiezza $2\beta$ vale $2R\sin\beta$: è il seno sotto un altro nome.

La mezza corda compare in India: intorno al 500 Aryabhata la chiamava ardha-jyā, «mezza corda», un termine poi abbreviato in jyā. Attraverso l’arabo la parola arrivò ai traduttori latini del XII secolo, che la resero con sinus (non è certo chi sia stato il primo): da qui il nostro «seno». In Europa la trigonometria diventò una disciplina a sé con il De triangulis omnimodis di Regiomontano (Johann Müller, 1436-1476), un’esposizione sistematica dei metodi per risolvere i triangoli, basata anche su opere arabe, scritta intorno al 1464 e stampata a Norimberga nel 1533. La parola «trigonometria» compare per la prima volta nel titolo di un libro di Bartholomäus Pitiscus, del 1595.

Gli errori più comuni

• Scambiare cateto opposto e cateto adiacente. L’opposto è il cateto che non tocca il vertice dell’angolo. Con l’angolo retto non in $A$, o con altre lettere, ripeti i tre passi.
• Lasciare la calcolatrice in RAD. $\sin 30$ deve dare $0{,}5$. E un angolo di un triangolo che viene «0,64» è in radianti.
• Usare l’ipotenusa con la tangente. La tangente lega solo i due cateti: $\tan\beta = \frac{b}{c}$, mai $\frac{b}{a}$.
• Applicare la formula con il lato sbagliato. $\sin\beta = \frac{b}{a}$ vale se l’angolo retto è in $A$; se il triangolo è rettangolo in $C$, l’ipotenusa è $c$ e $\sin\beta = \frac{b}{c}$.
• Arrotondare troppo presto. Con $\sin 34°$ arrotondato a $0{,}56$, l’ipotenusa dell’esercizio 2 viene $16{,}07$ invece di $16{,}09$.
• Calcolare l’arcoseno di un rapporto maggiore di 1. Non esiste: un cateto più lungo dell’ipotenusa vuol dire dati sbagliati o lati scambiati.
• Dimenticare che gli angoli acuti sono complementari. Trovato un angolo, l’altro è $90°$ meno il primo; un’altra funzione inversa serve solo come controllo.
• Confondere «cateto uguale a ipotenusa per seno» con «ipotenusa uguale a cateto per seno». Il cateto si trova moltiplicando, l’ipotenusa dividendo: $a = \frac{b}{\sin\beta}$. Un’ipotenusa più corta di un cateto è il segnale dell’errore.

Esercizi svolti

1. Un cateto dall’ipotenusa e da un angolo

Testo. Un triangolo $ABC$, rettangolo in $A$, ha l’ipotenusa $a = 15$ e l’angolo $\gamma = 28°$. Trova l’altro angolo acuto e i due cateti.

L’altro angolo è $\beta = 90° - 28° = 62°$. Rispetto a $\gamma$, in $C$, il cateto opposto è $c = AB$ e quello adiacente è $b = AC$. Per il primo teorema:

$$\begin{gathered} c = a\sin\gamma = 15\sin 28° \approx 7{,}04 \\ b = a\cos\gamma = 15\cos 28° \approx 13{,}24 \end{gathered}$$

Controllo: $13{,}2442^2 + 7{,}0421^2 \approx 175{,}41 + 49{,}59 = 225 = 15^2$, e il cateto più lungo, $b$, sta di fronte all’angolo più grande, $\beta = 62°$. I cateti misurano circa 13,24 e 7,04.

2. L’ipotenusa da un cateto e dall’angolo opposto

Testo. Il triangolo $DEF$ è rettangolo in $F$. Il cateto $DF$ misura 9 cm e l’angolo in $E$ è di $34°$. Trova l’ipotenusa, l’altro cateto e l’angolo in $D$.

Le lettere sono diverse, quindi seguiamo i tre passi. L’angolo retto è in $F$: l’ipotenusa è il lato senza $F$, cioè $DE$. Per l’angolo in $E$ il cateto opposto è il lato senza $E$, cioè $DF$, e l’adiacente è $EF$. Il primo teorema dà $DF = DE\sin 34°$, e per trovare l’ipotenusa si divide:

$$DE = \frac{DF}{\sin 34°} = \frac{9}{\sin 34°} \approx 16{,}09 \text{ cm}$$

Per l’altro cateto serve il secondo teorema, $DF = EF\tan 34°$:

$$EF = \frac{DF}{\tan 34°} = \frac{9}{\tan 34°} \approx 13{,}34 \text{ cm}$$

L’angolo in $D$ è $90° - 34° = 56°$. Controllo: $9^2 + 13{,}343^2 \approx 81 + 178{,}04 = 259{,}04$, e anche $16{,}0946^2 \approx 259{,}04$. Con l’errore $DE = 9\sin 34°$ avresti ottenuto circa 5,03 cm: un’ipotenusa più corta del cateto, impossibile.

