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Esercizi svolti su sistemi di punti e urti: centro di massa, quantità di moto e urti

Fisica 1 › Sistemi di punti e urtidi Valentino RoccoAggiornato il 7 min di lettura

In questa pagina
  1. Le formule da avere sotto mano
  2. Esercizio 1 · Il centro di massa di tre corpi
  3. Esercizio 2 · Il rinculo del cannone
  4. Esercizio 3 · Il proiettile nel blocco di legno
  5. Esercizio 4 · L’urto elastico centrale
  6. Esercizio 5 · L’urto anelastico tra due carrelli
  7. Esercizio 6 · L’incidente all’incrocio
  8. Esercizio 7 · L’esplosione in volo
  9. Esercizio 8 · La molla tra due blocchi
  10. Gli errori più comuni
  11. Per continuare

In questa pagina trovi otto esercizi sul capitolo dei sistemi di punti e degli urti, in ordine di difficoltà: i primi sono di base, quelli centrali di livello medio, gli ultimi sono da esame.

Prova da solo seguendo il metodo in 6 passi, e apri la soluzione solo dopo. Negli esercizi sugli urti la regola d’oro è dividere il problema in fasi: prima dell’urto, l’urto, dopo l’urto. In ogni fase si conserva qualcosa di diverso. In tutti gli esercizi usiamo g=9,81 m/s2g = 9{,}81\ \text{m/s}^2.

Le formule da avere sotto mano

Prima di cominciare, ecco le formule che userai negli otto esercizi. Se una non ti è chiara, il link nella colonna di sinistra ti porta alla spiegazione completa.

CosaFormula
centro di massaxcm=∑mi xiMx_{cm} = \dfrac{\sum m_i\,x_i}{M}
quantità di moto, si conserva∑p⃗prima=∑p⃗dopo\sum \vec p_{prima} = \sum \vec p_{dopo}
urto elastico, bersaglio fermov1,f=m1−m2m1+m2 v1v_{1,f} = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1
v2,f=2 m1m1+m2 v1v_{2,f} = \dfrac{2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1
coefficiente di restituzionee=−v1,f−v2,fv1−v2e = -\dfrac{v_{1,f} - v_{2,f}}{v_1 - v_2}
urto completamente anelasticoV=m1v1+m2v2m1+m2V = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}
energia persa nell’urto (Ek ′E_k\,' è l’energia relativa al centro di massa)ΔE=−(1−e2) Ek ′\Delta E = -(1 - e^2)\,E_k\,'
Ek ′=12 μ (v1−v2)2E_k\,' = \frac{1}{2}\,\mu\,(v_1 - v_2)^2
μ=m1m2m1+m2\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}
teorema di KönigEk=12M vcm2+Ek ′E_k = \frac{1}{2}M\,v_{cm}^2 + E_k\,'

Ricorda che le velocità vanno sempre prese con il loro segno: scegli un verso positivo all’inizio e rispettalo in tutte le equazioni.

Esercizio 1 · Il centro di massa di tre corpi

Livello: base · Argomento: centro di massa

Tre piccoli corpi sono fissati su un piano: 2,0 kg nell’origine, 3,0 kg nel punto (4,0; 0)(4{,}0;\ 0) m e 5,0 kg nel punto (0; 2,0)(0;\ 2{,}0) m. Dove si trova il centro di massa?

Mostra la soluzione

Il centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse, componente per componente. La massa totale è 10 kg:

xcm=2,0⋅0+3,0⋅4,0+5,0⋅010 mxcm=1,2 mycm=2,0⋅0+3,0⋅0+5,0⋅2,010 mycm=1,0 m\begin{gathered} x_{cm} = \frac{2{,}0 \cdot 0 + 3{,}0 \cdot 4{,}0 + 5{,}0 \cdot 0}{10}\ \text{m} \\ x_{cm} = 1{,}2\ \text{m} \\ y_{cm} = \frac{2{,}0 \cdot 0 + 3{,}0 \cdot 0 + 5{,}0 \cdot 2{,}0}{10}\ \text{m} \\ y_{cm} = 1{,}0\ \text{m} \end{gathered}

Il centro di massa è in (1,2; 1,0)(1{,}2;\ 1{,}0) m: dentro il triangolo, più vicino al corpo più pesante.

Esercizio 2 · Il rinculo del cannone

Livello: base · Argomento: conservazione della quantità di moto

Un cannone di 800 kg, inizialmente fermo su un terreno orizzontale, spara orizzontalmente un proiettile di 10 kg a 300 m/s.

