Teorema dei seni: enunciato, dimostrazioni, caso ambiguo ed esercizi svolti

Il teorema dei seni è uno dei due strumenti per risolvere un triangolo qualsiasi, non solo rettangolo: dice che in ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. Lo usi negli esercizi di trigonometria di Analisi 1, in Fisica 1 quando sommi due vettori, e all’esame compare spesso nella sua versione più insidiosa, il caso ambiguo. In questa pagina vediamo l’enunciato completo e il significato di $2R$, tre dimostrazioni (con l’area, con la corda anche per l’angolo ottuso, con l’altezza), quando usarlo e quando serve invece il teorema del coseno, il caso ambiguo con nessuno, uno o due triangoli, il raggio della circonferenza circoscritta, un’applicazione, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: lato grande, angolo grande

Allarga un angolo di un triangolo tenendo fissi i due lati che lo formano: il lato opposto si allunga, come le punte di un compasso che apri. Lati e angoli opposti crescono insieme. Ma con quale legge?

Non in proporzione all’angolo. Il triangolo con angoli di $30°$, $60°$ e $90°$ (metà di un triangolo equilatero) ha lati $1$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ e $2$: gli angoli stanno come $1 : 2 : 3$, i lati no. Prova però a dividere ogni lato per il seno dell’angolo opposto:

$$\frac{1}{\sin 30°} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{2}{\sin 90°} = 2$$

Il rapporto è lo stesso per i tre lati. Non è una coincidenza: succede in ogni triangolo. E quel $2$ è il diametro della circonferenza che passa per i tre vertici (qui l’ipotenusa, che in un triangolo rettangolo è proprio un diametro).

L’enunciato

Usiamo le notazioni della trigonometria: vertici $A$, $B$, $C$; lati $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$; angoli $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ in $A$, $B$, $C$. Ogni lato sta di fronte all’angolo con la «stessa lettera».

Gli angoli di un triangolo sono compresi tra $0°$ e $180°$, quindi i loro seni sono positivi e le frazioni hanno sempre senso. La circonferenza circoscritta è quella che passa per i tre vertici: esiste sempre ed è unica, con il centro nel punto d’incontro degli assi dei lati. Il teorema vale per tutti i triangoli: acutangoli, rettangoli e ottusangoli.

Tre modi di leggere il teorema

1. Come proporzione: $a : b : c = \sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma$. Gli angoli fissano la forma del triangolo; un lato ne fissa la grandezza.
2. Come formula per i lati: $a = 2R\sin\alpha$, $b = 2R\sin\beta$, $c = 2R\sin\gamma$. Siccome il seno non supera $1$, nessun lato è più lungo del diametro.
3. Come confronto: il lato più lungo sta di fronte all’angolo più grande, e viceversa: $a > b$ se e solo se $\alpha > \beta$.

Perché è vero il punto 3. Dal teorema, $a > b$ equivale a $\sin\alpha > \sin\beta$. Ma tra $0°$ e $180°$ il seno non è crescente ($\sin 150° = \sin 30°$), quindi serve un argomento. Con la prostaferesi:

$$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\,\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$

Siccome $\alpha + \beta < 180°$, il coseno è positivo; siccome $\frac{\alpha - \beta}{2}$ è tra $-90°$ e $90°$, il seno ha il segno di $\alpha - \beta$. Quindi $\sin\alpha > \sin\beta$ esattamente quando $\alpha > \beta$. Conseguenza: l’angolo ottuso, se c’è (al massimo uno, perché la somma è $180°$), sta di fronte al lato più lungo.

Il caso rettangolo. Se $\gamma = 90°$, allora $c = 2R$: l’ipotenusa è un diametro. E $a = 2R\sin\alpha = c\sin\alpha$ è la formula «cateto uguale a ipotenusa per seno dell’angolo opposto», quella che usi per risolvere i triangoli rettangoli: il teorema dei seni la estende a tutti i triangoli.

Prima dimostrazione: con l’area

L’area di un triangolo è metà del prodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso, per qualunque coppia di lati e anche con un angolo ottuso:

$$\begin{gathered} S = \frac{1}{2}\,b\,c\sin\alpha \\ {} = \frac{1}{2}\,a\,c\sin\beta \\ {} = \frac{1}{2}\,a\,b\sin\gamma \end{gathered}$$

Dividendo i tre membri per $\frac{1}{2}\,a\,b\,c$, che è positivo:

$$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c}$$

e passando ai reciproci (i seni non sono nulli) si ottiene il teorema. È velocissima, ma dice solo che i tre rapporti sono uguali, non quanto valgono. Per scoprire che valgono $2R$ serve la circonferenza.

