Urto tra due punti materiali: forze impulsive, energia, tipi di urto ed esercizi svolti

Due palle da biliardo che si scontrano, un’auto che ne tampona un’altra, una pallina che rimbalza sul pavimento: sono tutti urti. Due corpi si scambiano forze enormi per un tempo brevissimo e le loro velocità cambiano di colpo. Per sapere come escono dall’urto non serve capire cosa succede durante il contatto: bastano poche leggi generali. In questa pagina vediamo cos’è un urto, le forze impulsive e l’approssimazione impulsiva, perché la quantità di moto si conserva e quando no, cosa succede all’energia cinetica, i tre tipi di urto, il coefficiente di restituzione e come misurarlo con una palla che rimbalza, l’urto visto dal centro di massa, gli urti obliqui, un metodo per riconoscere il tipo di urto, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un urto

Un urto è un’interazione tra due corpi che dura pochissimo, un tempo $\tau$ spesso di pochi millesimi di secondo, ma è così intensa da cambiarne le velocità. Di solito non sappiamo cosa succede durante il contatto, e non ci serve: le leggi degli urti collegano direttamente il prima con il dopo. Il contatto non è nemmeno indispensabile: due particelle cariche che si respingono passandosi vicino, per la fisica, fanno un urto.

Parliamo di punti materiali perché di ogni corpo ci interessano massa e velocità, non le rotazioni; se le rotazioni contano, come per un’asta colpita a un’estremità, serve il corpo rigido. Indichiamo con $v_{1,i}$ e $v_{1,f}$ la velocità del corpo 1 subito prima (iniziale) e subito dopo (finale) l’urto, e allo stesso modo per il corpo 2.

Le forze impulsive

Durante il contatto i corpi si scambiano forze che salgono da zero a valori enormi e tornano a zero in un tempo brevissimo: sono le forze impulsive. Il loro andamento non è quasi mai noto, ma per il teorema dell’impulso conta solo il loro impulso $\vec{J}$, l’area sotto il grafico forza-tempo.

Nel grafico la forza arriva a 1000 N e dura 5 ms: l’impulso vale $2{,}5\ \text{N·s}$ e la forza media, quella costante che nello stesso tempo darebbe lo stesso impulso, vale 500 N. La linea verde, schiacciata sull’asse, è il peso di una pallina di 58 g: 0,57 N, quasi 1800 volte meno del picco.

Ogni corpo cambia quantità di moto di quanto vale l’impulso che riceve:

$$\begin{gathered} m_1\,\vec{v}_{1,f} - m_1\,\vec{v}_{1,i} = \vec{J}_{2,1} \\ m_2\,\vec{v}_{2,f} - m_2\,\vec{v}_{2,i} = \vec{J}_{1,2} \end{gathered}$$

dove $\vec{J}_{2,1}$ è l’impulso della forza che il corpo 2 esercita sul corpo 1, e viceversa. Per il terzo principio le due forze sono uguali e opposte istante per istante, quindi anche i loro impulsi: $\vec{J}_{1,2} = -\vec{J}_{2,1}$. La quantità di moto che un corpo guadagna, l’altro la perde.

L’approssimazione impulsiva

Accanto a forze così grandi, le altre diventano comparse. È l’approssimazione impulsiva, che si basa su due fatti.

1. Le forze esterne ordinarie danno un impulso trascurabile. Nell’urto del grafico il peso della pallina dà $0{,}57 \cdot 0{,}005 \approx 0{,}003\ \text{N·s}$, quasi novecento volte meno della forza dell’urto.
2. Durante l’urto i corpi non si spostano. A 10 m/s, in un millesimo di secondo, si percorre un centimetro. L’urto avviene in un punto e in un istante: l’energia potenziale non cambia e il bilancio energetico riguarda solo l’energia cinetica.

