Equazioni goniometriche elementari: sin x = a, cos x = a, tan x = a ed esercizi

Un’equazione goniometrica è un’equazione in cui l’incognita compare dentro seno, coseno, tangente o cotangente. Le più semplici, le equazioni goniometriche elementari, sono del tipo $\sin x = a$, $\cos x = a$ e $\tan x = a$: quasi ogni altra equazione goniometrica, con il passaggio giusto, si riduce a una di queste. Servono per gli zeri e il dominio di una funzione, nello studio di funzione e in ogni disequazione goniometrica. Hanno infinite soluzioni, e all’esame l’errore più frequente è perderne metà. In questa pagina vediamo perché le soluzioni sono infinite e come si scrivono con $2k\pi$, il metodo della circonferenza per seno, coseno, tangente e cotangente, i casi speciali e quelli impossibili, i valori negativi e non notevoli con la calcolatrice, le soluzioni in un intervallo e in gradi, come riconoscere due scritture dello stesso insieme, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un’equazione goniometrica elementare

Definizione. Un’equazione goniometrica elementare è un’equazione della forma $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ oppure $\cot x = a$, dove $a$ è un numero reale dato e l’incognita $x$ è un angolo in radianti, cioè un numero reale. Risolverla vuol dire trovare tutti i numeri reali $x$ che la rendono vera.

Le altre equazioni del capitolo si riconducono a queste: le riconducibili a elementari, quelle di secondo grado, le lineari e le omogenee. Fanno eccezione equazioni come $\sin x = \frac{x}{2}$, con la $x$ anche fuori dal seno, che richiedono la risoluzione grafica.

Perché le soluzioni sono infinite

Partiamo da un’equazione che sembra semplicissima:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Dai valori notevoli sai che $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, quindi $x = \frac{\pi}{6}$ è una soluzione. Ma non è l’unica. Il seno ha periodo $2\pi$: aggiungere $2\pi$ a un angolo vuol dire fare un giro completo e tornare nello stesso punto della circonferenza goniometrica. Quindi sono soluzioni anche $\frac{\pi}{6} + 2\pi$, $\frac{\pi}{6} - 2\pi$, $\frac{\pi}{6} + 4\pi$, e così via. Tutti insieme si scrivono così:

$$\begin{gathered} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ k \in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

Questa scrittura si chiama famiglia di soluzioni: per ogni intero $k$, positivo, negativo o nullo, c’è un numero della famiglia. Il numero $k$ conta i giri: $k = 1$ è un giro in senso antiorario, $k = -1$ un giro in senso orario.

$k$	$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$
$-1$	$-\frac{11\pi}{6}$
$0$	$\frac{\pi}{6}$
$1$	$\frac{13\pi}{6}$
$2$	$\frac{25\pi}{6}$

E non è finita: anche $\frac{5\pi}{6}$ ha seno $\frac{1}{2}$, e da lì nasce una seconda famiglia, $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Le due famiglie insieme danno tutte le soluzioni: nel grafico, la retta $y = \frac{1}{2}$ taglia la sinusoide due volte in ogni periodo.

Tieni a mente l’idea chiave: sulla circonferenza goniometrica una famiglia $x = \theta + 2k\pi$ è un solo punto, percorso infinite volte. Risolvere un’equazione elementare vuol dire trovare i punti giusti della circonferenza e scrivere una famiglia per ciascuno.

L’equazione sin x = a

Ricorda la definizione delle funzioni goniometriche: all’angolo $x$ corrisponde il punto $P = (\cos x, \sin x)$ della circonferenza goniometrica. Per non confondere l’angolo $x$ con l’ascissa, chiamiamo $X$ e $Y$ le coordinate nel piano. Il seno è l’ordinata di $P$, quindi risolvere $\sin x = a$ vuol dire cercare i punti della circonferenza ad altezza $a$: le intersezioni con la retta orizzontale $Y = a$.

