Somma di moti armonici sullo stesso asse: fasori, interferenza e battimenti

Quando due strumenti suonano insieme, il tuo timpano non vibra come vorrebbe l’uno o l’altro: vibra con la somma delle due oscillazioni. Lo stesso succede alla membrana di un altoparlante che riproduce due note, o a una boa su cui arrivano due onde. Sommare moti armonici lungo lo stesso asse è il primo passo per capire l’interferenza, i battimenti e le cuffie che cancellano il rumore. In questa pagina vediamo il principio di sovrapposizione e quando vale, il metodo dei fasori per due oscillazioni con la stessa frequenza, le formule di ampiezza e fase, i casi in fase, in opposizione e in quadratura, l’interferenza, i battimenti e l’accordatura degli strumenti, il legame con l’analisi di Fourier, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il principio di sovrapposizione

Prendi un punto che si muove lungo l’asse $x$ ed è soggetto a due moti armonici:

$$\begin{gathered} x_1(t) = A_1\cos(\omega_1 t + \varphi_1) \\ x_2(t) = A_2\cos(\omega_2 t + \varphi_2) \end{gathered}$$

Il principio di sovrapposizione dice che lo spostamento complessivo è la somma dei due: ogni causa produce il suo spostamento come se l’altra non ci fosse.

$$x(t) = x_1(t) + x_2(t)$$

Quando vale

Il principio vale per i sistemi lineari, in cui l’effetto è proporzionale alla causa. Una molla ideale lo è: la forza elastica $-kx$ è proporzionale all’allungamento. Se sulla massa agiscono anche due forze esterne, il secondo principio dà:

$$m\,a = -k\,x + F_1(t) + F_2(t)$$

Se $x_1$ è il moto dovuto alla sola $F_1$ e $x_2$ quello dovuto alla sola $F_2$, la somma $x_1 + x_2$ soddisfa l’equazione con entrambe le forze, perché posizione e accelerazione compaiono solo al primo grado.

Nei sistemi non lineari, invece, la somma delle cause non dà la somma degli effetti: un pendolo ad angoli grandi, dove il richiamo dipende da $\sin\theta$ e non da $\theta$, una molla tirata oltre il limite elastico, un amplificatore per chitarra al massimo, che distorce il suono e crea frequenze nuove. Per le piccole oscillazioni, però, la linearità è un’ottima approssimazione.

Un caso speciale ci servirà subito: se le due oscillazioni hanno la stessa pulsazione, sono entrambe soluzioni dell’equazione del moto armonico, $a = -\omega^2 x$, e lo è anche la loro somma. Quindi la somma è ancora un moto armonico.

Stessa frequenza: il metodo dei fasori

Prendiamo due oscillazioni con la stessa pulsazione $\omega$:

$$\begin{gathered} x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1) \\ x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2) \end{gathered}$$

Sommare due coseni a mano è scomodo, ma c’è un trucco geometrico che viene dal moto circolare uniforme: un moto armonico è la proiezione su un diametro di un punto che gira su una circonferenza. Rappresentiamo allora ogni oscillazione con un fasore, detto anche vettore rotante:

• è lungo quanto l’ampiezza;
• ruota attorno all’origine in senso antiorario, con velocità angolare $\omega$;
• all’istante $t$ forma con l’asse $x$ l’angolo $\omega t + \varphi$.

La sua proiezione sull’asse $x$ è proprio l’oscillazione.

I due fasori girano alla stessa velocità, quindi l’angolo tra loro, $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$, non cambia e il parallelogramma che formano ruota senza deformarsi. La loro somma, fatta con la regola del parallelogramma come per tutti i vettori, è un vettore di lunghezza costante $A$ che ruota anch’esso con velocità $\omega$. E dato che la proiezione di una somma è la somma delle proiezioni, la sua proiezione è proprio $x_1 + x_2$.