La quantità di moto si conserva

Sommando le due equazioni dei corpi, gli impulsi interni si cancellano:

$$\begin{gathered} m_1\,\vec{v}_{1,i} + m_2\,\vec{v}_{2,i} \\ {} = m_1\,\vec{v}_{1,f} + m_2\,\vec{v}_{2,f} \end{gathered}$$

In un urto la quantità di moto totale subito prima è uguale a quella subito dopo.

A rigore la quantità di moto totale cambia dell’impulso delle forze esterne, $\Delta\vec{P} = \vec{F}_m^{(E)}\,\tau$, dove $\vec{F}_m^{(E)}$ è la loro risultante media; se non sono impulsive, con $\tau$ piccolissimo questo termine è trascurabile. È la conservazione della quantità di moto dei sistemi di punti, applicata a un fenomeno brevissimo. Essendo un’uguaglianza tra vettori, vale per ogni componente. E poiché $\vec{P} = (m_1 + m_2)\,\vec{v}_{cm}$, nell’urto la velocità del centro di massa non cambia:

$$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1\,\vec{v}_{1,i} + m_2\,\vec{v}_{2,i}}{m_1 + m_2}$$

Quando la quantità di moto non si conserva

La conservazione vale solo se nessuna forza esterna è impulsiva. Non è così quando un corpo urta qualcosa di fisso, o è legato a un vincolo che durante l’urto può spingere fortissimo.

• Una palla sul pavimento. Il pavimento ferma e rilancia la palla in pochi millesimi di secondo: la sua forza è impulsiva e la quantità di moto della palla cambia verso. Si conserva quella di palla più Terra, ma la velocità della Terra cambia di circa $10^{-24}\ \text{m/s}$ (esercizio 3): il pavimento fa da corpo di massa infinita.
• Un sacco che cade in un carrello. Il binario ferma la caduta del sacco con una spinta verticale impulsiva, ma se è liscio non può spingere in orizzontale: si conserva solo la quantità di moto orizzontale (esercizio 4). Lo stesso vale nel pendolo balistico, dove nell’istante dell’urto i fili sono verticali.
• Un’asta con un perno. Il perno può reagire in qualunque direzione; si conserva invece il momento angolare rispetto al perno, come spiegato nel momento dell’impulso.

Prima di scrivere la conservazione chiediti sempre: c’è un pavimento, un binario o un perno che durante l’urto può spingere forte? Se sì, la quantità di moto si conserva solo nelle direzioni in cui quel vincolo non spinge.

Cosa succede all’energia

Le forze dell’urto sono interne, e le forze interne possono compiere lavoro: i corpi si deformano, si scaldano, vibrano, fanno rumore. Se la deformazione è perfettamente elastica, come quella di una molla che si comprime e si distende, l’energia torna tutta cinetica; altrimenti una parte resta nei corpi come energia interna.

Quanta se ne può perdere lo dice il teorema di König, che divide l’energia cinetica in due parti:

$$E_k = \frac{1}{2}\,M\,v_{cm}^2 + \frac{1}{2}\,\mu\,v_{rel}^2$$

con

$$\begin{gathered} M = m_1 + m_2 \qquad \mu = \frac{m_1\,m_2}{m_1 + m_2} \\ v_{rel} = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2| \end{gathered}$$

Il primo termine è l’energia del centro di massa; il secondo, $E_k'$, è quella del moto relativo al centro di massa, scritta con la massa ridotta $\mu$. Poiché $v_{cm}$ non cambia, un urto può cambiare solo $E_k'$: si perde al massimo $\frac{1}{2}\mu v_{rel}^2$, e lo si perde tutto quando i corpi restano attaccati.

I tre tipi di urto

Tipo di urto	Energia cinetica	Dopo l’urto
Elastico	si conserva	si separano
Anelastico	ne perde una parte	si separano
Completamente anelastico	perde tutta $E_k'$	restano uniti

In tutti e tre i casi la quantità di moto si conserva. Se invece nell’urto si libera energia immagazzinata, come una molla compressa che scatta tra due carrelli, l’energia cinetica può perfino aumentare: è, in fondo, una piccola esplosione.

