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Il Compagno di Corso

Esercizi svolti sulle oscillazioni: molle, pendoli, smorzamento e risonanza

Fisica 1 › Oscillazionidi Valentino RoccoAggiornato il 7 min di lettura

In questa pagina
  1. Le formule da avere sotto mano
  2. Esercizio 1 · Il sistema massa-molla
  3. Esercizio 2 · La legge oraria dalle condizioni iniziali
  4. Esercizio 3 · La molla verticale
  5. Esercizio 4 · Misurare g con un pendolo
  6. Esercizio 5 · Quando l’energia si divide a metà
  7. Esercizio 6 · L’oscillatore smorzato
  8. Esercizio 7 · L’oscillatore forzato e la risonanza
  9. Esercizio 8 · Battimenti e moti perpendicolari
  10. Gli errori più comuni
  11. Per continuare

In questa pagina trovi otto esercizi sul capitolo delle oscillazioni, in ordine di difficoltà: i primi sono di base, quelli centrali di livello medio, gli ultimi sono da esame.

Prova da solo seguendo il metodo in 6 passi, e apri la soluzione solo dopo. In tutti gli esercizi scriviamo il moto armonico con il coseno, x(t)=Acos⁡(ωt+φ)x(t) = A\cos(\omega t + \varphi), e usiamo g=9,81 m/s2g = 9{,}81\ \text{m/s}^2.

Le formule da avere sotto mano

Prima di cominciare, ecco le formule che userai negli otto esercizi. Se una non ti è chiara, il link nella colonna di sinistra ti porta alla spiegazione completa.

CosaFormula
pulsazione del sistema massa-mollaω=k/m\omega = \sqrt{k/m}
periodo e frequenzaT=2πωT = \dfrac{2\pi}{\omega}
f=1Tf = \dfrac{1}{T}
legge orariax(t)=Acos⁡(ωt+φ)x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)
velocità e accelerazione massimevmax=A ωv_{max} = A\,\omega
amax=A ω2a_{max} = A\,\omega^2
ampiezza dalle condizioni inizialiA=x02+(v0/ω)2A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}
energia meccanicaE=12 k A2E = \frac{1}{2}\,k\,A^2
pendolo semplice, piccole oscillazioniT=2πL/gT = 2\pi\sqrt{L/g}
oscillatore smorzatoγ=b2m\gamma = \dfrac{b}{2m}
ω=ω02−γ2\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}
risonanza, smorzamento deboleAris≈F0/m2γ ω0A_{ris} \approx \dfrac{F_0/m}{2\gamma\,\omega_0}
battimentifb=∣f2−f1∣f_b = \lvert f_2 - f_1 \rvert

Il metodo è quasi sempre lo stesso: riconosci il sistema, calcola la pulsazione ω\omega, usa le condizioni iniziali per ampiezza e fase, e ricorri all’energia quando ti chiedono una velocità in una certa posizione.

Esercizio 1 · Il sistema massa-molla

Livello: base · Argomento: oscillatore armonico

Un corpo di 0,40 kg, collegato a una molla di costante elastica 160 N/m, oscilla su un piano orizzontale liscio con ampiezza 5,0 cm. Calcola pulsazione, periodo e frequenza, la velocità e l’accelerazione massime e l’energia meccanica.

Mostra la soluzione ω=km=1600,40 rad/s=20 rad/sT=2πω≈0,314 sf=1T≈3,18 Hz\begin{gathered} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{160}{0{,}40}}\ \text{rad/s} = 20\ \text{rad/s} \\ T = \frac{2\pi}{\omega} \approx 0{,}314\ \text{s} \\ f = \frac{1}{T} \approx 3{,}18\ \text{Hz} \end{gathered}

La velocità è massima nella posizione di equilibrio, l’accelerazione agli estremi:

vmax=A ω=0,050⋅20 m/svmax=1,0 m/samax=A ω2=20 m/s2\begin{gathered} v_{max} = A\,\omega = 0{,}050 \cdot 20\ \text{m/s} \\ v_{max} = 1{,}0\ \text{m/s} \\ a_{max} = A\,\omega^2 = 20\ \text{m/s}^2 \end{gathered}

L’energia meccanica è tutta elastica agli estremi e tutta cinetica al centro:

E=12 k A2E=12⋅160⋅0,0502 J=0,20 J\begin{gathered} E = \frac{1}{2}\,k\,A^2 \\ E = \frac{1}{2} \cdot 160 \cdot 0{,}050^2\ \text{J} = 0{,}20\ \text{J} \end{gathered}

Controllo: 12mvmax2=12⋅0,40⋅1,02=0,20 J\frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}40 \cdot 1{,}0^2 = 0{,}20\ \text{J}.

