Oscillatore armonico ed energia: cinetica, potenziale e meccanica, con esercizi svolti

Una massa attaccata a una molla che oscilla avanti e indietro è uno dei sistemi più semplici della fisica, ma nasconde un continuo scambio di energia: la molla carica energia quando si deforma e la restituisce alla massa sotto forma di velocità, poi se la riprende, e così via. In questa pagina vediamo l’energia dell’oscillatore armonico: da dove viene l’energia potenziale elastica $\frac{1}{2}kx^2$, come cambiano nel tempo energia potenziale ed energia cinetica, perché la loro somma resta costante e vale $\frac{1}{2}kA^2$, cosa succede con una molla verticale, e poi errori comuni ed esercizi svolti.

Richiami sull’oscillatore armonico

Consideriamo una massa $m$ attaccata a una molla di costante elastica $k$, libera di muoversi su un piano orizzontale senza attrito. Sulla massa agisce la forza elastica $F = -k\,x$, sempre diretta verso la posizione di equilibrio $x = 0$. È la legge di Hooke, pubblicata da Robert Hooke nel 1678. Per il secondo principio della dinamica:

$$m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x$$

Ponendo $\omega^2 = k/m$ l’equazione assume la forma del moto armonico semplice:

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2\,x = 0$$

la cui soluzione è la legge oraria:

$$\begin{gathered} x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \\ \text{con}\;\; \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{gathered}$$

dove $A$ è l’ampiezza e $\varphi$ la fase iniziale. Il periodo dell’oscillazione è:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Per calcolare l’energia cinetica serve anche la velocità, che si ottiene derivando la legge oraria:

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,\omega\sin(\omega t + \varphi)$$

Da dove viene l’energia potenziale elastica

Per allungare una molla di un tratto $x$ devi fare lavoro, e quel lavoro resta immagazzinato nella molla come energia potenziale elastica. Il calcolo però ha un trabocchetto: la forza che devi applicare non è costante. All’inizio la molla è a riposo e basta una forza piccolissima; man mano che la allunghi la forza cresce, fino a valere $kx$ alla fine.

Quando la forza cambia, il lavoro non è “forza per spostamento”: è l’area sotto il grafico della forza in funzione dello spostamento. Per una molla il grafico è una retta che parte da zero, e l’area è un triangolo.

Base $x$, altezza $kx$: l’area vale

$$U = \frac{1}{2}\,x \cdot k\,x = \frac{1}{2}\,k\,x^2$$

Con l’integrale si arriva allo stesso risultato, $\int_0^x k\,s\,ds = \frac{1}{2}kx^2$. Lo stesso valore si ottiene comprimendo la molla, perché conta solo il quadrato della deformazione. Il calcolo completo del lavoro della forza elastica è nel lavoro della forza peso e della forza elastica.

L’energia dell’oscillatore

La forza elastica è conservativa e, senza attrito, è l’unica forza che compie lavoro: l’energia meccanica deve conservarsi. Verifichiamolo calcolando separatamente le due energie.

Energia potenziale elastica

Sostituendo la legge oraria in $U = \frac{1}{2}kx^2$ si ottiene l’andamento nel tempo:

$$U(t) = \frac{1}{2}\,k\,A^2\cos^2(\omega t + \varphi)$$

È sempre positiva o nulla: è massima agli estremi dell’oscillazione, dove $x = \pm A$ e la molla è più deformata, ed è nulla nella posizione di equilibrio.

Energia cinetica

L’energia cinetica della massa è:

$$\begin{gathered} E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \\ E_k = \frac{1}{2}\,m\,A^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi) \end{gathered}$$

Ha l’andamento opposto: è massima nella posizione di equilibrio, dove la velocità è massima, ed è nulla agli estremi, dove la massa si ferma per invertire il moto.