  1. Con che velocità rincula il cannone?
  2. Se il coefficiente di attrito dinamico con il terreno è 0,30, di quanto arretra?
  3. Proiettile e cannone ricevono la stessa energia cinetica?
Mostra la soluzione

1. Durante lo sparo le forze tra cannone e proiettile sono interne e la quantità di moto orizzontale si conserva. Prima era zero:

0=m v+M VV=−mM vV=−10800⋅300 m/s=−3,75 m/s\begin{gathered} 0 = m\,v + M\,V \\ V = -\frac{m}{M}\,v \\ V = -\frac{10}{800} \cdot 300\ \text{m/s} = -3{,}75\ \text{m/s} \end{gathered}

Il segno meno indica che il cannone va all’indietro.

2. Dopo lo sparo l’attrito dissipa l’energia cinetica del cannone:

d=V22 μd g=3,7522⋅0,30⋅9,81 m≈2,4 md = \frac{V^2}{2\,\mu_d\,g} = \frac{3{,}75^2}{2 \cdot 0{,}30 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 2{,}4\ \text{m}

3. No. Il proiettile ha 12⋅10⋅3002=450 kJ\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 300^2 = 450\ \text{kJ}, il cannone appena 12⋅800⋅3,752≈5,6 kJ\frac{1}{2} \cdot 800 \cdot 3{,}75^2 \approx 5{,}6\ \text{kJ}. Le quantità di moto sono uguali e opposte, ma l’energia va quasi tutta al corpo più leggero: è per questo che si costruiscono cannoni pesanti.

Esercizio 3 · Il proiettile nel blocco di legno

Livello: medio · Argomento: urto completamente anelastico

Un proiettile di 20 g, che viaggia orizzontalmente a 400 m/s, si conficca in un blocco di legno di 1,98 kg fermo su un tavolo. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,25.

  1. Con che velocità parte il blocco con il proiettile dentro?
  2. Quanta strada percorre prima di fermarsi?
  3. Che frazione dell’energia cinetica del proiettile si perde nell’urto?
Mostra la soluzione

Fase 1, l’urto. Dura pochissimo: l’attrito non fa in tempo a cambiare la quantità di moto, che si conserva. I corpi restano uniti:

m v=(m+M) VV=0,020⋅4002,00 m/s=4,0 m/s\begin{gathered} m\,v = (m + M)\,V \\ V = \frac{0{,}020 \cdot 400}{2{,}00}\ \text{m/s} = 4{,}0\ \text{m/s} \end{gathered}

Fase 2, la scivolata. Ora l’attrito dissipa l’energia cinetica:

d=V22 μd g=162⋅0,25⋅9,81 m≈3,3 md = \frac{V^2}{2\,\mu_d\,g} = \frac{16}{2 \cdot 0{,}25 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 3{,}3\ \text{m}

3. Prima dell’urto l’energia cinetica è 12⋅0,020⋅4002=1600 J\frac{1}{2} \cdot 0{,}020 \cdot 400^2 = 1600\ \text{J}, subito dopo 12⋅2,00⋅42=16 J\frac{1}{2} \cdot 2{,}00 \cdot 4^2 = 16\ \text{J}. Si perde il 99% dell’energia, che va in deformazione del legno e calore.

Errore classico: usare la conservazione dell’energia per l’urto. In un urto completamente anelastico l’energia cinetica non si conserva.

Esercizio 4 · L’urto elastico centrale

Livello: medio · Argomento: urto elastico

Una sfera di 0,50 kg che viaggia a 4,0 m/s urta in modo elastico e centrale una sfera di 1,5 kg ferma. Calcola le velocità dopo l’urto e verifica la conservazione dell’energia.

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Con il bersaglio fermo, le formule dell’urto elastico centrale sono:

v1,f=m1−m2m1+m2 v1v1,f=0,50−1,52,0⋅4,0 m/sv1,f=−2,0 m/s\begin{gathered} v_{1,f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 \\ v_{1,f} = \frac{0{,}50 - 1{,}5}{2{,}0} \cdot 4{,}0\ \text{m/s} \\ v_{1,f} = -2{,}0\ \text{m/s} \end{gathered} v2,f=2 m1m1+m2 v1v2,f=1,02,0⋅4,0 m/s=2,0 m/s\begin{gathered} v_{2,f} = \frac{2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 \\ v_{2,f} = \frac{1{,}0}{2{,}0} \cdot 4{,}0\ \text{m/s} = 2{,}0\ \text{m/s} \end{gathered}

La sfera leggera rimbalza indietro, quella pesante parte in avanti.

