Quantità di moto e impulso: formule, teorema dell'impulso ed esercizi svolti

Fermare un camion che avanza piano è più difficile che fermare un pallone lanciato forte: conta non solo la velocità, ma anche la massa. La grandezza che combina le due cose è la quantità di moto. Insieme all’impulso permette di trattare in modo semplice urti, colpi e spinte brevissime, dove la forza cambia troppo in fretta per usare direttamente $F = ma$. In questa pagina vediamo le formule, il teorema dell’impulso, la forza media, perché airbag e ginocchia piegate ci proteggono, i rimbalzi obliqui, la forza di un getto d’acqua, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

La quantità di moto

La quantità di moto di un punto materiale di massa $m$ e velocità $\vec{v}$ è:

$$\vec{p} = m\,\vec{v}$$

È un vettore, con la stessa direzione e lo stesso verso della velocità, e si misura in $\text{kg·m/s}$. Non ha un’unità con un nome proprio: si usa semplicemente il prodotto delle unità di massa e velocità.

Per farti un’idea degli ordini di grandezza, ecco la quantità di moto di qualche oggetto di tutti i giorni:

Oggetto	$m$ e $v$	$p$ (kg·m/s)
Proiettile	10 g, 400 m/s	4
Palla da tennis	58 g, 50 m/s	2,9
Pallone da calcio	0,43 kg, 30 m/s	12,9
Persona che corre	70 kg, 5 m/s	350
Auto in città	1000 kg, 14 m/s	14 000
Camion lento	20 t, 1 m/s	20 000

La palla da tennis è quella di un servizio, l’auto va a circa 50 km/h. Il camion che avanza a 1 m/s, più piano di una persona che passeggia, ha una quantità di moto più grande dell’auto in città: per fermarlo nello stesso tempo serve una forza maggiore. Il proiettile, invece, ha una quantità di moto piccola, anche se è velocissimo.

Quantità di moto ed energia cinetica

Quantità di moto ed energia cinetica dipendono entrambe da massa e velocità, ma sono grandezze molto diverse:

• la quantità di moto $m\vec{v}$ è un vettore e cresce in proporzione alla velocità;
• l’energia cinetica $\tfrac{1}{2}mv^2$ è uno scalare e cresce con il quadrato della velocità.

Le due si legano con una formula utile:

$$K = \frac{p^2}{2m}$$

A parità di quantità di moto, il corpo più leggero ha molta più energia cinetica. Quando un fucile spara, proiettile e fucile ricevono quantità di moto uguali e opposte; ma un proiettile di 10 g a 400 m/s ha 800 J di energia cinetica, mentre il fucile di 4 kg che rincula a 1 m/s ne ha solo 2. Per questo il proiettile fa danni e il rinculo no. Il calcolo completo è nella conservazione della quantità di moto.

C’è anche un’altra differenza: la quantità di moto cambia per effetto della forza che agisce nel tempo (l’impulso), l’energia cinetica per effetto della forza che agisce lungo lo spostamento (il lavoro).

Il secondo principio con la quantità di moto

Newton formulò il secondo principio proprio in termini di quantità di moto. Nei Principia del 1687 definì la “quantità di moto” come il prodotto della velocità per la quantità di materia, e scrisse che «il cambiamento del moto è proporzionale alla forza motrice impressa». Oggi lo scriviamo così:

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

la forza risultante è uguale alla rapidità con cui cambia la quantità di moto. Se la massa è costante, $\dfrac{d\vec{p}}{dt} = m\,\dfrac{d\vec{v}}{dt} = m\,\vec{a}$ e si ritrova la forma F = ma, che con le derivate e per componenti si deve soprattutto a Eulero, a metà del Settecento. La forma con $\vec{p}$ è più generale: vale anche per sistemi in cui la massa cambia, come un razzo che espelle carburante.