La conservazione dell’energia meccanica

L’energia meccanica è la somma delle due:

$$\begin{gathered} E_m = E_k + U \\ E_m = \frac{1}{2}\,m\,A^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi) \\ {} + \frac{1}{2}\,k\,A^2\cos^2(\omega t + \varphi) \end{gathered}$$

Dato che $\omega^2 = k/m$, cioè $m\,\omega^2 = k$, si può raccogliere $\frac{1}{2}kA^2$:

$$\begin{gathered} E_m = \frac{1}{2}\,k\,A^2\left[\sin^2(\omega t + \varphi) \right. \\ \left. {} + \cos^2(\omega t + \varphi)\right] \end{gathered}$$

e per l’identità $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$E_m = \frac{1}{2}\,k\,A^2 = \frac{1}{2}\,m\,\omega^2 A^2 = \text{costante}$$

L’energia meccanica dell’oscillatore armonico è costante e dipende dal quadrato dell’ampiezza: raddoppiando l’ampiezza, l’energia quadruplica. È un caso particolare della conservazione dell’energia meccanica.

Una verifica più veloce: derivare l’energia

C’è un modo ancora più rapido per vedere che l’energia non cambia: calcolarne la derivata nel tempo. Con $\frac{dv}{dt} = a$ e $\frac{dx}{dt} = v$:

$$\begin{gathered} \frac{dE_m}{dt} = m\,v\,a + k\,x\,v \\ {} = v\,(m\,a + k\,x) = 0 \end{gathered}$$

La parentesi è zero perché è proprio l’equazione del moto, $m\,a = -k\,x$. Il ragionamento funziona anche al contrario: se sai che l’energia si conserva, derivandola ritrovi l’equazione dell’oscillatore. È un trucco che negli esercizi più difficili fa risparmiare molti conti.

Velocità e posizione senza il tempo

Scrivendo la conservazione dell’energia in una posizione qualsiasi si ottiene un legame diretto tra velocità e posizione:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,m\,v^2 + \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2}\,k\,A^2 \\ v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2} \end{gathered}$$

È la stessa relazione che nel moto armonico avevamo ricavato con la trigonometria, qui ottenuta in una riga. Il segno dipende dal verso in cui si sta muovendo la massa: nello stesso punto passa una volta all’andata e una al ritorno, con la stessa velocità in modulo.

Come si divide l’energia lungo l’oscillazione

Dato che $U = \frac{1}{2}kx^2$ ed $E_m = \frac{1}{2}kA^2$, la frazione di energia che in ogni punto è potenziale vale semplicemente $x^2/A^2$. Il resto è cinetico.

Posizione	Energia potenziale	Energia cinetica
$x = 0$ (centro)	0	100%
$x = \pm A/2$	25%	75%
$x = \pm A/\sqrt{2} \approx \pm 0{,}71\,A$	50%	50%
$x = \pm A$ (estremi)	100%	0

Il risultato che sorprende di più è la seconda riga: a metà strada tra il centro e l’estremo, tre quarti dell’energia sono ancora cinetici. Le due energie si eguagliano solo più avanti, a circa il 71% dell’ampiezza. Il motivo è il quadrato: l’energia potenziale cresce lentamente vicino al centro e sempre più in fretta verso gli estremi.

L’energia in funzione della posizione: la buca di potenziale

Un modo molto utile di guardare l’oscillatore è disegnare l’energia potenziale in funzione della posizione, invece che del tempo. Il grafico di $U = \frac{1}{2}kx^2$ è una parabola, e l’energia meccanica è una retta orizzontale.

In ogni posizione $x$, il tratto verticale dall’asse fino alla parabola è l’energia potenziale; il tratto dalla parabola fino alla retta dell’energia meccanica è l’energia cinetica. Leggendo il grafico si capiscono subito tre cose.

• Nel centro la parabola tocca lo zero: tutta l’energia è cinetica, la velocità è massima.
• Nei punti in cui la parabola incontra la retta, $x = \pm A$, l’energia cinetica è zero: la massa si ferma e torna indietro. Sono i punti di inversione.
• Oltre $\pm A$ la parabola sta sopra la retta: servirebbe un’energia cinetica negativa, che non esiste. La massa resta intrappolata nella buca di potenziale tra $-A$ e $+A$.