Quindi due moti armonici con la stessa frequenza, lungo lo stesso asse, danno un moto armonico con la stessa frequenza:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

Restano da trovare l’ampiezza $A$ e la fase $\varphi$.

Ampiezza e fase del moto risultante

Lavoriamo per componenti, all’istante $t = 0$: le componenti del fasore somma sono le somme delle componenti dei due fasori.

$$\begin{gathered} A\cos\varphi = A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2 \\ A\sin\varphi = A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2 \end{gathered}$$

Eleva al quadrato e somma. Con $\cos^2 + \sin^2 = 1$ e la formula di sottrazione $\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2 = \cos(\varphi_2 - \varphi_1)$, che trovi tra le formule di addizione, ottieni l’ampiezza:

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$$

Dividendo la seconda equazione per la prima trovi invece la fase:

$$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$$

In Analisi lo stesso conto si chiama metodo dell’angolo aggiunto, e serve a scrivere una somma di seni e coseni come un’unica sinusoide.

La formula dell’ampiezza si legge anche sul disegno: $A_1$, $A_2$ e $A$ formano un triangolo in cui l’angolo opposto ad $A$ è $\pi - \Delta\varphi$. Per il teorema del coseno, detto anche di Carnot, $A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2\cos(\pi - \Delta\varphi)$, e dato che $\cos(\pi - \Delta\varphi) = -\cos\Delta\varphi$ il meno diventa un più.

Nota due cose: l’ampiezza dipende solo dallo sfasamento $\Delta\varphi$, non dalle singole fasi; e, dato che il coseno sta tra −1 e 1, è sempre compresa tra la differenza e la somma delle ampiezze, $|A_1 - A_2| \le A \le A_1 + A_2$.

Con la stessa ampiezza, $A_1 = A_2$, il parallelogramma è un rombo, la diagonale divide a metà l’angolo tra i fasori e le formule si semplificano:

$$\begin{gathered} A = 2A_1\left|\cos\frac{\Delta\varphi}{2}\right| \\ \varphi = \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \end{gathered}$$

La formula della fase vale per sfasamenti minori di 180° in valore assoluto. Tienile a mente: sono le formule che spiegano i battimenti.

In fase, in opposizione, in quadratura

Tre sfasamenti capitano così spesso che hanno un nome:

Sfasamento	Ampiezza $A$	Nome
$0$	$A_1 + A_2$	in fase
$\pi/2$ (90°)	$\sqrt{A_1^2 + A_2^2}$	in quadratura
$\pi$ (180°)	$\lvert A_1 - A_2 \rvert$	in opposizione

In fase i fasori sono allineati e i due moti vanno avanti e indietro insieme. In opposizione sono opposti: quando uno spinge a destra l’altro spinge a sinistra, e con ampiezze uguali il punto resta fermo. In quadratura sono perpendicolari: quando un moto passa per il centro, l’altro è a un estremo.

Interferenza costruttiva e distruttiva

Quando le due oscillazioni si rinforzano, con uno sfasamento vicino a zero, si parla di interferenza costruttiva; quando si indeboliscono a vicenda, con uno sfasamento vicino a $\pi$, fino eventualmente ad annullarsi, si parla di interferenza distruttiva. Il nome viene dalle onde: all’aperto, davanti a due altoparlanti che emettono la stessa nota pura, ci sono punti in cui le onde arrivano in fase e il suono è forte, e punti a pochi passi in cui arrivano in opposizione e il suono quasi sparisce.

E l’energia?

L’energia di un oscillatore va con il quadrato dell’ampiezza, come $E = \tfrac{1}{2}kA^2$ per la molla (lo vedi nell’oscillatore armonico ed energia). Quindi le energie non si sommano come gli spostamenti:

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi$$

L’ultimo pezzo è il termine di interferenza. Con ampiezze di 3 e 4 cm, in fase $A^2 = 49\ \text{cm}^2$, quasi il doppio di $9 + 16 = 25\ \text{cm}^2$; in opposizione appena $1\ \text{cm}^2$. Solo in quadratura le energie si sommano esattamente.

