Urto elastico: formule delle velocità finali, casi particolari ed esercizi svolti

Nel biliardo, quando la bianca colpisce in pieno una palla ferma, si ferma di colpo e la palla colpita parte con la sua velocità. Nel pendolo di Newton la sfera che arriva da un lato si ferma e quella all’altro capo si alza. Sono esempi di urto elastico, l’urto ideale in cui non si perde energia cinetica: il caso più importante da saper risolvere negli esercizi sugli urti. In questa pagina vediamo la definizione, la dimostrazione delle formule delle velocità finali, perché la velocità relativa si inverte, i casi particolari, quanta energia passa al bersaglio, l’urto visto dal centro di massa, l’urto nel piano e l’angolo retto del biliardo, gli esempi reali, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un urto elastico

Un urto è elastico quando si conservano sia la quantità di moto totale sia l’energia cinetica totale:

$$\begin{gathered} m_1\,\vec{v}_1 + m_2\,\vec{v}_2 \\ {} = m_1\,\vec{v}_{1,f} + m_2\,\vec{v}_{2,f} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,m_1\,v_1^2 + \frac{1}{2}\,m_2\,v_2^2 \\ {} = \frac{1}{2}\,m_1\,v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}\,m_2\,v_{2,f}^2 \end{gathered}$$

Qui $m_1$ e $m_2$ sono le masse dei due corpi, $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ le loro velocità subito prima dell’urto, $\vec{v}_{1,f}$ e $\vec{v}_{2,f}$ quelle subito dopo (la $f$ sta per «finale»). La prima equazione vale in ogni urto; la seconda è quella che rende l’urto elastico.

Durante l’urto i corpi si schiacciano un poco, come due molle; se la deformazione è perfettamente elastica, staccandosi restituiscono tutta l’energia. Attenzione: elastico non vuol dire morbido. Due sfere d’acciaio, durissime, si urtano in modo quasi elastico; un cuscino, morbidissimo, assorbe quasi tutta l’energia. Nessun urto reale è perfettamente elastico, perché un po’ di energia va sempre in calore e suono, come il «clic» delle palle da biliardo, ma spesso la perdita è trascurabile.

Cosa succede durante l’urto

Immagina due carrelli su una rotaia, uno con un respingente a molla. Quando si toccano la molla si comprime e l’energia cinetica diventa energia elastica. Nell’istante di massima compressione i carrelli hanno la stessa velocità, quella del centro di massa, come in un urto completamente anelastico: la molla contiene tutta l’energia del moto relativo, $\tfrac{1}{2}\mu\,(v_1 - v_2)^2$, con $\mu = m_1m_2/(m_1 + m_2)$ massa ridotta. Poi la molla si distende e restituisce tutto. Un esercizio su questo caso lo trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

L’urto centrale e le velocità finali

Un urto è centrale, o unidimensionale, quando tutte le velocità sono lungo la retta che congiunge i centri dei due corpi. Le equazioni diventano scalari: scegli un verso positivo e dai a ogni velocità il suo segno. Due equazioni e due incognite, $v_{1,f}$ e $v_{2,f}$: il problema si risolve sempre.

La dimostrazione delle formule

Riscriviamo le due conservazioni mettendo da una parte tutto ciò che riguarda il corpo 1 e dall’altra il corpo 2. Nell’energia abbiamo già semplificato il fattore $\tfrac{1}{2}$:

$$m_1\,(v_1 - v_{1,f}) = m_2\,(v_{2,f} - v_2)$$ $$m_1\,(v_1^2 - v_{1,f}^2) = m_2\,(v_{2,f}^2 - v_2^2)$$

Nella seconda scomponiamo le differenze di quadrati, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$$\begin{gathered} m_1\,(v_1 - v_{1,f})(v_1 + v_{1,f}) \\ {} = m_2\,(v_{2,f} - v_2)(v_{2,f} + v_2) \end{gathered}$$

e dividiamola membro a membro per la prima. Si può fare perché $v_1 - v_{1,f}$ non è zero: se lo fosse, il corpo 1 non avrebbe cambiato velocità e l’urto non sarebbe avvenuto. Resta:

$$\begin{gathered} v_1 + v_{1,f} = v_2 + v_{2,f} \\ v_{1,f} - v_{2,f} = -\,(v_1 - v_2) \end{gathered}$$

La velocità relativa si inverte

L’ultima equazione è il cuore dell’urto elastico:

In un urto elastico centrale la velocità relativa si inverte: i corpi si allontanano con la stessa velocità relativa con cui si erano avvicinati.

