Leggi di Newton e concetto di forza: i tre principi della dinamica spiegati semplici

Perché una palla rotola e poi si ferma? Perché in auto, quando freni, il corpo va in avanti? Come fa un razzo ad accelerare nel vuoto, dove non c’è niente su cui spingere? A tutte queste domande rispondono le leggi di Newton, i tre principi della dinamica. Con la cinematica abbiamo imparato a descrivere come si muove un corpo; con la dinamica cerchiamo il perché, cioè le cause del moto. In questa pagina trovi il concetto di forza, i tre principi spiegati uno per uno, il metodo per usarli negli esercizi, le formule inverse e cinque esempi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Il concetto di forza

Intuitivamente una forza è una spinta o una trazione. Ha due tipi di effetti:

• effetti dinamici: mette in moto un corpo fermo, ferma un corpo in movimento, lo fa andare più veloce o più piano, gli fa cambiare direzione;
• effetti statici: deforma un corpo, come quando schiacci una spugna o allunghi una molla.

Alcune forze agiscono per contatto, come la tua mano che spinge un carrello o l’attrito tra le gomme e l’asfalto. Altre agiscono a distanza, senza toccare il corpo: la gravità che tiene la Luna in orbita, o la forza tra due calamite.

La forza è un vettore

Per descrivere una forza non basta un numero. Spingere un carrello in avanti o tirarlo indietro con la stessa intensità produce effetti opposti, e spingerlo verso il basso non lo sposta affatto. Una forza ha un modulo (quanto è intensa), una direzione e un verso: è una grandezza vettoriale, e per questo si scrive $\vec{F}$, con la freccia. Se i vettori non ti sono ancora familiari, ripassali nella guida sui vettori in fisica.

Quando su un corpo agiscono più forze, i loro effetti si combinano con le regole della somma vettoriale: il risultato si chiama forza risultante. Lo vediamo in dettaglio nell’articolo sulla forza risultante e la reazione vincolare.

Come si misura: il newton e il dinamometro

Nel Sistema Internazionale la forza si misura in newton (simbolo N), in onore di Isaac Newton. Tra poco vedremo che $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2$. Per avere un’idea delle grandezze in gioco:

Situazione	Forza, circa
peso di una mela di 100 g	1 N
peso di un libro di 1 kg	10 N
peso di una persona di 70 kg	690 N
spinta che fa accelerare un’auto da 0 a 100 km/h in 10 s	3300 N

Lo strumento più semplice per misurare una forza è il dinamometro: una molla dentro un cilindro, con una scala graduata. La molla si allunga in modo proporzionale alla forza applicata, come dice la legge della forza elastica, e l’indice segna direttamente i newton.

Da Aristotele a Newton: un po’ di storia

Per quasi duemila anni ha dominato l’idea di Aristotele: lo stato naturale dei corpi è la quiete, e per mantenere un corpo in movimento serve qualcosa che continui a spingerlo. Del resto è quello che vediamo ogni giorno: se smetti di spingere un carrello, prima o poi si ferma.

Nella prima metà del Seicento Galileo Galilei ribaltò questo modo di vedere con un esperimento ideale. Una pallina che scende lungo un piano inclinato risale su un secondo piano fin quasi all’altezza di partenza. Se il secondo piano è meno ripido, per tornare alla stessa altezza la pallina percorre più strada. E se il secondo piano fosse orizzontale e senza attrito? La pallina non raggiungerebbe mai la quota di partenza, e quindi continuerebbe a muoversi per sempre. Il moto non ha bisogno di una causa per continuare: si ferma solo perché qualcosa, l’attrito, lo frena.

Nel 1687 Isaac Newton pubblicò i Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, in cui raccolse i tre principi della dinamica e la legge di gravitazione universale. Con queste poche leggi si potevano spiegare insieme la caduta di una mela e il moto dei pianeti. La forma $\vec{F} = m\,\vec{a}$ che usiamo oggi, però, non è quella scritta da Newton: si è affermata nel Settecento, grazie soprattutto al matematico svizzero Leonhard Euler, in italiano Eulero.

Primo principio: il principio d’inerzia

Un corpo non soggetto a forze, o soggetto a forze con risultante nulla, resta in quiete oppure si muove di moto rettilineo uniforme.

