Moto armonico semplice: legge oraria, periodo, velocità, accelerazione ed esercizi

Una massa attaccata a una molla, un pendolo che oscilla di poco, la corda di una chitarra, la membrana di un altoparlante: sono tutti esempi di moto armonico semplice, il moto oscillatorio più importante della fisica. Il corpo va avanti e indietro attorno a una posizione di equilibrio, ripetendo sempre lo stesso movimento in un tempo ben preciso. In questa pagina trovi la legge oraria e il significato di ogni lettera, periodo e frequenza, velocità e accelerazione con i grafici, la relazione $a = -\omega^2 x$ che permette di riconoscerlo, il legame con il moto circolare, gli errori più comuni e sette esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Cos’è il moto armonico semplice

Un moto periodico è un moto che si ripete uguale dopo un certo intervallo di tempo. Il moto armonico semplice è il più semplice dei moti periodici: un punto si muove lungo una retta, oscillando attorno a una posizione di equilibrio con un andamento sinusoidale.

Il motivo per cui si incontra ovunque è che quasi tutte le piccole oscillazioni attorno a un equilibrio stabile sono, con ottima approssimazione, armoniche: una massa su una molla, un pendolo, un ponte che vibra, gli atomi di un cristallo. Per questo è il punto di partenza di tutto lo studio delle oscillazioni e delle onde.

Il moto armonico ha tre caratteristiche che ritroverai in ogni pagina:

• il corpo oscilla tra due estremi simmetrici rispetto al centro;
• agli estremi si ferma per un istante e torna indietro;
• passa per il centro alla massima velocità.

La legge oraria

Prendiamo l’asse $x$ lungo la retta del moto, con l’origine nella posizione di equilibrio. Un punto si muove di moto armonico semplice quando la sua posizione varia nel tempo così:

$$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$$

Le tre costanti hanno un significato preciso:

• $A$ è l’ampiezza: la massima distanza dal centro. Il punto oscilla tra $-A$ e $+A$, e $A$ è sempre positiva;
• $\omega$ è la pulsazione, in radianti al secondo (rad/s): dice quanto è rapida l’oscillazione;
• $\varphi$ è la fase iniziale, in radianti: dipende da dove si trova il punto, e da come si muove, all’istante $t = 0$.

L’argomento del coseno, $\omega t + \varphi$, si chiama fase del moto: cresce in modo uniforme con il tempo e dice in quale punto dell’oscillazione si trova il corpo.

Nel grafico le due curve hanno la stessa ampiezza e lo stesso periodo: cambia solo la fase iniziale, che le sposta lungo l’asse dei tempi. Con $\varphi = 0$ il corpo parte dall’estremo positivo, $x(0) = A$; con $\varphi = \pi/3$ parte da metà ampiezza, $x(0) = A\cos\frac{\pi}{3} = \frac{A}{2}$, e si sta già muovendo verso il centro.

Seno o coseno?

Molti libri scrivono la legge oraria con il seno: $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi')$. È lo stesso moto, perché il seno è un coseno spostato di un quarto di giro: $\sin\alpha = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$. Cambia solo il valore della fase iniziale, $\varphi = \varphi' - \frac{\pi}{2}$. Il coseno è comodo quando il corpo parte da fermo da un estremo, il seno quando parte dal centro.

Periodo, frequenza e pulsazione

Il coseno si ripete uguale ogni volta che il suo argomento aumenta di $2\pi$. Il periodo $T$, cioè il tempo di un’oscillazione completa, è quindi il tempo in cui $\omega t$ aumenta di $2\pi$:

$$\omega T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi}{\omega}$$

La frequenza è il numero di oscillazioni al secondo, l’inverso del periodo, e si misura in hertz (Hz):

$$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \qquad\qquad \omega = 2\pi f$$

Per esempio, il la usato per accordare gli strumenti ha una frequenza di 440 Hz: il diapason che lo produce vibra 440 volte al secondo. Il periodo è $T = 1/440\ \text{s} \approx 2{,}3\ \text{ms}$ e la pulsazione è $\omega = 2\pi \cdot 440 \approx 2760\ \text{rad/s}$.

