Formule di addizione, sottrazione e duplicazione: dimostrazione ed esercizi svolti

Quanto vale il seno di 75°? E il coseno di 15°? Non sono nella tabella dei valori notevoli, ma $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ e $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$. Le formule di addizione e sottrazione danno seno, coseno e tangente di una somma o di una differenza di angoli a partire dalle funzioni dei due angoli; le formule di duplicazione, come $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, danno quelle dell’angolo doppio. Sono il cuore della goniometria: ne discendono tutte le altre formule, e le userai in equazioni, disequazioni e integrali, per la derivata del seno e, in Fisica, per sommare due oscillazioni o calcolare una gittata. In questa pagina vediamo perché $\sin(\alpha + \beta)$ non è $\sin\alpha + \sin\beta$, la dimostrazione con una corda, tutte le formule con le condizioni della tangente, il controllo con i casi particolari, nuovi valori esatti come $\cos 15^\circ$ e $\sin 105^\circ$, la duplicazione con le tre versioni di $\cos 2\alpha$, il quadrante di $2\alpha$, la triplicazione, a cosa servono, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Perché il seno di una somma non è la somma dei seni

Verrebbe da scrivere $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$, come in $3(a + b) = 3a + 3b$. Ma il seno è una funzione, non un numero che moltiplica, e un esempio basta a smentire la regola. Con $\alpha = \beta = \frac{\pi}{2}$ si ha $\sin\pi = 0$, mentre $\sin\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} = 2$. Con la calcolatrice in gradi:

$\alpha$ e $\beta$	$\sin(\alpha + \beta)$	$\sin\alpha + \sin\beta$
2° e 3°	0,08716	0,08724
20° e 30°	0,766	0,842
40° e 50°	1	1,409
90° e 90°	0	2

Per angoli piccoli i due numeri quasi coincidono, poi si allontanano. Con 40° e 50° la «somma dei seni» supera addirittura 1, che nessun seno può superare.

Il motivo si vede in un disegno, per due angoli acuti con $\alpha + \beta < 90^\circ$. Sia $P$ il punto della circonferenza goniometrica dell’angolo $\alpha + \beta$: il seno è la sua altezza. Da $P$ scendi perpendicolarmente sulla retta che forma l’angolo $\alpha$ con l’asse $x$, fino al punto $Q$. Il triangolo $OQP$ è rettangolo in $Q$, con ipotenusa $OP = 1$ e angolo $\beta$ in $O$: quindi $OQ = \cos\beta$ e $QP = \sin\beta$.

L’altezza di $P$ si spezza in due pezzi.

• L’altezza di $Q$ è il cateto opposto ad $\alpha$ nel triangolo rettangolo di ipotenusa $OQ = \cos\beta$: vale $\sin\alpha\cos\beta$.
• Il dislivello tra $P$ e $Q$ è il cateto verticale del triangolo di ipotenusa $QP = \sin\beta$. L’angolo in $P$ vale ancora $\alpha$, perché i suoi lati sono perpendicolari a quelli dell’angolo $\alpha$ in $O$: il dislivello è $\cos\alpha\sin\beta$.

Sommando i due pezzi:

$$\begin{gathered} \sin(\alpha + \beta) \\ {} = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \end{gathered}$$

È la formula di addizione del seno. Ogni pezzo è un seno moltiplicato per un coseno, che è al più 1: per questo, con angoli acuti, $\sin(\alpha + \beta)$ non supera mai $\sin\alpha + \sin\beta$. Per angoli piccoli i coseni valgono quasi 1 e i due numeri quasi coincidono, come nella prima riga della tabella.

Le formule di addizione e sottrazione

Il disegno funziona solo con angoli acuti, ma le formule valgono per tutti gli angoli: lo dimostriamo subito dopo.

Teorema (formule di addizione e sottrazione). Per ogni $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$:

Per ricordarle: il seno mescola (seno per coseno, coseno per seno) e conserva il segno; il coseno non mescola (coseno per coseno, seno per seno) e cambia il segno. Nel seno della differenza conta anche l’ordine: il primo termine è sempre $\sin\alpha\cos\beta$, con il seno del primo angolo.

La dimostrazione: la lunghezza di una corda

Basta dimostrarne una, la formula di sottrazione del coseno: le altre ne discendono in poche righe. L’idea è calcolare la stessa lunghezza in due modi.

Sulla circonferenza goniometrica prendi i punti $A = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ e $B = (\cos\beta, \sin\beta)$, che corrispondono agli angoli $\alpha$ e $\beta$. Per andare da $B$ ad $A$ si gira di un angolo $\alpha - \beta$.

