Conservazione della quantità di moto: principio, condizioni, esempi ed esercizi svolti

È uno dei principi più potenti di tutta la fisica: in un sistema isolato la quantità di moto totale non cambia, qualunque cosa succeda all’interno. Spiega il rinculo di un fucile, il funzionamento dei razzi e gli urti, e vale anche dove le leggi di Newton classiche non bastano, come nella fisica delle particelle. In questa pagina vediamo da dove viene il principio, cosa significa per il centro di massa, quando si può usare anche se le forze esterne non sono nulle, un po’ di storia, gli errori più comuni, l’equazione del razzo e sei esercizi svolti.

Il principio

Partiamo da due corpi

Due carrelli su un binario orizzontale, tenuti vicini da una molla compressa, vengono lasciati liberi. Durante la spinta il carrello 1 esercita sul carrello 2 una forza $\vec{F}_{21}$ e, per il terzo principio, il carrello 2 esercita sul carrello 1 una forza $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$. Peso e reazione del binario si annullano. Con il secondo principio scritto come $\vec{F} = d\vec{p}/dt$:

$$\begin{gathered} \frac{d\vec{p}_1}{dt} = -\frac{d\vec{p}_2}{dt} \\ \frac{d}{dt}\left(\vec{p}_1 + \vec{p}_2\right) = 0 \end{gathered}$$

Istante per istante, la quantità di moto che uno guadagna l’altro la perde: il totale non cambia.

Il caso generale

Per un sistema di tanti punti il ragionamento è lo stesso: le forze interne si annullano a coppie e resta la prima equazione cardinale, $d\vec{P}/dt = \vec{R}^{(E)}$. Se la risultante delle forze esterne è nulla, la derivata della quantità di moto è zero:

$$\begin{gathered} \vec{R}^{(E)} = 0 \\ \vec{P} = \sum_i m_i\,\vec{v}_i = \text{costante} \end{gathered}$$

Se la risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema si conserva.

Un sistema su cui non agiscono forze esterne, o in cui si fanno equilibrio, si dice isolato. Le forze interne possono trasferire quantità di moto da un punto all’altro, ma il totale non cambia. La quantità di moto è un vettore: si conserva in modulo, direzione e verso, quindi in un problema nel piano la conservazione dà due equazioni, una per ogni componente.

Il centro di massa

Dato che $\vec{P} = M\,\vec{v}_{cm}$, conservare la quantità di moto vuol dire che la velocità del centro di massa è costante: in un sistema isolato il centro di massa resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. Se il sistema parte da fermo, il centro di massa non si sposta, per quanto i suoi pezzi si muovano.

È per questo che, se cammini su una barca ferma, la barca scivola all’indietro: il centro di massa di te e della barca deve restare dove era. Ed è per questo che i frammenti di un fuoco d’artificio si sparpagliano in tutte le direzioni, ma il loro centro di massa continua sulla parabola che avrebbe seguito il razzo intero, finché il primo frammento non tocca terra, se si trascura la resistenza dell’aria.

Quando si può usare nella pratica

Le forze esterne raramente sono nulle del tutto. Il principio si usa comunque in tre situazioni molto frequenti.

Forze esterne che si equilibrano. Per due carrelli su un binario orizzontale il peso e la reazione del binario sono uguali e opposti: la risultante esterna è zero anche se le forze ci sono.

Conservazione lungo una direzione. La prima equazione cardinale vale per componenti. Se è nulla solo la componente $x$ della risultante esterna, si conserva solo $P_x$:

$$\begin{gathered} R_x^{(E)} = 0 \\ P_x = \text{costante} \end{gathered}$$

Per un’esplosione o un urto su un piano orizzontale senza attrito si conserva la quantità di moto orizzontale, anche se il peso agisce in verticale. Il cannone del quinto esercizio ne è un esempio: la quantità di moto orizzontale si conserva, quella verticale no, perché il terreno spinge.

Fenomeni molto brevi. In un urto o un’esplosione le forze interne sono enormi e durano pochissimo. L’impulso delle forze esterne ordinarie, come il peso o l’attrito, in quel tempo brevissimo è trascurabile: la quantità di moto subito prima e subito dopo è la stessa. È ciò che si usa in tutti gli urti. Prima e dopo, invece, le forze esterne tornano a contare: dopo l’urto l’attrito frena i corpi.