• Se $a > 1$ o $a < -1$ la retta non incontra la circonferenza: l’equazione è impossibile.
• Se $-1 < a < 1$ la retta la taglia in due punti, simmetrici rispetto all’asse $Y$.
• Se $a = 1$ o $a = -1$ la retta è tangente: il punto è uno solo.

Perché il secondo angolo è π − α

Chiama $\alpha$ l’angolo del punto di destra. Il punto di sinistra è il suo simmetrico rispetto all’asse $Y$: forma lo stesso angolo $\alpha$, ma con il semiasse negativo delle $X$. Misurato dal semiasse positivo, il suo angolo è quindi $\pi - \alpha$, il supplementare di $\alpha$. È la formula degli archi associati: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$.

Perché è vero. Ogni numero reale si ottiene da uno, e uno solo, dei numeri di $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ aggiungendo un multiplo di $2\pi$: basta trovare le soluzioni in questo giro. Su $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ il seno è strettamente crescente da $-1$ a $1$, quindi vale $a$ in un solo punto, che per definizione è $\alpha = \arcsin a$. Su $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ è strettamente decrescente, quindi vale $a$ in un solo punto, che è $\pi - \alpha$: sta in quell’intervallo e ha seno $\sin\alpha = a$. Se $a = \pm 1$ i due punti coincidono, a meno di un giro.

Per $\sin x = \frac{1}{2}$: $\alpha = \frac{\pi}{6}$ e $\pi - \alpha = \frac{5\pi}{6}$, le due famiglie del grafico.

I casi speciali: 0, 1 e −1

$$\begin{aligned} \sin x = 0 &\iff x = k\pi \\ \sin x = 1 &\iff x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ \sin x = -1 &\iff x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{aligned}$$

Con $a = \pm 1$ il punto è uno: una famiglia. Con $a = 0$ la regola dà $x = 2k\pi$ e $x = \pi + 2k\pi$, cioè i punti $(1, 0)$ e $(-1, 0)$. Sono opposti, a mezzo giro di distanza, quindi le soluzioni $0, \pi, 2\pi, \dots$ si susseguono a passo $\pi$: una sola famiglia, $x = k\pi$, con i $k$ pari per il primo punto e i dispari per il secondo. Per questo gli zeri del seno hanno passo $\pi$, non $2\pi$.

Quando a è negativo

Se $a < 0$, anche $\alpha = \arcsin a$ è negativo, perché l’arcoseno è dispari: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$. La regola non cambia, ma attenzione ai segni. Per $\sin x = -\frac{1}{2}$ si ha $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ e

$$\pi - \alpha = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{7\pi}{6}$$

Le soluzioni sono $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ oppure $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, sotto l’asse $X$. Chi scrive $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ trova invece le soluzioni di $\sin x = +\frac{1}{2}$.

L’equazione cos x = a

Il coseno è l’ascissa di $P$: i punti con $\cos x = a$ stanno sulla retta verticale $X = a$. Per $-1 < a < 1$ sono due, simmetrici rispetto all’asse $X$: se uno corrisponde all’angolo $\alpha$, l’altro corrisponde a $-\alpha$, perché il coseno è pari. Per $a = \pm 1$ il punto è uno solo; per $a > 1$ o $a < -1$ non ce ne sono.

Perché è vero. Questa volta conviene il giro $(-\pi, \pi]$. Su $[0, \pi]$ il coseno è strettamente decrescente da $1$ a $-1$, quindi vale $a$ solo in $\alpha$. Su $[-\pi, 0]$ è strettamente crescente, quindi vale $a$ in un solo punto, che è $-\alpha$.

Per esempio $2\cos x - 1 = 0$ diventa $\cos x = \frac{1}{2}$, con $\alpha = \frac{\pi}{3}$:

$$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$$

Con a negativo l’arcocoseno non è negativo: sta nel secondo quadrante e vale $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$. Per $\cos x = -\frac{1}{2}$ si ha $\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, quindi $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

I casi speciali:

$$\begin{aligned} \cos x = 0 &\iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \cos x = 1 &\iff x = 2k\pi \\ \cos x = -1 &\iff x = \pi + 2k\pi \end{aligned}$$

Anche qui lo zero è speciale: i punti $(0, 1)$ e $(0, -1)$ sono opposti, e le famiglie $\pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ si fondono in una con passo $\pi$.