Se due carrelli si avvicinano a 5 m/s l’uno rispetto all’altro, dopo l’urto si allontanano a 5 m/s. Con il coefficiente di restituzione, il rapporto tra le velocità relative dopo e prima dell’urto, è il caso $e = 1$. Ed è un’equazione lineare: niente quadrati.

Le formule

Mettendo a sistema l’inversione della velocità relativa con la conservazione della quantità di moto si trovano le velocità finali:

$$\begin{gathered} v_{1,f} = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2\,m_2\,v_2}{m_1 + m_2} \\ v_{2,f} = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2\,m_1\,v_1}{m_1 + m_2} \end{gathered}$$

Scambiando gli indici 1 e 2 si passa dall’una all’altra. C’è anche una forma più compatta, comodissima negli esercizi, con la velocità del centro di massa $v_{cm}$:

$$\begin{gathered} v_{cm} = \frac{m_1\,v_1 + m_2\,v_2}{m_1 + m_2} \\ v_{1,f} = 2\,v_{cm} - v_1 \\ v_{2,f} = 2\,v_{cm} - v_2 \end{gathered}$$

Per verificarla basta sostituire $v_{cm}$; il perché lo vediamo tra poco, con il centro di massa.

Il bersaglio fermo e i casi particolari

Il caso più frequente è quello con il secondo corpo fermo, $v_2 = 0$. Le formule diventano:

$$\begin{gathered} v_{1,f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 \\ v_{2,f} = \frac{2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 \end{gathered}$$

Il bersaglio parte sempre in avanti; il proiettile prosegue se è più pesante del bersaglio e torna indietro se è più leggero. La figura mostra tre casi.

• Masse uguali ($m_1 = m_2$): $v_{1,f} = 0$ e $v_{2,f} = v_1$. Il proiettile si ferma e il bersaglio parte con la sua velocità: i corpi si scambiano le velocità, anche se il bersaglio si muove ($v_{1,f} = v_2$ e $v_{2,f} = v_1$).
• Proiettile leggero, bersaglio molto pesante ($m_2 \gg m_1$): $v_{1,f} \approx -v_1$ e $v_{2,f} \approx 0$. Il proiettile rimbalza indietro con la stessa velocità, come una pallina contro un muro. Il muro riceve una quantità di moto $2m_1v_1$ ma quasi nessuna energia, perché con una massa enorme si muove pochissimo.
• Proiettile molto pesante, bersaglio leggero ($m_1 \gg m_2$): $v_{1,f} \approx v_1$ e $v_{2,f} \approx 2v_1$. Il proiettile quasi non se ne accorge e il bersaglio parte con quasi il doppio della sua velocità, come una pallina da ping pong colpita da una palla da bowling.

Perché il doppio? Vista dalla palla pesante, che quasi non rallenta, la pallina le arriva contro a $v_1$ e rimbalza a $v_1$, come contro un muro; rispetto al suolo si allontana a $v_1 + v_1 = 2v_1$.

Il grafico mostra le due velocità finali al variare del rapporto tra le masse, con il bersaglio fermo.

A sinistra, con un proiettile leggero, la sua velocità è negativa: torna indietro. A destra si avvicina a quella iniziale, mentre il bersaglio tende al doppio.

Quanta energia passa al bersaglio

Con il bersaglio fermo, la frazione dell’energia del proiettile che passa al bersaglio si ricava dalla formula di $v_{2,f}$:

$$\begin{gathered} \frac{E_{k,2}}{E_{k,1}} = \frac{m_2\,v_{2,f}^2}{m_1\,v_1^2} \\ {} = \frac{4\,m_1\,m_2}{(m_1 + m_2)^2} \end{gathered}$$

dove $E_{k,1}$ è l’energia del proiettile prima dell’urto ed $E_{k,2}$ quella del bersaglio dopo. Vale 1, cioè il 100%, solo con masse uguali, e diventa piccola quando una massa è molto più grande dell’altra.

Per questo, nei reattori nucleari, per rallentare i neutroni si usano nuclei leggeri: l’idrogeno dell’acqua, il deuterio dell’acqua pesante, il carbonio della grafite. Sono i moderatori: i neutroni perdono energia urtandone elasticamente i nuclei, e più la massa del nucleo è vicina alla loro, più energia perdono. Ecco la frazione ceduta in un urto centrale, con il nucleo di massa $A$ volte quella del neutrone:

Nucleo	$A$	Energia ceduta (%)
Idrogeno	1	100
Deuterio	2	89
Carbonio	12	28
Uranio	238	1,7

Contro l’uranio il neutrone perde pochissimo; contro un protone, in un urto centrale, si ferma. Negli urti reali, quasi mai centrali, la perdita media è minore, ma la classifica non cambia.