3. Gli angoli di uno schermo 16:9

Testo. In uno schermo in formato 16:9 la base e l’altezza stanno nel rapporto di 16 a 9. Che angoli forma la diagonale con i lati? Se la diagonale misura 55 pollici (1 pollice = 2,54 cm), quanto misurano la base e l’altezza?

La diagonale divide lo schermo in due triangoli rettangoli. Chiama $\beta$ l’angolo tra la diagonale e la base: per $\beta$ l’altezza è il cateto opposto e la base l’adiacente. Non conosci i lati, ma alla tangente basta il loro rapporto, perché l’angolo non dipende dalle dimensioni:

$$\begin{gathered} \tan\beta = \frac{9}{16} = 0{,}5625 \\ \beta = \arctan 0{,}5625 \approx 29{,}36° \end{gathered}$$

L’angolo con il lato verticale è il complementare, $\gamma = 90° - \beta \approx 60{,}64°$. In gradi e primi, $\beta \approx 29°\,21'$.

La diagonale è l’ipotenusa e misura $55 \cdot 2{,}54 = 139{,}7$ cm. Per il primo teorema:

$$\begin{gathered} \text{base} = 139{,}7\cos\beta \approx 121{,}76 \text{ cm} \\ \text{altezza} = 139{,}7\sin\beta \approx 68{,}49 \text{ cm} \end{gathered}$$

Controllo: $68{,}49 : 121{,}76 \approx 0{,}5625$, proprio $9 : 16$, e $121{,}76^2 + 68{,}49^2 \approx 19\,516 \approx 139{,}7^2$. Un televisore da 55 pollici è largo circa 1,22 m e alto circa 68 cm.

4. Un trapezio con gli angoli di 60 gradi

Testo. Il trapezio isoscele $ABCD$ ha la base maggiore $AB = 14$, la base minore $CD = 6$ e gli angoli alla base maggiore di $60°$. Trova in forma esatta il lato obliquo, l’altezza, il perimetro e l’area.

Traccia le altezze da $D$ e da $C$, con i piedi $H$ e $K$ sulla base $AB$. Il tratto centrale $HK$ è lungo quanto $CD$, e per simmetria i due tratti esterni sono uguali:

$$AH = \frac{AB - CD}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4$$

Il triangolo $AHD$ è rettangolo in $H$, con un angolo di $60°$ in $A$ e quindi di $30°$ in $D$: è un 30-60-90. Il cateto $AH$ sta di fronte all’angolo di $30°$, quindi è il cateto minore. Con i rapporti $1 : \sqrt{3} : 2$:

$$\begin{gathered} AD = 2 \cdot AH = 8 \\ DH = \sqrt{3} \cdot AH = 4\sqrt{3} \end{gathered}$$

Con i teoremi si ottiene lo stesso: $AD = \frac{AH}{\cos 60°} = \frac{4}{1/2} = 8$ e $DH = AH\tan 60° = 4\sqrt{3}$. Perimetro $2p$ e area $S$:

$$\begin{gathered} 2p = 14 + 6 + 2 \cdot 8 = 36 \\ S = \frac{(14 + 6) \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} \end{gathered}$$

Controllo: $AH^2 + DH^2 = 16 + 48 = 64 = AD^2$. Il lato obliquo misura 8, l’altezza $4\sqrt{3} \approx 6{,}93$, il perimetro 36 e l’area $40\sqrt{3} \approx 69{,}28$.

5. Le componenti di una forza

Testo. Il filo di un aquilone tira la mano di chi lo tiene con una forza di 60 N e forma un angolo di $32°$ con il terreno orizzontale. Trova la componente orizzontale della forza e quella verticale. Cosa cambia se il testo dice invece che il filo forma $58°$ con la verticale?