Controlli:

  • Quantità di moto: prima 0,50⋅4,0=2,0 kg⋅m/s0{,}50 \cdot 4{,}0 = 2{,}0\ \text{kg·m/s}; dopo 0,50⋅(−2,0)+1,5⋅2,0=2,0 kg⋅m/s0{,}50 \cdot (-2{,}0) + 1{,}5 \cdot 2{,}0 = 2{,}0\ \text{kg·m/s}.
  • Energia: prima 12⋅0,50⋅16=4,0 J\frac{1}{2} \cdot 0{,}50 \cdot 16 = 4{,}0\ \text{J}; dopo 1,0+3,0=4,0 J1{,}0 + 3{,}0 = 4{,}0\ \text{J}.
  • Velocità relativa: prima 4,0 m/s di avvicinamento, dopo 4,0 m/s di allontanamento. Si inverte, come in ogni urto elastico.

Esercizio 5 · L’urto anelastico tra due carrelli

Livello: medio · Argomento: urto anelastico

Su un binario un carrello di 2,0 kg a 5,0 m/s e un carrello di 3,0 kg a 1,0 m/s si vengono incontro. Il coefficiente di restituzione è 0,60. Calcola le velocità dopo l’urto e l’energia dissipata.

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Segni. Asse nel verso del primo carrello: v1=+5,0 m/sv_1 = +5{,}0\ \text{m/s}, v2=−1,0 m/sv_2 = -1{,}0\ \text{m/s}. Velocità relativa v1−v2=6,0 m/sv_1 - v_2 = 6{,}0\ \text{m/s}.

Velocità del centro di massa:

vcm=2,0⋅5,0+3,0⋅(−1,0)5,0 m/svcm=1,4 m/s\begin{gathered} v_{cm} = \frac{2{,}0 \cdot 5{,}0 + 3{,}0 \cdot (-1{,}0)}{5{,}0}\ \text{m/s} \\ v_{cm} = 1{,}4\ \text{m/s} \end{gathered}

Velocità finali, con M=5,0 kgM = 5{,}0\ \text{kg}:

v1,f=vcm−e m2M(v1−v2)v1,f=1,4−0,60⋅0,60⋅6,0 m/sv1,f=−0,76 m/s\begin{gathered} v_{1,f} = v_{cm} - e\,\frac{m_2}{M}(v_1 - v_2) \\ v_{1,f} = 1{,}4 - 0{,}60 \cdot 0{,}60 \cdot 6{,}0\ \text{m/s} \\ v_{1,f} = -0{,}76\ \text{m/s} \end{gathered} v2,f=vcm+e m1M(v1−v2)v2,f=1,4+0,60⋅0,40⋅6,0 m/sv2,f=2,84 m/s\begin{gathered} v_{2,f} = v_{cm} + e\,\frac{m_1}{M}(v_1 - v_2) \\ v_{2,f} = 1{,}4 + 0{,}60 \cdot 0{,}40 \cdot 6{,}0\ \text{m/s} \\ v_{2,f} = 2{,}84\ \text{m/s} \end{gathered}

Energia dissipata. Si perde la frazione 1−e2=0,641 - e^2 = 0{,}64 dell’energia relativa al centro di massa. Con la massa ridotta μ=m1m2/M=1,2 kg\mu = m_1m_2/M = 1{,}2\ \text{kg}:

ΔE=−(1−e2) 12 μ (v1−v2)2ΔE=−0,64⋅12⋅1,2⋅36 J≈−13,8 J\begin{gathered} \Delta E = -(1 - e^2)\,\frac{1}{2}\,\mu\,(v_1 - v_2)^2 \\ \Delta E = -0{,}64 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{,}2 \cdot 36\ \text{J} \approx -13{,}8\ \text{J} \end{gathered}

Controllo: l’energia cinetica passa da 26,5 J a 12,7 J.

Esercizio 6 · L’incidente all’incrocio

Livello: medio · Argomento: urto in due dimensioni

A un incrocio un’auto di 1200 kg diretta verso nord a 15 m/s si scontra con un’auto di 1600 kg diretta verso est a 10 m/s. Le due auto restano incastrate. Con che velocità, e in che direzione, si muovono subito dopo l’urto? Quanta energia cinetica si perde?

