Pendolo semplice: periodo, piccole oscillazioni, tensione del filo ed esercizi svolti

Il pendolo semplice è uno dei sistemi più famosi della fisica. Secondo il racconto del suo allievo Vincenzo Viviani, Galileo, ancora giovane, osservò una lampada che oscillava nel duomo di Pisa e, confrontandone le oscillazioni con il battito del proprio polso, intuì che il tempo di un’oscillazione non dipende da quanto è ampia. È anche un esercizio perfetto per mettere insieme quello che sai di dinamica: scomposizione delle forze, forza centripeta, moto armonico ed energia. In questa pagina vediamo il modello, le forze, l’equazione del moto, il periodo, cosa succede con ampiezze grandi, la tensione del filo, la misura di $g$, gli orologi a pendolo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Il modello del pendolo semplice

Un pendolo semplice è formato da un punto materiale di massa $m$ appeso a un filo ideale, inestensibile e di massa trascurabile, di lunghezza $L$, fissato a un punto. Spostato dalla verticale e lasciato libero, il corpo oscilla lungo un arco di circonferenza di raggio $L$.

La posizione si descrive con l’angolo $\theta$ che il filo forma con la verticale. Lo spostamento lungo l’arco è $s = L\,\theta$, con $\theta$ in radianti. Nella realtà la pallina ha dimensioni e il filo ha una massa: il modello funziona bene se la pallina è piccola rispetto alla lunghezza del filo e molto più pesante del filo stesso.

Le forze in gioco

Sul corpo agiscono due forze:

• il peso $m\vec{g}$, verticale;
• la tensione $\vec{T}$ del filo, diretta verso il punto di sospensione.

Conviene usare due direzioni: quella tangente alla traiettoria e quella radiale, lungo il filo. La tensione è tutta radiale, mentre il peso si scompone in:

$$\begin{gathered} P_t = -m\,g\sin\theta \\ P_r = m\,g\cos\theta \end{gathered}$$

La componente tangenziale ha il segno meno perché è sempre diretta verso la posizione di equilibrio: è lei a riportare indietro il pendolo. È la stessa scomposizione del piano inclinato, con un “piano” che cambia inclinazione punto per punto.

L’equazione del moto

Lungo la tangente agisce solo la componente del peso. L’accelerazione tangenziale è $a_t = L\,\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$, quindi il secondo principio dà:

$$\begin{gathered} m\,L\,\frac{d^2\theta}{dt^2} = -m\,g\sin\theta \\ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0 \end{gathered}$$

La massa si è già semplificata. Questa equazione però non è quella del moto armonico, per colpa del seno.

L’approssimazione delle piccole oscillazioni

Per angoli piccoli, espressi in radianti, il seno è quasi uguale all’angolo stesso: $\sin\theta \approx \theta$. Per esempio, $\sin(0{,}1) = 0{,}0998$. Con questa approssimazione:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\,\theta = 0$$

È l’equazione del moto armonico semplice, con pulsazione:

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$

e la legge oraria dell’angolo è $\theta(t) = \theta_0\cos(\omega t + \varphi)$, dove $\theta_0$ è l’ampiezza angolare. Attenzione a non confondere la pulsazione $\omega$, che è una costante, con la velocità angolare del filo, $d\theta/dt$, che cambia di continuo ed è massima nel punto più basso.

Il periodo del pendolo

Il periodo, il tempo di un’oscillazione completa (andata e ritorno), è:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Questa formula contiene tre informazioni importanti:

• il periodo non dipende dalla massa: un pendolo con una sfera di piombo e uno con una sfera di legno, della stessa lunghezza, oscillano allo stesso ritmo. Newton lo usò per verificare con precisione che massa inerziale e gravitazionale sono uguali, come raccontiamo in massa inerziale e massa gravitazionale;
• per piccole oscillazioni non dipende dall’ampiezza: è l’isocronismo scoperto da Galileo, alla base degli orologi a pendolo;
• dipende dalla lunghezza e da $g$: per raddoppiare il periodo bisogna quadruplicare la lunghezza.

Quando l’ampiezza è grande

Per oscillazioni più ampie il periodo cresce: più il pendolo parte alto, più a lungo resta vicino agli estremi, dove si muove lentamente. Il grafico confronta il periodo vero con la formula delle piccole oscillazioni, $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$.