L’impulso di una forza

L’impulso di una forza in un intervallo di tempo è l’integrale della forza nel tempo:

$$\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\,dt$$

Se la forza è costante, l’integrale diventa un semplice prodotto: $\vec{J} = \vec{F}\,\Delta t$. L’impulso si misura in $\text{N·s}$, che è la stessa cosa di $\text{kg·m/s}$: infatti $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2$, e moltiplicando per un secondo resta $\text{kg·m/s}$.

Nel grafico forza-tempo, l’impulso è l’area sotto la curva. È utile negli urti, dove la forza sale e scende in pochi millesimi di secondo e non si conosce istante per istante: il grafico di una tipica forza impulsiva è una specie di collinetta stretta e alta.

Il teorema dell’impulso

Integrando $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ nel tempo si ottiene il teorema dell’impulso:

$$\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\,dt = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \Delta\vec{p}$$

L’impulso della forza risultante è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo.

È il gemello del teorema dell’energia cinetica: lì il lavoro della risultante fa cambiare l’energia cinetica, qui l’impulso della risultante fa cambiare la quantità di moto. Ed essendo un’uguaglianza tra vettori, vale separatamente per ogni componente.

La forza media

Durante un urto la forza varia in modo complicato, ma si può definire una forza media $\vec{F}_m$, la forza costante che nello stesso tempo $\Delta t$ produrrebbe lo stesso impulso:

$$\vec{F}_m = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$$

Da qui una conseguenza molto concreta: a parità di variazione di quantità di moto, più lungo è l’urto, più piccola è la forza.

Perché airbag e ginocchia piegate ci proteggono

Pensa a un passeggero che, in un incidente, passa da 50 km/h a zero. La variazione della sua quantità di moto è fissata: dipende solo dalla sua massa e dalla sua velocità iniziale, e nessun dispositivo può cambiarla. Quello che si può cambiare è il tempo in cui avviene. Se il passeggero si ferma contro il cruscotto, l’urto dura pochissimo e la forza è enorme; se si ferma contro un airbag che si sgonfia piano piano, l’urto dura molto di più e la forza media è molto più piccola.

Le due curve del grafico hanno la stessa area, cioè lo stesso impulso, ma la forza massima è molto diversa. Sullo stesso principio funzionano:

• le cinture di sicurezza, che si allungano leggermente, e le zone a deformazione programmata delle auto, che si accartocciano assorbendo l’urto;
• i caschi, con l’imbottitura che si schiaccia;
• i tappeti delle palestre e i materassi del salto in alto;
• le ginocchia piegate quando salti giù da un muretto, e le mani che accompagnano all’indietro una palla mentre la afferri;
• l’uovo lanciato contro un lenzuolo teso, che non si rompe, mentre contro un muro si spacca.

Il rimbalzo obliquo

Il teorema dell’impulso è un’uguaglianza tra vettori, e lo si vede bene quando una palla colpisce una parete di sbieco. Se la parete è liscia e l’urto è elastico, la palla rimbalza con la stessa velocità e lo stesso angolo: la componente della velocità parallela alla parete non cambia, quella perpendicolare cambia verso.

La variazione della quantità di moto è quindi perpendicolare alla parete e diretta verso l’esterno. Se la palla arriva con velocità $v$ formando un angolo $\theta$ con la normale alla parete, la componente perpendicolare passa da $v\cos\theta$ a $-v\cos\theta$ e:

$$|\Delta\vec{p}| = 2\,m\,v\cos\theta$$

È proprio questa la spinta che la parete deve dare, ed è anche la spinta che la palla dà alla parete, per il terzo principio. Lo stesso conto, fatto per miliardi di molecole che rimbalzano sulle pareti di un recipiente, spiega la pressione di un gas nella teoria cinetica.