Un po’ di storia

L’idea che “qualcosa” del moto si conservi è antica. René Descartes, nei Principia philosophiae del 1644, sostenne che nell’universo si conserva la “quantità di moto”, intesa come massa per velocità, ma senza tenere conto della direzione: con quella regola i suoi risultati sugli urti erano sbagliati. La versione corretta, con la direzione e quindi con i segni, arrivò tra il 1668 e il 1669, quando John Wallis, Christopher Wren e Christiaan Huygens presentarono alla Royal Society di Londra i loro studi sugli urti. Newton la inserì poco dopo nei Principia del 1687, come conseguenza delle sue leggi.

Oggi sappiamo che il principio è ancora più profondo delle leggi di Newton. Nel 1918 la matematica Emmy Noether dimostrò che deriva da una simmetria: le leggi della fisica sono le stesse in ogni punto dello spazio. E la fiducia nella conservazione è tale che, nel 1930, Wolfgang Pauli preferì ipotizzare una particella invisibile, il neutrino, piuttosto che rinunciare alle leggi di conservazione nei decadimenti radioattivi; il neutrino fu poi osservato nel 1956.

La propulsione a razzo

Un razzo nello spazio non ha niente contro cui “spingere”. Si muove proprio grazie alla conservazione della quantità di moto: espelle all’indietro gas ad alta velocità, e per compensare acquista quantità di moto in avanti. È lo stesso principio del fucile che rincula, ripetuto in modo continuo.

Il razzo però perde massa mentre accelera, quindi va trattato con un po’ di attenzione. In un tempo $dt$ un razzo di massa $m$ espelle una piccola massa di gas $dm_g$ con velocità $u$ rispetto al razzo. Applicando la conservazione della quantità di moto tra prima e dopo e trascurando i termini piccolissimi, si trova $m\,dv = u\,dm_g$. Dato che la massa del razzo diminuisce di quanto gas espelle, $dm = -dm_g$, e integrando:

$$\Delta v = u\,\ln\frac{m_0}{m_f}$$

È l’equazione di Tsiolkovsky, pubblicata dal russo Konstantin Tsiolkovsky nel 1903. Dice due cose importanti. La velocità guadagnata dipende dalla velocità dei gas di scarico $u$ e dal rapporto tra la massa iniziale $m_0$, con il carburante, e quella finale $m_f$, a serbatoi vuoti. E dipende da quel rapporto solo attraverso un logaritmo, che cresce lentamente: con gas a circa 3 km/s e un razzo che all’inizio pesa dieci volte più che alla fine si guadagnano circa 6,9 km/s, meno dei 9-10 km/s che servono per arrivare in orbita bassa tenendo conto della gravità e dell’aria. Per questo i razzi sono a più stadi: quando un serbatoio è vuoto, lo si sgancia per non portarsi dietro massa inutile.

La spinta del motore vale $u$ per la massa di gas espulsa ogni secondo: lo calcoliamo nel sesto esercizio. Il secondo principio scritto come $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ è proprio quello che serve per i sistemi a massa variabile.

Gli errori più comuni

• Conservare la quantità di moto quando ci sono forze esterne. Un perno, il terreno, l’attrito per un tempo lungo: se la risultante esterna non è nulla, la quantità di moto non si conserva, o si conserva solo lungo alcune direzioni.
• Dimenticare che è un vettore. Le velocità vanno prese con il segno in una dimensione e per componenti nel piano. Due corpi che si vengono incontro hanno quantità di moto di segno opposto.
• Confondere conservazione della quantità di moto e dell’energia. Sono due leggi diverse: negli urti anelastici e nelle esplosioni la prima vale e la seconda no.
• Scegliere male il sistema. Il sistema deve contenere tutti i corpi che interagiscono tra loro: fucile e proiettile, barca e persona. Se ne lasci fuori uno, la sua forza diventa esterna.
• Mescolare velocità relative e velocità rispetto al suolo. Nella conservazione tutte le velocità devono essere misurate nello stesso sistema di riferimento. Se il testo dà una velocità rispetto alla barca, va prima convertita, come nel secondo esercizio.
• Applicarla su intervalli troppo lunghi. Negli urti vale tra l’istante prima e l’istante dopo; nei secondi successivi l’attrito e il peso cambiano la quantità di moto.
• Pensare che un sistema fermo non abbia nulla da conservare. La quantità di moto totale è zero, ma le parti possono muoversi: devono solo avere quantità di moto che si compensano.