Seconda dimostrazione: con la corda

Ogni lato è una corda della circonferenza circoscritta, e l’angolo opposto è un angolo alla circonferenza che insiste su di essa. Il teorema della corda dice proprio che la corda è $2R$ per il seno di quell’angolo. Qui lo ridimostriamo con un diametro, perché si vede bene da dove esce $2R$ e come si sistema l’angolo ottuso.

Dimostriamo che $a = 2R\sin\alpha$ (per $b$ e $c$ è identico). Traccia il diametro che parte da $B$: il secondo estremo è un punto $D$ della circonferenza, e $BD = 2R$. Se $\alpha$ non è retto, il triangolo $BCD$ è rettangolo in $C$, perché un angolo alla circonferenza che insiste su un diametro è retto (teorema di Talete). Un cateto è l’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto, quindi

$$\begin{gathered} BC = BD \cdot \sin\widehat{BDC} \\ a = 2R\sin\widehat{BDC} \end{gathered}$$

Resta da capire quanto vale $\widehat{BDC}$. La figura mostra i due casi interessanti.

• Se $\alpha$ è acuto (in alto), $A$ e $D$ stanno dalla stessa parte della corda $BC$: $\alpha$ e $\widehat{BDC}$ sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, quindi sono uguali, e $a = 2R\sin\alpha$.
• Se $\alpha$ è retto, $BC$ è un diametro e $D$ coincide con $C$: $a = 2R = 2R\sin 90°$.
• Se $\alpha$ è ottuso (in basso), $A$ e $D$ stanno da parti opposte rispetto a $BC$, e $ABDC$ è un quadrilatero inscritto: i suoi angoli opposti sono supplementari, quindi $\widehat{BDC} = 180° - \alpha$. Ma $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$ (lo trovi tra gli archi associati), e di nuovo $a = 2R\sin\alpha$.

Con il diametro che parte dagli altri vertici si trova $b = 2R\sin\beta$ e $c = 2R\sin\gamma$: i tre rapporti valgono tutti $2R$.

Terza dimostrazione: con l’altezza

Con i soli triangoli rettangoli: traccia l’altezza $AH$ dal vertice $A$ sulla retta $BC$. I triangoli $AHC$ e $AHB$ sono rettangoli in $H$, con ipotenuse $b$ e $c$, quindi

$$h = b\sin\gamma = c\sin\beta$$

Dividendo per $\sin\beta\,\sin\gamma$ si ottiene $\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$; con l’altezza da $B$, allo stesso modo, $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}$. Se $\beta$ è ottuso, $H$ cade sul prolungamento di $BC$ oltre $B$ e nel triangolo $AHB$ l’angolo in $B$ è $180° - \beta$: il seno è lo stesso. In fondo è la dimostrazione con l’area «smontata», perché $S = \frac{1}{2}\,a\,h$.

Quando si usa (e quando serve il coseno)

Il teorema dei seni lega due coppie lato-angolo opposto, per esempio $a$ con $\alpha$ e $b$ con $\beta$: se di queste quattro grandezze ne conosci tre, trovi la quarta. Serve quindi almeno una coppia completa, un lato e l’angolo che gli sta di fronte (a volte quell’angolo lo ricavi dalla somma $180°$).

Dati	Teorema	Triangoli
due angoli e un lato (ALA, LAA)	seni	uno
due lati e l’angolo opposto a uno (LLA)	seni, con attenzione	zero, uno o due
due lati e l’angolo compreso (LAL)	coseno	uno
tre lati (LLL)	coseno	uno, se esiste
tre angoli	nessuno dei due	infiniti, simili

Con LAL, cioè $a$, $b$ e $\gamma$, nessun lato ha accanto il suo angolo opposto: in $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$ restano due incognite. Usando $\alpha + \beta = 180° - \gamma$ si arriverebbe in fondo, ma con conti lunghi; il coseno invece dà il terzo lato in una riga. Un esempio svolto per ogni caso è in risoluzione dei triangoli qualsiasi.