Con le onde l’energia non sparisce: si ridistribuisce dai punti di interferenza distruttiva a quelli di interferenza costruttiva. Con due sorgenti indipendenti, come due violini, lo sfasamento cambia di continuo a caso, il coseno in media vale zero e in media le energie si sommano: due violini danno circa il doppio dell’energia di uno, non il quadruplo.

Le cuffie con cancellazione attiva del rumore

L’interferenza distruttiva forse la porti nelle orecchie: sono le cuffie con cancellazione attiva del rumore. In modo semplificato, un microfono capta il rumore esterno, l’elettronica produce un segnale con la stessa ampiezza e la fase opposta e l’altoparlante lo emette: vicino al timpano rumore e «antirumore» si sommano e quasi si annullano.

L’idea è vecchia: il tedesco Paul Lueg la brevettò negli anni Trenta (il brevetto americano è del 1936), ma l’elettronica per realizzarla arrivò molto dopo. Uno dei limiti è il ritardo: un ritardo fisso $\Delta t$ dell’elettronica equivale a un errore di fase $2\pi f\,\Delta t$, che cresce con la frequenza. Per questo le cuffie cancellano bene i rumori bassi e costanti, come il ronzio dei motori di un aereo, mentre i suoni acuti li ferma soprattutto l’imbottitura. Lo vediamo con i numeri nell’esercizio 4.

Frequenze diverse: il moto non è più armonico

Con pulsazioni diverse i due fasori girano a velocità diverse: l’angolo tra loro cambia, il parallelogramma si deforma e il fasore somma cambia lunghezza mentre gira. Il moto non è più armonico.

Può però essere periodico, se il rapporto tra le frequenze è un numero razionale: con 2 Hz e 3 Hz, dopo un secondo i due moti hanno compiuto esattamente 2 e 3 oscillazioni e tutto ricomincia, quindi il periodo della somma è 1 s. Con un rapporto irrazionale, come tra $1$ e $\sqrt{2}$, la somma non si ripete mai.

I battimenti

Il caso più interessante è quello di due frequenze vicine. Prendiamo due oscillazioni con la stessa ampiezza $A$ e fase iniziale nulla, e usiamo la prostaferesi, $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$:

$$\begin{gathered} x(t) = A\cos(\omega_1 t) + A\cos(\omega_2 t) \\ {} = 2A\cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}\,t\right) \\ {} \cdot \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}\,t\right) \end{gathered}$$

Se $\omega_1$ e $\omega_2$ sono vicine, questo prodotto si legge così:

• il secondo coseno è un’oscillazione veloce, con la pulsazione media $(\omega_1 + \omega_2)/2$: è la nota che senti;
• il primo fattore varia lentamente e fa da ampiezza variabile, l’inviluppo: l’oscillazione si rinforza e si spegne periodicamente.

Queste pulsazioni dell’ampiezza sono i battimenti. La figura mostra due oscillazioni di 10 Hz e 12 Hz: in alto separate, in basso sommate, con l’inviluppo tratteggiato.

La frequenza dei battimenti

Il fattore lento ha frequenza $|f_1 - f_2|/2$, eppure i battimenti si ripetono con il doppio di questa frequenza. Conta infatti il valore assoluto dell’ampiezza, che ha due massimi in ogni periodo del coseno: quando vale +1 e quando vale −1. Nella figura il fattore lento ha periodo 1 s, ma i massimi arrivano ogni 0,5 s. La frequenza dei battimenti $f_b$ è quindi:

$$f_b = |f_1 - f_2|$$

Con i fasori è ancora più chiaro: il più veloce fa un «giro di vantaggio» sull’altro ogni $1/|f_1 - f_2|$ secondi, e a ogni giro i due si trovano una volta allineati, con l’ampiezza massima, e una volta opposti, con l’ampiezza minima. È la formula del rombo, $2A_1|\cos(\Delta\varphi/2)|$, con uno sfasamento che cresce nel tempo. Il ragionamento vale anche con ampiezze diverse: l’ampiezza oscilla tra $A_1 + A_2$ e $|A_1 - A_2|$, sempre con frequenza $|f_1 - f_2|$, ma senza mai arrivare a zero.