Primo modo: la formula della distanza. La corda $AB$ ha lunghezza

$$\begin{gathered} AB^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 \\ {} + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 \end{gathered}$$

Sviluppiamo i due quadrati di binomio:

$$\begin{gathered} (\cos\alpha - \cos\beta)^2 \\ {} = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta \\[8pt] (\sin\alpha - \sin\beta)^2 \\ {} = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta \end{gathered}$$

Sommiamo, mettendo vicini $\cos^2\alpha$ e $\sin^2\alpha$, poi $\cos^2\beta$ e $\sin^2\beta$. Per la relazione fondamentale ogni coppia vale 1:

$$\begin{gathered} AB^2 = \left(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\right) \\ {} + \left(\cos^2\beta + \sin^2\beta\right) \\ {} - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \\ {} = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \end{gathered}$$

Secondo modo: ruotiamo la figura. Ruota tutta la circonferenza attorno a $O$ di un angolo $\beta$ in senso orario. Ogni punto dell’angolo $\theta$ va nel punto dell’angolo $\theta - \beta$: $B$ finisce in $D = (1, 0)$, il punto dell’angolo 0, e $A$ finisce nel punto $C$ dell’angolo $\alpha - \beta$, cioè

$$C = (\cos(\alpha - \beta),\ \sin(\alpha - \beta))$$

Una rotazione non deforma la figura, quindi non cambia le distanze: $CD = AB$. Con la formula della distanza e la relazione fondamentale:

$$\begin{gathered} CD^2 = (\cos(\alpha - \beta) - 1)^2 \\ {} + \sin^2(\alpha - \beta) \\ {} = \cos^2(\alpha - \beta) - 2\cos(\alpha - \beta) + 1 \\ {} + \sin^2(\alpha - \beta) \\ {} = 2 - 2\cos(\alpha - \beta) \end{gathered}$$

Mettiamo insieme. Siccome $CD^2 = AB^2$:

$$\begin{gathered} 2 - 2\cos(\alpha - \beta) \\ {} = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \end{gathered}$$

Togliendo 2 da entrambi i membri e dividendo per $-2$ si ottiene proprio $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Perché vale per tutti gli angoli. Abbiamo usato solo tre fatti: le coordinate di un punto della circonferenza sono coseno e seno del suo angolo, con il loro segno, in qualunque quadrante; la formula della distanza, valida per due punti qualsiasi; e il fatto che una rotazione non cambia le distanze. Non abbiamo mai supposto che gli angoli fossero acuti, né che $\alpha$ fosse maggiore di $\beta$: se $\alpha - \beta$ è negativo, o supera un giro, $C$ è comunque il punto di quell’angolo. Funziona anche il caso $A = B$: la corda è lunga zero e i conti restano veri. A differenza del disegno con i triangoli, questa dimostrazione vale per ogni $\alpha$ e $\beta$ reali.

Una corda antica. Nel II secolo d.C., in Egitto, Claudio Tolomeo inserì nell’Almagesto una tavola delle corde, da mezzo grado a 180° a passi di mezzo grado. In una circonferenza di raggio $R$ la corda di un arco $\theta$ vale $2R\sin\frac{\theta}{2}$: era di fatto una tavola dei seni. Per costruirla, Tolomeo ricavò dal suo teorema sui quadrilateri inscritti la corda della somma e della differenza di due archi: l’equivalente, scritto con le corde, delle nostre formule di addizione.

Dalla sottrazione del coseno a tutte le altre

Il coseno della somma

Scrivi $\alpha + \beta = \alpha - (-\beta)$ e usa la formula appena dimostrata con $-\beta$ al posto di $\beta$. Il coseno è pari e il seno è dispari, cioè $\cos(-\beta) = \cos\beta$ e $\sin(-\beta) = -\sin\beta$:

$$\begin{gathered} \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha - (-\beta)) \\ {} = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) \\ {} = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{gathered}$$

Il seno della somma e della differenza

Prima un passo intermedio: nella formula di sottrazione metti $\frac{\pi}{2}$ al posto di $\alpha$ e $x$ al posto di $\beta$. Con $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ e $\sin\frac{\pi}{2} = 1$:

$$\begin{gathered} \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ {} = \cos\frac{\pi}{2}\cos x + \sin\frac{\pi}{2}\sin x \\ {} = \sin x \end{gathered}$$

Il coseno del complementare è il seno. Scrivendo la stessa uguaglianza per l’angolo $\frac{\pi}{2} - x$, il cui complementare è $x$, si trova anche $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Ora il seno della somma è il coseno del suo complementare:

$$\begin{gathered} \sin(\alpha + \beta) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right) \\ {} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos\beta \\ {} + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\beta \\ {} = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \end{gathered}$$

Nel secondo passaggio abbiamo usato la formula di sottrazione con $\frac{\pi}{2} - \alpha$ al posto di $\alpha$, nell’ultimo i due risultati sul complementare. Cambiando $\beta$ in $-\beta$, come prima, si ottiene il seno della differenza.