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Assi: xx verso est, yy verso nord. La quantità di moto è un vettore e si conserva per componenti:

px=1600⋅10=16 000 kg⋅m/spy=1200⋅15=18 000 kg⋅m/s\begin{gathered} p_x = 1600 \cdot 10 = 16\,000\ \text{kg·m/s} \\ p_y = 1200 \cdot 15 = 18\,000\ \text{kg·m/s} \end{gathered}

Dopo l’urto le auto hanno una velocità comune, con massa totale 2800 kg:

v=px2+py22800=24 0832800 m/sv≈8,6 m/stan⁡α=pypx=1,125α≈48°\begin{gathered} v = \frac{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}{2800} = \frac{24\,083}{2800}\ \text{m/s} \\ v \approx 8{,}6\ \text{m/s} \\ \tan\alpha = \frac{p_y}{p_x} = 1{,}125 \qquad \alpha \approx 48° \end{gathered}

La direzione è a circa 48° verso nord rispetto all’est, cioè verso nord-est.

Energia: prima 12⋅1200⋅152+12⋅1600⋅102=215 kJ\frac{1}{2} \cdot 1200 \cdot 15^2 + \frac{1}{2} \cdot 1600 \cdot 10^2 = 215\ \text{kJ}, dopo 12⋅2800⋅8,62≈104 kJ\frac{1}{2} \cdot 2800 \cdot 8{,}6^2 \approx 104\ \text{kJ}. Si perde circa la metà dell’energia, assorbita dalle deformazioni delle carrozzerie.

La polizia stradale fa questo calcolo al contrario: dalla direzione e dalla lunghezza delle frenate dopo l’urto ricostruisce le velocità prima.

Esercizio 7 · L’esplosione in volo

Livello: da esame · Argomento: moto del centro di massa

Un proiettile di 3,0 kg, nel punto più alto della sua traiettoria, a 45 m di quota, ha velocità orizzontale di 20 m/s. Lì esplode in due frammenti: uno di 1,0 kg resta fermo subito dopo l’esplosione e cade in verticale.

  1. Che velocità ha l’altro frammento subito dopo l’esplosione?
  2. Dove cadono i due frammenti, rispetto al punto sotto l’esplosione?
  3. Dove si trova il centro di massa quando toccano terra?
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1. Le forze dell’esplosione sono interne: la quantità di moto si conserva.

3,0⋅20=1,0⋅0+2,0⋅v2v2=30 m/s\begin{gathered} 3{,}0 \cdot 20 = 1{,}0 \cdot 0 + 2{,}0 \cdot v_2 \\ v_2 = 30\ \text{m/s} \end{gathered}

in orizzontale, nello stesso verso di prima.

2. Entrambi i frammenti partono con velocità verticale nulla da 45 m: cadono nello stesso tempo,

t=2hg=909,81 s≈3,03 st = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{90}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 3{,}03\ \text{s}

Il primo cade proprio sotto il punto dell’esplosione, il secondo a 30⋅3,03≈91 m30 \cdot 3{,}03 \approx 91\ \text{m} più avanti.

3.

xcm=1,0⋅0+2,0⋅913,0 m≈61 mx_{cm} = \frac{1{,}0 \cdot 0 + 2{,}0 \cdot 91}{3{,}0}\ \text{m} \approx 61\ \text{m}

Esattamente dove sarebbe arrivato il proiettile intero, 20⋅3,03≈61 m20 \cdot 3{,}03 \approx 61\ \text{m}. L’esplosione non cambia il moto del centro di massa, che continua la sua parabola come se niente fosse: è la prima equazione cardinale.

Esercizio 8 · La molla tra due blocchi

Livello: da esame · Argomento: teorema di König

Su un piano orizzontale liscio un blocco di 1,0 kg a 6,0 m/s va verso un blocco di 2,0 kg fermo, che porta sul lato rivolto verso il primo una molla di costante 600 N/m e massa trascurabile.

  1. Qual è la compressione massima della molla?
  2. Che velocità hanno i blocchi quando la molla torna a riposo e si separano?
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1. Compressione massima. In quell’istante la molla non si accorcia più: i due blocchi hanno la stessa velocità, che è quella del centro di massa, costante per tutto l’urto:

vcm=1,0⋅6,03,0 m/s=2,0 m/sv_{cm} = \frac{1{,}0 \cdot 6{,}0}{3{,}0}\ \text{m/s} = 2{,}0\ \text{m/s}

Per il teorema di König l’energia cinetica totale, 12⋅1,0⋅36=18 J\frac{1}{2} \cdot 1{,}0 \cdot 36 = 18\ \text{J}, si divide in:

  • energia del centro di massa, 12⋅3,0⋅2,02=6,0 J\frac{1}{2} \cdot 3{,}0 \cdot 2{,}0^2 = 6{,}0\ \text{J}, che non può cambiare;
  • energia relativa al centro di massa, 18−6=12 J18 - 6 = 12\ \text{J}.

