Principio zero della termodinamica: temperatura, termometri e scale termometriche

Diciamo che un caffè è «caldo» e un gelato è «freddo», ma il tatto è un pessimo strumento di misura: una maniglia di metallo e una porta di legno, nella stessa stanza, sembrano a temperature diverse anche se non lo sono. Per misurare davvero la temperatura serve un principio preciso, il più semplice e il più fondamentale della termodinamica: il principio zero. In questa pagina vediamo l’equilibrio termico, l’enunciato del principio zero e perché si chiama «zero», cos’è la temperatura per le molecole, come funziona un termometro, le scale Celsius, Kelvin e Fahrenheit con le conversioni, come è definito oggi il kelvin, la temperatura di equilibrio di due corpi, perché il metallo sembra più freddo del legno, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Lo stato di equilibrio

Lo stato di un sistema termodinamico è descritto dalle sue variabili di stato: pressione, volume, temperatura, composizione. Queste hanno un valore ben definito solo quando il sistema è in equilibrio termodinamico, cioè quando non cambiano nel tempo. Servono tre equilibri insieme:

1. equilibrio meccanico: le forze si bilanciano, il volume non cambia;
2. equilibrio chimico: non avvengono reazioni;
3. equilibrio termico: la temperatura è la stessa in ogni punto e non ci sono flussi di calore.

Lasciato a sé stesso, un sistema arriva spontaneamente all’equilibrio: un caffè si raffredda fino alla temperatura della stanza, un gas riempie in modo uniforme il recipiente. Mai il contrario: il perché lo spiega il secondo principio con l’entropia.

Il contatto termico

Due corpi sono a contatto termico quando possono scambiarsi calore, anche attraverso una parete che lo lascia passare, detta diatermica, come il metallo di una lattina. Una parete che non lo lascia passare si dice adiabatica: un buon thermos ci si avvicina molto.

Immergi una lattina fresca in una bacinella d’acqua tiepida: la lattina si scalda, l’acqua si raffredda, e dopo un po’ smettono di cambiare. Hanno raggiunto l’equilibrio termico.

Il principio zero della termodinamica

Principio zero. Se due sistemi A e B sono ciascuno in equilibrio termico con un terzo sistema C, allora A e B sono in equilibrio termico tra loro.

Detto in pratica: se metti A a contatto con C e non cambia niente, e poi metti B a contatto con C e di nuovo non cambia niente, allora anche mettendo A a contatto con B non cambierà niente. Il terzo sistema C fa da «arbitro», e nella realtà l’arbitro è il termometro.

Perché non è ovvio

Sembra una banalità, ma è un fatto sperimentale, non una conseguenza logica. Molte relazioni non funzionano così: se Anna è amica di Carlo e Bea è amica di Carlo, non è detto che Anna e Bea siano amiche. L’equilibrio termico, invece, si comporta come l’uguaglianza tra numeri: se $a = c$ e $b = c$, allora $a = b$.

Ecco il suo significato profondo: esiste una grandezza che ha lo stesso valore per tutti i corpi in equilibrio termico tra loro, la temperatura. Due corpi sono in equilibrio termico se e solo se hanno la stessa temperatura; altrimenti, a contatto, il calore passa dal più caldo al più freddo. Senza il principio zero il termometro non servirebbe a niente: la lettura fatta su un corpo non direbbe nulla su un altro.

Perché si chiama «zero»

Il primo e il secondo principio erano stati formulati a metà dell’Ottocento e avevano già il loro numero. Solo negli anni Trenta del Novecento ci si accorse che entrambi davano per scontata una cosa più elementare: che la temperatura esistesse. Il fisico britannico Ralph H. Fowler propose di chiamare questo postulato «principio zero», e il nome compare nel libro Statistical Thermodynamics, scritto con Edward A. Guggenheim e pubblicato nel 1939. Il principio viene logicamente prima degli altri, che però avevano ormai il loro numero: così gli toccò lo zero.