Una buona stima per ampiezze non troppo grandi è $T \approx T_0\left(1 + \theta_0^2/16\right)$, con $\theta_0$ in radianti. Ecco qualche valore del periodo vero:

Ampiezza	Periodo vero / $T_0$	Errore della formula semplice
5°	1,0005	0,05%
10°	1,0019	0,2%
30°	1,0174	1,7%
60°	1,0732	7,3%
90°	1,1803	18%

Negli esercizi si usa la formula delle piccole oscillazioni, salvo indicazioni diverse. Fino a una decina di gradi l’errore è più piccolo di quello che si commette con un cronometro a mano.

Velocità ed energia

Il peso è una forza conservativa e la tensione non compie lavoro, perché è sempre perpendicolare alla velocità. Quindi l’energia meccanica si conserva. Prendendo come riferimento il punto più basso, a un angolo $\theta$ la pallina si trova a un’altezza $h = L(1 - \cos\theta)$, e la conservazione dell’energia meccanica tra l’estremo $\theta_0$, dove è ferma, e un angolo qualsiasi dà:

$$v = \sqrt{2\,g\,L\,(\cos\theta - \cos\theta_0)}$$

Nel punto più basso, con $\theta = 0$:

$$v_{max} = \sqrt{2\,g\,L\,(1 - \cos\theta_0)}$$

Questa formula vale per qualsiasi ampiezza, non solo per le piccole oscillazioni. L’energia passa di continuo da potenziale a cinetica e viceversa, come nell’oscillatore armonico.

La tensione del filo

Lungo la direzione radiale il corpo si muove su una circonferenza, quindi la risultante deve fornire la forza centripeta $mv^2/L$:

$$\begin{gathered} T - m\,g\cos\theta = m\,\frac{v^2}{L} \\ T = m\,g\cos\theta + m\,\frac{v^2}{L} \end{gathered}$$

Sostituendo la velocità trovata con l’energia si ottiene la tensione in ogni punto:

$$T = m\,g\,(3\cos\theta - 2\cos\theta_0)$$

La tensione non è costante. È massima nel punto più basso, dove $\cos\theta = 1$ e la velocità è massima:

$$\begin{gathered} T_{max} = m\,g + m\,\frac{v_{max}^2}{L} \\ {} = m\,g\,(3 - 2\cos\theta_0) \end{gathered}$$

Agli estremi dell’oscillazione, dove il corpo è fermo per un istante, vale solo $mg\cos\theta_0$, meno del peso. Se il pendolo parte con il filo orizzontale, $\theta_0 = 90°$, nel punto più basso la tensione è tre volte il peso: è il motivo per cui le funi delle altalene devono essere molto più robuste di quanto sembri.

Misurare g con un pendolo

Ricavando $g$ dalla formula del periodo:

$$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$$

Basta misurare la lunghezza del filo e il periodo per ottenere una buona misura dell’accelerazione di gravità. Due accorgimenti fanno la differenza:

• la lunghezza va misurata dal punto di sospensione al centro della pallina, non al filo annodato;
• il periodo si ricava cronometrando molte oscillazioni, per esempio 20, e dividendo per il loro numero: il tempo di reazione di chi preme il cronometro, qualche decimo di secondo, pesa così venti volte di meno.

È così che, nel Seicento e nel Settecento, si scoprì che $g$ è un po’ più piccolo all’equatore che ai poli.

Orologi a pendolo e pendolo di Foucault

Il primo orologio a pendolo fu costruito da Christiaan Huygens nel 1656. Prima i migliori orologi meccanici sbagliavano anche di un quarto d’ora al giorno; con il pendolo si scese sotto il minuto, e con i perfezionamenti successivi a pochi secondi. Il pendolo “che batte il secondo”, con un’andata in un secondo e quindi periodo di 2 s, è lungo circa 99,4 cm: a fine Settecento fu persino proposto come campione per l’unità di lunghezza, prima che si scegliesse il metro legato al meridiano terrestre. Uno dei motivi per scartarlo fu proprio che $g$, e quindi la lunghezza del pendolo, cambia con la latitudine.