L’equazione tan x = a

La tangente esiste solo dove $\cos x \neq 0$, cioè per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$: è la condizione di esistenza. Dove esiste, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{Y}{X}$ è la pendenza della retta $OP$. Quindi i punti con $\tan x = a$ sono le intersezioni della circonferenza con la retta per l’origine di pendenza $a$, cioè $Y = aX$.

Una retta per l’origine non verticale taglia la circonferenza in due punti opposti, qualunque sia la pendenza: l’equazione $\tan x = a$ ha sempre soluzione. I due punti distano mezzo giro, $\pi$, che è il periodo della tangente: basta una sola famiglia, con passo $\pi$.

Perché è vero. Su $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la tangente è strettamente crescente e assume tutti i valori reali, quindi vale $a$ in un solo punto, $\alpha$; poi tutto si ripete con periodo $\pi$. Le soluzioni rispettano da sole la condizione di esistenza.

Per $\tan x = 1$: $\alpha = \frac{\pi}{4}$ e $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Con $k = -1, 0, 1, 2$ trovi $-\frac{3\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{9\pi}{4}$. Sul grafico della tangente la retta $y = 1$ taglia ogni ramo, tra due asintoti consecutivi, esattamente una volta. Se $a$ è negativo anche $\alpha$ lo è, perché l’arcotangente è dispari (esercizio 1).

L’equazione cot x = a

La cotangente $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ esiste per $x \neq k\pi$ e ha periodo $\pi$. Per $\cot x = a$ ci sono due strade.

• Con l’arcocotangente. Per ogni $a$ reale, $\cot x = a \iff x = \operatorname{arccot} a + k\pi$, dove $\operatorname{arccot} a$ è l’unico angolo di $(0, \pi)$ con cotangente $a$.
• Passando alla tangente. Se $a \neq 0$, $\cot x = a$ equivale a $\tan x = \frac{1}{a}$: dove la cotangente non è zero, anche il coseno non lo è, e la tangente è il reciproco. È la strada pratica, perché le calcolatrici non hanno il tasto dell’arcocotangente.

Il caso $a = 0$ va a parte, perché non si divide per zero: $\cot x = 0$ vuol dire $\cos x = 0$, cioè $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, proprio dove la tangente non esiste.

Per esempio, $\cot x = -\frac{3}{2}$ diventa $\tan x = -\frac{2}{3}$, quindi $x = \arctan\left(-\frac{2}{3}\right) + k\pi \approx -0{,}588 + k\pi$. L’arcocotangente darebbe $\operatorname{arccot}\left(-\frac{3}{2}\right) \approx 2{,}554 \approx -0{,}588 + \pi$: stessa famiglia.

Quando il valore non è notevole: la calcolatrice

Se $a$ non è un valore notevole, $\alpha$ si scrive con le funzioni goniometriche inverse e si approssima con la calcolatrice, con i tasti $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ e $\tan^{-1}$. Due regole:

1. la calcolatrice deve essere in modalità RAD (radianti), non DEG;
2. ti dà un solo angolo, quello dell’intervallo della funzione inversa: la seconda famiglia di seno e coseno la aggiungi tu.

Per $\sin x = 0{,}7$:

$$\begin{gathered} x = \arcsin 0{,}7 + 2k\pi \\ {} \approx 0{,}775 + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \pi - \arcsin 0{,}7 + 2k\pi \\ {} \approx 2{,}366 + 2k\pi \end{gathered}$$

Per la seconda famiglia usa il valore non arrotondato della calcolatrice e arrotonda alla fine, a tre decimali.