La tangente della somma e della differenza

La tangente della somma è il rapporto tra seno e coseno della somma. Dividiamo numeratore e denominatore per $\cos\alpha\cos\beta$, che non è zero perché $\tan\alpha$ e $\tan\beta$ esistono:

$$\begin{gathered} \tan(\alpha + \beta) \\ {} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta} \\[6pt] {} = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \end{gathered}$$

Al numeratore $\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \tan\alpha$ e $\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \tan\beta$; al denominatore il primo termine diventa 1 e il secondo $\tan\alpha\tan\beta$.

Teorema (tangente della somma e della differenza). Se $\tan\alpha$ e $\tan\beta$ esistono:

Le condizioni. Devono esistere $\tan\alpha$ e $\tan\beta$, cioè $\alpha$ e $\beta$ diversi da $\frac{\pi}{2} + k\pi$, e il denominatore non deve essere zero. Quest’ultima condizione ha un significato preciso: dal conto di prima

$$1 - \tan\alpha\tan\beta = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$$

quindi il denominatore si annulla esattamente quando $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, dove la tangente della somma non esiste. Allo stesso modo $1 + \tan\alpha\tan\beta = 0$ quando $\alpha - \beta = \frac{\pi}{2} + k\pi$. È la condizione che compare nell’angolo tra due rette: due rette con coefficienti angolari $m_1$ e $m_2$ sono perpendicolari quando $1 + m_1 m_2 = 0$.

Se invece $\tan\alpha$ non esiste, la formula non si usa, ma la tangente della somma può esistere lo stesso: si torna a seno e coseno, come nell’esercizio 3.

La cotangente

Dividendo invece per $\sin\alpha\sin\beta$, per $\alpha$, $\beta$ e $\alpha \pm \beta$ diversi da $k\pi$:

$$\cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta \mp 1}{\cot\beta \pm \cot\alpha}$$

Un controllo con i casi particolari

Una formula generale deve ridare i risultati che già conosci, e provarla su casi semplici è il modo più sicuro per ricordare i segni.

• Con $\beta = 0$ tutte le formule ridanno le funzioni di $\alpha$, perché $\cos 0 = 1$ e $\sin 0 = 0$.
• Con $\beta = \alpha$ nella sottrazione del coseno si trova la relazione fondamentale: $\cos 0 = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$, cioè $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.
• Con $\beta = \alpha$ nelle formule di addizione nascono le formule di duplicazione, che vediamo tra poco.
• Con $\frac{\pi}{2}$ o $\pi$ al posto di uno dei due angoli, usando $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos\pi = -1$ e $\sin\pi = 0$, si ritrovano gli archi associati:

$$\begin{gathered} \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \\ {} = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x \\[8pt] \sin(\pi - x) \\ {} = 0 \cdot \cos x - (-1) \cdot \sin x = \sin x \\[8pt] \tan(x + \pi) = \frac{\tan x + 0}{1 - \tan x \cdot 0} = \tan x \end{gathered}$$

L’ultima riga, valida per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, dice che la tangente ha periodo $\pi$. Le formule degli archi associati, che si ricavano dalle simmetrie della circonferenza, sono quindi casi particolari delle formule di addizione.

Nuovi valori esatti: 15°, 75° e 105°

Con gli angoli dei valori notevoli si costruiscono, per somma e differenza, angoli nuovi. Il più famoso è $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$, in radianti $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$:

$$\begin{gathered} \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ {} = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ \\ {} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ {} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966 \end{gathered}$$

perché $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$. Con il seno della differenza, gli stessi prodotti con il meno:

$$\begin{gathered} \sin 15^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ \\ {} - \cos 45^\circ\sin 30^\circ \\ {} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}259 \end{gathered}$$

Per la tangente, con $\tan 45^\circ = 1$ e $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, si moltiplicano numeratore e denominatore per 3 per togliere le frazioni:

$$\begin{gathered} \tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \end{gathered}$$