La scaletta con due angoli e un lato

1. Trova il terzo angolo: $180°$ meno gli altri due.
2. Con la coppia completa calcola una volta sola il rapporto $2R$, per esempio $\frac{a}{\sin\alpha}$.
3. Ogni lato mancante è $2R$ per il seno del suo angolo opposto.
4. Controlla che il lato più lungo stia di fronte all’angolo più grande.

Esempio 1. Dati $a = 10$, $\alpha = 45°$ e $\beta = 60°$. Il terzo angolo è $\gamma = 180° - 45° - 60° = 75°$, e il rapporto è

$$2R = \frac{10}{\sin 45°} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}$$

Quindi $R = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$. Gli altri lati:

$$\begin{gathered} b = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6} \approx 12{,}25 \\ c = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ c = 5\left(\sqrt{3} + 1\right) \approx 13{,}66 \end{gathered}$$

dove $\sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ viene dalle formule di addizione. Controllo: il lato più lungo, $c$, sta di fronte all’angolo più grande.

Il caso ambiguo (LLA)

Ora i dati sono due lati, $a$ e $b$, e l’angolo $\alpha$ opposto ad $a$. È il caso più delicato del capitolo: i triangoli possono essere nessuno, uno o due.

Con i conti: due angoli con lo stesso seno

Il teorema dei seni dà

$$\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a}$$

Chiamiamo $k$ questo numero. Se $k > 1$ nessun angolo ha quel seno: nessun triangolo. Se $k = 1$, $\beta = 90°$. Se $0 < k < 1$, tra $0°$ e $180°$ gli angoli con seno $k$ sono due: $\beta_1 = \arcsin k$, acuto, e $\beta_2 = 180° - \beta_1$, ottuso, perché $\sin(180° - \beta_1) = \sin\beta_1$.

La calcolatrice ti dà solo $\beta_1$: l’arcoseno restituisce sempre un angolo tra $-90°$ e $90°$, quindi per un seno positivo un angolo acuto. Il candidato ottuso lo devi scrivere tu. Poi ogni candidato è accettabile solo se lascia spazio al terzo angolo, cioè se $\alpha + \beta < 180°$.

Con il compasso: decide l’altezza

Disegna l’angolo $\alpha$ con vertice $A$ e, su un suo lato, il segmento $AC = b$. Il vertice $B$ deve stare sull’altra semiretta a distanza $a$ da $C$: punta il compasso in $C$ con apertura $a$ e guarda dove taglia la semiretta. La distanza di $C$ dalla semiretta è

$$h = b\sin\alpha$$

e $k = \frac{h}{a}$: dire $k > 1$ è come dire $a < h$, il compasso è troppo corto. La figura mostra i quattro esiti possibili con $\alpha$ acuto: il compasso che non arriva, quello che tocca la semiretta in un punto solo, quello che la taglia in due punti $B_1$ e $B_2$ (due triangoli diversi con gli stessi dati) e quello che la taglia una volta sola, perché la seconda intersezione cade dietro ad $A$.

Angolo α	Condizione	Triangoli
acuto	$a < h$	nessuno
acuto	$a = h$	uno, rettangolo in $B$
acuto	$h < a < b$	due
acuto	$a \geq b$	uno
retto o ottuso	$a \leq b$	nessuno
retto o ottuso	$a > b$	uno

Perché è così. Con $h < a < b$ il punto $A$ è fuori dalla circonferenza di centro $C$ e raggio $a$ (perché $AC = b > a$), e le due intersezioni stanno entrambe sulla semiretta. Con $a \geq b$, invece, $A$ è dentro la circonferenza o sopra di essa, e la seconda intersezione cade dietro ad $A$ (o coincide con $A$). Con i conti: se $a \geq b$ allora $\sin\beta_1 = \frac{b}{a}\sin\alpha \leq \sin\alpha$, e siccome $\beta_1$ e $\alpha$ sono acuti, $\beta_1 \leq \alpha$; quindi $\alpha + \beta_2 = 180° + \alpha - \beta_1 \geq 180°$ e $\beta_2$ va scartato. Infine, se $\alpha$ è retto o ottuso è l’angolo più grande, quindi $a$ deve essere il lato più lungo.