Con un valore negativo valgono le stesse regole. Per $\sin x = -0{,}7$ la calcolatrice dà $\alpha \approx -0{,}775$, nel quarto quadrante, e la seconda famiglia parte da $\pi - \alpha = \pi + 0{,}775$:

$$\begin{gathered} x \approx -0{,}775 + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x \approx 3{,}917 + 2k\pi \end{gathered}$$

Con $\pi - \arcsin 0{,}7 \approx 2{,}366$ avresti ritrovato le soluzioni di $\sin x = +0{,}7$. Per $\cos x = -0{,}7$, invece, $\alpha = \arccos(-0{,}7) \approx 2{,}346$, nel secondo quadrante, e $x \approx \pm 2{,}346 + 2k\pi$. Con la tangente basta una famiglia: $\tan x = 4$ dà $x = \arctan 4 + k\pi \approx 1{,}326 + k\pi$.

Le equazioni impossibili

Seno e coseno stanno sempre tra $-1$ e $1$, quindi $\sin x = a$ e $\cos x = a$ sono impossibili se $a > 1$ o $a < -1$. Due esempi:

• $5\cos x + 7 = 0$ diventa $\cos x = -\frac{7}{5} = -1{,}4$: impossibile.
• $\sin x = \frac{\pi}{3}$ sembra innocua, ma $\frac{\pi}{3} \approx 1{,}047$ è un numero maggiore di 1: impossibile. Non confondere valore e angolo: $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ è un valore notevole, $\sin x = \frac{\pi}{3}$ un’equazione senza soluzioni.

Tangente e cotangente, invece, assumono ogni valore reale: $\tan x = -1{,}4$ ha soluzioni.

Quando serve un passaggio prima

Molte equazioni diventano elementari con un solo passaggio.

• Coefficiente e termine noto. In $a\sin x + b = 0$, con $a \neq 0$, si isola il seno: $\sin x = -\frac{b}{a}$. Lo stesso per le altre funzioni.
• Il valore scritto come seno. In $\sin x = -\sin\frac{\pi}{7}$, per la disparità del seno, $-\sin\frac{\pi}{7} = \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)$, e $-\frac{\pi}{7}$ sta tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$: è proprio $\alpha$. Le soluzioni sono $x = -\frac{\pi}{7} + 2k\pi$ oppure $x = \frac{8\pi}{7} + 2k\pi$.
• Il valore scritto come coseno. In $\cos x = -\cos\frac{\pi}{5}$, con gli archi associati, $-\cos\frac{\pi}{5} = \cos\frac{4\pi}{5}$, quindi $x = \pm\frac{4\pi}{5} + 2k\pi$.

In generale, nella regola puoi partire da qualunque angolo $\theta$ con $\sin\theta = a$, non per forza dall’arcoseno: le famiglie $\theta + 2k\pi$ e $\pi - \theta + 2k\pi$ sono sempre le stesse.

Le soluzioni in un intervallo

Spesso servono solo le soluzioni in un intervallo, come $[0, 2\pi)$ o $[-\pi, \pi]$. Ci sono due metodi.

Primo metodo: dare valori a k

Si scrive la soluzione generale e, famiglia per famiglia, si cercano gli interi $k$ che fanno cadere $x$ nell’intervallo. Prendiamo $\sin x = \frac{1}{2}$ in $\left[\frac{\pi}{2}, 3\pi\right]$. Per la prima famiglia serve

$$\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq 3\pi$$

Dividi per $\pi$ e sottrai $\frac{1}{6}$: $\frac{1}{3} \leq 2k \leq \frac{17}{6}$, cioè $\frac{1}{6} \leq k \leq \frac{17}{12}$. L’unico intero è $k = 1$, che dà $\frac{13\pi}{6}$. Per la seconda famiglia:

$$\frac{\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq 3\pi$$

cioè $-\frac{1}{6} \leq k \leq \frac{13}{12}$: $k = 0$ e $k = 1$, che danno $\frac{5\pi}{6}$ e $\frac{17\pi}{6}$. In tutto tre soluzioni: $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6}$ e $\frac{17\pi}{6}$.

Nei casi semplici basta provare $k = -1, 0, 1, 2$. Con la tangente si fa lo stesso: $\tan x = 1$ in $[0, 2\pi]$ dà $k = 0$ e $k = 1$, cioè $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{5\pi}{4}$.