Poi si razionalizza, moltiplicando sopra e sotto per $3 - \sqrt{3}$. Al numeratore $(3 - \sqrt{3})^2 = 9 - 6\sqrt{3} + 3$, al denominatore $9 - 3 = 6$:

$$\tan 15^\circ = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268$$

Allo stesso modo $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ dà $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$: è lo stesso numero di $\cos 15^\circ$, come deve essere, perché 15° e 75° sono complementari. E con $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$:

$$\begin{gathered} \sin 105^\circ = \sin 60^\circ\cos 45^\circ \\ {} + \cos 60^\circ\sin 45^\circ \\ {} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ {} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\[10pt] \cos 105^\circ = \cos 60^\circ\cos 45^\circ \\ {} - \sin 60^\circ\sin 45^\circ \\ {} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \approx -0{,}259 \end{gathered}$$

Il coseno è negativo perché 105° è nel II quadrante, e $\sin 105^\circ = \sin 75^\circ$ perché i due angoli sono supplementari. Per la tangente, $\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$; moltiplicando sopra e sotto per $1 + \sqrt{3}$ si ottiene $\frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}732$. Riassumendo:

Angolo	$\sin$	$\cos$
15°	$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
75°	$\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
105°	$\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Le formule di duplicazione

Ponendo $\beta = \alpha$ nelle formule di addizione si ottengono le funzioni dell’angolo doppio. Per esempio $\sin 2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha$, cioè due volte lo stesso prodotto, e $\cos 2\alpha = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha$.

Teorema (formule di duplicazione). Per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$:

Le tre versioni di $\cos 2\alpha$ sono lo stesso numero: la seconda si ottiene dalla prima sostituendo $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, e resta solo il coseno; la terza sostituendo $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, e resta solo il seno.

Le condizioni della tangente: deve esistere $\tan\alpha$, e il denominatore $1 - \tan^2\alpha$ si annulla per $\tan\alpha = \pm 1$, cioè per $\alpha = \pm\frac{\pi}{4} + k\pi$, in una sola scrittura $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$. Lì $2\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$ e $\tan 2\alpha$ non esiste davvero. Con $\alpha = \frac{\pi}{2}$, invece, la formula non si usa, ma $\tan 2\alpha = \tan\pi = 0$ esiste.

Quale versione di cos 2α usare

La scelta dipende da cosa c’è già nell’esercizio:

• se c’è solo il seno, usa $1 - 2\sin^2\alpha$; se c’è solo il coseno, $2\cos^2\alpha - 1$. In breve, si sceglie la versione di $\cos 2x$ che contiene la funzione già presente, così resta una sola funzione: è il primo passo di molte equazioni goniometriche di secondo grado;
• per far sparire un 1: $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$ e $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$;
• per scomporre: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ è una differenza di quadrati, uguale a $(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)$.

Lette al contrario, le formule del secondo punto danno $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ e $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$: sono le formule di linearizzazione, che abbassano il grado e servono negli integrali. Le trovi, con la bisezione, nelle formule di bisezione, parametriche e prostaferesi.

Esempio. Semplifichiamo

$$E = \frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x}$$

Al numeratore usiamo $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$, al denominatore $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, poi raccogliamo:

$$\begin{gathered} E = \frac{2\sin^2 x + 2\sin x\cos x}{2\cos^2 x + 2\sin x\cos x} \\[6pt] {} = \frac{2\sin x\,(\sin x + \cos x)}{2\cos x\,(\cos x + \sin x)} \\[6pt] {} = \tan x \end{gathered}$$

Le condizioni: il denominatore $2\cos x\,(\cos x + \sin x)$ non deve annullarsi, quindi $\cos x \neq 0$ e $\sin x \neq -\cos x$, cioè $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ e $x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi$. L’uguaglianza $E = \tan x$ vale solo per questi $x$: in $x = -\frac{\pi}{4}$, per esempio, $\tan x = -1$ esiste, ma $E$ diventa $\frac{0}{0}$.

Seno, coseno e tangente del doppio, dal dato e dal quadrante

L’esercizio più classico: dati una funzione di $\alpha$ e il quadrante, trovare le funzioni di $2\alpha$.

La scaletta.

1. Dal quadrante di $\alpha$ ricava i segni, e con la relazione fondamentale trova le funzioni di $\alpha$ che mancano.
2. Applica le formule di duplicazione; per $\cos 2\alpha$ scegli la versione con la funzione che conosci già.
3. Trova il quadrante di $2\alpha$ dai segni di $\sin 2\alpha$ e $\cos 2\alpha$, e controllalo raddoppiando l’intervallo di $\alpha$.
4. Controlla che $\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1$.