Il periodo non dipende dall’ampiezza

Nella formula $T = 2\pi/\omega$ l’ampiezza non compare. Se allontani di più la massa della molla, l’oscillazione è più ampia ma anche più veloce, e dura esattamente lo stesso tempo. Questa proprietà si chiama isocronismo. Secondo il racconto del suo allievo Vincenzo Viviani, Galileo la notò osservando una lampada che oscillava nel duomo di Pisa; nel 1656 Christiaan Huygens la sfruttò per costruire il primo orologio a pendolo. Per il pendolo, però, l’isocronismo vale solo per piccole oscillazioni, come vediamo più sotto.

Velocità e accelerazione

La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo:

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)$$

e l’accelerazione è la derivata della velocità:

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi)$$

Anche velocità e accelerazione oscillano con la stessa pulsazione $\omega$, ma con ampiezze diverse, $\omega A$ e $\omega^2 A$, e sfasate rispetto alla posizione:

• la velocità è in anticipo di un quarto di periodo sulla posizione: è massima quando il corpo passa per il centro e nulla agli estremi;
• l’accelerazione è in opposizione alla posizione: quando $x$ è massima, $a$ è minima, e viceversa.

a = −ω²x: l’equazione che riconosce il moto armonico

Confrontando l’accelerazione con la legge oraria si vede che $a(t) = -\omega^2\,x(t)$ in ogni istante. Scritta con le derivate, è l’equazione del moto armonico:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2\,x$$

Il suo significato fisico è semplice: l’accelerazione è proporzionale allo spostamento dal centro e ha verso opposto. Se il corpo è a destra, viene accelerato verso sinistra; se è a sinistra, verso destra. È sempre richiamato verso l’equilibrio, ma ci arriva in velocità e lo supera: per questo oscilla.

Questa relazione funziona anche al contrario, ed è il suo uso più importante: ogni volta che in un problema arrivi a un’equazione del tipo $a = -(\text{costante}) \cdot x$, il moto è armonico, la pulsazione è la radice della costante e la soluzione è $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$.

Due esempi: la molla e il pendolo

La massa attaccata a una molla. La forza elastica vale $F = -k\,x$, dove $k$ è la costante elastica della molla. Con la seconda legge di Newton:

$$m\,a = -k\,x \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{k}{m}\,x$$

È proprio l’equazione del moto armonico, con

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Una massa più grande oscilla più lentamente, una molla più rigida più in fretta. E il periodo non dipende da quanto tiri la molla.

Il pendolo semplice. Per piccole oscillazioni il pendolo semplice di lunghezza $L$ segue la stessa equazione, con $\omega = \sqrt{g/L}$:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Qui il periodo dipende solo dalla lunghezza del filo e da $g$, non dalla massa. Per oscillazioni ampie il moto non è più armonico e il periodo cresce con l’ampiezza: con un’ampiezza di 20° è già più lungo di circa lo 0,8%.

Dove sono massime velocità e accelerazione

	al centro, $x = 0$	agli estremi, $x = \pm A$
velocità	massima: $\omega A$	zero
accelerazione	zero	massima: $\omega^2 A$

Una relazione molto utile negli esercizi lega la velocità alla posizione senza passare dal tempo. Da $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ e $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$, usando $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{\omega^2 A^2} = 1 \\ {} \Rightarrow v^2 = \omega^2 \left(A^2 - x^2\right) \end{gathered}$$

Al centro, con $x = 0$, ritrovi $v = \omega A$; agli estremi, con $x = \pm A$, ritrovi $v = 0$. La stessa relazione, vista con l’energia, è la conservazione dell’energia dell’oscillatore armonico.