Esercizi svolti

1. Il rinculo di un fucile

Testo. Un fucile di 4 kg spara un proiettile di 10 g a 400 m/s. Con che velocità rincula se è libero? E se è appoggiato con forza alla spalla di una persona di 80 kg? Confronta le energie cinetiche di proiettile e fucile.

Prima dello sparo tutto è fermo e la quantità di moto è zero; le forze dello sparo sono interne:

$$\begin{gathered} 0 = m_p\,v_p + M_f\,V_f \\ V_f = -\frac{m_p\,v_p}{M_f} = -\frac{0{,}01 \cdot 400}{4}\ \text{m/s} \\ V_f = -1\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il fucile libero rincula a 1 m/s. Se è ben appoggiato alla spalla, la massa che rincula comprende anche chi spara, 84 kg in tutto: $V = 4/84\ \text{m/s} \approx 0{,}048\ \text{m/s}$, meno di 5 cm/s. Per questo va tenuto stretto.

Le energie cinetiche sono molto diverse: il proiettile ha $\frac{1}{2} \cdot 0{,}01 \cdot 400^2 = 800\ \text{J}$, il fucile libero $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1^2 = 2\ \text{J}$. Le quantità di moto sono uguali e opposte, ma quasi tutta l’energia va al corpo più leggero.

2. Saltare da una barca

Testo. Una persona di 60 kg salta dalla poppa di una barca di 120 kg, inizialmente ferma, con una velocità orizzontale di 3 m/s. Con che velocità si allontana la barca? Rifai il conto se i 3 m/s sono misurati rispetto alla barca. Trascura l’attrito dell’acqua.

Se i 3 m/s sono rispetto all’acqua:

$$\begin{gathered} 60 \cdot 3 + 120 \cdot V = 0 \\ V = -1{,}5\ \text{m/s} \end{gathered}$$

La barca si allontana a 1,5 m/s nel verso opposto. È per lo stesso motivo che, scendendo da una barca piccola, rischi di finire in acqua: mentre spingi in avanti, la barca scivola indietro.

Se invece i 3 m/s sono rispetto alla barca, la velocità della persona rispetto all’acqua è $v = 3 + V$, dove $V$ è negativa:

$$\begin{gathered} 60\,(3 + V) + 120\,V = 0 \\ 180\,V = -180 \quad\Rightarrow\quad V = -1\ \text{m/s} \end{gathered}$$

e la persona si muove a $3 - 1 = 2\ \text{m/s}$ rispetto all’acqua. Usare i 3 m/s direttamente nella conservazione darebbe il risultato sbagliato.

3. Camminare su una barca

Testo. La stessa persona di 60 kg si trova a poppa della barca di 120 kg, ferma in acqua calma, e cammina verso prua per 4 m rispetto alla barca. Di quanto si sposta la barca? Di quanto si sposta la persona rispetto alla riva?

Il sistema parte da fermo e la quantità di moto orizzontale si conserva, quindi il centro di massa non si sposta: $60\,\Delta x_p + 120\,\Delta x_b = 0$. Lo spostamento della persona rispetto alla barca è $\Delta x_p - \Delta x_b = 4\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} 60\,(4 + \Delta x_b) + 120\,\Delta x_b = 0 \\ \Delta x_b = -\frac{240}{180}\ \text{m} \approx -1{,}33\ \text{m} \end{gathered}$$

La barca arretra di 1,33 m e la persona avanza di $4 - 1{,}33 \approx 2{,}67\ \text{m}$ rispetto alla riva. Il risultato non dipende da quanto velocemente cammina: conta solo che il centro di massa resti fermo.