La trappola del quadrante. Se $\alpha$ è nel II quadrante, cioè $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, raddoppiando si ha $\pi < 2\alpha < 2\pi$: l’angolo doppio è nel III o nel IV quadrante, mai nel II. Più precisamente, se $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$ allora $2\alpha$ è nel III quadrante, se $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$ è nel IV. In pratica lo decide il segno di $\cos 2\alpha$.

Esempio. Sapendo che $\cos\alpha = -\frac{1}{7}$ e che $\alpha$ è nel II quadrante, calcoliamo seno, coseno e tangente di $2\alpha$. Nel II quadrante il seno è positivo, e $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$:

$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

Per il coseno usiamo $2\cos^2\alpha - 1$, che contiene il dato:

$$\begin{gathered} \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{8\sqrt{3}}{49} \\[6pt] \cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{49} - 1 = -\frac{47}{49} \\[6pt] \tan 2\alpha = \frac{-8\sqrt{3}/49}{-47/49} = \frac{8\sqrt{3}}{47} \end{gathered}$$

Seno e coseno di $2\alpha$ sono negativi: $2\alpha$ è nel III quadrante, dove infatti la tangente è positiva. Torna con l’intervallo: nel II quadrante il coseno decresce e $-\frac{1}{7} > \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, quindi $\alpha < \frac{3\pi}{4}$ e $\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$. Controllo: $\frac{192}{2401} + \frac{2209}{2401} = 1$.

La triplicazione

Applicando ancora l’addizione a $3\alpha = 2\alpha + \alpha$, e poi la duplicazione, si trovano seno e coseno del triplo. Per il coseno scegliamo $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, perché vogliamo solo coseni, e poi $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$$\begin{gathered} \cos 3\alpha = \cos 2\alpha\cos\alpha - \sin 2\alpha\sin\alpha \\ {} = (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha \\ {} - 2\sin^2\alpha\cos\alpha \\ {} = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha \\ {} - 2\left(1 - \cos^2\alpha\right)\cos\alpha \\ {} = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha \end{gathered}$$

Per il seno, la versione $1 - 2\sin^2\alpha$ e poi $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

$$\begin{gathered} \sin 3\alpha = \sin 2\alpha\cos\alpha + \cos 2\alpha\sin\alpha \\ {} = 2\sin\alpha\cos^2\alpha \\ {} + (1 - 2\sin^2\alpha)\sin\alpha \\ {} = 2\sin\alpha\left(1 - \sin^2\alpha\right) \\ {} + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha \\ {} = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha \end{gathered}$$

Teorema (formule di triplicazione). Per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$:

Controllo con $\alpha = \frac{\pi}{3}$: $4 \cdot \frac{1}{8} - 3 \cdot \frac{1}{2} = -1 = \cos\pi$. Non serve impararle a memoria, perché si ricavano in due righe. Servono, per esempio, per il valore esatto di $\sin 18^\circ$, ricavato nella pagina dei valori notevoli.

A cosa servono

In Fisica. La gittata di un proiettile lanciato con velocità $v_0$ e angolo $\theta$ è $\frac{v_0^2 \cdot 2\sin\theta\cos\theta}{g}$, che con la duplicazione diventa $\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$: è massima quando $\sin 2\theta = 1$, cioè a 45°, come si vede nel moto parabolico. Quando si sommano due oscillazioni con la stessa frequenza, la formula di addizione trasforma $a\sin x + b\cos x$ in un’unica sinusoide $R\sin(x + \varphi)$, con il metodo dell’angolo aggiunto.

In Analisi. Le formule di addizione, insieme a due limiti notevoli, danno la derivata del seno: lo vedrai nelle derivate delle funzioni elementari. Servono anche per dimostrare che la successione $\sin n$ non ha limite. La duplicazione serve nelle equazioni, per portare tutto allo stesso angolo, e negli integrali: $\sin x\cos x$ diventa $\frac{1}{2}\sin 2x$.