Ampiezza e fase dalle condizioni iniziali

Negli esercizi spesso conosci la pulsazione e lo stato iniziale del corpo: la posizione $x_0$ e la velocità $v_0$ all’istante $t = 0$. Sostituendo $t = 0$ nella legge oraria e nella velocità:

$$\begin{gathered} x_0 = A\cos\varphi \\ v_0 = -\omega A\sin\varphi \end{gathered}$$

Elevando al quadrato e sommando si trova l’ampiezza; dividendo si trova la fase:

$$\begin{gathered} A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} \\ \tan\varphi = -\frac{v_0}{\omega\,x_0} \end{gathered}$$

Attenzione alla tangente: due angoli che differiscono di $\pi$ hanno la stessa tangente. Per scegliere quello giusto guarda i segni: $\cos\varphi$ ha il segno di $x_0$ e $\sin\varphi$ ha il segno opposto a $v_0$. I due casi più comuni non richiedono calcoli:

• se il corpo parte da fermo dalla posizione $x_0$, allora $A = |x_0|$ e, se $x_0 > 0$, $\varphi = 0$: $x(t) = A\cos(\omega t)$;
• se il corpo parte dal centro con velocità $v_0 > 0$, allora $A = v_0/\omega$ e $\varphi = -\frac{\pi}{2}$: $x(t) = A\sin(\omega t)$.

Il legame con il moto circolare uniforme

Immagina un punto $P$ che gira su una circonferenza di raggio $A$ con moto circolare uniforme, con velocità angolare $\omega$. L’angolo che il raggio forma con l’asse $x$ cresce in modo uniforme, $\theta = \omega t + \varphi$, e la coordinata $x$ di $P$ è:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

La proiezione $Q$ del punto sul diametro si muove quindi avanti e indietro esattamente di moto armonico semplice.

Questa immagine spiega in un colpo solo molte cose:

• perché $\omega$ si misura in rad/s e si chiama pulsazione: è la velocità angolare del moto circolare “nascosto” dietro l’oscillazione;
• perché il periodo è $2\pi/\omega$: è il tempo di un giro completo;
• perché la velocità massima è $\omega A$: è la velocità di $P$, che diventa tutta orizzontale quando $Q$ passa per il centro;
• perché l’accelerazione massima è $\omega^2 A$: è l’accelerazione centripeta di $P$, che diventa tutta orizzontale quando $Q$ è a un estremo.

Gli errori più comuni

• Usare la calcolatrice in gradi. L’argomento $\omega t + \varphi$ è un angolo in radianti. Prima di calcolare un coseno, controlla che sul display ci sia RAD.
• Confondere pulsazione e frequenza. $\omega = 2\pi f$: se un testo dà la frequenza in hertz e la metti al posto di $\omega$, sbagli tutto di un fattore $2\pi \approx 6{,}28$.
• Pensare che la velocità sia massima agli estremi. Agli estremi la velocità è zero, ed è massima l’accelerazione. Al centro è il contrario.
• Credere che il periodo cresca con l’ampiezza. Nel moto armonico $T$ non dipende da $A$. Fa eccezione il pendolo con oscillazioni ampie, che però non è più esattamente armonico.
• Scegliere la fase iniziale sbagliata. La formula con la tangente dà due angoli possibili: decidi con i segni di $x_0$ e $v_0$, e verifica sempre sostituendo $t = 0$.
• Mescolare centimetri e metri. Se l’ampiezza è in centimetri, $\omega A$ è in cm/s. Per avere velocità in m/s e accelerazioni in m/s², porta prima l’ampiezza in metri.
• Usare l’equazione del moto armonico per qualsiasi oscillazione. Serve che l’accelerazione sia proporzionale allo spostamento. Un corpo che rimbalza tra due pareti, per esempio, oscilla ma non di moto armonico.

Esercizi svolti

1. Velocità e accelerazione massime

Testo. Un corpo oscilla di moto armonico con ampiezza 5 cm e periodo 0,5 s. Calcola la pulsazione, la velocità e l’accelerazione massime e la velocità quando il corpo si trova a 3 cm dal centro.