Esercizio 2 · La legge oraria dalle condizioni iniziali

Livello: base · Argomento: moto armonico semplice

Un oscillatore ha pulsazione ω=20 rad/s\omega = 20\ \text{rad/s}. All’istante t=0t = 0 si trova in x0=3,0 cmx_0 = 3{,}0\ \text{cm} e ha velocità v0=−0,80 m/sv_0 = -0{,}80\ \text{m/s}. Trova ampiezza e fase iniziale.

Mostra la soluzione

Con x(t)=Acos⁡(ωt+φ)x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) e v(t)=−Aωsin⁡(ωt+φ)v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi), all’istante zero:

x0=Acos⁡φv0=−A ωsin⁡φ\begin{gathered} x_0 = A\cos\varphi \\ v_0 = -A\,\omega\sin\varphi \end{gathered}

Ampiezza. Sommando i quadrati, cos⁡2φ+sin⁡2φ=1\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1:

A=x02+(v0ω)2A=0,0302+0,0402 m=0,050 m\begin{gathered} A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} \\ A = \sqrt{0{,}030^2 + 0{,}040^2}\ \text{m} = 0{,}050\ \text{m} \end{gathered}

Fase. cos⁡φ=x0/A=0,6\cos\varphi = x_0/A = 0{,}6 e sin⁡φ=−v0/(Aω)=0,8\sin\varphi = -v_0/(A\omega) = 0{,}8: entrambi positivi, quindi l’angolo è nel primo quadrante:

φ≈0,93 rad≈53°x(t)=5,0cos⁡(20 t+0,93) cm\begin{gathered} \varphi \approx 0{,}93\ \text{rad} \approx 53° \\ x(t) = 5{,}0\cos(20\,t + 0{,}93)\ \text{cm} \end{gathered}

Usare solo cos⁡φ=0,6\cos\varphi = 0{,}6 avrebbe dato due angoli possibili, ±53°\pm 53°: è il segno di sin⁡φ\sin\varphi, cioè della velocità, a scegliere quello giusto.

Esercizio 3 · La molla verticale

Livello: medio · Argomento: forza elastica

Un corpo di 0,25 kg è appeso a una molla verticale di costante elastica 50 N/m.

  1. Di quanto si allunga la molla all’equilibrio?
  2. Il corpo viene tirato 3,0 cm sotto l’equilibrio e lasciato. Con che periodo oscilla? Qual è la velocità massima?
  3. Quanto valgono la forza massima e minima della molla durante l’oscillazione?
Mostra la soluzione

1. Equilibrio: k Δ=m gk\,\Delta = m\,g, quindi

Δ=m gk=0,25⋅9,8150 m≈4,9 cm\Delta = \frac{m\,g}{k} = \frac{0{,}25 \cdot 9{,}81}{50}\ \text{m} \approx 4{,}9\ \text{cm}

2. Attorno alla nuova posizione di equilibrio il corpo oscilla di moto armonico con lo stesso periodo che avrebbe senza gravità:

T=2πmk=2π0,2550 sT≈0,44 svmax=A ω≈0,030⋅14,1 m/svmax≈0,42 m/s\begin{gathered} T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{50}}\ \text{s} \\ T \approx 0{,}44\ \text{s} \\ v_{max} = A\,\omega \approx 0{,}030 \cdot 14{,}1\ \text{m/s} \\ v_{max} \approx 0{,}42\ \text{m/s} \end{gathered}

La gravità sposta il centro dell’oscillazione, ma non cambia il periodo.