Il coefficiente di restituzione

Per sapere cosa succede in un urto preciso serve un dato sui materiali: quanto è elastico l’urto. Lo misura il coefficiente di restituzione $e$. Per un urto lungo una retta è il rapporto tra la velocità relativa con cui i corpi si allontanano dopo l’urto e quella con cui si avvicinavano prima:

$$e = -\,\frac{v_{1,f} - v_{2,f}}{v_{1,i} - v_{2,i}}$$

Il segno meno lo rende positivo, perché la velocità relativa cambia verso. Vale $e = 1$ per un urto elastico, $0 < e < 1$ per uno anelastico ed $e = 0$ per uno completamente anelastico. La velocità relativa si riduce del fattore $e$, quindi $E_k'$, che dipende dal suo quadrato, si riduce del fattore $e^2$: si perde la frazione $1 - e^2$ dell’energia relativa al centro di massa, il 75% se $e = 0{,}5$. Formule e dimostrazioni sono nell’urto anelastico.

L’idea risale a Newton, che nei Principia descrisse urti tra palle appese a pendoli lunghi 10 piedi, circa tre metri. Per due palle di lana ben compressa la velocità relativa dopo l’urto era circa 5/9 di quella prima, per due palle di vetro circa 15/16: in termini moderni $e \approx 0{,}56$ ed $e \approx 0{,}94$.

Misurarlo con una palla che rimbalza

Lascia cadere una palla da un’altezza $h_1$ su un pavimento rigido e misura l’altezza $h_2$ a cui risale. Il pavimento resta fermo, quindi $e$ è il rapporto tra la velocità della palla subito dopo e subito prima del rimbalzo. Per la conservazione dell’energia meccanica le due velocità sono $\sqrt{2gh_1}$ e $\sqrt{2gh_2}$, quindi:

$$\begin{gathered} e = \frac{v_f}{v_i} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} \\ \frac{h_2}{h_1} = e^2 \end{gathered}$$

Il rapporto tra le altezze è $e^2$, non $e$: a ogni rimbalzo la palla risale a una frazione $e^2$ dell’altezza precedente. Le federazioni sportive usano proprio questa prova per controllare le palle. Ecco le altezze di caduta e di rimbalzo dei regolamenti:

Palla	Altezze (cm)	$e$
Tennis (tipo medio)	254 → 135-147	0,73-0,76
Basket	180 → 120-140	0,73-0,80

Contano le altezze del centro della palla. Per il tennis caduta e rimbalzo si misurano entrambi dal fondo della palla; per il basket la caduta si misura dal fondo e il rimbalzo fino alla sommità, quindi va tolto il diametro, circa 24 cm.

Il coefficiente dipende dai materiali di entrambi i corpi, dalla velocità e dalla temperatura. Nei crash test contro una barriera rigida a circa 50 km/h le auto rimbalzano pochissimo, con $e$ intorno a 0,1-0,2: le zone a deformazione programmata trasformano l’energia cinetica in lamiera accartocciata.

L’urto visto dal centro di massa

Il sistema del centro di massa si muove con velocità $\vec{v}_{cm}$, che nell’urto non cambia: è inerziale quanto il laboratorio, il sistema in cui facciamo le misure. Le velocità rispetto al centro di massa si ottengono sottraendo $\vec{v}_{cm}$:

$$\begin{gathered} \vec{v}_1\,' = \vec{v}_1 - \vec{v}_{cm} \\ \vec{v}_2\,' = \vec{v}_2 - \vec{v}_{cm} \end{gathered}$$

