Momento angolare di un sistema di punti: seconda equazione cardinale, conservazione ed esercizi

Una pattinatrice gira su sé stessa con le braccia aperte; quando le stringe al petto, gira molto più veloce, senza che nessuno la spinga. Un tuffatore che si raccoglie durante il salto riesce a fare più capriole, e un gatto che cade riesce a girarsi a mezz’aria e atterrare sulle zampe. Per capire questi fenomeni bisogna estendere ai sistemi di punti il concetto di momento angolare, e scoprire quando si conserva. In questa pagina vediamo la definizione, la seconda equazione cardinale, la scelta del polo, la conservazione con i suoi esempi, il legame con l’energia cinetica, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Richiami: il momento angolare di un punto

Per un singolo punto materiale di massa $m$, con posizione $\vec{r}$ rispetto a un polo $O$ e velocità $\vec{v}$, il momento angolare è

$$\vec{l} = \vec{r} \times m\,\vec{v}$$

In modulo vale $m\,v\,b$, dove $b$ è la distanza tra il polo e la retta della velocità. Anche un punto che si muove in linea retta ha momento angolare, rispetto a un polo che non sta sulla sua retta. Rispetto a un polo fisso vale il teorema del momento angolare, $d\vec{l}/dt = \vec{M}$, che abbiamo usato anche per l’impulso angolare.

La definizione

Il momento angolare totale di un sistema di punti, rispetto a un polo $O$, è la somma dei momenti angolari dei singoli punti, tutti calcolati rispetto allo stesso polo:

$$\vec{L} = \sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i \times m_i\,\vec{v}_i$$

dove $\vec{r}_i$ è la posizione del punto $i$ rispetto al polo.

Come cambia con il polo

Se si sposta il polo da $O$ a un altro punto $O'$, con $\vec{d}$ il vettore che va da $O$ a $O'$, le nuove posizioni sono $\vec{r}_i - \vec{d}$ e si ottiene

$$\vec{L}_{O'} = \vec{L}_O - \vec{d} \times \vec{P}$$

dove $\vec{P} = \sum m_i\,\vec{v}_i$ è la quantità di moto totale. Quindi, in generale, il momento angolare dipende dal polo. C’è però un caso importante in cui non dipende: se la quantità di moto totale è nulla, come in un sistema con il centro di massa fermo, il momento angolare è lo stesso rispetto a qualsiasi polo. Lo verifichiamo nel primo e nel secondo esercizio.

Moto del centro di massa e moto attorno a esso

Scomponendo il moto di ogni punto in moto del centro di massa più moto relativo al centro di massa, il momento angolare si divide in due parti:

$$\vec{L} = \vec{r}_{CM} \times M\,\vec{v}_{CM} + \vec{L}\,'$$

La prima è il momento angolare del centro di massa, come se avesse tutta la massa $M$; la seconda, $\vec{L}\,'$, è il momento angolare rispetto al centro di massa, detto anche intrinseco. Per la Terra la prima parte è legata alla rivoluzione attorno al Sole, la seconda alla rotazione attorno al proprio asse. È il primo teorema di König, dove trovi anche la dimostrazione.

La seconda equazione cardinale

Deriviamo il momento angolare totale rispetto a un polo fisso. Per ogni punto la derivata di $\vec{r}_i \times m_i\vec{v}_i$ ha due termini: $\vec{v}_i \times m_i\vec{v}_i$, che è zero perché il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo, e $\vec{r}_i \times m_i\vec{a}_i$. Usando $m_i\vec{a}_i = \vec{F}_i$:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i$$

La forza totale su ogni punto è la somma di forze esterne e di forze interne, esercitate dagli altri punti del sistema. Quindi:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}^{(E)} + \vec{M}^{(I)}$$

Perché i momenti interni si annullano

Per il terzo principio, le forze interne agiscono a coppie: la forza $\vec{F}_{ij}$ che $j$ esercita su $i$ è uguale e opposta alla forza $\vec{F}_{ji}$ che $i$ esercita su $j$. In più, le due forze agiscono lungo la stessa retta, quella che congiunge i due punti.