In altre parole: se la forza risultante è zero, la velocità non cambia, né in modulo né in direzione. Un corpo fermo resta fermo, un corpo in moto continua ad andare dritto alla stessa velocità, con il moto rettilineo uniforme.

È un’affermazione meno ovvia di quanto sembri. Un libro spinto sul tavolo si ferma subito, ma non perché “ha finito la spinta”: si ferma perché su di esso agisce una forza, l’attrito. Sul ghiaccio, dove l’attrito è molto minore, scivolerebbe molto più a lungo; senza alcun attrito non si fermerebbe mai. La conseguenza da ricordare è questa:

L’inerzia è proprio la tendenza di un corpo a conservare il suo stato di moto, e la incontri ogni giorno. Quando l’autobus parte all’improvviso ti senti spinto all’indietro: in realtà il tuo corpo tende a restare fermo mentre l’autobus avanza. Quando l’auto frena bruscamente il corpo va in avanti, perché tende a conservare la velocità che aveva: la cintura di sicurezza serve a fermarti insieme all’auto. E il trucco della tovaglia tirata via da sotto i piatti funziona perché, se lo strappo è rapido, l’attrito agisce troppo poco tempo per mettere in moto i piatti.

I sistemi di riferimento inerziali

Il principio d’inerzia non vale per qualunque osservatore. Immagina di essere su un autobus che frena: vedi una bottiglia sul pavimento rotolare in avanti, anche se nessuno la spinge. Per te la bottiglia accelera senza una forza, e il primo principio sembra violato. Il motivo è che sei tu, insieme all’autobus, a essere accelerato.

I sistemi di riferimento inerziali sono proprio quelli in cui vale il principio d’inerzia. Un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale è anch’esso inerziale: su un treno che viaggia dritto a velocità costante, un bicchiere sul tavolino resta fermo esattamente come in stazione.

E la Terra? Ruota su sé stessa e gira intorno al Sole, quindi a rigore non è un sistema inerziale. Ma le accelerazioni in gioco sono piccole: per un punto sull’equatore l’accelerazione dovuta alla rotazione è circa $0{,}034\ \text{m/s}^2$, lo 0,35% di $g$, come calcoliamo nel moto circolare. Per quasi tutti i problemi di Fisica 1 un sistema solidale con il suolo si può considerare inerziale. I sistemi accelerati, e le forze apparenti che vi compaiono, li studiamo nei moti relativi.

Secondo principio: F = ma

Il secondo principio dice che cosa succede quando la forza risultante non è nulla: il corpo accelera, e l’accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza risultante.

$$\vec{F} = m\,\vec{a}$$

Qui $\vec{F}$ è la risultante di tutte le forze che agiscono sul corpo, $m$ è la sua massa e $\vec{a}$ la sua accelerazione. Leggila in due modi:

• a parità di massa, forza doppia significa accelerazione doppia;
• a parità di forza, un corpo con massa doppia accelera la metà. Spingere un carrello vuoto o uno pieno con la stessa forza non dà lo stesso risultato.

Dalla formula si ricava la definizione del newton: $1\ \text{N}$ è la forza che imprime a una massa di $1\ \text{kg}$ un’accelerazione di $1\ \text{m/s}^2$.

$$1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot 1\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

La massa inerziale

La massa che compare nel secondo principio misura l’inerzia del corpo, cioè quanto “resiste” a cambiare velocità: per questo si chiama massa inerziale. Si misura in chilogrammi ed è una grandezza scalare. Non va confusa con il peso, che è una forza: il peso è la forza con cui la Terra attira un corpo, vale $P = m\,g$ e si misura in newton, come vediamo nell’articolo sulla forza peso. Sulla Luna il tuo peso è circa un sesto di quello sulla Terra, ma la tua massa è la stessa. Che la massa inerziale coincida con quella che compare nella gravità non è affatto scontato: ne parliamo in massa inerziale e massa gravitazionale.

Come si usa negli esercizi

$\vec{F} = m\,\vec{a}$ è un’equazione vettoriale, quindi negli esercizi si scrive per componenti, una per ogni asse. La lettera $\Sigma$ (sigma maiuscola, si legge «somma di») indica la somma di tutte le forze lungo quell’asse:

$$\sum F_x = m\,a_x \qquad \sum F_y = m\,a_y$$

Il metodo che funziona sempre:

1. isola il corpo e disegna tutte le forze che agiscono su di esso, e solo quelle: è il diagramma di corpo libero;
2. scegli gli assi, possibilmente con un asse lungo la direzione del moto;
3. scomponi le forze lungo gli assi e scrivi il secondo principio per ogni asse;
4. risolvi il sistema di equazioni e controlla che il risultato abbia senso, anche con le unità di misura.