Secondo metodo: leggerle sulla circonferenza o sul grafico

Segna i punti soluzione sulla circonferenza, parti dall’angolo iniziale e percorri l’intervallo in senso antiorario fino all’angolo finale, annotando i punti che incontri. Per $\cos x = \frac{1}{2}$ in $[-\pi, \pi]$ parti dal punto $(-1, 0)$, fai un giro e incontri $-\frac{\pi}{3}$, poi $\frac{\pi}{3}$. Oppure, per $\sin x = \frac{1}{2}$, leggi le ascisse sul grafico: nella figura della sinusoide, tra $-\pi$ e $\pi$ la retta $y = \frac{1}{2}$ taglia il grafico solo in $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$.

Un controllo utile: in un intervallo lungo un giro, come $[0, 2\pi)$, ogni famiglia con passo $2\pi$ dà esattamente una soluzione, e ogni famiglia con passo $\pi$ ne dà due.

Le soluzioni in gradi

Quando l’incognita è l’angolo di un triangolo, si lavora in gradi e conta solo l’intervallo $0^\circ < x < 180^\circ$: niente famiglie. In un triangolo $\sin\gamma = \frac{1}{2}$ lascia due possibilità, $\gamma = 30^\circ$ oppure $\gamma = 150^\circ$, mentre $\cos\gamma = -\frac{1}{2}$ ne lascia una, $\gamma = 120^\circ$: tra 0° e 180° il coseno è strettamente decrescente, il seno no. Lo ritroverai in trigonometria.

Per la soluzione generale in gradi il giro vale $360^\circ$:

$$\begin{gathered} \sin x = \frac{1}{2} \iff x = 30^\circ + k \cdot 360^\circ \\ \text{oppure}\;\; x = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \end{gathered}$$

Per la tangente il passo è $180^\circ$. Non mescolare mai le unità: $30^\circ + 2k\pi$ somma gradi e radianti, ed è un errore.

Lo stesso insieme scritto in modi diversi

Spesso la tua soluzione e quella del libro sembrano diverse ma sono lo stesso insieme. Tre casi tipici:

• Partenze diverse. $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ e $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ coincidono: le partenze differiscono di un giro, e la seconda con un certo $k$ dà il numero della prima con $k + 1$.
• Due famiglie che si fondono. $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ oppure $x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ è lo stesso che $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$: i $k$ pari danno la prima famiglia, i dispari la seconda. Succede quando i due punti sono opposti.
• Quattro punti. $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4}$, ciascuno con il suo $+2k\pi$, sono i vertici di un quadrato, a un quarto di giro l’uno dall’altro: in una riga, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

Per confrontare due scritture il modo più sicuro è il disegno: una famiglia con passo $2\pi$ è un punto della circonferenza, con passo $\pi$ due punti opposti, con passo $\frac{\pi}{2}$ i vertici di un quadrato, con passo $\frac{2\pi}{n}$ i vertici di un poligono regolare di $n$ lati. Due scritture sono lo stesso insieme se e solo se segnano gli stessi punti.

Controllare una famiglia. Sostituisci due valori di $k$, per esempio $0$ e $1$: il primo controlla la partenza, il secondo il passo. Chi scrive $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ per $\sin x = \frac{1}{2}$ supera il controllo con $k = 0$, ma con $k = 1$ trova $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$: passo sbagliato. Una famiglia dimenticata, invece, si scopre solo contando i punti sulla circonferenza.