Accordare uno strumento con i battimenti

Due note quasi uguali suonate insieme danno un suono che va e viene, «uà-uà-uà»: è il modo più antico di accordare a orecchio. Con un diapason a 440 Hz e la corda del la di un violino a 444 Hz senti una nota di circa 442 Hz che pulsa 4 volte al secondo. Girando il pirolo, i battimenti rallentano se la corda si avvicina a 440 Hz e accelerano se si allontana; quando spariscono, le due frequenze sono uguali.

Gli accordatori di pianoforte fanno lo stesso: la maggior parte dei tasti fa suonare due o tre corde, che devono dare la stessa nota. L’accordatore ne silenzia una con un cuneo e gira la caviglia finché i battimenti tra le altre spariscono. I battimenti però dicono di quanto differiscono le frequenze, non quale è più alta: per saperlo bisogna cambiarne una e ascoltare se accelerano o rallentano, come nell’esercizio 5.

Battimenti nella vita di tutti i giorni

Non serve uno strumento musicale. Due ventilatori o due motori uguali che girano a velocità appena diverse producono un ronzio che sale e scende lentamente: se i due ronzii hanno frequenze di 100 Hz e 101 Hz, senti una pulsazione al secondo. Sugli aerei con due motori a elica questo «tamburellare» è così fastidioso che esistono sistemi di sincronizzazione delle eliche: regolano i giri di un motore finché coincidono con quelli dell’altro, e i battimenti spariscono.

Dalla somma alla scomposizione

Il teorema di Fourier dice che vale anche il percorso inverso: qualsiasi moto periodico di frequenza $f$ si può scrivere come somma di moti armonici con frequenze $f$, $2f$, $3f$ e così via, le armoniche. Il la di un violino e quello di un flauto hanno la stessa frequenza fondamentale ma armoniche con ampiezze diverse, ed è per questo che li distingui. Insieme alla sovrapposizione è un metodo potentissimo: scomponi una causa complicata in armoniche, calcoli la risposta del sistema lineare a ciascuna e poi sommi. Lo vediamo nell’analisi di Fourier.

Gli errori più comuni

• Sommare sempre le ampiezze. $A = A_1 + A_2$ vale solo per moti in fase; in generale serve la formula con $\cos\Delta\varphi$.
• Sbagliare il segno nella formula dell’ampiezza. È $+2A_1A_2\cos\Delta\varphi$: nel teorema del coseno l’angolo del triangolo è $\pi - \Delta\varphi$, non $\Delta\varphi$.
• Fidarsi ciecamente della calcolatrice per la fase. L’arcotangente dà angoli tra −90° e +90°: se la somma dei coseni è negativa, bisogna aggiungere 180°.
• Sommare un seno e un coseno come se fossero due coseni. Prima trasforma il seno, $\sin(\omega t) = \cos(\omega t - \pi/2)$, poi usa le formule.
• Mescolare gradi e radianti. In $\omega t + \varphi$ il termine $\omega t$ è in radianti: anche la fase va scritta in radianti.
• Dimezzare la frequenza dei battimenti. Il fattore lento ha frequenza $|f_1 - f_2|/2$, ma i massimi si ripetono con frequenza $|f_1 - f_2|$.
• Sommare le energie come gli spostamenti. L’energia va con $A^2$: due oscillazioni uguali in fase danno quattro volte l’energia di una sola.

Esercizi svolti

1. Due ampiezze, quattro sfasamenti

Testo. Due moti armonici lungo lo stesso asse hanno la stessa pulsazione e ampiezze $A_1 = 3\ \text{cm}$ e $A_2 = 4\ \text{cm}$; la fase del primo è $\varphi_1 = 0$. Trova ampiezza e fase del moto risultante quando la fase del secondo vale $0$, $\pi$, $\pi/2$ e $\pi/3$, cioè 60°.