Gli errori più comuni

• Spezzare il seno di una somma. $\sin(\alpha + \beta) \neq \sin\alpha + \sin\beta$: con $\alpha = \beta = \frac{\pi}{2}$ a sinistra c’è $\sin\pi = 0$, a destra 2.
• Scrivere $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha$. La formula giusta è $2\sin\alpha\cos\alpha$: $2\sin 60^\circ \approx 1{,}732$ supera 1, mentre $\sin 120^\circ \approx 0{,}866$.
• Mettere il più nel coseno della somma. Il coseno cambia il segno: $\cos(\alpha + \beta)$ ha il meno. Prova con $\alpha = \beta = \frac{\pi}{4}$: deve venire $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, e con il più verrebbe $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
• Sbagliare il segno al denominatore della tangente. Per la somma il denominatore è $1 - \tan\alpha\tan\beta$, per la differenza $1 + \tan\alpha\tan\beta$. Controllo: con $\alpha = \beta = \frac{\pi}{4}$ la tangente della somma non deve esistere, e infatti $1 - 1 = 0$.
• Dimenticare le condizioni della tangente. Devono esistere $\tan\alpha$ e $\tan\beta$, e il denominatore non deve essere zero. Con $\alpha = \frac{\pi}{2}$ si torna a seno e coseno.
• Invertire l’ordine nel seno della differenza. $\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta$ è $\sin(\beta - \alpha)$, l’opposto di $\sin(\alpha - \beta)$: il primo termine ha il seno del primo angolo.
• Scegliere la versione sbagliata di $\cos 2x$. In un’equazione con $\sin x$, la versione $2\cos^2 x - 1$ lascia due funzioni diverse; con $1 - 2\sin^2 x$ resta un’equazione nel solo seno.
• Dare a 2α il quadrante di α. Se $\alpha$ è nel II quadrante, $2\alpha$ è nel III o nel IV. E il segno di $\cos\alpha$, ricavato da $\sin\alpha$, si sceglie con il quadrante di $\alpha$, non di $2\alpha$.

Esercizi svolti

1. Tre valori esatti

Testo. Calcola, senza calcolatrice, $\sin 165^\circ$, $\cos 255^\circ$ e $\tan 345^\circ$.

Scomponiamo: $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$, $255^\circ = 210^\circ + 45^\circ$, $345^\circ = 300^\circ + 45^\circ$. Servono $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ (II quadrante), $\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin 210^\circ = -\frac{1}{2}$ (III quadrante), $\tan 300^\circ = -\sqrt{3}$ (IV quadrante).

$$\begin{gathered} \sin 165^\circ = \sin 120^\circ\cos 45^\circ \\ {} + \cos 120^\circ\sin 45^\circ \\ {} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ {} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\[10pt] \cos 255^\circ = \cos 210^\circ\cos 45^\circ \\ {} - \sin 210^\circ\sin 45^\circ \\ {} = -\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \end{gathered}$$

Per la tangente il denominatore è $1 - (-\sqrt{3}) \cdot 1 = 1 + \sqrt{3} \neq 0$, quindi la formula si può usare. Poi razionalizziamo moltiplicando sopra e sotto per $1 - \sqrt{3}$:

$$\begin{gathered} \tan 345^\circ = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{1 - 3} \\ {} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 2 \end{gathered}$$

Controllo con gli archi associati: $165^\circ = 180^\circ - 15^\circ$, $255^\circ = 270^\circ - 15^\circ$ e $345^\circ = 360^\circ - 15^\circ$, quindi i tre valori devono essere $\sin 15^\circ$, $-\sin 15^\circ$ e $-\tan 15^\circ$. Infatti sono circa 0,259, $-0{,}259$ e $-0{,}268$.

2. Due angoli in quadranti diversi

Testo. Sapendo che $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ con $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, e che $\cos\beta = -\frac{2}{7}$ con $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$, calcola $\sin(\alpha - \beta)$ e $\cos(\alpha + \beta)$, e stabilisci in quale quadrante cade $\alpha + \beta$.

Le funzioni mancanti. $\alpha$ è nel II quadrante, dove il coseno è negativo; $\beta$ è nel III, dove il seno è negativo:

$$\begin{gathered} \cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \\[6pt] \sin\beta = -\sqrt{1 - \frac{4}{49}} = -\frac{\sqrt{45}}{7} = -\frac{3\sqrt{5}}{7} \end{gathered}$$

Le formule. Attenzione ai segni: nel seno della differenza si sottrae $\cos\alpha\sin\beta$, che è un prodotto di due negativi, quindi positivo.

$$\begin{gathered} \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \\ {} = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(-\frac{3\sqrt{5}}{7}\right) \\ {} = -\frac{4}{21} - \frac{15}{21} = -\frac{19}{21} \end{gathered}$$

perché $\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} = 15$. Per il coseno della somma, con $\cos\alpha\cos\beta = \frac{2\sqrt{5}}{21}$:

$$\begin{gathered} \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \\ {} = \frac{2\sqrt{5}}{21} - \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{5}}{7}\right) \\ {} = \frac{2\sqrt{5}}{21} + \frac{6\sqrt{5}}{21} = \frac{8\sqrt{5}}{21} \end{gathered}$$