Il minimo della parabola è la posizione di equilibrio stabile: spostando la massa nasce una forza che la riporta verso il fondo della buca, come abbiamo visto nell’equilibrio delle forze. E qui c’è il motivo per cui l’oscillatore armonico è così importante: qualsiasi minimo di energia potenziale, guardato abbastanza da vicino, ha la forma di una parabola. Per questo le piccole oscillazioni attorno a un equilibrio stabile sono quasi sempre armoniche, che si tratti di un pendolo, di una barca che dondola o degli atomi di una molecola che vibrano attorno alla loro posizione.

L’energia nel tempo

Il grafico che segue mostra, una sotto l’altra, la posizione della massa e le due energie durante un’oscillazione completa. La massa parte ferma dall’estremo $x = A$, cioè con $\varphi = 0$.

L’energia potenziale, proporzionale a $\cos^2(\omega t)$, è massima a $t = 0$ e a $t = T/2$, quando la massa è a un estremo, e si annulla a $T/4$ e $3T/4$, quando passa per il centro. L’energia cinetica, proporzionale a $\sin^2(\omega t)$, fa esattamente l’opposto. La loro somma, l’energia meccanica, resta costante.

Le due energie oscillano con periodo $\pi/\omega$, cioè metà del periodo del moto: in un’oscillazione completa la massa passa due volte per il centro e due volte per un estremo, quindi l’energia passa due volte da tutta potenziale a tutta cinetica.

Metà e metà, in media

Il valore medio di $\cos^2$ e di $\sin^2$ su un periodo è $\frac{1}{2}$. Quindi, in media, metà dell’energia dell’oscillatore è cinetica e metà è potenziale:

$$\overline{E_k} = \overline{U} = \frac{1}{2}\,E_m = \frac{1}{4}\,k\,A^2$$

La lineetta sopra il simbolo indica il valore medio su un periodo. È un risultato che torna utile in termodinamica, nella teoria cinetica dei gas, quando si contano i modi in cui le molecole possono immagazzinare energia.

La molla verticale e la forza peso

Negli esercizi capita spesso una massa appesa a una molla verticale. Ora le forze sono due, la forza elastica e il peso, e anche le energie potenziali sono due. Sembra tutto più complicato, ma non lo è.

Appendendo la massa, la molla si allunga fino alla nuova posizione di equilibrio, dove la forza elastica bilancia il peso:

$$k\,y_0 = m\,g \quad\Rightarrow\quad y_0 = \frac{m\,g}{k}$$

Chiamiamo $y$ lo spostamento verso il basso a partire da questa nuova posizione di equilibrio. La molla è allungata di $y_0 + y$, e mettendo lo zero dell’energia potenziale gravitazionale nella posizione di equilibrio:

$$\begin{gathered} U_{el} = \frac{1}{2}\,k\,(y_0 + y)^2 \\ U_{g} = -m\,g\,y = -k\,y_0\,y \end{gathered}$$

Sviluppando il quadrato e sommando, i termini con $k\,y_0\,y$ si cancellano:

$$\begin{gathered} U_{el} + U_g = \frac{1}{2}\,k\,y^2 + \frac{1}{2}\,k\,y_0^2 \\ {} = \frac{1}{2}\,k\,y^2 + \text{costante} \end{gathered}$$

Una costante nell’energia potenziale non cambia nulla, perché contano solo le differenze. Quindi: il peso sposta soltanto la posizione di equilibrio. Misurando lo spostamento dalla nuova posizione di equilibrio, la molla verticale si comporta esattamente come quella orizzontale, con la stessa pulsazione $\omega = \sqrt{k/m}$ e la stessa energia $\frac{1}{2}kA^2$.

Lo stesso scambio in altri oscillatori

Lo schema “energia potenziale che diventa cinetica e viceversa” non riguarda solo le molle.