Cos’è la temperatura

Il principio zero dice che la temperatura esiste, ma non cosa sia. Per capirlo bisogna guardare le molecole, che non stanno mai ferme: in un gas volano e si urtano, in un solido vibrano. La teoria cinetica dei gas mostra che, in un gas perfetto, la temperatura assoluta è proporzionale all’energia cinetica media di traslazione delle molecole:

$$\bar{E}_k = \frac{3}{2}\,k_B\,T$$

dove $k_B = 1{,}380649 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}$ è la costante di Boltzmann e $T$ è la temperatura in kelvin. A 20 °C, cioè 293,15 K, l’energia cinetica media di traslazione di una molecola d’aria è circa $6{,}1 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$.

Quindi: più le molecole si muovono in fretta, più il corpo è caldo, e lo zero assoluto è la temperatura a cui l’agitazione è la minima possibile. Quando due corpi sono a contatto, le molecole veloci del corpo caldo urtano quelle lente del corpo freddo e in media cedono loro energia. Il flusso si ferma quando l’energia media è la stessa da entrambe le parti: è il principio zero visto dalle molecole.

Temperatura e calore non sono la stessa cosa

La temperatura misura l’agitazione media delle molecole; il calore è l’energia che passa da un corpo all’altro perché hanno temperature diverse, e si misura in joule. Una vasca d’acqua tiepida ha molta più energia interna di una tazzina di caffè bollente, ma una temperatura più bassa: a contatto, il calore va dal caffè alla vasca, non il contrario. Il legame tra calore, lavoro ed energia interna è il primo principio della termodinamica.

Come funziona un termometro

Il termometro è il sistema C del principio zero: lo metti a contatto con il corpo, aspetti l’equilibrio e leggi il valore, che è la temperatura del termometro e quindi anche quella del corpo. Perché funzioni:

• deve sfruttare una grandezza termometrica, cioè una proprietà che cambia in modo regolare e riproducibile con la temperatura;
• deve essere piccolo rispetto al corpo: per arrivare all’equilibrio ne cambia un po’ la temperatura, e se è piccolo l’effetto è trascurabile (lo vediamo nell’esercizio 5);
• bisogna aspettare: l’equilibrio non è istantaneo e la lettura si avvicina al valore vero sempre più lentamente (esercizio 6).

Le grandezze termometriche

Termometro	Grandezza che cambia
a liquido	volume del liquido
a gas	pressione del gas
a resistenza	resistenza elettrica
termocoppia	tensione elettrica
a infrarossi	radiazione emessa

Nei termometri a liquido l’alcol colorato, o un tempo il mercurio, si dilata e sale in un tubicino sottile: in Europa quelli da febbre a mercurio non si possono più vendere dal 3 aprile 2009, perché il mercurio è tossico. I termometri a infrarossi, come quelli da fronte, misurano a distanza la radiazione emessa dal corpo: è l’irraggiamento, che vediamo nella trasmissione del calore.

Il termometro a gas a volume costante

Alcol e mercurio non si dilatano esattamente allo stesso modo, quindi due termometri tarati negli stessi punti fissi possono dare valori un po’ diversi a metà scala. Il termometro a gas a volume costante risolve il problema: un bulbo contiene un gas a volume fisso, e a bassa pressione ogni gas si comporta come un gas perfetto, con la pressione proporzionale alla temperatura assoluta. Se $p_3$ è la pressione del gas al punto triplo dell’acqua, la temperatura è:

$$T = 273{,}16\ \text{K} \cdot \frac{p}{p_3}$$

Con gas diversi, purché a bassa pressione, si ottiene lo stesso valore. Per questo il termometro a gas è servito da riferimento per costruire la scala assoluta delle temperature.

Le scale termometriche

Per dare un numero alla temperatura serve una scala: si scelgono dei riferimenti facili da riprodurre, i punti fissi, e si divide l’intervallo in gradi.