Il quadrante di α + β. Sommando gli intervalli, $\frac{3\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{5\pi}{2}$: IV quadrante, oppure I quadrante dopo un giro. Il coseno positivo non basta a decidere; serve il seno:

$$\begin{gathered} \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ {} = -\frac{4}{21} + \frac{15}{21} = \frac{11}{21} \end{gathered}$$

Seno e coseno positivi: $\alpha + \beta$ è nel I quadrante, tra $2\pi$ e $\frac{5\pi}{2}$. Controllo: $\frac{121 + 320}{441} = 1$. Anche il segno di $\sin(\alpha - \beta)$ torna: $\alpha - \beta$ è compreso tra $-\pi$ e 0, dove il seno è negativo. Risultati: $\sin(\alpha - \beta) = -\frac{19}{21}$ e $\cos(\alpha + \beta) = \frac{8\sqrt{5}}{21} \approx 0{,}852$.

3. La tangente della somma e quando esiste

Testo. a) Sapendo che $\tan\alpha = 2$ e $\tan\beta = -3$, calcola $\tan(\alpha + \beta)$ e $\tan(\alpha - \beta)$. b) Con $\tan\alpha = 2$, per quale valore di $\tan\beta$ la tangente di $\alpha + \beta$ non esiste? c) Quanto vale $\tan\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right)$ se $\tan\beta = -3$?

a) Prima i denominatori: $1 - \tan\alpha\tan\beta = 1 + 6 = 7$ e $1 + \tan\alpha\tan\beta = 1 - 6 = -5$, entrambi diversi da zero. Quindi

$$\begin{gathered} \tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + (-3)}{7} = -\frac{1}{7} \\[6pt] \tan(\alpha - \beta) = \frac{2 - (-3)}{-5} = -1 \end{gathered}$$

Nota che non è servito il quadrante: la tangente della somma dipende solo dalle due tangenti.

b) Il denominatore $1 - 2\tan\beta$ si annulla per $\tan\beta = \frac{1}{2}$. In quel caso $\cos(\alpha + \beta) = 0$, cioè $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Se $\alpha$ e $\beta$ sono acuti, sono complementari: infatti $\tan\beta = \frac{1}{2}$ è il reciproco di $\tan\alpha$.

c) $\tan\frac{\pi}{2}$ non esiste, quindi la formula non si può usare. Torniamo a seno e coseno, con le formule di addizione:

$$\begin{gathered} \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = \cos\beta \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -\sin\beta \end{gathered}$$

Il rapporto è $-\frac{\cos\beta}{\sin\beta} = -\frac{1}{\tan\beta}$, che esiste perché $\sin\beta \neq 0$: con $\tan\beta = -3$, la tangente cercata vale $\frac{1}{3}$.

4. La duplicazione a partire dalla tangente

Testo. Sapendo che $\tan\alpha = \frac{5}{4}$ e che $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcola $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ e $\tan 2\alpha$, e stabilisci in quale quadrante cade $2\alpha$.

Seno e coseno di α. Nel III quadrante seno e coseno sono negativi. Da $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$$\begin{gathered} \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \frac{25}{16}} = \frac{16}{41} \\[6pt] \cos\alpha = -\frac{4}{\sqrt{41}} \qquad \sin\alpha = -\frac{5}{\sqrt{41}} \end{gathered}$$

dove $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$. Non serve razionalizzare: le radici spariranno da sole.

Le formule. Per il coseno usiamo $2\cos^2\alpha - 1$, perché $\cos^2\alpha$ è già pronto:

$$\begin{gathered} \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{5}{\sqrt{41}}\right)\left(-\frac{4}{\sqrt{41}}\right) = \frac{40}{41} \\[6pt] \cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{16}{41} - 1 = -\frac{9}{41} \\[6pt] \tan 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{5}{4}}{1 - \frac{25}{16}} = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{9}{16}} = -\frac{40}{9} \end{gathered}$$

La formula della tangente si può usare perché $\tan\alpha \neq \pm 1$, e il risultato coincide con $\frac{40}{41} : \left(-\frac{9}{41}\right)$.

Il quadrante. $\sin 2\alpha$ positivo e $\cos 2\alpha$ negativo: $2\alpha$ è nel II quadrante, anche se $\alpha$ era nel III. Con gli intervalli: $\tan\alpha > 1$ vuol dire che $\alpha$ supera $\frac{5\pi}{4}$, quindi $\frac{5\pi}{2} < 2\alpha < 3\pi$, cioè un giro più un angolo tra $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$. Controllo: $40^2 + 9^2 = 1681 = 41^2$.