L’urto visto dal centro di massa

Nel sistema di riferimento che si muove con il centro di massa le velocità sono $v_1\,' = v_1 - v_{cm}$ e $v_2\,' = v_2 - v_{cm}$. Sottraendo $v_{cm}$ dalle formule compatte:

$$\begin{gathered} v_{1,f}\,' = v_{1,f} - v_{cm} \\ {} = v_{cm} - v_1 = -\,v_1\,' \end{gathered}$$

e allo stesso modo $v_{2,f}\,' = -\,v_2\,'$.

Visto dal centro di massa, in un urto elastico centrale ogni corpo inverte la sua velocità, che resta uguale in modulo.

Dal centro di massa vedi i corpi arrivare con quantità di moto uguali e opposte e tornare indietro con la velocità con cui erano arrivati. Ecco spiegata la forma $v_f = 2v_{cm} - v$: si passa al centro di massa, si inverte la velocità e si torna nel laboratorio. Nel piano le velocità possono anche cambiare direzione, ma non modulo.

Così non cambia né l’energia cinetica relativa al centro di massa, $E_k\,'$, né quella del centro di massa: per il teorema di König l’energia totale è la loro somma, quindi si conserva. Negli urti anelastici, invece, dal centro di massa i corpi tornano indietro più lenti.

L’urto elastico nel piano

Se una palla da biliardo ne colpisce un’altra di striscio, le velocità finali escono dalla retta iniziale. La quantità di moto si conserva per componenti: nel piano sono tre equazioni, due per la quantità di moto e una per l’energia, con quattro incognite, modulo e direzione delle due velocità finali. Serve un dato in più, per esempio un angolo misurato.

Per due sfere lisce il dato in più viene dalla geometria: nel contatto la forza è diretta lungo la retta che congiunge i centri, quindi il bersaglio, se era fermo, parte proprio lungo quella retta.

Masse uguali e bersaglio fermo: l’angolo retto

Un risultato elegante vale per masse uguali con il bersaglio fermo. Semplificando le masse, le conservazioni diventano:

$$\begin{gathered} \vec{v}_1 = \vec{v}_{1,f} + \vec{v}_{2,f} \\ v_1^2 = v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2 \end{gathered}$$

La prima dice che i tre vettori formano un triangolo; la seconda è il teorema di Pitagora, quindi il triangolo è rettangolo, con $\vec{v}_1$ come ipotenusa. Dopo un urto di striscio due palle uguali si allontanano ad angolo retto; fa eccezione solo l’urto centrale, in cui una velocità finale è zero.

Se il bersaglio parte a un angolo $\theta$ rispetto alla direzione iniziale, i lati del triangolo danno subito i moduli, e il proiettile devia di $90^\circ - \theta$ dall’altra parte:

$$\begin{gathered} v_{2,f} = v_1\cos\theta \\ v_{1,f} = v_1\sin\theta \end{gathered}$$

Nel biliardo è la regola dei 90 gradi. Vale bene per un colpo secco, in cui la bianca arriva senza ruotare in avanti o indietro; se invece ruota, dopo l’urto l’attrito con il panno ne curva la traiettoria.

Urti quasi elastici nella realtà

Il biliardo. Tra due palle da biliardo il coefficiente di restituzione è tra 0,92 e 0,98 circa. Con $e = 0{,}95$, in un colpo pieno la bianca prosegue con $(1 - e)/2$ della sua velocità, il 2,5%: quasi uno scambio perfetto.

Il pendolo di Newton. Immagina le sfere d’acciaio appena staccate: la prima urta la seconda e le passa la velocità, la seconda la passa alla terza, e così via fino all’ultima, che non ha nessuno a cui passarla e si alza. E se ne lanci due a velocità $v$? Una sola sfera con la stessa quantità di moto, $2mv$, dovrebbe ripartire a $2v$, con energia $\tfrac{1}{2}m(2v)^2 = 2mv^2$: il doppio di quella iniziale. Impossibile; infatti se ne alzano due. Nei pendoli veri un po’ di energia si perde a ogni urto, e dopo un po’ le sfere tendono a oscillare tutte insieme.