Le due forze di una coppia hanno quindi lo stesso braccio rispetto a qualunque polo, ma versi opposti: i loro momenti sono uguali e opposti e si annullano. In formule, $\vec{r}_i \times \vec{F}_{ij} + \vec{r}_j \times \vec{F}_{ji} = (\vec{r}_i - \vec{r}_j) \times \vec{F}_{ij} = 0$, perché $\vec{r}_i - \vec{r}_j$ è parallelo alla forza. Sommando su tutte le coppie, il momento risultante delle forze interne è nullo, come avevamo anticipato nei sistemi di punti. Resta la seconda equazione cardinale:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}^{(E)}$$

La variazione del momento angolare totale di un sistema è dovuta solo al momento delle forze esterne.

Le due equazioni cardinali hanno la stessa struttura:

Prima equazione cardinale	Seconda equazione cardinale
$d\vec{P}/dt = \vec{R}^{(E)}$	$d\vec{L}/dt = \vec{M}^{(E)}$
La quantità di moto cambia solo per le forze esterne	Il momento angolare cambia solo per i momenti esterni
Governa il moto del centro di massa	Governa le rotazioni
Se $\vec{R}^{(E)} = 0$, $\vec{P}$ si conserva	Se $\vec{M}^{(E)} = 0$, $\vec{L}$ si conserva

La scelta del polo

Se il polo $O$ si muove con velocità $\vec{v}_O$, nella derivata compare un termine in più:

$$\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{M}^{(E)}_O - \vec{v}_O \times \vec{P}$$

Il termine in più è nullo, e l’equazione torna nella forma semplice, in due casi:

• se il polo è fisso in un sistema di riferimento inerziale, perché $\vec{v}_O = 0$;
• se il polo è il centro di massa del sistema, anche quando questo si muove e accelera, perché $\vec{P} = M\,\vec{v}_{CM}$ è parallelo a $\vec{v}_{CM}$ e il prodotto vettoriale si annulla.

La seconda possibilità è molto comoda: permette di separare il moto del centro di massa, governato dalla prima equazione cardinale, dalla rotazione attorno al centro di massa, governata dalla seconda. Un tuffatore in volo, per esempio, subisce solo il peso, che agisce nel centro di massa e ha momento nullo rispetto a esso: il suo momento angolare rispetto al centro di massa resta costante per tutto il salto, mentre il centro di massa descrive una parabola.

La conservazione del momento angolare

Se il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo è nullo, il momento angolare totale si conserva:

$$\begin{gathered} \vec{M}^{(E)} = 0 \\ \vec{L} = \text{costante} \end{gathered}$$

Il momento esterno può essere nullo anche se le forze esterne non lo sono: basta che passino per il polo, o che i loro momenti si annullino. Come per la quantità di moto, la conservazione può valere anche solo per una componente: se è nulla la componente del momento esterno lungo un asse, si conserva la componente di $\vec{L}$ lungo quell’asse. È il caso di una giostra che gira su un perno verticale: il perno e il peso esercitano forze, ma nessuna ha momento lungo l’asse verticale.

Perché la pattinatrice accelera

Per un punto che ruota attorno a un asse fisso a distanza $r$ con velocità angolare $\omega$, la velocità è $v = \omega\,r$ e il momento angolare rispetto all’asse è $m\,r^2\,\omega$. Per un sistema di punti che ruotano tutti con la stessa $\omega$:

$$L = \left(\sum_i m_i\,r_i^2\right)\omega$$

La somma tra parentesi si chiama momento d’inerzia e la studieremo con il corpo rigido. Sul ghiaccio il momento delle forze esterne rispetto all’asse verticale è praticamente nullo, quindi $L$ resta costante. Quando la pattinatrice stringe le braccia, avvicina massa all’asse e la somma $\sum m_i r_i^2$ diminuisce: per mantenere $L$ costante, $\omega$ deve aumentare.