Gli errori più comuni

• Dimenticare la seconda famiglia. Con $-1 < a < 1$ i punti sono due: $\sin x = \frac{1}{2}$ ha anche le soluzioni $\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.
• Confondere $k\pi$ e $2k\pi$. Il passo è $2\pi$ per seno e coseno, $\pi$ per tangente e cotangente; per il seno, $k\pi$ va bene solo in $\sin x = 0$. Controlla con $k = 1$.
• Non accorgersi che il valore è fuori da $[-1, 1]$. $\cos x = -1{,}4$ e $\sin x = \frac{\pi}{3}$ sono impossibili; $\tan x = -1{,}4$ no.
• Fidarsi della calcolatrice. Dà un solo angolo, e in DEG lo dà in gradi: per $\sin x = 0{,}7$ scrivere $44{,}427 + 2k\pi$ non ha senso, perché $44{,}427$ sono gradi.
• Scrivere $\alpha - \pi$ al posto di $\pi - \alpha$. Non è la stessa famiglia: per $\sin x = \frac{1}{2}$, $\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$ ha seno $-\frac{1}{2}$.
• Sbagliare i segni con $a$ negativo. Per $\sin x = -\frac{1}{2}$, $\pi - \alpha = \frac{7\pi}{6}$, non $\frac{5\pi}{6}$. Per $\cos x = -\frac{1}{2}$, $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, non $-\frac{\pi}{3}$.
• Usare $\pm\alpha$ per il seno. È la regola del coseno: $-\frac{\pi}{6}$ non risolve $\sin x = \frac{1}{2}$, perché $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• Dividere per qualcosa che può essere zero. Da $\cot x = a$ a $\tan x = \frac{1}{a}$ si passa solo se $a \neq 0$; in $m\sin x = 1$ il caso $m = 0$ va studiato a parte. Allo stesso modo, in $\sin x = \cos x$ si divide per $\cos x$ solo dopo aver controllato che $\cos x = 0$ non dia soluzioni, come nelle equazioni omogenee.

Esercizi svolti

1. Valori notevoli con tutte e quattro le funzioni

Testo. Risolvi le equazioni:

1. $2\sin x - \sqrt{2} = 0$
2. $2\cos x + \sqrt{2} = 0$
3. $\tan x + \sqrt{3} = 0$
4. $\sqrt{3}\cot x - 3 = 0$

1. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, quindi $\alpha = \frac{\pi}{4}$ e $\pi - \alpha = \frac{3\pi}{4}$:

$$\begin{gathered} x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \end{gathered}$$

2. $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, negativo, quindi $\alpha$ sta nel secondo quadrante: $\alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, e $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$. Verifica con $x = -\frac{3\pi}{4}$: $2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \sqrt{2} = 0$.

3. $\tan x = -\sqrt{3}$, quindi $\alpha = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ e $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$. Con $k = 1$ trovi $\frac{2\pi}{3}$, e infatti $\tan\frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.

4. $\cot x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Il valore non è zero, quindi si passa alla tangente: $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, e $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$. Lo conferma l’arcocotangente, perché $\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

Seno e coseno danno due famiglie con passo $2\pi$, tangente e cotangente una sola con passo $\pi$.

2. Un valore non notevole in un intervallo

Testo. Risolvi $4\cos x - 3 = 0$ e trova le soluzioni nell’intervallo $[0, 4\pi]$. Usa la calcolatrice e arrotonda a tre decimali.

L’equazione diventa $\cos x = \frac{3}{4} = 0{,}75$, tra $-1$ e $1$ ma non notevole. In RAD, $\alpha = \arccos 0{,}75 \approx 0{,}723$:

$$\begin{gathered} x = \pm\arccos 0{,}75 + 2k\pi \\ {} \approx \pm 0{,}723 + 2k\pi \end{gathered}$$

L’intervallo $[0, 4\pi]$, con $4\pi \approx 12{,}566$, è lungo due giri. Segno più: $k = 0$ dà $0{,}723$, $k = 1$ dà $2\pi + 0{,}723 \approx 7{,}006$, $k = 2$ esce. Segno meno: $k = 0$ dà un numero negativo, $k = 1$ dà $2\pi - 0{,}723 \approx 5{,}560$, $k = 2$ dà $4\pi - \arccos 0{,}75 \approx 11{,}844$.

Le soluzioni sono quattro, $0{,}723$, $5{,}560$, $7{,}006$ e $11{,}844$: due per giro, come previsto. Controllo: $\cos 5{,}560 \approx 0{,}750$.