Ecco il diagramma di corpo libero di una cassa spinta su un pavimento con attrito:

Lungo l’asse verticale la cassa non si muove, quindi $a_y = 0$ e la reazione del piano bilancia il peso: $N - P = 0$. Lungo l’asse orizzontale la cassa accelera nel verso della forza più grande: $F - F_a = m\,a_x$. Se la risultante è nulla lungo tutti gli assi, l’accelerazione è nulla e ritrovi il primo principio: è il caso dell’equilibrio delle forze. Un metodo più completo, valido per qualunque problema di fisica, lo trovi nella guida su come risolvere gli esercizi di fisica.

La forma più generale

Newton scrisse la sua legge in una forma ancora più generale, usando la quantità di moto $\vec{p} = m\,\vec{v}$: la forza risultante è la rapidità con cui cambia la quantità di moto.

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

Se la massa è costante, $\frac{d\vec{p}}{dt} = m\,\frac{d\vec{v}}{dt} = m\,\vec{a}$ e si torna alla forma che conosci. La forma con $\vec{p}$ serve quando la massa cambia, come per un razzo che brucia carburante.

Formule inverse del secondo principio

Il secondo principio collega la dinamica alla cinematica: dalla forza ricavi l’accelerazione, e con le formule del moto rettilineo uniformemente accelerato trovi velocità, tempi e spazi. Ecco le formule inverse più usate, con forza costante e moto lungo una retta. Se vuoi imparare a ricavarle da solo, trovi il metodo in formule inverse in fisica.

Formula	Formule inverse
$F = m\,a$	$a = \dfrac{F}{m}$ $m = \dfrac{F}{a}$
$F = m\,\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta v = \dfrac{F\,\Delta t}{m}$ $\Delta t = \dfrac{m\,\Delta v}{F}$
$F = m\,\dfrac{v^2 - v_0^2}{2\,\Delta x}$	$\Delta x = \dfrac{m\,(v^2 - v_0^2)}{2F}$ $v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2F\,\Delta x}{m}}$

La seconda riga nasce da $a = \Delta v/\Delta t$, la terza dalla formula senza il tempo $v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$. Le userai nel primo e nel terzo esempio.

Terzo principio: azione e reazione

Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora B esercita su A una forza uguale in modulo e direzione e opposta nel verso.

$$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$$

Le forze, insomma, arrivano sempre a coppie. Quando spingi un muro, il muro spinge te con la stessa forza: se sei sui pattini, sei tu ad andare all’indietro. Alcuni esempi in cui il terzo principio è il protagonista:

• camminare: il piede spinge il terreno all’indietro, grazie all’attrito, e il terreno spinge te in avanti. Sul ghiaccio, dove l’attrito è minimo, il terreno non riesce a “restituirti” la spinta e scivoli;
• remare e nuotare: i remi, o le braccia, spingono l’acqua all’indietro e l’acqua spinge la barca, o il nuotatore, in avanti;
• il razzo: espelle gas ad altissima velocità all’indietro, e il gas spinge il razzo in avanti. Per questo un razzo funziona anche nel vuoto: non ha bisogno di “appoggiarsi” all’aria, perché spinge contro il gas che lui stesso espelle;
• il rinculo di un fucile: il fucile spinge il proiettile in avanti e il proiettile spinge il fucile all’indietro, contro la spalla.

L’errore più comune: azione e reazione non si annullano

Se le due forze sono uguali e opposte, perché non si annullano? Perché agiscono su corpi diversi. Due forze si possono sommare, e quindi annullare, solo se agiscono sullo stesso corpo.

Prendi un libro fermo sul tavolo. Su di lui agiscono due forze: il peso, con cui la Terra lo attira verso il basso, e la spinta del tavolo verso l’alto. Si bilanciano, ed è per questo che il libro resta fermo. Ma non sono una coppia di azione e reazione: agiscono entrambe sul libro, e sono uguali solo perché il libro è in equilibrio. Le vere coppie sono altre: il tavolo spinge il libro e il libro preme sul tavolo; la Terra attira il libro e il libro attira la Terra.