La forza di un getto

Il teorema dell’impulso funziona anche per un flusso continuo, come l’acqua che esce da una canna e colpisce un muro. In un tempo $\Delta t$ arriva sul muro una massa d’acqua $\Delta m$ con velocità $v$; se l’acqua si ferma e scivola giù, la sua quantità di moto orizzontale passa da $\Delta m\,v$ a zero. La forza media che il muro esercita sull’acqua, e quindi l’acqua sul muro, è:

$$F = \frac{\Delta m}{\Delta t}\,v$$

dove $\Delta m/\Delta t$ è la portata in massa, i chilogrammi d’acqua al secondo. Se l’acqua rimbalzasse indietro con la stessa velocità, la forza raddoppierebbe. È lo stesso ragionamento che, al contrario, spiega la spinta di un razzo: i gas espulsi all’indietro ricevono quantità di moto, e il razzo ne riceve altrettanta in avanti.

Quando si può trascurare il peso

Nel teorema dell’impulso conta la forza risultante, quindi a rigore bisognerebbe includere tutte le forze, peso compreso. Negli urti brevi, però, il peso si può quasi sempre trascurare. Il motivo è che il suo impulso, $mg\,\Delta t$, è piccolissimo quando $\Delta t$ dura pochi millesimi di secondo, mentre la forza dell’urto è enorme.

Per un pallone di 0,4 kg calciato con un contatto di 0,01 s, l’impulso del peso vale circa $0{,}04\ \text{N·s}$, contro i $20\ \text{N·s}$ del calcio: cinquecento volte meno. Questa è l’approssimazione impulsiva: durante l’urto si considerano solo le forze dell’urto. Quando invece l’urto dura di più, come quando atterri piegando le ginocchia, conviene aggiungere il peso: lo vediamo nell’esercizio 2.

Impulso e lavoro: media nel tempo e media nello spazio

Per trovare la forza media di un urto ci sono due strade: il teorema dell’impulso dà la media nel tempo, $\Delta p/\Delta t$; il teorema dell’energia cinetica dà la media nello spazio, $\Delta K/d$. Coincidono solo se la forza è costante.

Esempio: un proiettile di 10 g a 400 m/s si ferma in un sacco di sabbia dopo 20 cm. Se la forza fosse costante, il moto sarebbe uniformemente accelerato e la velocità media sarebbe 200 m/s, quindi il proiettile si fermerebbe in $0{,}2/200 = 0{,}001\ \text{s}$. Con l’impulso: $F = 4\ \text{kg·m/s} / 0{,}001\ \text{s} = 4000\ \text{N}$. Con il lavoro: $F = 800\ \text{J} / 0{,}2\ \text{m} = 4000\ \text{N}$. Stesso risultato, proprio perché abbiamo supposto la forza costante; con una forza vera, che cambia durante la frenata, le due medie in generale sono diverse.

Verso la conservazione della quantità di moto

Se la risultante delle forze esterne su un sistema è nulla, la sua quantità di moto totale non cambia. È il principio di conservazione della quantità di moto, uno dei più importanti della fisica: spiega il rinculo di un fucile, la propulsione dei razzi e gli urti. Lo studiamo per bene con i sistemi di punti, nella conservazione della quantità di moto e negli urti.

Gli errori più comuni

• Dimenticare che è un vettore. In un rimbalzo la velocità cambia verso: da +20 m/s a −30 m/s la variazione è −50 m/s, non 10 m/s.
• Confondere quantità di moto ed energia cinetica. $mv$ e $\tfrac{1}{2}mv^2$ sono grandezze diverse: la prima è un vettore e cambia con l’impulso, la seconda è uno scalare e cambia con il lavoro.
• Lasciare i grammi o i millisecondi. 58 g sono 0,058 kg e 4 ms sono 0,004 s: dimenticarlo cambia il risultato di un fattore mille.
• Pensare che l’airbag riduca la variazione di quantità di moto. Il $\Delta p$ è lo stesso; l’airbag allunga il tempo e riduce la forza.
• Calcolare l’impulso come forza massima per durata. Se la forza non è costante, l’impulso è l’area sotto il grafico, non il rettangolo costruito sul picco.
• Dimenticare il peso negli urti lunghi. Negli urti brevi si trascura; quando il contatto dura decimi di secondo, la forza del suolo deve reggere anche il peso.
• Usare l’impulso di una sola forza. Il teorema riguarda l’impulso della forza risultante.