3. Valori negativi non notevoli

Testo. Risolvi $4\sin x + 1 = 0$ e $4\cos x + 1 = 0$. Per ciascuna scrivi anche le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

Il seno. $\sin x = -0{,}25$, quindi $\alpha = -\arcsin 0{,}25 \approx -0{,}253$, negativo. La seconda famiglia parte da $\pi - \alpha = \pi + \arcsin 0{,}25$:

$$\begin{gathered} x \approx -0{,}253 + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x \approx 3{,}394 + 2k\pi \end{gathered}$$

In $[0, 2\pi)$: $3{,}394$ (seconda famiglia, $k = 0$) e $2\pi - \arcsin 0{,}25 \approx 6{,}031$ (prima famiglia, $k = 1$), nel terzo e nel quarto quadrante.

Il coseno. $\cos x = -0{,}25$, quindi $\alpha = \arccos(-0{,}25) \approx 1{,}823$, tra $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$ e $\pi \approx 3{,}142$: secondo quadrante, come deve essere. Le soluzioni sono $x \approx \pm 1{,}823 + 2k\pi$; in $[0, 2\pi)$, $1{,}823$ e $2\pi - 1{,}823 \approx 4{,}460$.

4. Un intervallo che non parte da zero

Testo. Trova le soluzioni di $2\cos x - \sqrt{3} = 0$ nell’intervallo $[-\pi, \pi]$ e nell’intervallo $\left[\frac{\pi}{2}, 3\pi\right]$.

L’equazione è $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, quindi $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi$.

In $[-\pi, \pi]$ conviene la circonferenza: parti dal punto $(-1, 0)$ e gira in senso antiorario fino a $\pi$. Fai esattamente un giro e incontri $-\frac{\pi}{6}$ e $\frac{\pi}{6}$.

In $\left[\frac{\pi}{2}, 3\pi\right]$ usiamo le disequazioni in $k$. Prima famiglia:

$$\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq 3\pi$$

cioè $\frac{1}{6} \leq k \leq \frac{17}{12}$: solo $k = 1$, che dà $\frac{13\pi}{6}$. Seconda famiglia:

$$\frac{\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq 3\pi$$

cioè $\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{19}{12}$: solo $k = 1$, che dà $\frac{11\pi}{6}$.

Le soluzioni sono $\frac{11\pi}{6}$ e $\frac{13\pi}{6}$. L’intervallo è lungo più di un giro, eppure sono solo due: il quarto di giro in più, da $\frac{5\pi}{2}$ a $3\pi$, è nel secondo quadrante, dove il coseno è negativo.

5. Stesso insieme o no?

Testo. Per l’equazione $\tan x + \sqrt{3} = 0$ dell’esercizio 1 sono state proposte tre risposte:

1. $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$
2. $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ oppure $x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$
3. $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Quali sono giuste? Poi scrivi con una sola formula tutte le $x$ tali che $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ oppure $\tan x = -\sqrt{3}$.

La soluzione è $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$: i due punti opposti $-\frac{\pi}{3}$ (cioè $\frac{5\pi}{3}$) e $\frac{2\pi}{3}$.

• La risposta 1 è giusta: $\frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi$, un’altra partenza.
• La risposta 2 è giusta: $\frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi$, e le due famiglie sono i due punti opposti.
• La risposta 3 è sbagliata: è un solo punto e perde i numeri $\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Il controllo con $k = 0$ e $k = 1$ non se ne accorge, perché $-\frac{\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$ sono soluzioni vere: la mancanza si vede contando i punti.

Per la seconda parte, $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ dà $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, cioè i punti $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{7\pi}{6}$. Con $\frac{2\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$, in ordine:

$$\frac{\pi}{6}, \quad \frac{2\pi}{3}, \quad \frac{7\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{3}$$

Ognuno è il precedente più $\frac{\pi}{2}$: sono i vertici di un quadrato, quindi

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$$

Controllo: con $k = 1$ trovi $\frac{2\pi}{3}$, dove $\tan x = -\sqrt{3}$; con $k = 2$ trovi $\frac{7\pi}{6}$, dove $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Il quadrato non è un caso: le rette di pendenza $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $-\sqrt{3}$ sono perpendicolari, perché il prodotto delle pendenze è $-1$.