Qui la quantità di moto totale è sempre zero: i corpi arrivano e ripartono con quantità di moto uguali e opposte. In un urto lungo una retta ognuno rimbalza indietro con la velocità ridotta del fattore $e$:

$$\begin{gathered} v_{1,f}' = -\,e\,v_{1,i}' \\ v_{2,f}' = -\,e\,v_{2,i}' \end{gathered}$$

Nell’urto elastico le velocità si invertono soltanto; in quello completamente anelastico i corpi si fermano sul centro di massa. Nella figura un carrello di 2 kg a 3 m/s ne urta uno di 1 kg fermo, con $e = 0{,}5$, e il centro di massa va a 2 m/s. Nel laboratorio le velocità passano da 3 e 0 a 1,5 e 3 m/s; nel centro di massa passano da $+1$ e $-2$ a $-0{,}5$ e $+1\ \text{m/s}$: invertite e dimezzate.

Ne viene un metodo veloce per qualunque urto centrale: calcola $v_{cm}$; passa al centro di massa con $v' = v - v_{cm}$; inverti e moltiplica per $e$; torna nel laboratorio aggiungendo $v_{cm}$. Lo usiamo nell’esercizio 6.

Urti centrali e urti obliqui

Un urto è centrale quando le velocità sono dirette lungo la retta d’urto, quella che congiunge i centri dei corpi: tutto avviene su una retta, come per due bilie colpite in pieno. Se una sfera colpisce l’altra di striscio, l’urto è obliquo. Per sfere lisce la forza dell’urto agisce lungo la retta d’urto, quindi:

• la quantità di moto si conserva per componenti;
• le componenti delle velocità perpendicolari alla retta d’urto non cambiano;
• il coefficiente di restituzione riguarda le componenti lungo la retta d’urto, ed è lungo questa retta che parte un bersaglio fermo.

Per due masse uguali con il bersaglio fermo vale $\vec{v}_{1,i} = \vec{v}_{1,f} + \vec{v}_{2,f}$. Elevando al quadrato compare il termine $2\,\vec{v}_{1,f} \cdot \vec{v}_{2,f}$, che è nullo se l’energia si conserva e positivo se se ne perde. Quindi i corpi escono ad angolo retto se l’urto è elastico, ad angolo acuto se è anelastico: lo vediamo nell’esercizio 5.

Come riconoscere il tipo di urto

Se conosci le velocità prima e dopo un urto, fai tre controlli.

1. Quantità di moto. Deve conservarsi, con i segni. Se non torna, i dati sono sbagliati o c’è una forza esterna impulsiva.
2. Niente compenetrazione. Il corpo che sta dietro non può uscire più veloce di quello davanti, altrimenti lo attraverserebbe: deve essere $e \ge 0$.
3. Coefficiente di restituzione. $e = 1$ elastico, $0 < e < 1$ anelastico, $e = 0$ completamente anelastico. Se $e > 1$ l’energia cinetica è aumentata: impossibile senza una riserva di energia.

Gli errori più comuni

• Conservare la quantità di moto con un vincolo che spinge. Pavimento, binario o perno danno forze impulsive: la quantità di moto si conserva solo nelle direzioni in cui non agiscono.
• Conservare l’energia cinetica in ogni urto. Si conserva solo negli urti elastici; la quantità di moto, senza forze esterne impulsive, sempre.
• Dimenticare i segni. Due corpi che si vengono incontro hanno velocità di segno opposto.
• Usare la conservazione anche dopo l’urto. Vale tra subito prima e subito dopo; poi attrito e peso tornano a contare.
• Pensare di poter perdere l’energia del centro di massa. $v_{cm}$ non cambia, quindi $\frac{1}{2}Mv_{cm}^2$ resta: si perde al massimo $\frac{1}{2}\mu v_{rel}^2$.
• Usare il rapporto tra le altezze come coefficiente. Nel rimbalzo $h_2/h_1 = e^2$: il coefficiente è la radice.
• Accettare $e > 1$ o $e < 0$. Il primo vuol dire energia creata dal nulla, il secondo un corpo che attraversa l’altro: c’è un errore.