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}5\ \text{s}} \approx 12{,}6\ \text{rad/s}$$

Con l’ampiezza in metri, $A = 0{,}05\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} v_{max} = \omega A \approx 12{,}6 \cdot 0{,}05\ \text{m/s} \\ v_{max} \approx 0{,}63\ \text{m/s} \\ a_{max} = \omega^2 A \approx 158 \cdot 0{,}05\ \text{m/s}^2 \\ a_{max} \approx 7{,}9\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

A 3 cm dal centro usiamo $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$:

$$\begin{gathered} v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} \\ v \approx 12{,}6 \cdot \sqrt{0{,}05^2 - 0{,}03^2}\ \text{m/s} \\ v \approx 12{,}6 \cdot 0{,}04\ \text{m/s} \approx 0{,}50\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il corpo a 3 cm dal centro, cioè già oltre metà ampiezza, ha ancora l’80% della velocità massima: rallenta davvero solo vicino agli estremi.

2. Leggere la legge oraria

Testo. Un punto si muove secondo la legge $x(t) = 0{,}2\cos\left(4\pi t + \frac{\pi}{3}\right)$, con $x$ in metri e $t$ in secondi. Trova ampiezza, pulsazione, periodo, frequenza e fase iniziale. Dove si trova all’istante iniziale e come si muove?

Confrontando con $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$:

$$\begin{gathered} A = 0{,}2\ \text{m} \qquad \varphi = \frac{\pi}{3} \\ \omega = 4\pi\ \text{rad/s} \approx 12{,}6\ \text{rad/s} \\ T = \frac{2\pi}{4\pi}\ \text{s} = 0{,}5\ \text{s} \qquad f = 2\ \text{Hz} \end{gathered}$$

All’istante iniziale:

$$\begin{gathered} x(0) = 0{,}2\cos\frac{\pi}{3}\ \text{m} = 0{,}1\ \text{m} \\ v(0) = -4\pi \cdot 0{,}2 \cdot \sin\frac{\pi}{3}\ \text{m/s} \\ v(0) \approx -2{,}18\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il punto parte a metà ampiezza, dalla parte positiva, e si muove verso il centro: la velocità è negativa.

3. La massa sulla molla

Testo. Una massa di 0,5 kg è attaccata a una molla con $k = 200\ \text{N/m}$. La sposti di 4 cm dall’equilibrio e la lasci andare da ferma. Scrivi la legge oraria e trova il periodo, la velocità massima e la forza massima esercitata dalla molla.

$$\begin{gathered} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0{,}5}}\ \text{rad/s} = 20\ \text{rad/s} \\ T = \frac{2\pi}{20}\ \text{s} \approx 0{,}31\ \text{s} \end{gathered}$$

Parte da ferma dall’estremo, quindi $A = 0{,}04\ \text{m}$ e $\varphi = 0$:

$$x(t) = 0{,}04\cos(20\,t)\ \text{m}$$ $$\begin{gathered} v_{max} = \omega A = 20 \cdot 0{,}04\ \text{m/s} = 0{,}8\ \text{m/s} \\ F_{max} = k\,A = 200 \cdot 0{,}04\ \text{N} = 8\ \text{N} \end{gathered}$$

Verifica: $F_{max} = m\,a_{max} = m\,\omega^2 A = 0{,}5 \cdot 400 \cdot 0{,}04\ \text{N} = 8\ \text{N}$.

4. Ampiezza e fase dalle condizioni iniziali

Testo. Un corpo oscilla con $\omega = 10\ \text{rad/s}$. All’istante iniziale si trova in $x_0 = 3\ \text{cm}$ e si muove con $v_0 = +0{,}4\ \text{m/s}$. Trova ampiezza e fase iniziale.

