Forza elastica e legge di Hooke: formula, costante elastica, molle ed esercizi svolti

Tiri una molla e lei ti tira indietro; la schiacci e lei ti spinge. La forza con cui un corpo deformato cerca di tornare alla sua forma è la forza elastica, e per una molla segue una legge semplicissima, la legge di Hooke. È una delle forze più importanti di Fisica 1: la trovi nei dinamometri, nelle sospensioni delle auto e nei materassi, ed è la forza che produce il moto armonico, il primo oscillatore che incontrerai. In questa pagina vediamo la formula e il significato del segno meno, la costante elastica, la molla ideale, il limite di elasticità, la molla verticale e il dinamometro, le molle in serie e in parallelo, l’energia potenziale elastica, il moto di una massa attaccata a una molla, la storia di Robert Hooke, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è la forza elastica

Un elastico, un righello piegato, una molla: se li deformi e poi li lasci, tornano alla loro forma. Sono corpi elastici, e finché sono deformati esercitano una forza su chi li deforma: la forza elastica. Il modello più semplice per studiarla è la molla.

Prendi una molla attaccata a un muro, su un piano orizzontale. Senza forze ha la sua lunghezza a riposo $l_0$; se tiri l’estremo libero si allunga fino a una lunghezza $l$, se lo spingi verso il muro si accorcia. La deformazione è:

$$\Delta l = l - l_0$$

positiva se la molla è allungata, negativa se è compressa.

Conviene scegliere un asse $x$ lungo la molla, verso destra, con l’origine nell’estremo libero della molla a riposo. Così la posizione $x$ dell’estremo coincide con la deformazione, $x = \Delta l$: a destra dell’origine la molla è allungata, a sinistra è compressa.

La legge di Hooke

La forza elastica si oppone alla deformazione e, per deformazioni non troppo grandi, le è proporzionale: se allunghi la molla il doppio, tira il doppio. È la legge di Hooke:

$$\vec{F} = -k\,x\,\hat{u}_x$$

dove:

• $x$ è lo spostamento dell’estremo dalla posizione di riposo: positivo se la molla è allungata, negativo se è compressa;
• $k$ è la costante elastica, un numero positivo che misura la rigidità della molla;
• $\hat{u}_x$ è il versore dell’asse $x$, che dà la direzione;
• il segno meno dice che la forza è sempre opposta allo spostamento.

Negli esercizi si lavora lungo l’asse $x$ e si scrive semplicemente $F = -k\,x$. Il modulo della forza è $k\,|x|$: conta di quanto hai deformato la molla, non se l’hai allungata o compressa.

Il significato del segno meno

Guarda di nuovo la figura:

• molla allungata: $x > 0$, quindi $F < 0$. La forza punta verso sinistra: la molla tira l’estremo indietro;
• molla compressa: $x < 0$, quindi $F > 0$. La forza punta verso destra: la molla spinge l’estremo in fuori;
• molla a riposo: $x = 0$ e la forza è nulla.

In tutti i casi la forza punta verso la posizione di riposo: è una forza di richiamo, che cerca sempre di riportare l’estremo “a casa”. Ed è questo richiamo continuo che fa oscillare una massa attaccata alla molla. Con l’asse verso sinistra i segni di $x$ e $F$ si scambierebbero, ma la formula resterebbe la stessa: il segno meno dice solo che forza e spostamento sono opposti.

La costante elastica

La costante $k$ si misura in newton al metro (N/m): è la forza che serve per ogni metro di deformazione. Una molla con $k = 200\ \text{N/m}$ richiede 2 N per ogni centimetro, quindi per allungarla di 3 cm servono 6 N. Più $k$ è grande, più la molla è rigida: quella di una penna a scatto ha un $k$ piccolo, quelle delle sospensioni di un’auto uno molto più grande.

$k$ dipende dal materiale e dalla forma: un filo più spesso dà una molla più rigida, più spire la rendono più morbida, perché ogni spira è come una piccola molla e tante molle in serie cedono di più. Anche un filo d’acciaio è una molla, ma rigidissima: per lunghezza $L$ e sezione $S$ vale $k = ES/L$, dove $E$ è il modulo di Young, circa 200 GPa per l’acciaio. Un filo lungo 1 m e spesso 1 mm ha $k \approx 157\,000\ \text{N/m}$: con 10 kg appesi si allunga di circa 0,6 mm. Per questo nella tensione dei fili un filo si tratta come inestensibile.