Ti sembra strano che il libro attiri la Terra con la stessa forza con cui la Terra attira lui? È proprio così. Solo che la massa della Terra è enorme, quindi, per il secondo principio, la sua accelerazione è così piccola da essere impossibile da misurare.

Il paradosso del cavallo e del carro

Un classico: se il cavallo tira il carro e il carro, per il terzo principio, tira il cavallo con una forza uguale e opposta, come fa il cavallo a mettersi in moto?

La risposta sta, ancora una volta, nel guardare un corpo alla volta. Sul cavallo agiscono la trazione del carro, all’indietro, e la spinta del terreno sugli zoccoli, in avanti: il cavallo spinge il terreno all’indietro e il terreno lo spinge in avanti. Se la spinta del terreno è più grande della trazione del carro, il cavallo accelera. Sul carro agiscono la trazione del cavallo, in avanti, e l’attrito, all’indietro: se la trazione vince, accelera anche il carro. Le due forze uguali e opposte tra cavallo e carro esistono davvero, ma stanno in due equazioni diverse.

Gli errori più comuni

• Pensare che serva una forza per mantenere il moto. Serve per cambiarlo. Un corpo a velocità costante può avere forza risultante nulla.
• Mettere nel diagramma di corpo libero forze che non agiscono sul corpo, come la forza che il corpo esercita su un altro. Nel diagramma vanno solo le forze che subisce.
• Dimenticare che F è la risultante. Nel secondo principio non si mette una forza a caso, ma la somma vettoriale di tutte.
• Credere che azione e reazione si annullino. Agiscono su corpi diversi.
• Confondere massa e peso. La massa si misura in kg, il peso in N; il peso di 1 kg è circa 9,8 N.
• Pensare che velocità e forza abbiano sempre lo stesso verso. È l’accelerazione ad avere il verso della forza risultante. Un’auto che frena va in avanti, ma la forza risultante punta all’indietro.

Esempi svolti

1. Un’auto che accelera

Un’auto di massa $m = 1200\ \text{kg}$ passa da 0 a 100 km/h in 10 s. Che forza risultante agisce su di essa, supponendo l’accelerazione costante?

Prima di tutto convertiamo la velocità: $100\ \text{km/h} = \frac{100}{3{,}6}\ \text{m/s} \approx 27{,}78\ \text{m/s}$. Poi usiamo la formula della seconda riga della tabella:

$$\begin{gathered} F = m\,\frac{\Delta v}{\Delta t} \\ F = 1200\ \text{kg} \cdot \frac{27{,}78\ \text{m/s}}{10\ \text{s}} \approx 3330\ \text{N} \end{gathered}$$

L’accelerazione è $a = F/m \approx 2{,}78\ \text{m/s}^2$, poco meno di un terzo di $g$. Nei 10 secondi l’auto percorre $\Delta x = \frac{1}{2}\,a\,t^2 \approx 139\ \text{m}$.

2. Due blocchi spinti insieme

Due blocchi appoggiati uno contro l’altro su un piano senza attrito, di masse $m_1 = 2\ \text{kg}$ e $m_2 = 3\ \text{kg}$, vengono spinti da una forza $F = 10\ \text{N}$ applicata al primo. Qual è l’accelerazione e quanto vale la forza tra i due blocchi?

I due blocchi si muovono insieme, quindi si possono trattare come un unico corpo di massa 5 kg:

$$a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{10\ \text{N}}{5\ \text{kg}} = 2\ \text{m/s}^2$$

Ora isoliamo il secondo blocco. L’unica forza orizzontale su di esso è la spinta $F_{12}$ del primo blocco:

$$F_{12} = m_2\,a = 3\ \text{kg} \cdot 2\ \text{m/s}^2 = 6\ \text{N}$$

Per il terzo principio, il secondo blocco spinge il primo con 6 N all’indietro. Infatti sul primo blocco la risultante è $10 - 6 = 4\ \text{N}$, proprio $m_1\,a$. Nota che la forza tra i blocchi non è 10 N: il primo blocco “usa” una parte della spinta per accelerare sé stesso.