Un esempio numerico. Due masse di 1 kg sono fissate alle estremità di un’asta leggera e ruotano su un piano orizzontale liscio attorno all’asse verticale che passa per il centro dell’asta. Ciascuna massa è a 0,5 m dall’asse, e il sistema fa 2 rad/s. Con un meccanismo interno le masse vengono avvicinate fino a 0,25 m dall’asse. Le forze che avvicinano le masse sono interne, quindi il momento angolare si conserva:

$$\begin{gathered} L = 2 \cdot 1 \cdot 0{,}5^2 \cdot 2\ \text{kg·m}^2/\text{s} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s} \\ 2 \cdot 1 \cdot 0{,}25^2 \cdot \omega_2 = 1 \\ \omega_2 = 8\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

Dimezzando la distanza dall’asse la velocità angolare quadruplica, perché nella somma la distanza compare al quadrato.

E l’energia cinetica?

L’energia cinetica di punti che ruotano con la stessa $\omega$ vale $\frac{1}{2}\left(\sum m_i r_i^2\right)\omega^2$, che si può scrivere anche come

$$E_k = \frac{L^2}{2\sum m_i\,r_i^2}$$

Se $L$ resta costante e la somma diminuisce, l’energia cinetica aumenta. Nell’esempio passa da $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot (0{,}5 \cdot 2)^2\ \text{J} = 1\ \text{J}$ a $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot (0{,}25 \cdot 8)^2\ \text{J} = 4\ \text{J}$. L’energia in più è il lavoro delle forze interne che hanno tirato le masse verso l’asse: per la pattinatrice, il lavoro dei muscoli delle braccia. Le forze interne non cambiano il momento angolare, ma possono cambiare l’energia.

Altri esempi

• Il tuffatore si stacca dal trampolino con un certo momento angolare, che in volo non può più cambiare. Raccogliendosi gira più veloce, distendendosi rallenta prima di entrare in acqua. Lo calcoliamo nel sesto esercizio.
• Il gatto che cade a zampe in su riesce a girarsi a mezz’aria pur partendo con momento angolare nullo, e il momento angolare resta nullo per tutta la caduta. Ci riesce cambiando forma: ruota in versi opposti la parte anteriore e quella posteriore del corpo, piegandole in modo diverso, e alla fine si ritrova girato.
• L’elicottero ha bisogno del rotore di coda: quando il motore fa girare il rotore principale in un verso, per la conservazione del momento angolare la fusoliera tenderebbe a girare nel verso opposto. Il rotore di coda dà la spinta che lo impedisce.
• La Terra e la Luna si scambiano momento angolare attraverso le maree: la rotazione della Terra rallenta, e la durata del giorno cresce di circa 2 millesimi di secondo al secolo, mentre la Luna si allontana di circa 3,8 cm all’anno. Il momento angolare totale del sistema resta praticamente lo stesso.
• Le stelle di neutroni, nate dal collasso del nucleo di una stella, hanno raggi di una decina di kilometri: il collasso riduce enormemente il momento d’inerzia, e alcune ruotano centinaia di volte al secondo.

Momento angolare e urti

Durante un urto tra i punti di un sistema le forze in gioco sono interne. Se le forze esterne sono trascurabili, si conservano sia la quantità di moto sia il momento angolare, e servono entrambe le leggi per risolvere il problema: la prima dà il moto del centro di massa, la seconda la rotazione. Il quarto esercizio ne è un esempio.

Se invece il sistema è vincolato a un perno, il perno può dare una reazione impulsiva: la quantità di moto non si conserva, ma il momento angolare rispetto al perno sì. Lo abbiamo visto nell’impulso angolare. Gli urti veri e propri, con le loro leggi di conservazione, li studiamo a partire dall’urto tra due punti materiali.

Gli errori più comuni

• Mescolare poli diversi. Tutti i momenti angolari e tutti i momenti delle forze vanno calcolati rispetto allo stesso polo.
• Usare un polo qualsiasi che si muove. La seconda equazione cardinale nella forma semplice vale con il polo fisso o nel centro di massa. Con un altro polo in movimento compare il termine $-\vec{v}_O \times \vec{P}$.
• Pensare che le forze interne non possano cambiare la rotazione. Non cambiano $L$, ma possono cambiare $\omega$ spostando le masse, come fa la pattinatrice.
• Credere che conservare $L$ voglia dire conservare l’energia cinetica. Spesso non è così: avvicinando le masse all’asse l’energia aumenta, negli urti anelastici diminuisce.
• Confondere conservazione di $\vec{L}$ e di $\vec{P}$. Sono indipendenti: con un perno può conservarsi $\vec{L}$ e non $\vec{P}$; con una coppia di forze si conserva $\vec{P}$ e non $\vec{L}$, come nel quinto esercizio.
• Dimenticare i segni. In un problema piano scegli un verso positivo, per esempio antiorario, e dai il segno a ogni contributo: due punti che girano in versi opposti hanno momenti angolari di segno opposto.
• Pensare che solo i corpi che ruotano abbiano momento angolare. Anche un punto in moto rettilineo ha momento angolare rispetto a un polo fuori dalla sua retta, come i pattinatori del secondo esercizio prima di afferrare l’asta.