La molla ideale

Negli esercizi la molla è quasi sempre ideale: segue la legge di Hooke e ha massa trascurabile. Come per il filo ideale, la massa nulla fa sì che la molla eserciti la stessa forza ai due estremi: se tiri l’estremo libero con 6 N, la molla tira la tua mano con 6 N, per il terzo principio, e tira il muro con 6 N. A differenza di un filo, però, una molla compressa può anche spingere.

Quando la legge di Hooke smette di valere

Se misuri la forza che serve per allungare una molla di 1 cm, 2 cm, 3 cm e metti i punti su un grafico forza-allungamento, ottieni una retta che passa per l’origine, con pendenza $k$. Ma oltre il limite di elasticità la molla, quando la lasci, non torna più alla lunghezza iniziale: le spire restano aperte e la deformazione è diventata permanente, o plastica. Tirando ancora, la molla si rompe. In compressione il limite è più semplice: quando le spire si toccano, la molla è “a pacco” e non si accorcia più.

La legge di Hooke è quindi una legge empirica, ricavata dalle misure, e un’approssimazione per piccole deformazioni. Vale per quasi tutti i solidi, purché si deformino poco, perché le forze tra gli atomi vicino all’equilibrio si comportano come tante piccole molle. Anche un tavolo si piega, pochissimo, sotto un libro: la reazione normale che lo regge è una forza elastica.

La molla verticale e il dinamometro

Appendi un corpo di massa $m$ a una molla verticale. La molla si allunga finché la forza elastica, verso l’alto, non bilancia il peso, verso il basso. In quella posizione il corpo è in equilibrio:

$$\begin{gathered} k\,\Delta l = m\,g \\ \Delta l = \frac{m\,g}{k} \end{gathered}$$

L’allungamento è proporzionale alla massa: appendendo il doppio, la molla si allunga il doppio. Al contrario, appendendo una massa nota e misurando $\Delta l$, ricavi la costante elastica: $k = mg/\Delta l$.

È il principio del dinamometro: una molla in un tubo, con un indice che scorre su una scala in newton tarata con pesi noti. Il dinamometro misura una forza, non una massa: sulla Luna, dove $g$ è circa un sesto di quello terrestre, lo stesso oggetto allungherebbe la molla circa sei volte meno. I pesa-valigie a molla sono dinamometri con la scala già divisa per $g$, cioè in chilogrammi.

Il peso, infine, sposta in basso l’equilibrio di $mg/k$. Se misuri gli spostamenti da questa nuova posizione di equilibrio, il peso “sparisce” dalle equazioni: lo sfruttiamo nell’esercizio 5.

Molle in parallelo e in serie

Due molle di costanti $k_1$ e $k_2$ si possono collegare affiancate, cioè in parallelo, o una dopo l’altra, cioè in serie. In entrambi i casi si possono sostituire con un’unica molla equivalente di costante $k_{eq}$.

In parallelo le due molle reggono una sbarretta che resta orizzontale, quindi si allungano della stessa quantità $x$, e le forze si sommano:

$$\begin{gathered} F = k_1\,x + k_2\,x = (k_1 + k_2)\,x \\ k_{eq} = k_1 + k_2 \end{gathered}$$

La molla equivalente è più rigida di ciascuna delle due. È il caso delle molle di un materasso o delle quattro molle delle sospensioni di un’auto, che si dividono il peso della carrozzeria.

In serie le due molle sono tirate dalla stessa forza $F$: se sono ideali, ognuna trasmette alla successiva tutta la forza che riceve, come un filo. Gli allungamenti invece si sommano:

$$\begin{gathered} x = x_1 + x_2 = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} \\ \frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \end{gathered}$$

Si sommano i reciproci, e la molla equivalente, $k_{eq} = \dfrac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$, è più morbida perfino della più morbida delle due. Due casi da ricordare:

• due molle uguali di costante $k$ danno $2k$ in parallelo e $k/2$ in serie;
• se tagli una molla a metà, ogni metà ha costante $2k$: la molla intera è fatta dalle due metà in serie.