Un esempio per ogni caso

Fissiamo $\alpha = 30°$ e $b = 10$, quindi $h = 10 \cdot \sin 30° = 5$, e cambiamo $a$.

• $a = 4$, nessun triangolo: $\sin\beta = \frac{10 \cdot 0{,}5}{4} = 1{,}25 > 1$.
• $a = 5$, un triangolo rettangolo: $\sin\beta = 1$, quindi $\beta = 90°$, $\gamma = 60°$ e $c = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$.
• $a = 6$, due triangoli: $\sin\beta = \frac{5}{6} \approx 0{,}833$, quindi $\beta_1 \approx 56{,}44°$ oppure $\beta_2 \approx 123{,}56°$, ed entrambi vanno bene perché $30° + 123{,}56° < 180°$.
• $a = 10$, un triangolo isoscele: $\beta_1 = 30°$, mentre $\beta_2 = 150°$ lascerebbe $\gamma = 0°$. Resta $\gamma = 120°$, con $c = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$.
• $a = 12$, un triangolo: $\sin\beta = \frac{5}{12} \approx 0{,}417$, $\beta_1 \approx 24{,}62°$, mentre $\beta_2 \approx 155{,}38°$ è impossibile perché $30° + 155{,}38° > 180°$. Quindi $\gamma \approx 125{,}38°$ e $c \approx 19{,}57$.

I due triangoli del caso $a = 6$, completati con $c = \frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}$:

	Triangolo 1	Triangolo 2
$\beta$	${\approx 56{,}44°}$	${\approx 123{,}56°}$
${\gamma = 180° - \alpha - \beta}$	${\approx 93{,}56°}$	${\approx 26{,}44°}$
$c$	${\approx 11{,}98}$	${\approx 5{,}34}$

Controllo con il teorema del coseno: per entrambi $b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ vale $36$, cioè $a^2$.

E con α ottuso? Con $\alpha = 120°$, $b = 10$ e $a = 9$ il seno sembra a posto, $\sin\beta = \frac{10\sin 120°}{9} \approx 0{,}962$, e l’arcoseno dà $\beta_1 \approx 74{,}21°$. Ma $120° + 74{,}21° > 180°$: nessun triangolo, perché l’angolo ottuso dovrebbe stare di fronte al lato più lungo e qui $a < b$. Con $a = 14$, invece, $\beta \approx 38{,}21°$, $\gamma \approx 21{,}79°$ e $c = 6$: un solo triangolo.

Attenzione all’arcoseno

Il problema non riguarda solo il caso LLA: ogni volta che ricavi un angolo con il teorema dei seni, la calcolatrice ti dà un angolo acuto, anche quando quello vero è ottuso. La regola sicura viene dal confronto tra lati e angoli: un angolo opposto a un lato che non è il più lungo è sempre acuto. Quindi usa i seni per gli angoli opposti ai lati più corti, e per l’angolo opposto al lato più lungo il teorema del coseno (il segno del coseno dice subito se è ottuso) oppure la differenza da $180°$.

Esempio 2. Nel triangolo di lati $a = 7$, $b = 3$, $c = 5$ hai trovato $\beta \approx 21{,}79°$. Se cerchi $\alpha$ con i seni, $\sin\alpha = \frac{7\sin\beta}{3} \approx 0{,}866$ e l’arcoseno dà $60°$: sbagliato. Infatti $\cos\alpha = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = -\frac{1}{2}$, cioè $\alpha = 120°$. Con i seni andava cercato $\gamma$, opposto a $c = 5$: $\gamma \approx 38{,}21°$, e poi $\alpha = 180° - \beta - \gamma = 120°$.

Il raggio della circonferenza circoscritta

Da una qualsiasi coppia lato-angolo opposto:

$$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$$

Nell’esempio 1 era $R = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$. Se conosci i tre lati, combina il teorema con l’area: da $S = \frac{1}{2}\,b\,c\sin\alpha$ e $\sin\alpha = \frac{a}{2R}$ segue

$$S = \frac{a\,b\,c}{4R} \implies R = \frac{a\,b\,c}{4S}$$

con $S$ dalla formula di Erone. Per il triangolo di lati $13$, $14$, $15$ l’area è $84$, quindi

$$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8} = 8{,}125$$

Controllo: $\cos\alpha = \frac{196 + 225 - 169}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \frac{3}{5}$, quindi $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ e $R = \frac{13}{2 \cdot 0{,}8} = 8{,}125$. Come si intuisce dalla figura della seconda dimostrazione, il centro sta dentro il triangolo se è acutangolo, a metà dell’ipotenusa se è rettangolo, fuori se è ottusangolo.