Le molecole di un gas. Nel modello del gas perfetto le molecole si urtano in modo elastico. Ogni molecola che rimbalza su una parete inverte la componente della velocità perpendicolare alla parete e le cede un impulso: sommando miliardi di rimbalzi si ottiene la pressione, nella teoria cinetica dei gas.

La fionda gravitazionale. Un corpo leggero che urta un corpo pesante in movimento: il limite $m_2 \gg m_1$ della formula generale dà $v_{1,f} \approx -v_1 + 2v_2$. Lancia una pallina a 30 km/h contro un treno che arriva a 50 km/h: il macchinista la vede arrivare a 80 km/h e, se il rimbalzo è elastico, ripartire a 80 km/h; rispetto ai binari, quindi, riparte a 130 km/h. Ha aggiunto alla sua velocità il doppio di quella del treno.

Con lo stesso principio le sonde spaziali guadagnano velocità passando vicino a un pianeta. Non c’è contatto, è la gravità a curvare la traiettoria, ma visto dal pianeta il risultato è quello di un urto elastico: la sonda se ne va con la velocità con cui è arrivata, in un’altra direzione. Rispetto al Sole, invece, il pianeta si muove, e la sonda può guadagnare moltissima velocità. Le sonde Voyager hanno sfruttato questa fionda passando vicino a Giove e Saturno.

Un po’ di storia

Tra la fine del 1668 e l’inizio del 1669 John Wallis, Christopher Wren e Christiaan Huygens presentarono alla Royal Society di Londra le loro leggi degli urti. Huygens, che ne pubblicò un riassunto sul Journal des Sçavans nel marzo 1669, aveva notato che negli urti elastici resta costante anche la somma $m_1v_1^2 + m_2v_2^2$: la grandezza che Leibniz chiamerà «forza viva» e che oggi, con il fattore $\tfrac{1}{2}$, chiamiamo energia cinetica. Il suo trattato completo, De motu corporum ex percussione, uscì solo nel 1703, dopo la sua morte.

Gli errori più comuni

• Conservare l’energia cinetica in ogni urto. Vale solo negli urti elastici; negli altri si conserva soltanto la quantità di moto.
• Dimenticare i segni. Due corpi che si vengono incontro hanno velocità di segno opposto: senza il segno meno le formule danno risultati assurdi.
• Risolvere sempre il sistema con i quadrati. Si può fare, ma è lungo e porta anche alla soluzione inutile $v_{1,f} = v_1$. Molto meglio l’inversione della velocità relativa, o $v_f = 2v_{cm} - v$.
• Pensare che ogni corpo inverta la sua velocità. Si inverte la velocità relativa; le singole velocità si invertono solo viste dal centro di massa.
• Usare lo scambio di velocità o la regola dei 90° quando non valgono. Lo scambio vale per masse uguali nell’urto centrale; l’angolo retto richiede anche il bersaglio fermo.
• Pensare che un muro non riceva nulla. La pallina che rimbalza gli trasferisce una quantità di moto $2mv$, anche se quasi nessuna energia.
• Confondere elastico e morbido. Le sfere d’acciaio, durissime, fanno urti quasi elastici; un cuscino, morbidissimo, no.

Esercizi svolti

1. Due sfere su una rotaia

Testo. Una sfera di 2 kg a 3 m/s urta elasticamente, in modo centrale, una sfera di 1 kg ferma. Trova le velocità dopo l’urto, controlla l’energia e calcola che frazione dell’energia passa alla seconda sfera.

Con le formule del bersaglio fermo:

$$\begin{gathered} v_{1,f} = \frac{2 - 1}{2 + 1} \cdot 3\ \text{m/s} = 1\ \text{m/s} \\ v_{2,f} = \frac{2 \cdot 2}{2 + 1} \cdot 3\ \text{m/s} = 4\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Proseguono tutte e due in avanti. Controllo. L’energia prima è $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2 = 9\ \text{J}$; dopo è $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^2 = 1 + 8 = 9\ \text{J}$. La velocità relativa passa da $3 - 0 = 3\ \text{m/s}$ a $1 - 4 = -3\ \text{m/s}$: si è invertita. Alla seconda sfera vanno 8 J su 9, cioè l’89%, come dà la formula $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2 = 8/9$.

2. Due carrelli che si vengono incontro

Testo. Su una rotaia senza attrito un carrello di 3 kg va verso destra a 4 m/s e uno di 1 kg va verso sinistra a 2 m/s. Si urtano in modo elastico. Come si muovono dopo l’urto?