L’energia potenziale elastica

Per allungare una molla devi fare lavoro. La forza che serve cresce da zero a $kx$, quindi in media vale $\tfrac{1}{2}kx$, e il lavoro per allungare la molla da zero a $x$ è:

$$W = \frac{1}{2}\,k\,x \cdot x = \frac{1}{2}\,k\,x^2$$

È l’area del triangolo sotto la retta del grafico forza-allungamento, come vediamo nel lavoro della forza elastica. La molla immagazzina quel lavoro e lo restituisce quando torna a riposo: la forza elastica è una forza conservativa, con energia potenziale elastica

$$U = \frac{1}{2}\,k\,x^2$$

Vale per allungamento e compressione, e cresce con il quadrato della deformazione: con $k = 200\ \text{N/m}$, portare la molla da 0 a 3 cm richiede 0,09 J, da 3 a 6 cm ne servono 0,27 J, il triplo. Questa energia può diventare energia cinetica: una molla con $k = 800\ \text{N/m}$ compressa di 10 cm immagazzina $\tfrac{1}{2} \cdot 800 \cdot 0{,}1^2 = 4\ \text{J}$; se spinge una pallina di 0,2 kg su un piano liscio, per la conservazione dell’energia meccanica la pallina parte a:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{\frac{2U}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4}{0{,}2}}\ \text{m/s} \\ v \approx 6{,}32\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il moto di un corpo attaccato a una molla

Attacca all’estremo della molla un corpo di massa $m$, libero di muoversi su un piano orizzontale senza attrito, spostalo dalla posizione di riposo e lascialo andare. Unendo la legge di Hooke con il secondo principio:

$$\begin{gathered} -k\,x = m\,a \\ a = -\frac{k}{m}\,x \end{gathered}$$

Ponendo $\omega^2 = k/m$ si ottiene $a = -\omega^2 x$: è l’equazione del moto armonico semplice, e il corpo si chiama oscillatore armonico. La molla tira il corpo verso la posizione di riposo; lì la forza è nulla, ma il corpo ha velocità e, per inerzia, supera l’equilibrio. Allora la molla lo frena e lo rimanda indietro, e senza attrito andrebbe avanti per sempre.

Con le derivate, $\dfrac{d^2x}{dt^2} + \dfrac{k}{m}\,x = 0$ è un’equazione differenziale, che studierai in Analisi 2; la soluzione la conosci già dal moto armonico:

$$\begin{gathered} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \end{gathered}$$

dove $A$ è l’ampiezza, lo spostamento massimo, e $\varphi$ dipende da come fai partire il moto. Il periodo, il tempo di un’oscillazione completa, è:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Il periodo non dipende dall’ampiezza: una molla più rigida oscilla più in fretta, una massa più grande più lentamente. L’accelerazione è massima agli estremi, dove la molla è più deformata, e nulla al centro, dove la velocità è massima.

Una massa appesa a una molla verticale oscilla intorno alla nuova posizione di equilibrio, ma con lo stesso periodo: il peso sposta il centro dell’oscillazione, non il ritmo. E siccome $m/k = \Delta l/g$, il periodo si ricava anche solo dall’allungamento di equilibrio:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{g}}$$

L’energia delle oscillazioni la vediamo nell’oscillatore armonico ed energia.

Un po’ di storia: «ut tensio, sic vis»

La legge prende il nome da Robert Hooke (1635-1703), scienziato inglese dai mille interessi: dal 1662 fu il primo curatore degli esperimenti della Royal Society di Londra, e nel suo Micrographia (1665) usò la parola cell, «cellula», per le cavità che vedeva al microscopio nel sughero.

Nel 1676, in fondo al libro A Description of Helioscopes, Hooke pubblicò una strana sequenza di lettere: ceiiinosssttuu. Era un anagramma, un modo per fissare la data di una scoperta senza rivelarla. Nel 1678, nelle Lectures de potentia restitutiva, or of Spring, diede la soluzione: ut tensio, sic vis, «come l’allungamento, così la forza». Tensio qui non è la tensione dei fili, ma l’allungamento della molla. Nello stesso testo Hooke racconta di aver scoperto la legge circa diciotto anni prima.