Un’applicazione: la triangolazione

Una nave $N$ è al largo. Da due punti $A$ e $B$ della costa, distanti $800$ m, misuri gli angoli tra la costa e la direzione della nave: $62°$ in $A$ e $48°$ in $B$. L’angolo in $N$ è $180° - 62° - 48° = 70°$: è un caso ALA.

$$\begin{gathered} AN = \frac{800\sin 48°}{\sin 70°} \approx 632{,}7 \text{ m} \\ d = AN\sin 62° \approx 558{,}6 \text{ m} \end{gathered}$$

dove $d$ è la distanza della nave dalla costa, l’altezza del triangolo da $N$. È il principio della triangolazione, con cui per secoli si sono disegnate le carte geografiche. Altri problemi di questo tipo sono in applicazioni della trigonometria.

Un po’ di storia

Gli astronomi greci usavano la corda al posto del seno: Tolomeo (II secolo d.C.) costruì una tavola delle corde, e in una circonferenza di raggio $R$ la corda di un arco $2\alpha$ vale proprio $2R\sin\alpha$, come nella seconda dimostrazione. Il seno, la «mezza corda», compare in India: Aryabhata ne diede una tavola intorno al 500.

Come teorema esplicito, la legge dei seni nacque nel mondo islamico, in astronomia, per i triangoli sferici, formati da archi di cerchio massimo sulla sfera celeste. Tra la fine del X e l’inizio dell’XI secolo la conoscevano Abu al-Wafa, Abu Nasr Mansur e al-Khujandi: la priorità era contesa già allora, e chi sia stato il primo resta incerto. Nel XIII secolo il persiano Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) la enunciò e dimostrò sia per i triangoli piani sia per quelli sferici, nella più antica esposizione completa della trigonometria come disciplina autonoma giunta fino a noi.

Gli errori più comuni

• Sbagliare l’abbinamento lato-angolo. In ogni rapporto lato e angolo stanno uno di fronte all’altro: $a$ con $\alpha$, mai $a$ con $\beta$.
• Usare i seni con due lati e l’angolo compreso. Nei casi LAL e LLL nessuna coppia è completa: serve il teorema del coseno.
• Fidarsi ciecamente dell’arcoseno. La calcolatrice dà solo l’angolo acuto $\beta_1$; il candidato $180° - \beta_1$ va sempre considerato.
• Accettare il secondo angolo senza controllo. $\beta_2$ è valido solo se $\alpha + \beta_2 < 180°$.
• Pensare che basti un seno minore di 1. Con $\alpha$ ottuso e $a \leq b$ il triangolo non esiste comunque (esercizio 4).
• Confondere R con 2R. Il rapporto $\frac{a}{\sin\alpha}$ è il diametro, non il raggio.
• Credere che i lati siano proporzionali agli angoli. Raddoppiare un angolo non raddoppia il lato opposto.
• Calcolatrice in radianti o arrotondamenti precoci. Gli angoli sono in gradi; tieni quattro cifre nei passaggi intermedi.

Esercizi svolti

1. Due angoli e un lato

Testo. In un triangolo $ABC$ sono noti $b = 9$ cm, $\alpha = 40°$ e $\beta = 75°$. Trova il terzo angolo, i lati $a$ e $c$ e il raggio della circonferenza circoscritta.

Il terzo angolo è $\gamma = 180° - 40° - 75° = 65°$. La coppia completa è $b$ con $\beta$:

$$2R = \frac{9}{\sin 75°} \approx \frac{9}{0{,}9659} \approx 9{,}317$$

Gli altri lati sono $2R$ per il seno dell’angolo opposto:

$$\begin{gathered} a \approx 9{,}317 \cdot \sin 40° \approx 5{,}99 \text{ cm} \\ c \approx 9{,}317 \cdot \sin 65° \approx 8{,}44 \text{ cm} \end{gathered}$$

e $R \approx 4{,}66$ cm. Controlli: il lato più lungo, $b$, sta di fronte all’angolo più grande, $75°$; e con il coseno $b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \approx 35{,}87$, con $\sqrt{35{,}87} \approx 5{,}99 = a$.