6. Da esame: quante soluzioni, e la loro somma

Testo. Quante sono le soluzioni di $2\sin x - \sqrt{3} = 0$ nell’intervallo $[-3\pi, 3\pi]$, e quanto vale la loro somma? Senza calcolarle, quanto vale la somma delle soluzioni di $4\cos x + 1 = 0$ nello stesso intervallo?

L’equazione è $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, con $\alpha = \frac{\pi}{3}$ e $\pi - \alpha = \frac{2\pi}{3}$:

$$\begin{gathered} x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Prima famiglia: da $-3\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq 3\pi$ segue $-\frac{5}{3} \leq k \leq \frac{4}{3}$, quindi $k = -1, 0, 1$: $-\frac{5\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{3}$. Seconda famiglia: da $-3\pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \leq 3\pi$ segue $-\frac{11}{6} \leq k \leq \frac{7}{6}$, ancora $k = -1, 0, 1$: $-\frac{4\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{8\pi}{3}$.

Le soluzioni sono sei: tre giri, due per giro. Per la somma, in ogni famiglia i valori $k = -1, 0, 1$ sommano a zero, quindi i termini $2k\pi$ si cancellano:

$$\begin{gathered} 3 \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \frac{2\pi}{3} \\ {} = \pi + 2\pi = 3\pi \end{gathered}$$

Controllo a coppie: $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$, $\ \frac{7\pi}{3} + \frac{8\pi}{3} = 5\pi$, $\ -\frac{5\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = -3\pi$, e $\pi + 5\pi - 3\pi = 3\pi$.

Per $4\cos x + 1 = 0$ basta la simmetria. Il coseno è pari, quindi se $x$ è una soluzione lo è anche $-x$; l’intervallo $[-3\pi, 3\pi]$ è simmetrico rispetto a 0, e $x = 0$ non è soluzione, perché $\cos 0 = 1$. Le soluzioni si accoppiano, $x$ con $-x$, e la somma è zero. Agli esami vale sempre: prima di sommare tanti numeri, chiediti se si accoppiano.

Per allenarti su tutto il capitolo ci sono gli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche. Con la stessa circonferenza, cercando archi invece di punti, si risolvono le disequazioni goniometriche.

In sintesi

• Le soluzioni sono infinite per la periodicità: ogni punto soluzione sulla circonferenza dà una famiglia $\theta + 2k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$.
• $\sin x = a$, con $-1 \leq a \leq 1$ e $\alpha = \arcsin a$: $x = \alpha + 2k\pi$ oppure $x = \pi - \alpha + 2k\pi$.
• $\cos x = a$, con $-1 \leq a \leq 1$ e $\alpha = \arccos a$: $x = \pm\alpha + 2k\pi$.
• $\tan x = a$, per ogni $a$: $x = \arctan a + k\pi$. $\cot x = a$: $x = \operatorname{arccot} a + k\pi$, e $\cot x = 0$ dà $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
• Casi speciali: $\sin x = 0 \iff x = k\pi$, $\cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi$; con $\pm 1$ una sola famiglia; seno e coseno impossibili se $a > 1$ o $a < -1$.
• Con $a$ negativo arcoseno e arcotangente sono negativi, l’arcocoseno sta nel secondo quadrante; la calcolatrice, in RAD, dà un solo angolo.
• In un intervallo si cercano i $k$ famiglia per famiglia, o si percorre la circonferenza; in gradi il giro è $360^\circ$.
• Per confrontare due scritture disegna i punti sulla circonferenza; controlla ogni famiglia con due valori di $k$.

Quasi tutte le equazioni goniometriche, alla fine, si riducono a queste. Nel prossimo articolo vediamo come: equazioni goniometriche riconducibili a elementari.