4. Un’esplosione in tre frammenti

Testo. Un oggetto di 3 kg, fermo, esplode in tre frammenti di 1 kg ciascuno. Il primo parte verso est a 10 m/s, il secondo verso nord a 10 m/s. Con che velocità e in che direzione parte il terzo? Quanta energia cinetica ha liberato l’esplosione?

La quantità di moto totale era zero e deve restare zero, quindi il terzo frammento deve compensare gli altri due:

$$\begin{gathered} \vec{p}_3 = -\left(\vec{p}_1 + \vec{p}_2\right) \\ p_3 = \sqrt{10^2 + 10^2}\ \text{kg·m/s} \approx 14{,}1\ \text{kg·m/s} \end{gathered}$$

Il terzo frammento parte verso sud-ovest a circa 14,1 m/s. L’energia cinetica finale è $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 10^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 10^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 14{,}1^2 \approx 200\ \text{J}$: tutta energia liberata dall’esplosione, perché all’inizio era zero.

5. Il cannone sui binari

Testo. Un cannone di 500 kg, libero di scorrere senza attrito su binari orizzontali, spara un proiettile di 10 kg a 200 m/s, con un’inclinazione di 30° sull’orizzontale; la velocità è misurata rispetto al suolo. Con che velocità rincula il cannone? Si conserva anche la quantità di moto verticale?

Lungo l’orizzontale non ci sono forze esterne, quindi si conserva $P_x$:

$$\begin{gathered} 0 = 10 \cdot 200 \cos 30° + 500\,V \\ V = -\frac{1732}{500}\ \text{m/s} \approx -3{,}46\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Lungo la verticale, invece, la quantità di moto non si conserva: il proiettile parte con $10 \cdot 200 \sin 30° = 1000\ \text{kg·m/s}$ verso l’alto, mentre il cannone non può affondare nei binari. Quei 1000 kg·m/s glieli dà il terreno, con una reazione impulsiva verso l’alto durante lo sparo.

6. Il razzo

Testo. Un razzo di 1000 kg, nello spazio lontano da qualsiasi pianeta, contiene 600 kg di carburante, che brucia al ritmo di 10 kg/s espellendo i gas a 2500 m/s rispetto al razzo. Quanto vale la spinta? Di quanto aumenta la velocità del razzo quando il carburante è finito? Quanto valgono l’accelerazione iniziale e quella finale?

La spinta è la velocità dei gas per la massa espulsa ogni secondo:

$$F = u\,\frac{dm_g}{dt} = 2500 \cdot 10\ \text{N} = 25\,000\ \text{N}$$

Il carburante dura 60 s e alla fine il razzo ha massa $1000 - 600 = 400\ \text{kg}$. Con l’equazione di Tsiolkovsky:

$$\begin{gathered} \Delta v = 2500 \cdot \ln\frac{1000}{400}\ \text{m/s} \\ {} \approx 2500 \cdot 0{,}916\ \text{m/s} \approx 2290\ \text{m/s} \end{gathered}$$

L’accelerazione cresce perché la spinta resta la stessa mentre la massa diminuisce: all’inizio $25\,000/1000 = 25\ \text{m/s}^2$, alla fine $25\,000/400 = 62{,}5\ \text{m/s}^2$, più di sei volte l’accelerazione di gravità.

Altri problemi con urti, esplosioni e centro di massa li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• Se la risultante delle forze esterne è nulla, $\vec{P} = \sum m_i\vec{v}_i$ si conserva: le forze interne, uguali e opposte per il terzo principio, si limitano a trasferire quantità di moto.
• Il centro di massa di un sistema isolato si muove di moto rettilineo uniforme, o resta fermo.
• Se è nulla solo una componente della risultante esterna, si conserva solo quella componente di $\vec{P}$.
• Negli urti e nelle esplosioni l’impulso delle forze esterne è trascurabile: $\vec{P}$ prima e dopo è lo stesso.
• Tutte le velocità vanno misurate nello stesso sistema di riferimento; la conservazione della quantità di moto non implica quella dell’energia cinetica.
• Un razzo accelera espellendo gas: $\Delta v = u\ln(m_0/m_f)$.

Anche per il momento angolare vale un principio di conservazione per i sistemi: lo vediamo nel momento angolare di un sistema di punti.