3. L’allungamento della molla oscilla tra Δ−A\Delta - A e Δ+A\Delta + A:

Fmax=k (Δ+A)≈50⋅0,079 NFmax≈3,95 NFmin=k (Δ−A)≈50⋅0,019 NFmin≈0,95 N\begin{gathered} F_{max} = k\,(\Delta + A) \approx 50 \cdot 0{,}079\ \text{N} \\ F_{max} \approx 3{,}95\ \text{N} \\ F_{min} = k\,(\Delta - A) \approx 50 \cdot 0{,}019\ \text{N} \\ F_{min} \approx 0{,}95\ \text{N} \end{gathered}

Se l’ampiezza superasse 4,9 cm, nella parte alta la molla sarebbe compressa.

Esercizio 4 · Misurare g con un pendolo

Livello: medio · Argomento: pendolo semplice

Uno studente misura che un pendolo lungo 80,0 cm compie 20 oscillazioni complete in 35,9 s.

  1. Quanto vale l’accelerazione di gravità ottenuta?
  2. Perché conviene misurare 20 oscillazioni invece di una?
  3. Quale sarebbe il periodo dello stesso pendolo sulla Luna, dove g=1,62 m/s2g = 1{,}62\ \text{m/s}^2?
Mostra la soluzione

1. Il periodo è T=35,9/20=1,795 sT = 35{,}9/20 = 1{,}795\ \text{s}. Dalla formula inversa del periodo del pendolo:

g=4π2 LT2g=4π2⋅0,8001,7952 m/s2≈9,80 m/s2\begin{gathered} g = \frac{4\pi^2\,L}{T^2} \\ g = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}800}{1{,}795^2}\ \text{m/s}^2 \approx 9{,}80\ \text{m/s}^2 \end{gathered}

2. L’errore nel far partire e fermare il cronometro, qualche decimo di secondo, è lo stesso per una o per venti oscillazioni. Dividendo per 20, l’errore sul periodo diventa 20 volte più piccolo.

3. Il periodo è inversamente proporzionale a g\sqrt{g}:

TLuna=2π0,8001,62 s≈4,42 sT_{Luna} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}800}{1{,}62}}\ \text{s} \approx 4{,}42\ \text{s}

Esercizio 5 · Quando l’energia si divide a metà

Livello: medio · Argomento: energia dell'oscillatore

Un oscillatore armonico ha ampiezza AA e periodo TT. In quale posizione l’energia cinetica è uguale all’energia potenziale? Quanto tempo impiega il corpo ad arrivarci partendo dall’estremo x=Ax = A?

Mostra la soluzione

L’energia totale è E=12kA2E = \frac{1}{2}kA^2. Se cinetica e potenziale sono uguali, ciascuna vale E/2E/2:

12 k x2=12⋅12 k A2x=±A2≈±0,71 A\begin{gathered} \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\,k\,A^2 \\ x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}} \approx \pm 0{,}71\,A \end{gathered}

Attenzione: non è a metà ampiezza. A x=A/2x = A/2 l’energia potenziale è solo un quarto del totale.

Partendo da x=Ax = A, la legge oraria è x=Acos⁡(ωt)x = A\cos(\omega t). Cerchiamo il primo istante in cui cos⁡(ωt)=1/2\cos(\omega t) = 1/\sqrt{2}:

ω t=π4t=π4⋅T2π=T8\begin{gathered} \omega\,t = \frac{\pi}{4} \\ t = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{8} \end{gathered}

Esercizio 6 · L’oscillatore smorzato

Livello: medio · Argomento: oscillatore smorzato

Un corpo di 0,50 kg, attaccato a una molla di costante 50 N/m, oscilla in un fluido che esercita una forza viscosa −b v-b\,v con b=0,20 kg/sb = 0{,}20\ \text{kg/s}.

  1. Calcola γ=b/2m\gamma = b/2m e ω0\omega_0. Che tipo di smorzamento è?
  2. Dopo quanto tempo l’ampiezza si dimezza? Quante oscillazioni compie in questo tempo?
  3. Che frazione dell’energia iniziale resta dopo 10 s?
Mostra la soluzione

1.