• Nel pendolo semplice l’energia potenziale è gravitazionale: è massima agli estremi, dove il pendolo è più in alto, e la velocità è massima nel punto più basso. Per piccole oscillazioni i grafici sono identici a quelli della molla.
• Nel pendolo composto l’energia cinetica è di rotazione, ma lo scambio funziona allo stesso modo.
• Nei circuiti elettrici con un condensatore e una bobina l’energia passa dal campo elettrico al campo magnetico con le stesse equazioni: lo vedrai nei corsi di elettrotecnica.

Quando l’energia non si conserva: lo smorzamento

Una molla vera non oscilla per sempre: l’attrito e la resistenza dell’aria sottraggono a ogni ciclo un po’ di energia, che diventa calore. Dato che $E = \frac{1}{2}kA^2$, l’energia che si perde si vede come un’ampiezza che diminuisce. E per via del quadrato, l’energia cala più in fretta dell’ampiezza.

Per esempio, se a ogni oscillazione l’ampiezza diminuisce del 2%, l’energia diventa $0{,}98^2 \approx 0{,}96$ volte quella di prima: perde circa il 4% a ogni ciclo. Dopo 10 oscillazioni l’ampiezza è ancora l’82% di quella iniziale, ma l’energia è scesa al 67%.

Il moto con attrito lo studiamo nell’oscillatore armonico smorzato; se invece una forza esterna rifornisce energia a ogni ciclo, come quando spingi un’altalena, si ha l’oscillatore forzato.

Gli errori più comuni

• Pensare che le energie oscillino con lo stesso periodo del moto. Energia cinetica e potenziale si ripetono ogni $T/2$, perché dipendono dal quadrato della posizione e della velocità.
• Credere che a metà strada l’energia sia divisa a metà. In $x = A/2$ l’energia potenziale è solo il 25%. Le due energie sono uguali in $x = A/\sqrt{2}$.
• Dimenticare il quadrato. Raddoppiando l’ampiezza l’energia diventa quattro volte più grande, mentre la velocità massima raddoppia soltanto.
• Scrivere $U = kx^2$ o $U = F \cdot x$. La forza cresce durante l’allungamento, quindi il lavoro è l’area di un triangolo: da qui il fattore $\frac{1}{2}$.
• Mescolare i due modi di trattare la molla verticale. O usi l’allungamento dalla lunghezza a riposo e metti anche l’energia gravitazionale, oppure misuri lo spostamento dalla nuova posizione di equilibrio e usi solo $\frac{1}{2}ky^2$. Non metà e metà.
• Usare i centimetri. Con $k$ in N/m lo spostamento va in metri: con 10 cm al posto di 0,1 m l’energia viene diecimila volte più grande.
• Pensare che a parità di molla e ampiezza una massa più grande abbia più energia. L’energia è $\frac{1}{2}kA^2$ e non dipende dalla massa; la massa cambia il periodo e la velocità massima.
• Calcolare $\cos(\omega t)$ con la calcolatrice in gradi. $\omega t$ è in radianti.

Esercizi svolti

1. Energia, velocità massima e velocità a metà strada

Testo. Una massa di 0,5 kg è attaccata a una molla con $k = 50\ \text{N/m}$. Viene spostata di 10 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata libera. Trova pulsazione, periodo, energia meccanica, velocità massima e velocità quando la massa passa a 5 cm dal centro.

Pulsazione e periodo:

$$\begin{gathered} \omega = \sqrt{\frac{50}{0{,}5}}\ \text{rad/s} = 10\ \text{rad/s} \\ T = \frac{2\pi}{10}\ \text{s} \approx 0{,}628\ \text{s} \end{gathered}$$

Energia meccanica, con $A = 0{,}1\ \text{m}$:

$$E_m = \frac{1}{2}\,k\,A^2 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 0{,}1^2\ \text{J} = 0{,}25\ \text{J}$$

Velocità massima, al passaggio per l’equilibrio, dove tutta l’energia è cinetica:

$$v_{max} = A\,\omega = 0{,}1 \cdot 10\ \text{m/s} = 1\ \text{m/s}$$

Controllo: $\frac{1}{2}\,m\,v_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 1^2\ \text{J} = 0{,}25\ \text{J}$, come deve essere.