3. La frenata (con una formula inversa)

Un’auto di 1200 kg viaggia a 50 km/h e deve fermarsi in 20 m. Che forza frenante serve, supponendola costante?

Con $v_0 = \frac{50}{3{,}6}\ \text{m/s} \approx 13{,}89\ \text{m/s}$ e $v = 0$, usiamo la terza riga della tabella. Il segno meno dice che la forza è opposta al moto; a noi interessa il modulo:

$$\begin{gathered} F = m\,\frac{v_0^2}{2\,\Delta x} \\ F = 1200\ \text{kg} \cdot \frac{(13{,}89\ \text{m/s})^2}{2 \cdot 20\ \text{m}} \approx 5790\ \text{N} \end{gathered}$$

La decelerazione è $a \approx 4{,}82\ \text{m/s}^2$, circa metà di $g$, e la frenata dura $t = v_0/a \approx 2{,}9\ \text{s}$. Se la velocità raddoppiasse, a parità di forza lo spazio di frenata diventerebbe quattro volte più lungo, perché dipende da $v_0^2$.

4. La bilancia in ascensore

Una persona di 70 kg è in piedi su una bilancia, dentro un ascensore che parte verso l’alto con accelerazione $a = 1{,}5\ \text{m/s}^2$. Che cosa segna la bilancia?

La bilancia misura la forza $N$ con cui spinge la persona verso l’alto. Sulla persona agiscono $N$ verso l’alto e il peso $mg$ verso il basso. Prendendo l’asse verso l’alto, il secondo principio dà:

$$\begin{gathered} N - m\,g = m\,a \\ N = m\,(g + a) \\ N = 70\ \text{kg} \cdot 11{,}31\ \text{m/s}^2 \approx 792\ \text{N} \end{gathered}$$

Da ferma la bilancia segnerebbe $mg \approx 687\ \text{N}$. Dato che le bilance sono tarate per mostrare i chilogrammi dividendo per $g$, ora segnano circa 80,7 kg. Quando l’ascensore accelera verso il basso con la stessa accelerazione, $N = m\,(g - a) \approx 582\ \text{N}$, cioè circa 59,3 kg. E se il cavo si spezzasse, con $a = g$, la bilancia segnerebbe zero: è la sensazione di “assenza di peso” degli astronauti in orbita.

5. Due pattinatori che si spingono

Due pattinatori fermi sul ghiaccio, di masse $m_1 = 50\ \text{kg}$ e $m_2 = 75\ \text{kg}$, si spingono a vicenda con una forza di 150 N per 0,40 s. Con che velocità si allontanano? Trascuriamo l’attrito.

Per il terzo principio ciascuno subisce una forza di 150 N, nei due versi opposti. Le accelerazioni però sono diverse, perché le masse sono diverse:

$$\begin{gathered} a_1 = \frac{150\ \text{N}}{50\ \text{kg}} = 3{,}0\ \text{m/s}^2 \\ a_2 = \frac{150\ \text{N}}{75\ \text{kg}} = 2{,}0\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Dopo 0,40 s le velocità sono $v_1 = a_1\,t = 1{,}2\ \text{m/s}$ e $v_2 = a_2\,t = 0{,}80\ \text{m/s}$, in versi opposti. Forze uguali, effetti diversi: il pattinatore più leggero va più veloce. E guarda le quantità di moto: $50 \cdot 1{,}2 = 75 \cdot 0{,}80 = 60\ \text{kg·m/s}$, uguali e opposte. Non è un caso: è la conservazione della quantità di moto, che discende proprio dal terzo principio.

In sintesi

• La forza è una grandezza vettoriale e si misura in newton: $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2$, più o meno il peso di una mela.
• Primo principio: con forza risultante nulla un corpo resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. La forza serve a cambiare la velocità, non a mantenerla. Vale nei sistemi di riferimento inerziali.
• Secondo principio: $\vec{F} = m\,\vec{a}$, con $\vec{F}$ risultante di tutte le forze; negli esercizi si parte dal diagramma di corpo libero e si scrive per componenti. In forma generale $\vec{F} = d\vec{p}/dt$.
• Terzo principio: $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$; azione e reazione agiscono su corpi diversi e non si annullano mai.

Il passo successivo è imparare a sommare le forze e a riconoscere le reazioni dei vincoli: lo vediamo nella forza risultante e reazione vincolare.