La scala Celsius

Usa due punti fissi dell’acqua alla pressione di 1 atmosfera: 0 °C per la fusione del ghiaccio e 100 °C per l’ebollizione. La propose l’astronomo svedese Anders Celsius nel 1742, ma al contrario: per lui l’acqua bolliva a 0 e gelava a 100. Già nel 1744 la scala fu rovesciata nella forma di oggi. È comoda, ma il suo zero è arbitrario.

La scala Kelvin

È la scala del Sistema Internazionale e l’unica da usare nelle formule della termodinamica. L’idea di una scala assoluta la propose nel 1848 William Thomson, il futuro Lord Kelvin. Il suo zero è lo zero assoluto, la temperatura più bassa possibile, che si può avvicinare ma non raggiungere: è il contenuto del terzo principio della termodinamica. Si dice «300 kelvin», senza «gradi»: il simbolo °K è stato abbandonato alla fine degli anni Sessanta.

Un kelvin è ampio quanto un grado Celsius. Di conseguenza le differenze di temperatura hanno lo stesso valore nelle due scale: un aumento di 10 °C è un aumento di 10 K.

Come è definito oggi il kelvin

Dal 1954 al 2019 il kelvin era definito fissando a 273,16 K, esattamente, la temperatura del punto triplo dell’acqua: lo stato in cui ghiaccio, acqua liquida e vapore convivono in equilibrio, a 0,01 °C e circa 611,7 Pa. Dal 20 maggio 2019 è definito invece fissando il valore esatto della costante di Boltzmann:

$$k_B = 1{,}380649 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}$$

Così il kelvin non dipende più da una sostanza particolare, ma è legato direttamente a un’energia, come suggerisce la formula $\bar{E}_k = \tfrac{3}{2}k_BT$. In pratica non è cambiato niente: i termometri tarati prima del 2019 continuano a dare il valore giusto.

La scala Fahrenheit

È usata soprattutto negli Stati Uniti. La propose nel 1724 Daniel Gabriel Fahrenheit, fisico e costruttore di strumenti, con tre riferimenti: lo 0 era una miscela di ghiaccio, acqua e sale ammoniaco, il 32 il ghiaccio che fonde, il 96 circa la temperatura del corpo umano. In seguito la scala fu ritoccata per avere esattamente 32 °F per la fusione del ghiaccio e 212 °F per l’ebollizione dell’acqua. Tra i due punti ci sono 180 gradi Fahrenheit contro 100 gradi Celsius, quindi un grado Fahrenheit vale $100/180 = 5/9$ di grado Celsius.

Le formule di conversione

Per passare da una scala all’altra servono due informazioni: dove sta lo zero e quanto è grande un grado. Tra Kelvin e Celsius cambia solo lo zero:

$$T = t_C + 273{,}15$$

Tra Celsius e Fahrenheit cambiano tutti e due: 0 °C corrispondono a 32 °F, e ogni grado Celsius vale 1,8 gradi Fahrenheit:

$$\begin{gathered} t_F = 1{,}8\,t_C + 32 \\ t_C = \frac{t_F - 32}{1{,}8} \end{gathered}$$

Da Fahrenheit a kelvin conviene fare due passi, passando per i gradi Celsius. Ecco i valori più utili da ricordare:

Riferimento	°C	°F
zero assoluto	−273,15	−459,67
le scale coincidono	−40	−40
fusione del ghiaccio	0	32
stanza	20	68
corpo umano	37	98,6
ebollizione dell’acqua	100	212

Attenzione alle differenze di temperatura

Una temperatura e una differenza di temperatura si convertono in modo diverso. Per le differenze lo zero non conta, conta solo l’ampiezza del grado: una variazione di 1 °C è una variazione di 1 K e di 1,8 °F.

$$\Delta T = \Delta t_C \qquad \Delta t_F = 1{,}8\,\Delta t_C$$

Se l’acqua di una pentola si scalda di 20 °C, si è scaldata di 20 K, non di 293,15 K. Per questo nella formula del calore $Q = mc\,\Delta T$ puoi usare kelvin o gradi Celsius, mentre nell’equazione dei gas $pV = nRT$ la temperatura va sempre in kelvin.