Esercizi svolti

1. Riconoscere il tipo di urto

Testo. Un carrello di 2 kg viaggia a 3 m/s su un binario liscio e urta un carrello di 1 kg fermo. Dopo l’urto il primo prosegue nello stesso verso a 1,5 m/s. Con che velocità parte il secondo? Che tipo di urto è?

Con il verso positivo quello del primo carrello, la quantità di moto dà:

$$\begin{gathered} 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 2 \cdot 1{,}5 + 1 \cdot v_{2,f} \\ v_{2,f} = 3\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il carrello davanti va più veloce di quello dietro: nessuna compenetrazione. Il coefficiente di restituzione è:

$$e = -\,\frac{1{,}5 - 3}{3 - 0} = 0{,}5$$

L’urto è anelastico. Controllo: l’energia passa da $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2 = 9\ \text{J}$ a $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1{,}5^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3^2 = 6{,}75\ \text{J}$. Con König, l’energia del centro di massa, che va a 2 m/s, vale $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^2 = 6\ \text{J}$ e non si può perdere: dei 3 J di energia relativa se ne perdono 2,25, il 75%, proprio $1 - e^2$. È l’urto della figura.

2. Un urto impossibile

Testo. Due carrelli di 1 kg sono su un binario liscio: il primo va a 4 m/s, il secondo è fermo. Uno studente scrive che dopo l’urto il primo torna indietro a 1 m/s e il secondo parte a 5 m/s; un altro, che il primo va avanti a 3 m/s e il secondo a 1 m/s. Sono risultati possibili?

La quantità di moto iniziale, $4\ \text{kg·m/s}$, torna in entrambi i casi: $-1 + 5 = 4$ e $3 + 1 = 4$. Servono gli altri controlli.

Nel primo caso l’energia passerebbe da 8 J a $\frac{1}{2} \cdot 1^2 + \frac{1}{2} \cdot 5^2 = 13\ \text{J}$, e infatti:

$$e = -\,\frac{-1 - 5}{4 - 0} = 1{,}5$$

maggiore di 1: impossibile. Nel secondo caso l’energia scenderebbe a 5 J, ma il carrello dietro uscirebbe più veloce di quello davanti, attraversandolo: $e = -(3 - 1)/4 = -0{,}5$. Impossibile anche questo. Con le velocità scambiate, 1 e 3 m/s, l’urto è possibile, con $e = 0{,}5$.

3. La palla che rimbalza sul pavimento

Testo. Un pallone di 0,60 kg cade da 1,80 m su un pavimento rigido e risale fino a 1,10 m. Il contatto dura 10 ms. Quanto valgono il coefficiente di restituzione e la forza media del pavimento?

Dalle altezze:

$$e = \sqrt{\frac{1{,}10}{1{,}80}} \approx 0{,}78$$

A ogni rimbalzo il pallone perde la frazione $1 - 1{,}10/1{,}80 \approx 0{,}39$ della sua energia, il 39%. Le velocità subito prima e subito dopo il rimbalzo sono:

$$\begin{gathered} v_i = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}80}\ \text{m/s} \approx 5{,}94\ \text{m/s} \\ v_f = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}10}\ \text{m/s} \approx 4{,}65\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Con l’asse verso l’alto la velocità passa da $-5{,}94$ a $+4{,}65\ \text{m/s}$, quindi la quantità di moto cambia di $\Delta p = 0{,}60 \cdot (4{,}65 + 5{,}94) \approx 6{,}35\ \text{kg·m/s}$, verso l’alto. Per il teorema dell’impulso $(F_{pav} - mg)\,\tau = \Delta p$:

$$\begin{gathered} F_{pav} = \frac{\Delta p}{\tau} + m\,g \\ {} = \frac{6{,}35}{0{,}010} + 5{,}9 \approx 641\ \text{N} \end{gathered}$$

circa 109 volte il peso. L’impulso del peso, $5{,}9 \cdot 0{,}010 \approx 0{,}06\ \text{N·s}$, è meno dell’1% di $\Delta p$: per il peso l’approssimazione impulsiva funziona, per il pavimento no. Si conserva invece la quantità di moto di pallone più Terra: la Terra, di $5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, cambia velocità di circa $1{,}1 \cdot 10^{-24}\ \text{m/s}$.