Con tutto in metri, $v_0/\omega = 0{,}04\ \text{m}$:

$$A = \sqrt{0{,}03^2 + 0{,}04^2}\ \text{m} = 0{,}05\ \text{m}$$

Per la fase usiamo coseno e seno, che tolgono ogni ambiguità:

$$\begin{gathered} \cos\varphi = \frac{x_0}{A} = 0{,}6 \\ \sin\varphi = -\frac{v_0}{\omega A} = -0{,}8 \end{gathered}$$

Coseno positivo e seno negativo: l’angolo è nel quarto quadrante, $\varphi = -\arccos 0{,}6 \approx -0{,}93\ \text{rad}$. Verifica: $x(0) = 0{,}05\cos(-0{,}93)\ \text{m} \approx 0{,}03\ \text{m}$. Con la sola tangente, $\tan\varphi = -4/3$, avresti potuto scegliere per errore anche $\varphi \approx 2{,}21\ \text{rad}$, che darebbe $x_0 = -3\ \text{cm}$.

5. Quanto tempo per arrivare a metà strada?

Testo. Un corpo parte da fermo dall’estremo $x = A$. Dopo quanto tempo si trova in $x = A/2$? E quanto impiega a percorrere l’altra metà, fino al centro?

Con $\varphi = 0$, imponiamo $A\cos(\omega t) = \frac{A}{2}$:

$$\begin{gathered} \cos(\omega t) = \frac{1}{2} \\ {} \Rightarrow \omega t = \frac{\pi}{3} \\ {} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3\,\omega} = \frac{T}{6} \end{gathered}$$

Il centro si raggiunge dopo un quarto di periodo, quindi la seconda metà dura $\frac{T}{4} - \frac{T}{6} = \frac{T}{12}$. Le due metà del percorso sono uguali, ma la prima richiede il doppio del tempo: vicino all’estremo il corpo è lento, vicino al centro è veloce.

6. Dalla velocità e dall’accelerazione massime

Testo. Di un moto armonico conosci la velocità massima, 2 m/s, e l’accelerazione massima, 40 m/s². Trova pulsazione, ampiezza e periodo.

Dividendo $a_{max} = \omega^2 A$ per $v_{max} = \omega A$ resta la pulsazione:

$$\begin{gathered} \omega = \frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{40}{2}\ \text{rad/s} = 20\ \text{rad/s} \\ A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{2}{20}\ \text{m} = 0{,}1\ \text{m} \\ T = \frac{2\pi}{20}\ \text{s} \approx 0{,}31\ \text{s} \end{gathered}$$

7. Il pendolo che batte il secondo

Testo. Qual è il periodo di un pendolo semplice lungo 1 m, per piccole oscillazioni? Quanto deve essere lungo perché il periodo sia esattamente 2 s, cioè perché ogni oscillazione in un verso duri un secondo?

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 2{,}01\ \text{s}$$

Ricavando $L$ dalla formula del periodo:

$$L = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81 \cdot 2^2}{4\pi^2}\ \text{m} \approx 0{,}994\ \text{m}$$

È il “pendolo che batte il secondo”, usato per secoli negli orologi a pendolo: è lungo quasi esattamente un metro.

Altri problemi su molle, pendoli e oscillazioni li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• La legge oraria è $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$: $A$ è l’ampiezza, $\omega$ la pulsazione in rad/s, $\varphi$ la fase iniziale.
• Periodo e frequenza sono $T = 2\pi/\omega$ e $f = 1/T$, con $\omega = 2\pi f$; il periodo non dipende dall’ampiezza.
• La velocità $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$ è massima al centro, $\omega A$; l’accelerazione è massima agli estremi, $\omega^2 A$.
• L’equazione $a = -\omega^2 x$ caratterizza il moto armonico: per la molla $\omega = \sqrt{k/m}$, per il pendolo con piccole oscillazioni $\omega = \sqrt{g/L}$.
• Ampiezza e fase si trovano dalle condizioni iniziali; la relazione $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ lega velocità e posizione.
• Il moto armonico è la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro.

Con il moto armonico si chiude la cinematica. Il passo successivo è capire perché i corpi si muovono così: inizia la dinamica con le leggi di Newton. Per l’energia delle oscillazioni vedi l’oscillatore armonico ed energia; per due oscillazioni che si sommano, i moti armonici sullo stesso asse; per le oscillazioni che si smorzano, l’oscillatore smorzato.