La temperatura di equilibrio di due corpi

Il principio zero dice che due corpi a contatto arrivano alla stessa temperatura, ma non dice quale. Se i due corpi sono isolati dall’esterno, il calore ceduto da quello caldo è uguale al calore assorbito da quello freddo. Un corpo di massa $m$ e calore specifico $c$ che passa da $T_1$ a $T_e$ scambia un calore $Q = mc\,(T_e - T_1)$, positivo se lo assorbe e negativo se lo cede. La somma deve fare zero:

$$m_1 c_1 (T_e - T_1) + m_2 c_2 (T_e - T_2) = 0$$

Risolvendo per $T_e$:

$$T_e = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$$

È una media pesata delle due temperature iniziali, con «pesi» le capacità termiche $m_1c_1$ e $m_2c_2$: la temperatura finale sta sempre tra le due, più vicina a quella del corpo con capacità termica maggiore.

Esempio: un pezzo di ferro di 100 g a 100 °C viene immerso in 200 g d’acqua a 20 °C. Con $c = 450\ \text{J/(kg·K)}$ per il ferro e $c = 4186\ \text{J/(kg·K)}$ per l’acqua, le capacità termiche sono $0{,}1 \cdot 450 = 45\ \text{J/K}$ e $0{,}2 \cdot 4186 \approx 837{,}2\ \text{J/K}$:

$$\begin{gathered} T_e = \frac{45 \cdot 100 + 837{,}2 \cdot 20}{45 + 837{,}2}\ \text{°C} \\ {} = \frac{21\,244}{882{,}2}\ \text{°C} \approx 24{,}1\ \text{°C} \end{gathered}$$

Il ferro scende di quasi 76 gradi, l’acqua sale di appena 4: la sua capacità termica è circa 19 volte quella del ferro.

Perché il metallo sembra più freddo del legno

Torniamo alla maniglia e alla porta dell’inizio. Sono nella stessa stanza da ore, quindi per il principio zero hanno la stessa temperatura, diciamo 20 °C. Ma la mano è più calda di entrambe, e il calore passa dalla pelle all’oggetto. Il metallo conduce il calore centinaia di volte meglio del legno: lo porta via in fretta, e la pelle a contatto si raffredda. Il legno conduce male: lo strato che tocchi si scalda subito quasi fino alla temperatura della mano, e il flusso di calore si riduce. Il tatto, insomma, non misura la temperatura: misura quanto in fretta la pelle perde calore.

Gli errori più comuni

• Pensare che il principio zero sia ovvio e quindi inutile. È un fatto sperimentale, ed è proprio lui a garantire che la temperatura esista e che termometri diversi diano risultati confrontabili.
• Confondere temperatura e calore. La temperatura è una proprietà del corpo, il calore è energia in transito tra corpi a temperature diverse.
• Usare i gradi Celsius nelle formule dei gas. In $pV = nRT$, in $\bar{E}_k = \tfrac{3}{2}k_BT$ e nel termometro a gas la temperatura va in kelvin: 27 °C sono 300,15 K, non 27.
• Convertire una differenza come se fosse una temperatura. Un aumento di 18 °C è un aumento di 18 K e di 32,4 °F, non di 291,15 K né di 64,4 °F.
• Dimenticare il segno meno sotto zero. −10 °C sono $1{,}8 \cdot (-10) + 32 = 14$ °F, non 50 °F.
• Leggere il termometro prima dell’equilibrio. Il termometro misura la propria temperatura: finché non è in equilibrio con il corpo, la lettura è sbagliata.

Esercizi svolti

1. La febbre in Fahrenheit

Testo. Durante un viaggio negli Stati Uniti il termometro segna 101 °F. Hai la febbre? Quanto vale questa temperatura in kelvin?

Convertiamo prima in gradi Celsius:

$$\begin{gathered} t_C = \frac{101 - 32}{1{,}8}\ \text{°C} = \frac{69}{1{,}8}\ \text{°C} \\ t_C \approx 38{,}3\ \text{°C} \end{gathered}$$

Poi in kelvin: $T = 38{,}3 + 273{,}15 \approx 311{,}5\ \text{K}$. Sì, è una febbre leggera: 101 sembra un numero altissimo solo perché il grado Fahrenheit è più piccolo e lo zero della scala è più in basso.