2. Dal raggio all’angolo

Testo. Un triangolo è inscritto in una circonferenza di raggio $5$ cm e il lato $a$ misura $6$ cm. Quanto può valere l’angolo $\alpha$? E se il triangolo è acutangolo?

Da $a = 2R\sin\alpha$:

$$\sin\alpha = \frac{a}{2R} = \frac{6}{10} = 0{,}6$$

Gli angoli tra $0°$ e $180°$ con seno $0{,}6$ sono $\alpha_1 = \arcsin 0{,}6 \approx 36{,}87°$ e $\alpha_2 \approx 180° - 36{,}87° = 143{,}13°$, entrambi possibili: è la figura della seconda dimostrazione, con la stessa corda vista dall’arco maggiore o dall’arco minore. Se il triangolo è acutangolo, $\alpha \approx 36{,}87°$. Un lato di $12$ cm, invece, sarebbe impossibile: supera il diametro.

3. Caso ambiguo con due soluzioni

Testo. Risolvi il triangolo con $\alpha = 35°$, $a = 7$ e $b = 11$.

L’angolo $\alpha$ è acuto e $h = 11\sin 35° \approx 6{,}31$. Siccome $h < a < b$, i triangoli sono due:

$$\begin{gathered} \sin\beta = \frac{11\sin 35°}{7} \approx 0{,}9013 \\ \beta_1 \approx 64{,}33° \quad \beta_2 \approx 115{,}67° \end{gathered}$$

e $35° + 115{,}67° < 180°$ conferma $\beta_2$. I terzi angoli sono $\gamma_1 = 180° - 35° - 64{,}33° = 80{,}67°$ e $\gamma_2 = 180° - 35° - 115{,}67° = 29{,}33°$. Per i lati $c$ serve $2R = \frac{7}{\sin 35°} \approx 12{,}20$:

	Triangolo 1	Triangolo 2
$\beta$	${\approx 64{,}33°}$	${\approx 115{,}67°}$
$\gamma$	${\approx 80{,}67°}$	${\approx 29{,}33°}$
${c = 2R\sin\gamma}$	${\approx 12{,}04}$	${\approx 5{,}98}$

Controllo: per entrambi $b^2 + c^2 - 2bc\cos 35° \approx 49 = a^2$. Stessi $a$, $b$ e $\alpha$, forme diverse: il primo è acutangolo, il secondo ottusangolo in $B$.

4. Angolo ottuso: quando il triangolo non c’è

Testo. In un triangolo $\alpha = 135°$ e $b = 10$. Quanti triangoli ci sono se $a = 9$? E se $a = 12$? Nel caso possibile, risolvi il triangolo.

Con $a = 9$:

$$\sin\beta = \frac{10\sin 135°}{9} \approx \frac{7{,}071}{9} \approx 0{,}786$$

è minore di $1$ e l’arcoseno dà $\beta_1 \approx 51{,}78°$, ma $135° + 51{,}78° > 180°$ (e $\beta_2$ è ancora più grande): nessun triangolo. Dalla tabella lo sapevi già: con $\alpha$ ottuso serve $a > b$.

Con $a = 12$ il triangolo è uno:

$$\begin{gathered} \sin\beta = \frac{10\sin 135°}{12} \approx 0{,}589 \\ \beta \approx 36{,}10° \end{gathered}$$

Il supplementare $143{,}90°$ è impossibile: due angoli ottusi non ci stanno. Quindi $\gamma = 180° - 135° - 36{,}10° = 8{,}90°$ e

$$c = \frac{12\sin 8{,}90°}{\sin 135°} \approx 2{,}62$$

Controllo: $b^2 + c^2 - 2bc\cos 135° \approx 100 + 6{,}89 + 37{,}11 = 144 = a^2$.

5. Discussione al variare di un lato

Testo. In un triangolo $\alpha = 45°$ e $b = 8$. Discuti, al variare di $a > 0$, quanti triangoli esistono. Poi, per $a = 7$, trova i valori di $c$ con il teorema del coseno e controllali con il teorema dei seni.