La forza è l’ipotenusa, le componenti sono i cateti. Rispetto all’angolo di $32°$ la componente orizzontale è il cateto adiacente e quella verticale il cateto opposto:

$$\begin{gathered} T_x = 60\cos 32° \approx 50{,}88 \text{ N} \\ T_y = 60\sin 32° \approx 31{,}80 \text{ N} \end{gathered}$$

Se l’angolo di $58°$ è misurato dalla verticale, è la componente verticale a essergli adiacente: $T_y = 60\cos 58° \approx 31{,}80$ N e $T_x = 60\sin 58° \approx 50{,}88$ N. Stessi numeri, perché $58°$ e $32°$ sono complementari. Il coseno non va «sempre con la $x$»: va con il cateto adiacente all’angolo dato.

Controllo: $50{,}88^2 + 31{,}80^2 \approx 3600 = 60^2$. Il filo tira la mano in avanti con circa 50,9 N e verso l’alto con circa 31,8 N. Le componenti con angoli qualsiasi sono nei vettori.

6. Da esame: valori esatti e un’identità

Testo. Nel triangolo $ABC$, rettangolo in $A$, il cateto $AB$ misura 9 e $\tan\gamma = \frac{3}{2}$. Trova in forma esatta l’altro cateto, l’ipotenusa, il seno e il coseno dei due angoli acuti. Poi dimostra che in ogni triangolo rettangolo $\sin^2\beta + \sin^2\gamma = 1$ e controlla l’uguaglianza sui valori trovati.

Prima i nomi: $AB = c$ sta di fronte a $C$, quindi è il cateto opposto a $\gamma$, e $b = AC$ è quello adiacente. Per il secondo teorema $c = b\tan\gamma$, quindi:

$$b = \frac{c}{\tan\gamma} = \frac{9}{3/2} = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$$

L’ipotenusa, con Pitagora:

$$a = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$$

Seno e coseno di $\gamma$, razionalizzando:

$$\begin{gathered} \sin\gamma = \frac{c}{a} = \frac{9}{3\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \\[6pt] \cos\gamma = \frac{b}{a} = \frac{6}{3\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} \end{gathered}$$

Per $\beta$, complementare di $\gamma$, i ruoli si scambiano: $\sin\beta = \cos\gamma = \frac{2\sqrt{13}}{13}$ e $\cos\beta = \sin\gamma = \frac{3\sqrt{13}}{13}$.

La dimostrazione. Il cateto opposto a $\beta$ è $b$ e quello opposto a $\gamma$ è $c$, quindi $\sin\beta = \frac{b}{a}$ e $\sin\gamma = \frac{c}{a}$. Per Pitagora:

$$\sin^2\beta + \sin^2\gamma = \frac{b^2 + c^2}{a^2} = \frac{a^2}{a^2} = 1$$

Siccome $\sin\gamma = \cos\beta$, è la relazione fondamentale scritta in un altro modo. Vale perché $\beta + \gamma = 90°$, non per due angoli qualsiasi: con $\beta = \gamma = 30°$ la somma sarebbe $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Controllo sui valori trovati:

$$\frac{4 \cdot 13}{169} + \frac{9 \cdot 13}{169} = \frac{52 + 117}{169} = 1$$

E con la calcolatrice: $\gamma = \arctan 1{,}5 \approx 56{,}31°$ e $\sin\gamma \approx 0{,}8321$, proprio come $\frac{3\sqrt{13}}{13}$. L’altro cateto misura 6 e l’ipotenusa $3\sqrt{13} \approx 10{,}82$.

Altri problemi su tutto il capitolo sono negli esercizi svolti di trigonometria.

In sintesi

• Lati $a$, $b$, $c$ opposti ad $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; nel triangolo rettangolo in $A$, $a$ è l’ipotenusa e $\beta + \gamma = 90°$.
• Seno = opposto / ipotenusa, coseno = adiacente / ipotenusa, tangente = opposto / adiacente, cotangente = adiacente / opposto: dipendono solo dall’angolo.
• Primo teorema: un cateto è l’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto, o per il coseno dell’angolo adiacente. L’ipotenusa si trova dividendo.
• Secondo teorema: un cateto è l’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto, o per la cotangente dell’angolo adiacente.
• $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ è Pitagora; seno e coseno di un angolo acuto stanno tra 0 e 1, la tangente può essere qualsiasi numero positivo.
• Triangoli notevoli: lati $1$, $\sqrt{3}$, $2$ (30-60-90) e $1$, $1$, $\sqrt{2}$ (45-45-90).
• Gli angoli si ricavano con le funzioni inverse, senza ambiguità; la calcolatrice va in DEG.

Nel prossimo articolo usiamo questi teoremi in modo sistematico, per trovare tutti i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo e per risolvere problemi concreti: risoluzione dei triangoli rettangoli.