Gli errori più comuni

• Usare la lunghezza della molla invece della deformazione. $x$ è di quanto la molla è allungata o compressa rispetto alla lunghezza a riposo.
• Lasciare i centimetri. Con $k$ in N/m, $x$ va in metri: 3 cm sono 0,03 m. Per passare da N/cm a N/m si moltiplica per 100.
• Mettere il segno meno due volte. Se nel disegno la freccia della forza ha già il verso giusto, usa il modulo $k|x|$ con il segno dato dalla freccia.
• Scambiare serie e parallelo. In parallelo stesso allungamento e costanti che si sommano; in serie stessa forza e reciproci che si sommano.
• Pensare che il peso cambi il periodo di una molla verticale. Il peso sposta l’equilibrio di $mg/k$, ma il periodo resta $2\pi\sqrt{m/k}$.
• Usare la legge di Hooke per deformazioni grandi. Oltre il limite di elasticità la forza non è più proporzionale alla deformazione.
• Confondere forza ed energia. Raddoppiando la deformazione la forza raddoppia, l’energia quadruplica.
• Pensare che una molla agisca solo da una parte. Una molla ideale tira, o spinge, con la stessa forza i corpi a entrambi gli estremi.

Esercizi svolti

1. Forza e segno con una molla orizzontale

Testo. Una molla con $k = 200\ \text{N/m}$ è attaccata a un muro, con l’asse $x$ verso destra, lontano dal muro, e l’origine nell’estremo libero a riposo. Quanto vale la forza elastica quando l’estremo è in $x = 3\ \text{cm}$? E in $x = -2\ \text{cm}$? Di quanto va allungata la molla perché la forza valga 10 N?

In metri, $x_1 = 0{,}03\ \text{m}$ e $x_2 = -0{,}02\ \text{m}$. Con la legge di Hooke:

$$\begin{gathered} F_1 = -200 \cdot 0{,}03\ \text{N} = -6\ \text{N} \\ F_2 = -200 \cdot (-0{,}02)\ \text{N} = +4\ \text{N} \end{gathered}$$

Nel primo caso la molla è allungata e tira l’estremo verso il muro con 6 N; nel secondo è compressa e lo spinge via dal muro con 4 N. Per una forza di 10 N:

$$|x| = \frac{F}{k} = \frac{10}{200}\ \text{m} = 0{,}05\ \text{m}$$

cioè 5 cm: questa molla “costa” 2 N per ogni centimetro.

2. Misurare la costante elastica

Testo. Appendi a una molla una massa di 200 g e la molla si allunga di 5,0 cm. Quanto vale la costante elastica? Poi appendi un oggetto di massa sconosciuta e la molla si allunga di 12 cm: quanto vale la sua massa?

All’equilibrio $k\,\Delta l = mg$, quindi:

$$\begin{gathered} k = \frac{m\,g}{\Delta l} = \frac{0{,}2 \cdot 9{,}81}{0{,}05}\ \text{N/m} \\ k = 39{,}24\ \text{N/m} \end{gathered}$$

Con l’oggetto sconosciuto la molla esercita $F = k\,\Delta l = 39{,}24 \cdot 0{,}12\ \text{N} \approx 4{,}71\ \text{N}$, che è il peso dell’oggetto:

$$m = \frac{F}{g} = \frac{4{,}71}{9{,}81}\ \text{kg} \approx 0{,}48\ \text{kg}$$

Si arrivava allo stesso risultato anche senza $k$: l’allungamento è proporzionale alla massa, 12 cm sono 2,4 volte 5 cm, quindi la massa è $2{,}4 \cdot 200\ \text{g} = 480\ \text{g}$. È il principio del dinamometro.

3. Due molle in parallelo e in serie

Testo. Hai due molle con $k_1 = 300\ \text{N/m}$ e $k_2 = 600\ \text{N/m}$ e una massa di 2 kg. Di quanto si allunga il sistema se appendi la massa alle due molle in parallelo, con una sbarretta che resta orizzontale? E in serie? Come si dividono forza e allungamento tra le due molle?