L’angolo è acuto e $h = 8\sin 45° = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$. Dalla tabella: nessun triangolo se $a < 4\sqrt{2}$; uno, rettangolo in $B$, se $a = 4\sqrt{2}$; due se $4\sqrt{2} < a < 8$; uno se $a \geq 8$.

Con $a = 7$ siamo nel caso con due triangoli. Il teorema del coseno con incognita $c$, e $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\begin{gathered} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \\ 49 = 64 + c^2 - 8\sqrt{2}\,c \\ c^2 - 8\sqrt{2}\,c + 15 = 0 \end{gathered}$$

Con la formula ridotta, $\frac{\Delta}{4} = (4\sqrt{2})^2 - 15 = 32 - 15 = 17$, quindi

$$\begin{gathered} c = 4\sqrt{2} \pm \sqrt{17} \\ c_1 \approx 9{,}78 \quad c_2 \approx 1{,}53 \end{gathered}$$

Due radici positive, due triangoli. Con i seni: $\sin\beta = \frac{8\sin 45°}{7} \approx 0{,}808$, $\beta_1 \approx 53{,}91°$ e $\beta_2 \approx 126{,}09°$, da cui $\gamma_1 \approx 81{,}09°$ e $\gamma_2 \approx 8{,}91°$, e $c = \frac{7\sin\gamma}{\sin 45°}$ dà di nuovo $9{,}78$ e $1{,}53$.

Questo metodo spiega anche la tabella. In $c^2 - 2b\cos\alpha\cdot c + (b^2 - a^2) = 0$ il discriminante ridotto è $a^2 - b^2\sin^2\alpha = a^2 - h^2$: due radici distinte solo se $a > h$. Il loro prodotto è $b^2 - a^2$ e la somma $2b\cos\alpha > 0$. Se $a < b$ sono entrambe positive (due triangoli); se $a > b$ hanno segni opposti (un triangolo); se $a = b$ una è zero (ancora un triangolo).

6. Una formula dimostrata con 2R

Testo. Dimostra che in ogni triangolo $a = b\cos\gamma + c\cos\beta$ (teorema delle proiezioni), usando la forma del teorema con $2R$. Verificalo sul triangolo dell’esercizio 1.

Sostituiamo $b = 2R\sin\beta$ e $c = 2R\sin\gamma$ e usiamo la formula di addizione del seno:

$$\begin{gathered} b\cos\gamma + c\cos\beta \\ {} = 2R\,(\sin\beta\cos\gamma + \cos\beta\sin\gamma) \\ {} = 2R\sin(\beta + \gamma) \end{gathered}$$

Siccome $\beta + \gamma = 180° - \alpha$ e $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$, l’ultima espressione è $2R\sin\alpha = a$. Il significato: se $\beta$ e $\gamma$ sono acuti, l’altezza da $A$ divide $a$ nelle proiezioni di $b$ e di $c$ su $BC$; se uno è ottuso, il suo coseno è negativo e quella proiezione si sottrae.

Verifica con l’esercizio 1: $9\cos 65° \approx 3{,}80$ e $8{,}445\cos 75° \approx 2{,}19$, e $3{,}80 + 2{,}19 = 5{,}99 = a$.

Altri problemi, mescolati con il resto del capitolo, sono negli esercizi svolti di trigonometria.

In sintesi

• Teorema dei seni: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$, con $R$ raggio della circonferenza circoscritta; vale in ogni triangolo.
• Si dimostra con l’area, con la corda (diametro, Talete e $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$) o con l’altezza.
• Il lato più lungo sta di fronte all’angolo più grande; nessun lato supera $2R$.
• Si usa con due angoli e un lato e con due lati e l’angolo opposto a uno; con LAL e LLL serve il coseno.
• Caso ambiguo con $\alpha$ acuto e $h = b\sin\alpha$: nessun triangolo se $a < h$, uno rettangolo se $a = h$, due se $h < a < b$, uno se $a \geq b$. Con $\alpha$ retto o ottuso: uno se $a > b$, altrimenti nessuno.
• L’arcoseno dà solo angoli acuti: considera anche $180° - \beta_1$, e per l’angolo opposto al lato più lungo usa il coseno.
• Raggio circoscritto: $R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{abc}{4S}$.

Nel prossimo articolo il secondo strumento, che generalizza il teorema di Pitagora: il teorema del coseno.