4. Il sacco di sabbia nel carrello

Testo. Un carrello di 80 kg corre a 2,0 m/s su un binario orizzontale liscio. Un sacco di sabbia di 20 kg cade in verticale da 1,25 m di altezza e resta nel carrello. Con che velocità prosegue il carrello? Quanta energia cinetica si perde?

Durante l’urto il binario liscio spinge solo in verticale: si conserva la quantità di moto orizzontale, e il sacco non ne ha.

$$\begin{gathered} 80 \cdot 2{,}0 + 20 \cdot 0 = 100\,V \\ V = 1{,}6\ \text{m/s} \end{gathered}$$

In verticale il sacco arriva a $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}25} \approx 4{,}95\ \text{m/s}$, con circa $99\ \text{kg·m/s}$ verso il basso che il binario gli toglie: lì la quantità di moto non si conserva.

Prima dell’urto il carrello ha $\frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 2{,}0^2 = 160\ \text{J}$ e il sacco $mgh = 20 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}25 \approx 245\ \text{J}$; dopo restano $\frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 1{,}6^2 = 128\ \text{J}$. Si perdono circa 277 J, il 68%: tutti i 245 J del moto verticale e 32 J di quello orizzontale. Controllo con la massa ridotta: $\mu = 80 \cdot 20/100 = 16\ \text{kg}$ e la velocità relativa orizzontale è 2,0 m/s, quindi $\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2{,}0^2 = 32\ \text{J}$.

5. Due dischi da air hockey

Testo. Su un tavolo da air hockey, senza attrito, un disco a 3,0 m/s colpisce di striscio un disco uguale fermo. Dopo l’urto il primo va a 1,6 m/s, deviato di 45°. Come parte il secondo? L’urto è elastico? Quanto vale $e$?

Con l’asse $x$ nella direzione iniziale e l’asse $y$ dalla parte in cui devia il primo disco, le masse si semplificano e la velocità iniziale è la somma di quelle finali:

$$\begin{gathered} v_{2x} = 3{,}0 - 1{,}6\cos 45° \approx 1{,}869\ \text{m/s} \\ v_{2y} = 0 - 1{,}6\sin 45° \approx -1{,}131\ \text{m/s} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} v_{2,f} = \sqrt{1{,}869^2 + 1{,}131^2}\ \text{m/s} \approx 2{,}18\ \text{m/s} \\ \tan\beta = \frac{1{,}131}{1{,}869} \qquad \beta \approx 31{,}2° \end{gathered}$$

Il secondo disco parte a 2,18 m/s, deviato di 31,2° dall’altra parte. Le direzioni finali formano $45° + 31{,}2° = 76{,}2°$, meno di 90°: l’urto non è elastico. Infatti $(1{,}6^2 + 2{,}18^2)/3{,}0^2 \approx 0{,}81$: si è perso circa il 19% dell’energia.

La retta d’urto è la direzione del disco fermo, a 31,2°. Lungo di essa la velocità vale $3{,}0\cos 31{,}2° \approx 2{,}57\ \text{m/s}$ prima dell’urto; dopo, $1{,}6\cos 76{,}2° \approx 0{,}38\ \text{m/s}$ per il primo disco e 2,18 m/s per il secondo:

$$e = \frac{2{,}18 - 0{,}38}{2{,}57} \approx 0{,}70$$

Controllo: la componente perpendicolare alla retta d’urto del primo disco resta uguale, $3{,}0\sin 31{,}2° \approx 1{,}6\sin 76{,}2° \approx 1{,}55\ \text{m/s}$.