Esercizi svolti

1. Un pallone calciato

Testo. Un pallone di massa $m = 0{,}4\ \text{kg}$ arriva verso un giocatore a 20 m/s e viene rimandato indietro a 30 m/s. Il contatto dura 0,01 s. Quanto vale la forza media del piede?

Prendiamo positivo il verso iniziale del pallone:

$$\begin{gathered} \Delta p = m\,(v_2 - v_1) \\ \Delta p = 0{,}4 \cdot (-30 - 20)\ \text{kg·m/s} \\ \Delta p = -20\ \text{kg·m/s} \end{gathered}$$ $$F_m = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-20}{0{,}01}\ \text{N} = -2000\ \text{N}$$

Il segno meno indica che la forza è diretta in verso opposto all’arrivo del pallone. 2000 N sono circa il peso di 200 kg, anche se per un solo centesimo di secondo.

2. Atterrare piegando le ginocchia

Testo. Una persona di 70 kg salta giù da un muretto e tocca terra a 5 m/s. Se atterra a gambe rigide si ferma in circa 0,01 s; piegando le ginocchia in circa 0,2 s. Quanto vale, nei due casi, la forza media del suolo?

La velocità di 5 m/s corrisponde a un salto da circa 1,3 m, perché $h = v^2/(2g)$. La variazione di quantità di moto è la stessa nei due casi, $70 \cdot 5 = 350\ \text{kg·m/s}$, ma la forza media necessaria per fermarla cambia moltissimo:

$$\begin{gathered} F_{rigide} = \frac{350}{0{,}01}\ \text{N} = 35\,000\ \text{N} \\ F_{ginocchia} = \frac{350}{0{,}2}\ \text{N} = 1750\ \text{N} \end{gathered}$$

Venti volte meno. Queste forze servono solo a fermare la persona; il suolo deve anche reggerne il peso, $mg \approx 687\ \text{N}$. Con le ginocchia piegate la spinta totale del suolo è circa $1750 + 687 \approx 2440\ \text{N}$, cioè circa tre volte e mezzo il peso; a gambe rigide circa $35\,700\ \text{N}$, più di cinquanta volte il peso.

3. Il servizio a tennis dal grafico forza-tempo

Testo. Durante un servizio la racchetta colpisce una palla da tennis di 58 g, che possiamo considerare ferma. Il grafico della forza è circa un triangolo: la forza sale da zero a 1200 N e torna a zero in 4 ms. Con che velocità parte la palla? Quanto vale la forza media?

L’impulso è l’area del triangolo, metà della base per l’altezza:

$$\begin{gathered} J = \frac{1}{2} \cdot 0{,}004\ \text{s} \cdot 1200\ \text{N} \\ J = 2{,}4\ \text{N·s} \end{gathered}$$

Per il teorema dell’impulso, partendo da ferma, $J = mv$:

$$v = \frac{J}{m} = \frac{2{,}4}{0{,}058}\ \text{m/s} \approx 41\ \text{m/s}$$

circa 150 km/h. La forza media è $J/\Delta t = 2{,}4 / 0{,}004 = 600\ \text{N}$: per un triangolo è metà del picco.

4. Una palla che rimbalza di sbieco

Testo. Una palla di 0,5 kg colpisce una parete a 10 m/s, con un angolo di 30° rispetto alla normale, e rimbalza con la stessa velocità e lo stesso angolo. Il contatto dura 0,02 s. Quanto vale la forza media della parete? E se la palla arrivasse perpendicolare?