In fase e in opposizione i fasori sono sulla stessa retta. Con $\varphi_2 = 0$ l’ampiezza è $3 + 4 = 7\ \text{cm}$, con fase $\varphi = 0$. Con $\varphi_2 = \pi$ l’ampiezza è $4 - 3 = 1\ \text{cm}$, e il fasore somma ha il verso di quello più lungo, il secondo: $\varphi = \pi$.

In quadratura le componenti del fasore somma sono 3 e 4:

$$\begin{gathered} A = \sqrt{3^2 + 4^2}\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \\ \tan\varphi = \frac{4}{3} \;\Rightarrow\; \varphi \approx 53{,}1^\circ \end{gathered}$$

Con lo sfasamento di 60°, dato che $\cos 60^\circ = 0{,}5$:

$$\begin{gathered} A = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 0{,}5}\ \text{cm} \\ {} = \sqrt{37}\ \text{cm} \approx 6{,}08\ \text{cm} \end{gathered}$$

Per la fase, la somma dei coseni è $3 + 4 \cdot 0{,}5 = 5$ e quella dei seni $4 \cdot \sin 60^\circ \approx 3{,}46$:

$$\tan\varphi = \frac{3{,}46}{5} \approx 0{,}693 \;\Rightarrow\; \varphi \approx 34{,}7^\circ$$

In radianti $34{,}7^\circ \approx 0{,}606\ \text{rad}$, quindi $x(t) \approx 6{,}08\cos(\omega t + 0{,}606)\ \text{cm}$. Tutte le ampiezze stanno tra 1 e 7 cm, come devono, e la fase del moto risultante cade sempre tra le due fasi, più vicina a quella del fasore più lungo.

2. Un coseno più un seno

Testo. Un punto si muove lungo l’asse $x$ con legge $x(t) = 2\cos(5t) + 3\sin(5t)$, con $x$ in centimetri e $t$ in secondi. Mostra che il moto è armonico, trova ampiezza, fase e periodo e l’istante in cui il punto raggiunge per la prima volta l’estremo destro.

Il seno si trasforma in coseno: $\sin(5t) = \cos(5t - \pi/2)$. Sono due moti con la stessa pulsazione, $\omega = 5\ \text{rad/s}$, quindi la somma è armonica. Il secondo ha $A_2 = 3\ \text{cm}$ e $\varphi_2 = -\pi/2$: è in quadratura con il primo.

$$A = \sqrt{2^2 + 3^2}\ \text{cm} = \sqrt{13}\ \text{cm} \approx 3{,}61\ \text{cm}$$

Le componenti del fasore somma sono $2 + 3\cos(-\pi/2) = 2$ e $3\sin(-\pi/2) = -3$:

$$\tan\varphi = \frac{-3}{2} = -1{,}5 \;\Rightarrow\; \varphi \approx -0{,}983\ \text{rad}$$

cioè circa −56,3°. Il denominatore è positivo, quindi l’angolo della calcolatrice va bene. Il moto è $x(t) \approx 3{,}61\cos(5t - 0{,}983)\ \text{cm}$, con periodo:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5}\ \text{s} \approx 1{,}26\ \text{s}$$

L’estremo destro, $x = +A$, si raggiunge quando l’argomento del coseno vale zero:

$$5t - 0{,}983 = 0 \;\Rightarrow\; t \approx 0{,}197\ \text{s}$$

Controllo: a $t = 0$ il punto è in $x = 2\ \text{cm}$ con velocità positiva, $15\ \text{cm/s}$. Sta già andando verso destra, quindi arriva all’estremo ben prima di metà periodo.

3. Attenzione al quadrante

Testo. Somma i moti $x_1 = 2\cos(\omega t)$ e $x_2 = 5\cos(\omega t + 2\pi/3)$, con le ampiezze in centimetri. Quanto valgono ampiezza e fase del moto risultante?