Esercizi svolti

1. Calcolare il momento angolare e cambiare polo

Testo. Tre punti si muovono in un piano. Il primo, di 2 kg, si trova in $(1, 0)$ m e ha velocità $(0, 3)$ m/s; il secondo, di 1 kg, si trova in $(0, 2)$ m con velocità $(-2, 0)$ m/s; il terzo, di 3 kg, si trova in $(-1, -1)$ m con velocità $(1, 0)$ m/s. Calcola il momento angolare totale rispetto all’origine e rispetto al punto $O' = (1, 0)$ m.

Nel piano il momento angolare ha solo la componente $z$, perpendicolare al piano: per ogni punto vale $L_z = x\,p_y - y\,p_x$, con $\vec{p} = m\,\vec{v}$. Le quantità di moto sono $(0, 6)$, $(-2, 0)$ e $(3, 0)$ kg·m/s:

$$\begin{gathered} L_1 = 1 \cdot 6 - 0 \cdot 0 = 6 \\ L_2 = 0 \cdot 0 - 2 \cdot (-2) = 4 \\ L_3 = (-1) \cdot 0 - (-1) \cdot 3 = 3 \end{gathered}$$

Il momento angolare totale rispetto all’origine è $L = 13\ \text{kg·m}^2/\text{s}$, positivo, quindi in verso antiorario.

Per il nuovo polo usiamo la formula del cambio di polo. La quantità di moto totale è $\vec{P} = (1, 6)$ kg·m/s e $\vec{d} = (1, 0)$ m, quindi $(\vec{d} \times \vec{P})_z = 1 \cdot 6 - 0 \cdot 1 = 6$:

$$L_{O'} = 13 - 6\ \text{kg·m}^2/\text{s} = 7\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$

Verifica diretta: rispetto a $O'$ il primo punto ha $\vec{r} = 0$ e non contribuisce, il secondo ha $\vec{r} = (-1, 2)$ m e dà ancora 4, il terzo ha $\vec{r} = (-2, -1)$ m e dà ancora 3. Totale 7. Il momento angolare è cambiato perché la quantità di moto totale non è nulla.

2. Due pattinatori e un’asta

Testo. Due pattinatori di 60 kg ciascuno scivolano sul ghiaccio a 3 m/s in versi opposti, lungo due rette parallele distanti 1,5 m. Quando si incrociano afferrano le estremità di un’asta leggera lunga 1,5 m e iniziano a ruotare attorno al suo centro. a) Quanto vale il momento angolare del sistema? b) Con che velocità angolare ruotano? c) Tirando l’asta, si avvicinano fino a 1 m di distanza: quanto valgono la nuova velocità angolare e l’energia cinetica?

a) La quantità di moto totale è nulla, perché i pattinatori hanno masse uguali e velocità opposte, quindi il momento angolare è lo stesso rispetto a qualsiasi polo. Rispetto al centro dell’asta ogni pattinatore passa a 0,75 m e i due contributi hanno lo stesso verso:

$$\begin{gathered} L = 2 \cdot 60 \cdot 3 \cdot 0{,}75\ \text{kg·m}^2/\text{s} \\ {} = 270\ \text{kg·m}^2/\text{s} \end{gathered}$$

Rispetto a un punto sulla retta del primo pattinatore il suo contributo è zero, ma il secondo passa a 1,5 m: $60 \cdot 3 \cdot 1{,}5 = 270$. Stesso risultato.