Alla massima compressione il moto relativo è fermo: tutti i 12 J sono nella molla.

12 k x2=12 Jx=2⋅12600 m=0,20 m\begin{gathered} \frac{1}{2}\,k\,x^2 = 12\ \text{J} \\ x = \sqrt{\frac{2 \cdot 12}{600}}\ \text{m} = 0{,}20\ \text{m} \end{gathered}

2. Separazione. La molla è ideale: restituisce tutta l’energia, e l’urto complessivo è elastico:

v1,f=1,0−2,03,0⋅6,0 m/s=−2,0 m/sv2,f=2⋅1,03,0⋅6,0 m/s=4,0 m/s\begin{gathered} v_{1,f} = \frac{1{,}0 - 2{,}0}{3{,}0} \cdot 6{,}0\ \text{m/s} = -2{,}0\ \text{m/s} \\ v_{2,f} = \frac{2 \cdot 1{,}0}{3{,}0} \cdot 6{,}0\ \text{m/s} = 4{,}0\ \text{m/s} \end{gathered}

Controllo: energia finale 12⋅1,0⋅4+12⋅2,0⋅16=18 J\frac{1}{2} \cdot 1{,}0 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2{,}0 \cdot 16 = 18\ \text{J}.

Gli errori più comuni

  • Conservare l’energia cinetica in un urto che non è elastico. Negli urti anelastici e completamente anelastici si conserva solo la quantità di moto.
  • Dimenticare i segni. Due corpi che si vengono incontro hanno velocità di segno opposto.
  • Usare la quantità di moto anche dopo l’urto. Quando agiscono forze esterne, come l’attrito o il peso nella risalita di un pendolo, la quantità di moto non si conserva più: si usa l’energia.
  • Sommare i moduli negli urti nel piano. La quantità di moto si conserva per componenti.
  • Non convertire le masse. I proiettili sono spesso dati in grammi: 10 g sono 0,010 kg.
  • Confondere energia totale ed energia relativa. Il fattore 1−e21 - e^2 riguarda l’energia relativa al centro di massa.

Per continuare

Se un esercizio ti ha messo in difficoltà, ripassa l’argomento collegato e riprova il giorno dopo senza guardare la soluzione. Poi passa al capitolo successivo, il corpo rigido.

Se vuoi altri esercizi spiegati passo per passo anche in video, li trovi nel mio corso di esercizi di Fisica 1 su Udemy.

Domande frequenti

In un esercizio sugli urti cosa si conserva?

La quantità di moto totale si conserva sempre tra l'istante prima e quello dopo l'urto, se non agiscono forze esterne impulsive. L'energia cinetica si conserva solo negli urti elastici. Prima e dopo l'urto, per esempio quando un corpo sale lungo un pendio, si usa invece la conservazione dell'energia meccanica.

Come si risolve un urto in due dimensioni?

Si scrive la conservazione della quantità di moto per componenti, lungo x e lungo y, perché è un'uguaglianza tra vettori. Se l'urto è completamente anelastico bastano queste due equazioni per trovare modulo e direzione della velocità finale comune.

Come si calcolano le velocità dopo un urto elastico?

Si usano insieme la conservazione della quantità di moto e quella dell'energia cinetica. Se il secondo corpo è fermo si ottiene v₁f = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂)·v₁ e v₂f = 2m₁/(m₁ + m₂)·v₁. Con masse uguali i corpi si scambiano le velocità.

Quanta energia si perde in un urto?

Si perde la frazione (1 − e²) dell'energia cinetica relativa al centro di massa, ΔE = −(1 − e²)·½·μ·(v₁ − v₂)², con μ = m₁m₂/(m₁ + m₂). Nell'urto elastico, e = 1, non si perde nulla; nell'urto completamente anelastico, e = 0, si perde tutta l'energia relativa al centro di massa.

Come si risolve un esercizio con il pendolo balistico o con un blocco che scivola dopo l'urto?

Si divide in due fasi. Nell'urto, brevissimo, si conserva solo la quantità di moto e si trova la velocità subito dopo. Nella fase successiva agiscono forze esterne, peso o attrito, e si usa l'energia o le leggi del moto: per esempio V = √(2gh) nella risalita del pendolo.

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