A 5 cm dal centro l’energia potenziale è $\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 0{,}05^2\ \text{J} = 0{,}0625\ \text{J}$, un quarto del totale. Il resto, 0,1875 J, è cinetico:

$$\begin{gathered} v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} \\ {} = 10\sqrt{0{,}01 - 0{,}0025}\ \text{m/s} \approx 0{,}866\ \text{m/s} \end{gathered}$$

A metà strada la massa ha ancora l’87% della sua velocità massima.

2. Dall’energia all’ampiezza

Testo. Un blocco di 2 kg attaccato a una molla con $k = 200\ \text{N/m}$ passa per la posizione di equilibrio a 0,6 m/s. Qual è l’ampiezza dell’oscillazione?

Nella posizione di equilibrio l’energia è tutta cinetica:

$$E_m = \frac{1}{2}\,m\,v_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}6^2\ \text{J} = 0{,}36\ \text{J}$$

Agli estremi è tutta potenziale, quindi $\frac{1}{2}kA^2 = 0{,}36\ \text{J}$:

$$\begin{gathered} A = \sqrt{\frac{2\,E_m}{k}} = \sqrt{\frac{0{,}72}{200}}\ \text{m} \\ {} = 0{,}06\ \text{m} = 6\ \text{cm} \end{gathered}$$

Verifica con il moto armonico: $\omega = \sqrt{200/2} = 10\ \text{rad/s}$ e $A = v_{max}/\omega = 0{,}6/10\ \text{m} = 0{,}06\ \text{m}$.

3. Una massa che parte già in movimento

Testo. Una massa di 1 kg è attaccata a una molla con $k = 100\ \text{N/m}$. All’istante iniziale si trova a 3 cm dall’equilibrio e si muove a 0,4 m/s. Trova l’energia meccanica, l’ampiezza e la velocità massima.

All’inizio ci sono entrambe le energie:

$$\begin{gathered} U_0 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}03^2\ \text{J} = 0{,}045\ \text{J} \\ E_{k,0} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}4^2\ \text{J} = 0{,}08\ \text{J} \\ E_m = 0{,}045 + 0{,}08\ \text{J} = 0{,}125\ \text{J} \end{gathered}$$

L’energia resta questa per tutto il moto. Agli estremi è tutta potenziale e al centro tutta cinetica:

$$\begin{gathered} A = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}125}{100}}\ \text{m} = 0{,}05\ \text{m} \\ v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}125}{1}}\ \text{m/s} = 0{,}5\ \text{m/s} \end{gathered}$$

L’ampiezza non è la posizione iniziale: la massa parte già con una velocità, quindi si spinge oltre i 3 cm, fino a 5 cm.

4. Quando le due energie sono uguali

Testo. Con i dati del primo esercizio, in quale posizione l’energia cinetica è uguale a quella potenziale? Quanto tempo dopo il rilascio ci arriva la massa, e con che velocità?

Le due energie sono uguali quando ciascuna vale metà del totale:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\,k\,A^2 \\ x = \frac{A}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \cdot 10\ \text{cm} \approx 7{,}07\ \text{cm} \end{gathered}$$

La massa parte da $x = A$, quindi $x(t) = A\cos(\omega t)$. Ci arriva quando $\cos(\omega t) = 1/\sqrt{2}$, cioè $\omega t = \pi/4$:

$$t = \frac{\pi}{4\,\omega} = \frac{T}{8} = \frac{0{,}628}{8}\ \text{s} \approx 0{,}079\ \text{s}$$

L’energia cinetica è metà del totale, 0,125 J, quindi $v = \sqrt{2 \cdot 0{,}125 / 0{,}5}\ \text{m/s} \approx 0{,}707\ \text{m/s}$, cioè $v_{max}/\sqrt{2}$.

5. Cosa succede cambiando ampiezza o massa

Testo. Un oscillatore con una massa di 0,2 kg ha energia 0,4 J quando oscilla con ampiezza 4 cm. a) Quanto vale l’energia con ampiezza 8 cm? b) Se si sostituisce la massa con una di 0,8 kg, lasciando molla e ampiezza di 4 cm, cosa cambia?