Gli orologi a pendolo hanno un nemico: la temperatura. Con il caldo l’asta si dilata, il pendolo si allunga e l’orologio ritarda, come calcoliamo nel sesto esercizio.

Nel 1851 Léon Foucault appese al Panthéon di Parigi una sfera di 28 kg a un filo lungo 67 m. Il pendolo oscillava con un periodo di circa 16 s, ma il piano di oscillazione ruotava lentamente rispetto al pavimento: non era il pendolo a girare, era la Terra a ruotare sotto di lui. Fu la prima dimostrazione di laboratorio della rotazione terrestre. L’effetto si spiega con i moti relativi.

Gli errori più comuni

• Usare i gradi in $\sin\theta \approx \theta$ o in $\theta(t)$. L’approssimazione vale solo con gli angoli in radianti, e $\omega t$ è in radianti.
• Confondere andata e periodo. Il periodo è andata e ritorno: il pendolo da circa un metro fa un’andata al secondo, ma ha periodo di 2 s.
• Pensare che il periodo dipenda dalla massa. Non dipende né dalla massa né, per piccole oscillazioni, dall’ampiezza.
• Scrivere $T = mg$ per la tensione. La tensione cambia lungo l’oscillazione: è più grande del peso in basso e più piccola agli estremi.
• Usare la formula delle piccole oscillazioni per ampiezze grandi. A 60° il periodo vero è già il 7% più lungo.
• Misurare la lunghezza fino al nodo. Va misurata fino al centro della pallina.
• Confondere la pulsazione $\omega$ con la velocità angolare del filo. La prima è costante, la seconda no.
• Pensare che nel punto più basso l’accelerazione sia zero. È zero la componente tangente, ma c’è l’accelerazione centripeta $v^2/L$, verso l’alto.

Esercizi svolti

1. Il pendolo lungo un metro

Testo. Quanto vale il periodo di un pendolo lungo 1 m? Quanto dovrebbe essere lungo per avere un periodo di esattamente 2 s?

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1\ \text{m}}{9{,}81\ \text{m/s}^2}} \approx 2{,}01\ \text{s}$$

Un pendolo lungo circa un metro impiega circa un secondo per ogni andata: è il “pendolo che batte il secondo”. Per avere esattamente $T = 2\ \text{s}$ servirebbe:

$$L = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81 \cdot 4}{4\pi^2}\ \text{m} \approx 0{,}994\ \text{m}$$

2. Misurare g in laboratorio

Testo. Uno studente usa un pendolo lungo 80,0 cm, dal punto di sospensione al centro della pallina, e cronometra 20 oscillazioni complete in 35,9 s. Quanto vale $g$? Se il suo tempo di reazione introduce un errore di 0,2 s sulla misura totale, di quanto può sbagliare $g$?

Il periodo è $T = 35{,}9 / 20\ \text{s} \approx 1{,}795\ \text{s}$:

$$g = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}800}{1{,}795^2}\ \text{m/s}^2 \approx 9{,}80\ \text{m/s}^2$$

Un errore di 0,2 s su 35,9 s è circa lo 0,56% del tempo. Dato che $g$ dipende da $1/T^2$, l’errore relativo su $g$ è circa il doppio: l’1,1%, cioè circa $\pm 0{,}1\ \text{m/s}^2$. Con una sola oscillazione, lo stesso tempo di reazione darebbe un errore venti volte più grande.

3. La tensione nel punto più basso

Testo. Un pendolo con $m = 0{,}5\ \text{kg}$ e $L = 1\ \text{m}$ viene lasciato da fermo con il filo inclinato di $30°$. Quanto valgono la velocità e la tensione nel punto più basso? E agli estremi?

$$\begin{gathered} v_{max} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1 \cdot (1 - \cos 30°)}\ \text{m/s} \\ v_{max} \approx 1{,}62\ \text{m/s} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} T_{max} = 0{,}5 \cdot 9{,}81 + 0{,}5 \cdot \frac{1{,}62^2}{1}\ \text{N} \\ T_{max} \approx 6{,}22\ \text{N} \end{gathered}$$

Il filo deve reggere circa il 27% in più del peso, che è 4,91 N. Lo stesso risultato si ottiene con $mg(3 - 2\cos 30°) = 4{,}91 \cdot 1{,}268\ \text{N}$. Agli estremi, invece, la tensione vale $mg\cos 30° \approx 4{,}25\ \text{N}$, meno del peso.