Prendiamo positivo il verso destro: $v_1 = 4\ \text{m/s}$ e $v_2 = -2\ \text{m/s}$. Usiamo la forma con il centro di massa:

$$\begin{gathered} v_{cm} = \frac{3 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{3 + 1}\ \text{m/s} \\ v_{cm} = 2{,}5\ \text{m/s} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} v_{1,f} = 2 \cdot 2{,}5 - 4 = 1\ \text{m/s} \\ v_{2,f} = 2 \cdot 2{,}5 - (-2) = 7\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il carrello pesante rallenta ma prosegue a 1 m/s; quello leggero inverte il moto e schizza verso destra a 7 m/s. Controlli. Quantità di moto: $3 \cdot 4 + 1 \cdot (-2) = 10\ \text{kg·m/s}$ prima e $3 \cdot 1 + 1 \cdot 7 = 10\ \text{kg·m/s}$ dopo. Energia: $24 + 2 = 26\ \text{J}$ prima e $1{,}5 + 24{,}5 = 26\ \text{J}$ dopo. Velocità relativa: da $+6$ a $-6\ \text{m/s}$.

Dal centro di massa le velocità erano $1{,}5$ e $-4{,}5\ \text{m/s}$; dopo l’urto sono $-1{,}5$ e $+4{,}5\ \text{m/s}$: invertite.

3. Trovare la massa del bersaglio

Testo. Un carrello di 0,2 kg a 3 m/s urta elasticamente un carrello fermo e torna indietro a 1 m/s. Quanto vale la massa del secondo carrello, e con che velocità parte?

Con il verso positivo quello iniziale, $v_{1,f} = -1\ \text{m/s}$. Dall’inversione della velocità relativa, $v_{2,f} - v_{1,f} = v_1 - v_2$:

$$\begin{gathered} v_{2,f} = v_{1,f} + v_1 - v_2 \\ v_{2,f} = -1 + 3 - 0 = 2\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Poi la conservazione della quantità di moto dà la massa:

$$\begin{gathered} m_2 = \frac{m_1\,(v_1 - v_{1,f})}{v_{2,f}} \\ m_2 = \frac{0{,}2 \cdot (3 + 1)}{2}\ \text{kg} = 0{,}4\ \text{kg} \end{gathered}$$

Il bersaglio ha il doppio della massa del proiettile: per questo il proiettile torna indietro. Controllo con l’energia: prima $\frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 3^2 = 0{,}9\ \text{J}$, dopo $\frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 1^2 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}4 \cdot 2^2 = 0{,}1 + 0{,}8 = 0{,}9\ \text{J}$.

4. La palla da tennis sopra il pallone

Testo. Lasci cadere da 1 m un pallone da basket di 0,6 kg con sopra una palla da tennis di 58 g. Il pallone rimbalza sul pavimento e, risalendo, urta la palla da tennis che sta ancora scendendo. Con urti elastici e centrali, e trascurando le dimensioni delle palle, a che altezza arriva la palla da tennis?

Arrivate a terra, le due palle hanno la stessa velocità, quella della caduta libera:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1}\ \text{m/s} \\ v \approx 4{,}43\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Con l’asse verso l’alto, il pallone rimbalza sul pavimento e risale a $+v$, mentre la palla da tennis scende ancora a $-v$. Nell’urto tra le due, $m_1 = 0{,}6\ \text{kg}$, $v_1 = +v$, $m_2 = 0{,}058\ \text{kg}$ e $v_2 = -v$:

$$\begin{gathered} v_{2,f} = \frac{(m_2 - m_1)(-v) + 2\,m_1\,v}{m_1 + m_2} \\ {} = \frac{3\,m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v \\ {} = \frac{1{,}8 - 0{,}058}{0{,}658}\,v \approx 2{,}65\,v \end{gathered}$$

cioè circa $11{,}7\ \text{m/s}$. Per la conservazione dell’energia nella salita l’altezza raggiunta è $h' = v_{2,f}^2/(2g)$, che cresce con il quadrato della velocità:

$$h' = 2{,}65^2 \cdot 1\ \text{m} \approx 7{,}0\ \text{m}$$

Sette volte più in alto! È la pallina contro il treno: visto dal pallone, molto più pesante, la palla da tennis arriva a $2v$ e rimbalza a $2v$, quindi rispetto al suolo sale a $3v$; con una palla leggerissima si arriverebbe quasi a $3^2 = 9$ volte l’altezza iniziale. Il pallone, che ha ceduto energia, risale solo a 42 cm circa. Gli urti veri non sono elastici e la palla sale molto meno, ma l’effetto si vede benissimo.