Lo sfasamento è $2\pi/3$, cioè 120°, con $\cos 120^\circ = -0{,}5$ e $\sin 120^\circ \approx 0{,}866$:

$$\begin{gathered} A = \sqrt{4 + 25 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot (-0{,}5)}\ \text{cm} \\ {} = \sqrt{19}\ \text{cm} \approx 4{,}36\ \text{cm} \end{gathered}$$

Le componenti del fasore somma sono $2 + 5 \cdot (-0{,}5) = -0{,}5$ e $5 \cdot 0{,}866 \approx 4{,}33$:

$$\tan\varphi = \frac{4{,}33}{-0{,}5} \approx -8{,}66$$

La calcolatrice dà $\arctan(-8{,}66) \approx -83{,}4^\circ$, ma è sbagliato: quell’angolo ha il coseno positivo, mentre la componente $x$ del fasore somma è negativa. Il fasore punta in alto a sinistra, nel secondo quadrante, quindi si aggiungono 180°:

$$\varphi \approx -83{,}4^\circ + 180^\circ = 96{,}6^\circ \approx 1{,}69\ \text{rad}$$

La fase cade tra 0 e 120°, più vicina alla fase del fasore più lungo: torna. E l’ampiezza è perfino minore di quella del secondo moto da solo, perché con uno sfasamento oltre 90° il termine di interferenza è negativo.

4. Le cuffie antirumore e il ritardo

Testo. In un modello semplificato di cuffia antirumore, il rumore che arriva all’orecchio è un’oscillazione armonica di ampiezza $A$ e l’antirumore ha la stessa ampiezza, ma arriva con un ritardo $\Delta t = 0{,}1\ \text{ms}$ rispetto all’opposizione di fase perfetta. Che frazione dell’ampiezza e dell’energia del rumore resta se il rumore ha frequenza 100 Hz? E se ha 1000 Hz?

Il ritardo equivale a un errore di fase, che chiamiamo $\varepsilon$ («epsilon»): lo sfasamento tra rumore e antirumore è $\pi - \varepsilon$ invece di $\pi$. Con ampiezze uguali si usa la formula del rombo:

$$\begin{gathered} \varepsilon = 2\pi f\,\Delta t \\ A_{res} = 2A\left|\cos\frac{\pi - \varepsilon}{2}\right| \\ {} = 2A\sin\frac{\varepsilon}{2} \end{gathered}$$

A 100 Hz l’errore è $\varepsilon = 360^\circ \cdot 100 \cdot 0{,}0001 = 3{,}6^\circ$:

$$A_{res} = 2A\sin 1{,}8^\circ \approx 0{,}063\,A$$

Resta circa il 6% dell’ampiezza e, dato che l’energia va con il quadrato, $0{,}063^2 \approx 0{,}004$: lo 0,4% dell’energia. A 1000 Hz l’errore è dieci volte più grande, 36°:

$$A_{res} = 2A\sin 18^\circ \approx 0{,}618\,A$$

Resta il 62% dell’ampiezza e il 38% dell’energia. Lo stesso piccolissimo ritardo cancella quasi del tutto un ronzio grave e lascia passare buona parte di un suono acuto. A 2000 Hz, con un errore di 72°, l’ampiezza diventerebbe $1{,}18\,A$: l’antirumore aumenterebbe il rumore invece di toglierlo.

5. Accordare un violino con il diapason

Testo. Suoni insieme un diapason da 440 Hz e la corda del la di un violino, e senti 3 battimenti al secondo. Tendendo un po’ la corda, che così sale di frequenza, i battimenti diventano più veloci. Qual era la frequenza della corda? Cosa devi fare per accordarla? Mentre lo fai, a che frequenza è la corda quando senti 1 battimento al secondo?