2. L’escursione termica

Testo. In una giornata d’estate la temperatura passa da 12 °C all’alba a 30 °C nel pomeriggio. Quanto vale l’aumento di temperatura in gradi Celsius, in kelvin e in gradi Fahrenheit?

L’aumento è $\Delta t_C = 30 - 12 = 18\ \text{°C}$, cioè $\Delta T = 18\ \text{K}$. In Fahrenheit conta solo l’ampiezza del grado:

$$\Delta t_F = 1{,}8 \cdot 18\ \text{°F} = 32{,}4\ \text{°F}$$

Controllo: 12 °C sono $1{,}8 \cdot 12 + 32 = 53{,}6\ \text{°F}$ e 30 °C sono 86 °F; la differenza è proprio $86 - 53{,}6 = 32{,}4\ \text{°F}$.

3. Quando due scale segnano lo stesso numero

Testo. Esiste una temperatura a cui le scale Celsius e Fahrenheit segnano lo stesso numero? E le scale Kelvin e Fahrenheit? E Kelvin e Celsius?

Per Celsius e Fahrenheit imponiamo $t_F = t_C = t$:

$$\begin{gathered} t = 1{,}8\,t + 32 \\ -0{,}8\,t = 32 \\ t = -40 \end{gathered}$$

Per Kelvin e Fahrenheit scriviamo $t_F$ in funzione di $T$, passando per i gradi Celsius, e imponiamo $t_F = T$:

$$\begin{gathered} T = 1{,}8\,(T - 273{,}15) + 32 \\ T = 1{,}8\,T - 459{,}67 \\ 0{,}8\,T = 459{,}67 \\ T \approx 574{,}59\ \text{K} \end{gathered}$$

cioè circa 301,44 °C. Kelvin e Celsius, invece, non coincidono mai: hanno gradi della stessa ampiezza e zeri diversi, quindi differiscono sempre di 273,15.

4. Il termometro a gas

Testo. Un termometro a gas a volume costante segna una pressione $p_3 = 40{,}0\ \text{kPa}$ quando è a contatto con acqua al punto triplo. Immerso in una pentola d’acqua che bolle segna 54,6 kPa; immerso in azoto liquido segna 11,3 kPa. Trova le due temperature in kelvin e in gradi Celsius.

Con $T = 273{,}16\ \text{K} \cdot p/p_3$:

$$\begin{gathered} T_1 = 273{,}16 \cdot \frac{54{,}6}{40{,}0}\ \text{K} \approx 372{,}9\ \text{K} \\ T_2 = 273{,}16 \cdot \frac{11{,}3}{40{,}0}\ \text{K} \approx 77{,}2\ \text{K} \end{gathered}$$

Togliendo 273,15: $t_1 \approx 99{,}7\ \text{°C}$ e $t_2 \approx -196{,}0\ \text{°C}$. L’acqua bolle a poco meno di 100 °C, come succede quando la pressione atmosferica è un po’ più bassa di 1 atmosfera; l’azoto liquido bolle a circa 77 K.

5. Il termometro che disturba la misura

Testo. Un termometro di vetro di 20 g, a 20 °C, viene immerso in 50 g di tè a 70 °C. Quale temperatura segna all’equilibrio? E se il tè fosse 500 g? Considera il tè come acqua, $c = 4186\ \text{J/(kg·K)}$, il vetro con $c = 840\ \text{J/(kg·K)}$, e trascura gli scambi con l’aria e con la tazza.