Il peso è $2 \cdot 9{,}81\ \text{N} = 19{,}62\ \text{N}$. In parallelo:

$$\begin{gathered} k_{eq} = 300 + 600 = 900\ \text{N/m} \\ \Delta l = \frac{19{,}62}{900}\ \text{m} = 0{,}0218\ \text{m} \end{gathered}$$

cioè 2,18 cm. Stesso allungamento, ma forze diverse: $k_1 \Delta l = 6{,}54\ \text{N}$ e $k_2 \Delta l = 13{,}08\ \text{N}$, che sommate danno 19,62 N. La molla più rigida regge il doppio. In serie:

$$\begin{gathered} \frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{300} + \frac{1}{600} = \frac{3}{600} \\ k_{eq} = 200\ \text{N/m} \end{gathered}$$ $$\Delta l = \frac{19{,}62}{200}\ \text{m} = 0{,}0981\ \text{m}$$

cioè 9,81 cm, quattro volte e mezzo più che in parallelo. Ora entrambe le molle reggono tutti i 19,62 N, ma la prima si allunga di $19{,}62/300\ \text{m} = 6{,}54\ \text{cm}$ e la seconda di $19{,}62/600\ \text{m} = 3{,}27\ \text{cm}$: la somma è 9,81 cm, come deve essere.

4. Le sospensioni di un’auto

Testo. Un’auto di 1200 kg poggia su quattro molle uguali, una per ruota, ciascuna con $k = 30\,000\ \text{N/m}$; considera il peso diviso in parti uguali tra le ruote. Di quanto sono compresse le molle? Di quanto si abbassa l’auto se salgono quattro persone per un totale di 300 kg? Senza ammortizzatori, con che periodo oscillerebbe l’auto carica?

Le quattro molle si comprimono della stessa quantità, quindi lavorano in parallelo:

$$k_{eq} = 4 \cdot 30\,000\ \text{N/m} = 120\,000\ \text{N/m}$$ $$\begin{gathered} \Delta l = \frac{m\,g}{k_{eq}} = \frac{1200 \cdot 9{,}81}{120\,000}\ \text{m} \\ \Delta l \approx 0{,}0981\ \text{m} \end{gathered}$$

circa 9,8 cm. I passeggeri aggiungono $300 \cdot 9{,}81\ \text{N} = 2943\ \text{N}$, e l’auto si abbassa ancora di $2943/120\,000\ \text{m} \approx 0{,}0245\ \text{m}$, cioè circa 2,45 cm. Per il periodo conta la massa totale, 1500 kg:

$$\begin{gathered} T = 2\pi\sqrt{\frac{1500}{120\,000}}\ \text{s} \\ T \approx 0{,}70\ \text{s} \end{gathered}$$

circa 1,4 oscillazioni al secondo. Senza ammortizzatori, dopo ogni buca l’auto dondolerebbe a lungo a questo ritmo: l’ammortizzatore spegne l’oscillazione con una forza che dipende dalla velocità, come nell’oscillatore smorzato.

5. Una massa che oscilla appesa a una molla

Testo. Una massa di 0,5 kg è appesa a una molla verticale con $k = 200\ \text{N/m}$. Di quanto si allunga la molla all’equilibrio? Poi la massa viene tirata giù di altri 2 cm e lasciata andare. Trova periodo, frequenza, velocità massima e forza massima e minima della molla. Qual è l’ampiezza massima perché la molla resti sempre allungata?

All’equilibrio:

$$\begin{gathered} \Delta l = \frac{m\,g}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 9{,}81}{200}\ \text{m} \\ \Delta l \approx 0{,}0245\ \text{m} \end{gathered}$$

cioè circa 2,45 cm. La massa oscilla intorno a questa posizione con ampiezza $A = 2\ \text{cm}$ e con lo stesso periodo che avrebbe su un piano orizzontale:

$$\begin{gathered} \omega = \sqrt{\frac{200}{0{,}5}}\ \text{rad/s} = 20\ \text{rad/s} \\ T = \frac{2\pi}{20}\ \text{s} \approx 0{,}314\ \text{s} \\ f = \frac{1}{T} \approx 3{,}18\ \text{Hz} \end{gathered}$$

Controllo: $2\pi\sqrt{\Delta l/g} = 2\pi\sqrt{0{,}0245/9{,}81}\ \text{s} \approx 0{,}314\ \text{s}$. La velocità massima, al passaggio per l’equilibrio, è $\omega A = 20 \cdot 0{,}02\ \text{m/s} = 0{,}4\ \text{m/s}$.