La componente parallela alla parete non cambia; quella perpendicolare, $v\cos\theta$, cambia verso. Quindi:

$$\begin{gathered} \Delta p = 2\,m\,v\cos\theta \\ {} = 2 \cdot 0{,}5 \cdot 10 \cdot 0{,}866\ \text{kg·m/s} \\ {} \approx 8{,}66\ \text{kg·m/s} \end{gathered}$$ $$F_m = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{8{,}66}{0{,}02}\ \text{N} \approx 433\ \text{N}$$

diretta perpendicolarmente alla parete, verso l’esterno. Se la palla arrivasse perpendicolare, con $\theta = 0$, la variazione sarebbe $2mv = 10\ \text{kg·m/s}$ e la forza media 500 N: un colpo di sbieco spinge meno la parete.

5. La canna dell’acqua contro un muro

Testo. Una canna da giardino spara contro un muro 2 kg d’acqua al secondo, a 10 m/s. L’acqua, arrivata sul muro, si ferma e scivola giù. Che forza esercita il getto sul muro? E se l’acqua rimbalzasse indietro con la stessa velocità?

Ogni secondo 2 kg d’acqua perdono tutta la loro quantità di moto orizzontale, $2 \cdot 10 = 20\ \text{kg·m/s}$. La forza è la variazione di quantità di moto al secondo:

$$F = \frac{\Delta m}{\Delta t}\,v = 2\ \text{kg/s} \cdot 10\ \text{m/s} = 20\ \text{N}$$

circa il peso di 2 kg. Se l’acqua rimbalzasse con la stessa velocità, la quantità di moto di ogni chilogrammo passerebbe da $+10$ a $-10\ \text{kg·m/s}$, la variazione raddoppierebbe e la forza diventerebbe 40 N.

6. Una forza che cresce nel tempo

Testo. Un corpo di 2 kg, inizialmente fermo su un piano orizzontale liscio, è spinto da una forza orizzontale che cresce nel tempo secondo $F(t) = 6t$, con $F$ in newton e $t$ in secondi. Che velocità ha dopo 4 s? Quanto vale la forza media in quell’intervallo?

Qui la forza non è costante, quindi l’impulso va calcolato con l’integrale, cioè l’area sotto il grafico, che è un triangolo:

$$\begin{gathered} J = \int_0^4 6t\,dt = \left[3t^2\right]_0^4 \\ J = 3 \cdot 16\ \text{N·s} = 48\ \text{N·s} \end{gathered}$$

Partendo da fermo, $v = J/m = 48/2 = 24\ \text{m/s}$. La forza media è $J/\Delta t = 48/4 = 12\ \text{N}$: per una forza che cresce in modo lineare è proprio la media tra il valore iniziale, 0 N, e quello finale, 24 N.

Altri problemi su urti e quantità di moto li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• La quantità di moto è $\vec{p} = m\,\vec{v}$, un vettore che si misura in kg·m/s. È diversa dall’energia cinetica, $K = p^2/(2m)$.
• Il secondo principio nella forma più generale è $\vec{F} = d\vec{p}/dt$.
• L’impulso è $\vec{J} = \int \vec{F}\,dt$, l’area sotto il grafico forza-tempo; se la forza è costante vale $\vec{F}\,\Delta t$.
• Teorema dell’impulso: $\vec{J} = \Delta\vec{p}$, e la forza media è $\vec{F}_m = \Delta\vec{p}/\Delta t$.
• A parità di $\Delta p$, allungare il tempo dell’urto riduce la forza media: airbag, caschi, ginocchia piegate.
• In un rimbalzo obliquo su una parete liscia cambia solo la componente perpendicolare: $|\Delta\vec{p}| = 2mv\cos\theta$.
• Un getto che si ferma su un muro lo spinge con una forza pari a portata in massa per velocità.
• Negli urti brevi il peso si trascura (approssimazione impulsiva); negli urti lunghi va aggiunto.

Così come la forza cambia la quantità di moto, il momento di una forza cambia il momento angolare: lo vediamo nel momento angolare e momento della forza.