b) Dopo la presa ogni pattinatore gira su una circonferenza di raggio 0,75 m. Il momento d’inerzia è $\sum m r^2 = 2 \cdot 60 \cdot 0{,}75^2\ \text{kg·m}^2 = 67{,}5\ \text{kg·m}^2$:

$$\omega = \frac{L}{\sum m r^2} = \frac{270}{67{,}5}\ \text{rad/s} = 4\ \text{rad/s}$$

c) Le forze con cui tirano l’asta sono interne, quindi $L$ resta 270 kg·m²/s. Con il raggio di 0,5 m il momento d’inerzia diventa $2 \cdot 60 \cdot 0{,}5^2 = 30\ \text{kg·m}^2$:

$$\begin{gathered} \omega' = \frac{270}{30}\ \text{rad/s} = 9\ \text{rad/s} \\ E_k = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 3^2\ \text{J} = 540\ \text{J} \\ E_k' = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 9^2\ \text{J} = 1215\ \text{J} \end{gathered}$$

Ogni pattinatore ora si muove a $\omega' r = 4{,}5\ \text{m/s}$. I 675 J in più sono il lavoro fatto dalle braccia dei pattinatori per avvicinarsi.

3. Il bambino sulla giostra

Testo. Una giostra con momento d’inerzia di 120 kg·m² gira liberamente attorno al suo asse verticale a 1 rad/s. Un bambino di 30 kg salta sul bordo, a 2 m dall’asse, muovendosi verso il centro, cioè senza momento angolare rispetto all’asse. Quanto vale la nuova velocità angolare? E se poi il bambino cammina fino al centro?

Il perno e il peso non hanno momento lungo l’asse verticale, quindi si conserva la componente verticale del momento angolare:

$$\begin{gathered} 120 \cdot 1 = (120 + 30 \cdot 2^2)\,\omega' \\ \omega' = \frac{120}{240}\ \text{rad/s} = 0{,}5\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

L’energia cinetica passa da $\frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 1^2 = 60\ \text{J}$ a $\frac{1}{2} \cdot 240 \cdot 0{,}5^2 = 30\ \text{J}$: metà si perde nell‘“atterraggio” del bambino, che è un urto anelastico. Se poi il bambino cammina fino al centro, il suo contributo $m\,r^2$ si annulla e la giostra torna a 1 rad/s, con 60 J di energia: il lavoro necessario lo fanno le gambe del bambino.

4. Il disco che urta il manubrio

Testo. Su un piano di ghiaccio senza attrito è fermo un manubrio: due masse $A$ e $B$ di 1 kg ciascuna, unite da un’asta leggera lunga 1 m. Un disco di 1 kg, che scivola a 3 m/s perpendicolarmente all’asta, urta la massa $A$ e resta attaccato. Trova la velocità del centro di massa e la velocità angolare dopo l’urto.

Le forze esterne sono trascurabili, quindi si conservano sia la quantità di moto sia il momento angolare. La quantità di moto dà il moto del centro di massa, con 3 kg in tutto dopo l’urto:

$$1 \cdot 3 = 3\,v_{CM} \quad\Rightarrow\quad v_{CM} = 1\ \text{m/s}$$

Dopo l’urto in $A$ ci sono 2 kg e in $B$ 1 kg, quindi il centro di massa si trova a $1/3$ m da $A$ e a $2/3$ m da $B$. Usiamo come polo il punto fisso in cui si trova il centro di massa nell’istante dell’urto. Prima dell’urto il disco passa a $1/3$ m da questo punto:

$$L = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}\ \text{kg·m}^2/\text{s} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$

in verso orario. Dopo l’urto il centro di massa passa per il polo, quindi il primo termine di König è nullo e resta solo la rotazione attorno al centro di massa:

$$\begin{gathered} \sum m r^2 = 2 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 + 1 \cdot \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 = \tfrac{2}{3}\ \text{kg·m}^2 \\ \omega = \frac{1}{2/3}\ \text{rad/s} = 1{,}5\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

Il manubrio avanza a 1 m/s ruotando in verso orario a 1,5 rad/s. L’energia cinetica passa da 4,5 J a $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1{,}5^2 = 2{,}25\ \text{J}$: metà si perde nell’urto, che è completamente anelastico.