Una scorciatoia: $\sin 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$ e $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$ danno subito $\frac{40}{41}$ e $-\frac{9}{41}$, senza nemmeno il quadrante di $\alpha$. Sono le formule parametriche, scritte per l’angolo $2\alpha$.

5. Un’identità con la duplicazione

Testo. Dimostra che

$$\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$$

e indica per quali $\alpha$ vale.

Le condizioni. Il primo membro esiste se $\cos 2\alpha \neq 0$, cioè $2\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, cioè $\alpha \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$.

Il primo membro. Al numeratore scriviamo $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ e $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$: è un quadrato di binomio; al denominatore scegliamo la versione $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, che si scompone:

$$\begin{gathered} \frac{\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha}{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)} \\[6pt] {} = \frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)} \\[6pt] {} = \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} \end{gathered}$$

Semplificare $\cos\alpha + \sin\alpha$ è lecito: è un fattore di $\cos 2\alpha$, che non è zero.

Il secondo membro. Con le formule di addizione e $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\begin{gathered} \tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} \\[6pt] {} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)} = \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} \end{gathered}$$

I due membri coincidono. L’identità vale per $\alpha \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$. Per $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, per esempio, il secondo membro esiste, $\tan\pi = 0$, ma il primo no, perché $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$. Controllo con $\alpha = \frac{\pi}{12}$: a sinistra $\frac{1 + \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3}$, a destra $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

6. Da esame: la somma di due arcotangenti

Testo. Siano $\alpha$ e $\beta$ due angoli acuti con $\tan\alpha = \frac{1}{2}$ e $\tan\beta = \frac{1}{3}$. a) Dimostra che $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$. b) Dimostra che, se $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ e le due tangenti esistono, allora $(1 + \tan\alpha)(1 + \tan\beta) = 2$, e verificalo con i dati di a).

a) Il denominatore è $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \neq 0$, quindi

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$$

Non basta: la tangente vale 1 per tutti gli angoli $\frac{\pi}{4} + k\pi$, e bisogna capire quale. Nel primo quadrante la tangente cresce e $\tan\frac{\pi}{4} = 1$; siccome $\tan\alpha = \frac{1}{2}$ è minore di 1, si ha $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, e lo stesso vale per $\beta$. Quindi $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$, e in questo intervallo l’unico angolo con tangente 1 è $\frac{\pi}{4}$. Con le funzioni goniometriche inverse il risultato si scrive $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$: con la calcolatrice, $0{,}4636 + 0{,}3218 = 0{,}7854 \approx \frac{\pi}{4}$.

b) Se $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$, la tangente della somma esiste e vale 1, quindi il denominatore non è zero e possiamo scrivere

$$\begin{gathered} \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} = 1 \\ \tan\alpha + \tan\beta = 1 - \tan\alpha\tan\beta \\ 1 + \tan\alpha + \tan\beta + \tan\alpha\tan\beta = 2 \\ (1 + \tan\alpha)(1 + \tan\beta) = 2 \end{gathered}$$

Nel terzo passaggio abbiamo aggiunto $1 + \tan\alpha\tan\beta$ a entrambi i membri, nel quarto abbiamo riconosciuto il prodotto. Con i dati di a): $\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2$. Lo stesso vale per qualunque coppia con somma 45°: per esempio $(1 + \tan 20^\circ)(1 + \tan 25^\circ) = 2$, senza conoscere nessuna delle due tangenti.

Altri problemi su tutto il capitolo sono negli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.

In sintesi

• Addizione e sottrazione, per ogni $\alpha$ e $\beta$: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ e $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$.
• Il seno mescola e conserva il segno; il coseno non mescola e cambia il segno. E $\sin(\alpha + \beta) \neq \sin\alpha + \sin\beta$.
• Tutto nasce da $\cos(\alpha - \beta)$, dimostrata calcolando in due modi la lunghezza di una corda.
• Tangente: $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$, se le tangenti esistono e $\alpha \pm \beta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.
• Duplicazione: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$; $\cos 2\alpha$ vale $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, $2\cos^2\alpha - 1$ o $1 - 2\sin^2\alpha$, e si sceglie la versione con la funzione già presente.
• Il quadrante di $2\alpha$ si trova raddoppiando l’intervallo di $\alpha$: se $\alpha$ è nel II quadrante, $2\alpha$ è nel III o nel IV.
• Triplicazione: $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ e $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.
• Valori nuovi: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$.

Dalle formule di duplicazione, lette al contrario, nascono le formule di bisezione; sommando e sottraendo le formule di addizione, quelle che trasformano somme in prodotti: formule di bisezione, parametriche e prostaferesi.