La forza della molla è massima nel punto più basso, dove l’allungamento è $\Delta l + A$, e minima in quello più alto, dove è $\Delta l - A$. Con $k\,\Delta l = mg = 4{,}905\ \text{N}$ e $kA = 200 \cdot 0{,}02\ \text{N} = 4\ \text{N}$:

$$\begin{gathered} F_{max} = mg + kA = 8{,}905\ \text{N} \\ F_{min} = mg - kA = 0{,}905\ \text{N} \end{gathered}$$

cioè circa 8,9 N e 0,9 N: in alto la molla è ancora allungata, di appena 0,45 cm. Con un’ampiezza maggiore dell’allungamento di equilibrio, in alto sarebbe compressa: l’ampiezza massima è $A_{max} = \Delta l \approx 2{,}45\ \text{cm}$.

6. Il salto con l’elastico

Testo. Un ragazzo di 70 kg si lancia da un ponte legato a una corda elastica lunga 15 m a riposo. Modellando la corda come una molla ideale con $k = 200\ \text{N/m}$, che però tira solo quando è tesa, trova l’allungamento massimo della corda, di quanto scende in tutto il ragazzo e la forza massima della corda. Trascura l’aria.

Per i primi 15 m la corda è lenta e il ragazzo cade liberamente; poi la corda si tende e lo frena. Nel punto più basso il ragazzo è fermo, quindi tutta l’energia potenziale gravitazionale persa è diventata energia elastica. Se $x$ è l’allungamento massimo, la caduta totale è $L + x$:

$$m\,g\,(L + x) = \frac{1}{2}\,k\,x^2$$

Con $mg = 686{,}7\ \text{N}$ e $\tfrac{1}{2}k = 100\ \text{N/m}$:

$$100\,x^2 - 686{,}7\,x - 10\,300{,}5 = 0$$

Serve la soluzione positiva; quella negativa corrisponderebbe a una corda compressa:

$$\begin{gathered} x = \frac{686{,}7 + \sqrt{686{,}7^2 + 4\,120\,200}}{200} \\ {} \approx \frac{686{,}7 + 2143}{200}\ \text{m} \approx 14{,}15\ \text{m} \end{gathered}$$

La caduta totale è di $15 + 14{,}15 = 29{,}15\ \text{m}$, circa 29 m. Nel punto più basso:

$$F_{max} = k\,x = 200 \cdot 14{,}15\ \text{N} \approx 2830\ \text{N}$$

circa 4,1 volte il peso. La risultante verso l’alto, $2830 - 687 \approx 2140\ \text{N}$, dà un’accelerazione di circa $30{,}6\ \text{m/s}^2$, poco più di $3g$. Una fune rigida lo fermerebbe in pochi centimetri, con una forza enorme: la corda elastica allunga la frenata a 14 m. Le corde vere non seguono esattamente la legge di Hooke, ma il meccanismo è questo.

Altri problemi con molle e oscillazioni li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• Legge di Hooke: $F = -kx$, con $x$ deformazione rispetto alla posizione di riposo. La forza è proporzionale alla deformazione e punta sempre verso la posizione di riposo: è una forza di richiamo.
• $k$ è la costante elastica, in N/m, e misura la rigidità della molla.
• La legge vale entro il limite di elasticità; oltre, la deformazione diventa permanente.
• Molla verticale all’equilibrio: $\Delta l = mg/k$, il principio del dinamometro.
• Molle in parallelo: $k_{eq} = k_1 + k_2$; in serie: $1/k_{eq} = 1/k_1 + 1/k_2$.
• Energia potenziale elastica: $U = \tfrac{1}{2}kx^2$.
• Una massa su una molla oscilla di moto armonico con $\omega = \sqrt{k/m}$ e $T = 2\pi\sqrt{m/k}$, indipendente dall’ampiezza; per una molla verticale anche $T = 2\pi\sqrt{\Delta l/g}$.

Nel prossimo articolo vediamo una forza che non ha un’origine sua, ma si definisce per il ruolo che svolge: la forza centripeta.