6. Due palline appese

Testo. Due palline appese a fili uguali si toccano. La pallina 1, di 0,10 kg, viene sollevata di 20 cm e lasciata andare; nel punto più basso urta in modo centrale la pallina 2, di 0,30 kg, ferma, con $e = 0{,}8$. A che altezza risale ciascuna?

Discesa. Con l’energia: $v_{1,i} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}20} \approx 1{,}98\ \text{m/s}$.

Urto. Nel punto più basso i fili sono verticali: si conserva la quantità di moto orizzontale. Conviene esprimere tutto in funzione di $v_{1,i}$. Con il metodo del centro di massa:

$$v_{cm} = \frac{0{,}10}{0{,}40}\,v_{1,i} = 0{,}25\,v_{1,i} \approx 0{,}495\ \text{m/s}$$

Nel centro di massa le velocità sono $v_1' = 0{,}75\,v_{1,i}$ e $v_2' = -0{,}25\,v_{1,i}$; dopo l’urto si invertono e si riducono del fattore 0,8, diventando $-0{,}6\,v_{1,i}$ e $+0{,}2\,v_{1,i}$. Nel laboratorio:

$$\begin{gathered} v_{1,f} = (0{,}25 - 0{,}6)\,v_{1,i} = -0{,}35\,v_{1,i} \\ v_{2,f} = (0{,}25 + 0{,}2)\,v_{1,i} = 0{,}45\,v_{1,i} \end{gathered}$$

cioè circa $-0{,}693$ e $+0{,}891\ \text{m/s}$.

Risalita. Le altezze sono proporzionali al quadrato delle velocità, e alla velocità $v_{1,i}$ corrispondono i 20 cm della discesa:

$$\begin{gathered} h_1 = 0{,}35^2 \cdot 20\ \text{cm} = 2{,}45\ \text{cm} \\ h_2 = 0{,}45^2 \cdot 20\ \text{cm} = 4{,}05\ \text{cm} \end{gathered}$$

La pallina leggera torna indietro fino a 2,45 cm, quella pesante sale di 4,05 cm. Controllo con l’energia, in proporzione a quella iniziale: $0{,}35^2 + 3 \cdot 0{,}45^2 = 0{,}1225 + 0{,}6075 = 0{,}73$, perché la seconda pallina ha massa tripla. Si perde il 27%, proprio $(1 - e^2)\,m_2/(m_1 + m_2) = 0{,}36 \cdot 0{,}75$.

Altri problemi sugli urti li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• In un urto contano gli impulsi delle forze impulsive, uguali e opposti; le forze esterne ordinarie danno un impulso trascurabile e le posizioni non cambiano.
• Senza forze esterne impulsive $m_1\vec{v}_{1,i} + m_2\vec{v}_{2,i} = m_1\vec{v}_{1,f} + m_2\vec{v}_{2,f}$ e $\vec{v}_{cm}$ non cambia; con un vincolo che spinge, solo nelle direzioni libere.
• König: $E_k = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}\mu v_{rel}^2$, con $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$; un urto può cambiare solo il secondo termine.
• Coefficiente di restituzione $e = -(v_{1,f} - v_{2,f})/(v_{1,i} - v_{2,i})$: $e = 1$ elastico, $0 < e < 1$ anelastico, $e = 0$ completamente anelastico; si perde la frazione $1 - e^2$ di $E_k'$.
• Palla che rimbalza su un pavimento rigido: $h_2/h_1 = e^2$.
• Nel centro di massa ogni corpo rimbalza indietro: $v_f' = -e\,v'$.
• Urto obliquo tra masse uguali con bersaglio fermo: 90° tra le direzioni finali se è elastico, meno se si perde energia.

Il caso ideale in cui non si perde energia è l’urto elastico.