5. Come Chadwick pesò il neutrone

Testo. Nel 1932 James Chadwick fece urtare dei neutroni, di massa $M$ sconosciuta, contro nuclei fermi di idrogeno (massa 1, in masse del protone) e di azoto (massa 14). La velocità massima dei nuclei colpiti era $3{,}3 \cdot 10^7\ \text{m/s}$ per l’idrogeno e $4{,}7 \cdot 10^6\ \text{m/s}$ per l’azoto. Con urti elastici, quanto vale $M$?

La velocità massima si ha nell’urto centrale, quando il nucleo fermo riceve il colpo in pieno. Per un neutrone di velocità $V$, con le formule del bersaglio fermo:

$$\begin{gathered} u_H = \frac{2\,M}{M + 1}\,V \\ u_N = \frac{2\,M}{M + 14}\,V \end{gathered}$$

Non conosciamo nemmeno $V$, ma facendo il rapporto sparisce, insieme a $2M$:

$$\begin{gathered} \frac{u_H}{u_N} = \frac{M + 14}{M + 1} \\ \frac{3{,}3 \cdot 10^7}{4{,}7 \cdot 10^6} \approx 7{,}02 \end{gathered}$$

Da $M + 14 = 7{,}02\,(M + 1)$:

$$M = \frac{14 - 7{,}02}{7{,}02 - 1} \approx 1{,}16$$

Il neutrone ha circa la massa del protone. Chadwick, nel suo articolo, scrisse $M = 1{,}15$, avvertendo che l’errore sulla velocità dell’azoto poteva arrivare al 10%; oggi sappiamo che il neutrone è più pesante del protone solo dello 0,14%. Dalla prima formula si ricava anche la velocità dei neutroni, circa $3{,}1 \cdot 10^7\ \text{m/s}$.

6. Biliardo di striscio

Testo. La bianca arriva a 2 m/s e colpisce di striscio una palla uguale, ferma. La palla colpita parte a 60° rispetto alla direzione iniziale della bianca. Supponendo l’urto elastico e trascurando le rotazioni, trova le velocità finali e la direzione della bianca.

Con masse uguali e bersaglio fermo le due velocità finali sono perpendicolari: la bianca devia di $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ dall’altra parte. Le velocità sono i cateti del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa la velocità iniziale:

$$\begin{gathered} v_{2,f} = 2\cos 60^\circ\ \text{m/s} = 1\ \text{m/s} \\ v_{1,f} = 2\sin 60^\circ\ \text{m/s} = \sqrt{3}\ \text{m/s} \\ v_{1,f} \approx 1{,}73\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Controllo per componenti, con l’asse $x$ lungo la direzione iniziale. Lungo $x$: $\sqrt{3}\cos 30^\circ + 1 \cdot \cos 60^\circ = 1{,}5 + 0{,}5 = 2\ \text{m/s}$, come prima. Lungo $y$: $\sqrt{3}\sin 30^\circ - \sin 60^\circ = 0{,}866 - 0{,}866 = 0$. Energia: $(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4 = 2^2$. Alla palla colpita va solo un quarto dell’energia: più l’urto è di striscio, meno energia passa al bersaglio.

Altri problemi sugli urti li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• Nell’urto elastico si conservano quantità di moto ed energia cinetica.
• Nell’urto centrale la velocità relativa si inverte, $v_{1,f} - v_{2,f} = -(v_1 - v_2)$: è il caso $e = 1$.
• Velocità finali: $v_{1,f} = 2v_{cm} - v_1$ e $v_{2,f} = 2v_{cm} - v_2$, con $v_{cm} = \dfrac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$.
• Bersaglio fermo: $v_{1,f} = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1$ e $v_{2,f} = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$. Masse uguali: scambio delle velocità; bersaglio pesante: rimbalzo; proiettile pesante: bersaglio a quasi $2v_1$.
• Al bersaglio fermo passa la frazione $\dfrac{4m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2}$ dell’energia: il 100% solo con masse uguali.
• Visto dal centro di massa, ogni corpo inverte la velocità senza cambiarne il modulo.
• Nel piano, con masse uguali e bersaglio fermo, le velocità finali sono perpendicolari: $v_{2,f} = v_1\cos\theta$ e $v_{1,f} = v_1\sin\theta$.

Quando una parte dell’energia cinetica si perde, l’urto è anelastico.