I battimenti dicono solo la differenza tra le frequenze:

$$\begin{gathered} |f - 440\ \text{Hz}| = 3\ \text{Hz} \\ f = 437\ \text{Hz} \quad \text{oppure} \quad f = 443\ \text{Hz} \end{gathered}$$

Tendendo la corda la frequenza sale. Se la corda fosse a 437 Hz si avvicinerebbe a 440 Hz e i battimenti rallenterebbero; invece accelerano, quindi la differenza cresce e la corda era sopra il diapason: $f = 443\ \text{Hz}$.

Per accordarla bisogna allentarla: i battimenti rallentano e spariscono quando la corda arriva a 440 Hz. Quando, scendendo da 443 Hz, senti 1 battimento al secondo, la corda è a 441 Hz, non a 439 Hz: per arrivare a 439 Hz sarebbe dovuta passare da 440 Hz, dove i battimenti spariscono. Grazie ai battimenti si sente anche una differenza di 1 Hz su 440, circa lo 0,2%.

6. Due motori sulla stessa piattaforma

Testo. Due motori montati su una piattaforma la fanno vibrare in verticale. Da solo, il primo produce un’oscillazione di 50 Hz e ampiezza 0,30 mm; il secondo, di 48 Hz e ampiezza 0,20 mm. Qual è la frequenza dei battimenti? Tra quali valori varia l’ampiezza della vibrazione, e quanto tempo passa tra un massimo e il minimo successivo? Quante volte è più grande l’energia della vibrazione nei massimi rispetto ai minimi?

Se la piattaforma è lineare vale la sovrapposizione, e la frequenza dei battimenti è la differenza delle frequenze:

$$\begin{gathered} f_b = 50\ \text{Hz} - 48\ \text{Hz} = 2\ \text{Hz} \\ T_b = \frac{1}{f_b} = 0{,}5\ \text{s} \end{gathered}$$

Con i fasori: il più veloce fa un giro di vantaggio ogni 0,5 s. Quando i due fasori sono allineati l’ampiezza è massima, quando sono opposti è minima:

$$\begin{gathered} A_{max} = 0{,}30 + 0{,}20 = 0{,}50\ \text{mm} \\ A_{min} = 0{,}30 - 0{,}20 = 0{,}10\ \text{mm} \end{gathered}$$

Per passare da allineati a opposti l’angolo tra i fasori deve crescere di mezzo giro, quindi serve metà del periodo dei battimenti: 0,25 s. L’energia va con il quadrato dell’ampiezza:

$$\frac{E_{max}}{E_{min}} = \left(\frac{0{,}50}{0{,}10}\right)^2 = 25$$

La vibrazione «respira» due volte al secondo tra 0,10 e 0,50 mm, ma non si ferma mai, perché le due ampiezze sono diverse. Altri problemi su oscillazioni e battimenti li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• Principio di sovrapposizione: in un sistema lineare lo spostamento totale è la somma degli spostamenti, $x = x_1 + x_2$.
• Due moti armonici con la stessa frequenza danno un moto armonico con la stessa frequenza, che si trova sommando i fasori come vettori.
• Ampiezza: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$, sempre compresa tra $|A_1 - A_2|$ e $A_1 + A_2$.
• Fase: $\tan\varphi$ è il rapporto tra la somma delle componenti $A_i\sin\varphi_i$ e quella delle $A_i\cos\varphi_i$; se la somma dei coseni è negativa si aggiungono 180°.
• In fase $A = A_1 + A_2$ (interferenza costruttiva), in quadratura $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$, in opposizione $A = |A_1 - A_2|$ (interferenza distruttiva).
• L’energia va con $A^2$: le energie si sommano solo in quadratura o, in media, per sorgenti indipendenti.
• Con frequenze diverse il moto non è armonico; con frequenze vicine si hanno i battimenti, con $f_b = |f_1 - f_2|$.

E se le due oscillazioni avvengono lungo assi perpendicolari? Il punto descrive curve nel piano: lo vediamo nella somma di moti armonici su assi ortogonali.