5. Una coppia di forze

Testo. Un’asta leggera lunga 0,8 m, con due masse di 1 kg alle estremità, è ferma su un piano di ghiaccio. Per 0,1 s si applicano alle due estremità due forze di 10 N, uguali e opposte, perpendicolari all’asta. Cosa succede al centro di massa? Con che velocità angolare ruota l’asta alla fine?

La risultante delle forze esterne è zero, quindi la quantità di moto si conserva: il centro di massa resta fermo. Il momento delle due forze rispetto al centro, invece, non è nullo: è una coppia di forze, con momento uguale a una forza per la distanza tra le due rette d’azione:

$$\begin{gathered} M = 10 \cdot 0{,}8\ \text{N·m} = 8\ \text{N·m} \\ \Delta L = M\,\Delta t = 8 \cdot 0{,}1\ \text{kg·m}^2/\text{s} \\ {} = 0{,}8\ \text{kg·m}^2/\text{s} \end{gathered}$$

Con $\sum m r^2 = 2 \cdot 1 \cdot 0{,}4^2 = 0{,}32\ \text{kg·m}^2$:

$$\omega = \frac{0{,}8}{0{,}32}\ \text{rad/s} = 2{,}5\ \text{rad/s}$$

In 0,1 s l’asta ruota di meno di 0,13 rad, circa 7°, quindi è ragionevole considerare le forze sempre perpendicolari. Quantità di moto conservata, momento angolare no: è il caso opposto a quello del perno.

6. Il tuffatore

Testo. Un tuffatore lascia il trampolino ruotando a 2 rad/s, in posizione distesa. Il suo momento d’inerzia attorno all’asse di rotazione è circa 12 kg·m² da disteso e circa 4 kg·m² da raccolto, valori indicativi. Il volo dura 1,2 s: resta disteso per 0,2 s, si raccoglie per 0,8 s e si distende di nuovo per gli ultimi 0,2 s. Quanti giri compie? E se restasse sempre disteso?

In volo l’unica forza esterna è il peso, che agisce nel centro di massa: rispetto al centro di massa il momento esterno è nullo e il momento angolare si conserva.

$$\begin{gathered} L = 12 \cdot 2\ \text{kg·m}^2/\text{s} = 24\ \text{kg·m}^2/\text{s} \\ \omega_{raccolto} = \frac{24}{4}\ \text{rad/s} = 6\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

L’angolo totale è la somma dei tre tratti:

$$\begin{gathered} \theta = 2 \cdot 0{,}2 + 6 \cdot 0{,}8 + 2 \cdot 0{,}2\ \text{rad} \\ {} = 5{,}6\ \text{rad} \approx 0{,}89\ \text{giri} \end{gathered}$$

Restando sempre disteso farebbe $2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4\ \text{rad}$, cioè circa 0,38 giri: raccogliendosi gira più del doppio, con lo stesso momento angolare. Distendersi alla fine serve a rallentare la rotazione prima di entrare in acqua.

Altri problemi con sistemi di punti, urti e rotazioni li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• Il momento angolare di un sistema è $\vec{L} = \sum \vec{r}_i \times m_i\vec{v}_i$, con tutti i contributi calcolati rispetto allo stesso polo. Cambiando polo cambia di $-\vec{d} \times \vec{P}$; se $\vec{P} = 0$ non dipende dal polo.
• Seconda equazione cardinale: $d\vec{L}/dt = \vec{M}^{(E)}$, con il polo fisso o nel centro di massa. I momenti interni si annullano perché le forze interne sono a coppie lungo la stessa retta.
• Se il momento delle forze esterne è nullo, $\vec{L}$ si conserva, anche solo lungo un asse.
• Per punti che ruotano con la stessa $\omega$, $L = (\sum m r^2)\,\omega$: avvicinando massa all’asse la velocità angolare aumenta. Pattinatrici, tuffatori, stelle di neutroni.
• Conservare $L$ non vuol dire conservare l’energia cinetica, e la conservazione di $\vec{L}$ è indipendente da quella di $\vec{P}$.

Per separare il moto del centro di massa dal moto attorno a esso, si usa il teorema di König.