Le capacità termiche sono $0{,}05 \cdot 4186 = 209{,}3\ \text{J/K}$ per il tè e $0{,}02 \cdot 840 = 16{,}8\ \text{J/K}$ per il termometro:

$$\begin{gathered} T_e = \frac{209{,}3 \cdot 70 + 16{,}8 \cdot 20}{209{,}3 + 16{,}8}\ \text{°C} \\ {} = \frac{14\,987}{226{,}1}\ \text{°C} \approx 66{,}3\ \text{°C} \end{gathered}$$

Il termometro sbaglia di quasi 4 gradi, perché per scaldarsi ha raffreddato il tè. Con 500 g di tè la sua capacità termica diventa 2093 J/K:

$$\begin{gathered} T_e = \frac{2093 \cdot 70 + 16{,}8 \cdot 20}{2093 + 16{,}8}\ \text{°C} \\ {} = \frac{146\,846}{2109{,}8}\ \text{°C} \approx 69{,}6\ \text{°C} \end{gathered}$$

L’errore scende a 0,4 °C. Il principio zero garantisce che all’equilibrio termometro e tè hanno la stessa temperatura, ma è quella dopo il contatto: per questo il termometro deve avere una capacità termica piccola rispetto al corpo da misurare.

6. Quanto tempo tenere il termometro

Testo. Un termometro a 22 °C viene messo sotto l’ascella di una persona a 37 °C. In un modello semplice, la legge di raffreddamento di Newton, la lettura $T(t)$ si avvicina alla temperatura del corpo $T_c$ secondo

$$T(t) = T_c - (T_c - T_0)\,e^{-t/\tau}$$

con $T_0 = 22\ \text{°C}$ e una costante di tempo $\tau = 40\ \text{s}$. Quanto segna dopo un minuto? Dopo quanto tempo la lettura è a meno di 0,1 °C da quella giusta?

La formula contiene solo differenze di temperatura, quindi possiamo usare i gradi Celsius. La differenza iniziale è $T_c - T_0 = 15\ \text{°C}$. Dopo 60 s:

$$\begin{gathered} T = 37 - 15\,e^{-60/40}\ \text{°C} \\ {} = 37 - 15 \cdot 0{,}223\ \text{°C} \approx 33{,}7\ \text{°C} \end{gathered}$$

Dopo un minuto il termometro sbaglia ancora di oltre 3 gradi. Per la seconda domanda imponiamo che la differenza rimasta sia 0,1 °C:

$$\begin{gathered} 15\,e^{-t/\tau} = 0{,}1 \\ t = \tau \ln 150 = 40 \cdot 5{,}01\ \text{s} \approx 200\ \text{s} \end{gathered}$$

Servono più di tre minuti. La differenza cala in modo esponenziale, come nella crescita e decadimento esponenziale: ogni 40 s si riduce di un fattore $e \approx 2{,}7$, quindi gli ultimi decimi di grado arrivano molto lentamente.

Altri problemi su temperature, calore e calorimetria li trovi negli esercizi svolti di termodinamica.

In sintesi

• Equilibrio termodinamico = equilibrio meccanico, chimico e termico.
• Principio zero: se A e B sono in equilibrio termico con C, allora A e B sono in equilibrio termico tra loro. Garantisce che la temperatura esista e che il termometro, il sistema C, funzioni.
• In un gas perfetto la temperatura misura l’energia cinetica media delle molecole: $\bar{E}_k = \tfrac{3}{2}k_BT$.
• Conversioni: $T = t_C + 273{,}15$ e $t_F = 1{,}8\,t_C + 32$. Per le differenze: $\Delta T = \Delta t_C$ e $\Delta t_F = 1{,}8\,\Delta t_C$.
• Termometro a gas a volume costante: $T = 273{,}16\ \text{K} \cdot p/p_3$. Dal 2019 il kelvin è definito fissando $k_B = 1{,}380649 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}$.
• Temperatura di equilibrio: $T_e = \dfrac{m_1c_1T_1 + m_2c_2T_2}{m_1c_1 + m_2c_2}$.
• Nelle formule della termodinamica la temperatura va sempre in kelvin.

Sappiamo misurare la temperatura; ma cosa passa da un corpo all’altro quando le temperature si uguagliano? È il calore, e a capire che è una forma di energia fu l’esperimento di Joule.