La costante elastica è

$$k = \frac{2\,E_m}{A^2} = \frac{0{,}8}{0{,}04^2}\ \text{N/m} = 500\ \text{N/m}$$

e con la massa di 0,2 kg la pulsazione è $\omega = \sqrt{500/0{,}2} = 50\ \text{rad/s}$, la velocità massima $v_{max} = 0{,}04 \cdot 50 = 2\ \text{m/s}$ e il periodo $T = 2\pi/50 \approx 0{,}126\ \text{s}$.

a) Ampiezza doppia, energia quadrupla: $\frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 0{,}08^2\ \text{J} = 1{,}6\ \text{J}$. La velocità massima raddoppia, a 4 m/s, e il periodo non cambia.

b) L’energia non cambia: è ancora $\frac{1}{2}kA^2 = 0{,}4\ \text{J}$. Cambiano gli altri valori:

Grandezza	Massa 0,2 kg	Massa 0,8 kg
Pulsazione	50 rad/s	25 rad/s
Periodo	0,126 s	0,251 s
Velocità massima	2 m/s	1 m/s
Energia	0,4 J	0,4 J

Con una massa quattro volte più grande l’oscillazione è due volte più lenta e la velocità massima dimezza, ma $\frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}8 \cdot 1^2\ \text{J} = 0{,}4\ \text{J}$: la stessa energia.

6. La massa appesa a una molla verticale

Testo. Una massa di 0,4 kg è appesa a una molla verticale con $k = 40\ \text{N/m}$. Di quanto si allunga la molla all’equilibrio? Se poi la massa viene tirata 5 cm più in basso e lasciata, quanto valgono l’energia dell’oscillazione e la velocità massima?

All’equilibrio la forza elastica bilancia il peso:

$$\begin{gathered} y_0 = \frac{m\,g}{k} = \frac{0{,}4 \cdot 9{,}81}{40}\ \text{m} \\ {} \approx 0{,}098\ \text{m} \approx 9{,}8\ \text{cm} \end{gathered}$$

Misurando lo spostamento da questa posizione, la massa oscilla con ampiezza $A = 5\ \text{cm}$ attorno al punto di equilibrio, come una molla orizzontale:

$$\begin{gathered} \omega = \sqrt{\frac{40}{0{,}4}}\ \text{rad/s} = 10\ \text{rad/s} \\ E = \frac{1}{2}\,k\,A^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 0{,}05^2\ \text{J} = 0{,}05\ \text{J} \\ v_{max} = A\,\omega = 0{,}05 \cdot 10\ \text{m/s} = 0{,}5\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Controllo: $\frac{1}{2} \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}5^2\ \text{J} = 0{,}05\ \text{J}$. Il peso non compare nei calcoli dell’oscillazione: ha solo spostato più in basso il centro attorno a cui la massa oscilla.

Altri problemi su molle, pendoli e oscillazioni smorzate li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• L’oscillatore armonico ha legge oraria $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ con $\omega = \sqrt{k/m}$.
• L’energia potenziale elastica vale $\frac{1}{2}kx^2$: il fattore $\frac{1}{2}$ nasce dal fatto che la forza cresce durante l’allungamento.
• Energia potenziale massima agli estremi e nulla al centro; energia cinetica massima al centro e nulla agli estremi.
• L’energia meccanica è costante e vale $\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$: dipende dal quadrato dell’ampiezza e non dalla massa.
• Le due energie sono uguali in $x = \pm A/\sqrt{2}$, oscillano con periodo $T/2$ e in media valgono metà del totale ciascuna.
• Nella molla verticale il peso sposta solo la posizione di equilibrio.
• Con l’attrito l’energia cala e l’ampiezza diminuisce, più lentamente dell’energia.

Nella realtà le oscillazioni non durano per sempre: l’attrito sottrae energia a ogni ciclo. È l’oscillatore armonico smorzato.