4. Il pendolo sulla Luna

Testo. Sulla Luna $g = 1{,}62\ \text{m/s}^2$. Quanto vale il periodo di un pendolo lungo 1 m? Quanto dovrebbe essere lungo per oscillare come sulla Terra?

$$T_{Luna} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{1{,}62}}\ \text{s} \approx 4{,}94\ \text{s}$$

quasi due volte e mezza il periodo terrestre. Per avere lo stesso periodo che sulla Terra, il rapporto $L/g$ deve restare lo stesso:

$$L_{Luna} = 1\ \text{m} \cdot \frac{1{,}62}{9{,}81} \approx 0{,}165\ \text{m}$$

Un pendolo di 16,5 cm sulla Luna oscilla come uno di 1 m sulla Terra. Un orologio a pendolo portato sulla Luna senza modifiche andrebbe due volte e mezza più lento.

5. Un’ampiezza grande

Testo. Un pendolo lungo 2 m viene lasciato andare con il filo a 60° dalla verticale. Calcola il periodo con la formula delle piccole oscillazioni, con la correzione $1 + \theta_0^2/16$ e con il valore vero della tabella.

$$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{2}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 2{,}84\ \text{s}$$

Con $\theta_0 = 60° = \pi/3 \approx 1{,}047\ \text{rad}$, la correzione vale $1 + 1{,}047^2/16 \approx 1{,}069$:

$$\begin{gathered} T_{corretto} \approx 2{,}84 \cdot 1{,}069\ \text{s} \approx 3{,}03\ \text{s} \\ T_{vero} \approx 2{,}84 \cdot 1{,}073\ \text{s} \approx 3{,}04\ \text{s} \end{gathered}$$

La formula semplice sbaglia di circa 0,2 s, il 7%; la correzione si avvicina molto al valore vero.

6. L’orologio che ritarda d’estate

Testo. Un orologio a pendolo ha un’asta di ottone, che si allunga di circa $1{,}9 \cdot 10^{-5}$ volte la sua lunghezza per ogni grado di temperatura. L’orologio è regolato a 20 °C. Di quanto ritarda in un giorno se la temperatura sale a 30 °C?

Con 10 °C in più la lunghezza cresce di una frazione $\Delta L/L = 1{,}9 \cdot 10^{-4}$. Dato che il periodo dipende dalla radice della lunghezza, la sua variazione relativa è circa la metà:

$$\frac{\Delta T}{T} \approx \frac{1}{2}\,\frac{\Delta L}{L} = 9{,}5 \cdot 10^{-5}$$

In un giorno, 86 400 s, l’orologio accumula un ritardo di

$$86\,400 \cdot 9{,}5 \cdot 10^{-5}\ \text{s} \approx 8{,}2\ \text{s}$$

Più di 8 secondi al giorno, circa 4 minuti al mese. Per questo nel Settecento si inventarono i pendoli compensati, con aste fatte di metalli diversi o con un contenitore di mercurio, in modo che la lunghezza efficace restasse costante.

Altri problemi su pendoli, molle e oscillazioni li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• Il pendolo semplice è un punto materiale appeso a un filo ideale di lunghezza $L$.
• La componente tangenziale del peso, $-mg\sin\theta$, riporta il pendolo verso l’equilibrio.
• Per piccole oscillazioni ($\sin\theta \approx \theta$, in radianti) il moto è armonico con $\omega = \sqrt{g/L}$.
• Il periodo è $T = 2\pi\sqrt{L/g}$: non dipende dalla massa né, per piccole oscillazioni, dall’ampiezza. Per ampiezze grandi cresce: a 60° è il 7% più lungo.
• La velocità nel punto più basso è $\sqrt{2gL(1 - \cos\theta_0)}$, per qualsiasi ampiezza.
• La tensione è $mg(3\cos\theta - 2\cos\theta_0)$: massima nel punto più basso, dove vale $mg + mv^2/L$.
• Con $g = 4\pi^2 L/T^2$ si misura l’accelerazione di gravità.

Il pendolo reale, con una massa distribuita, si studia come pendolo composto. Nella dinamica del punto il prossimo concetto è la quantità di moto.