γ=b2m=0,201,0 s−1=0,20 s−1ω0=km=10 rad/s\begin{gathered} \gamma = \frac{b}{2m} = \frac{0{,}20}{1{,}0}\ \text{s}^{-1} = 0{,}20\ \text{s}^{-1} \\ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10\ \text{rad/s} \end{gathered}

Dato che γ≪ω0\gamma \ll \omega_0, lo smorzamento è debole (sottosmorzato): il corpo oscilla con pulsazione ω=ω02−γ2≈9,998 rad/s\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} \approx 9{,}998\ \text{rad/s}, praticamente uguale a ω0\omega_0, e con ampiezza che decresce come A0 e−γtA_0\,e^{-\gamma t}.

2. L’ampiezza si dimezza quando e−γt=1/2e^{-\gamma t} = 1/2:

t1/2=ln⁡2γ=0,6930,20 s≈3,5 st_{1/2} = \frac{\ln 2}{\gamma} = \frac{0{,}693}{0{,}20}\ \text{s} \approx 3{,}5\ \text{s}

Con un periodo di circa 2π/10≈0,63 s2\pi/10 \approx 0{,}63\ \text{s}, sono circa 5,5 oscillazioni.

3. L’energia è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, quindi decresce come e−2γte^{-2\gamma t}:

E(10 s)E0=e−2⋅0,20⋅10=e−4≈0,018\frac{E(10\ \text{s})}{E_0} = e^{-2 \cdot 0{,}20 \cdot 10} = e^{-4} \approx 0{,}018

Resta meno del 2% dell’energia iniziale.

Esercizio 7 · L’oscillatore forzato e la risonanza

Livello: da esame · Argomento: oscillatore forzato

All’oscillatore dell’esercizio 6 (m=0,50 kgm = 0{,}50\ \text{kg}, ω0=10 rad/s\omega_0 = 10\ \text{rad/s}, γ=0,20 s−1\gamma = 0{,}20\ \text{s}^{-1}) si applica una forza esterna F0cos⁡(ωt)F_0\cos(\omega t) con F0=1,0 NF_0 = 1{,}0\ \text{N}.

  1. Calcola l’ampiezza a regime e lo sfasamento tra spostamento e forza per ω=8,0 rad/s\omega = 8{,}0\ \text{rad/s}.
  2. Calcola l’ampiezza alla risonanza e confrontala con lo spostamento che la stessa forza produrrebbe se fosse costante.
  3. Quanto vale il fattore di qualità QQ?
Mostra la soluzione

1. A regime il corpo oscilla con la pulsazione della forza e ampiezza:

A(ω)=F0/m(ω02−ω2)2+4γ2ω2A=2,0(100−64)2+4⋅0,04⋅64 mA=2,01296+10,2 m≈5,5 cm\begin{gathered} A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \\ A = \frac{2{,}0}{\sqrt{(100 - 64)^2 + 4 \cdot 0{,}04 \cdot 64}}\ \text{m} \\ A = \frac{2{,}0}{\sqrt{1296 + 10{,}2}}\ \text{m} \approx 5{,}5\ \text{cm} \end{gathered} tan⁡δ=2γωω02−ω2=3,236δ≈5°\begin{gathered} \tan\delta = \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} = \frac{3{,}2}{36} \\ \delta \approx 5° \end{gathered}

Lontano dalla risonanza lo spostamento segue la forza quasi in fase.

2. Alla risonanza, per smorzamento debole ω≈ω0\omega \approx \omega_0 e il primo termine sotto radice si annulla:

Aris≈F0/m2γ ω0Aris≈2,02⋅0,20⋅10 m=0,50 m\begin{gathered} A_{ris} \approx \frac{F_0/m}{2\gamma\,\omega_0} \\ A_{ris} \approx \frac{2{,}0}{2 \cdot 0{,}20 \cdot 10}\ \text{m} = 0{,}50\ \text{m} \end{gathered}

Una forza costante di 1,0 N allungherebbe la molla di appena F0/k=2,0 cmF_0/k = 2{,}0\ \text{cm}: alla risonanza l’ampiezza è 25 volte più grande. Lo sfasamento è di 90°.

3.

Q=ω02γ=100,40=25Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{10}{0{,}40} = 25

Non è un caso: per smorzamento debole QQ è proprio il fattore di amplificazione alla risonanza, Aris/(F0/k)A_{ris}/(F_0/k).

Esercizio 8 · Battimenti e moti perpendicolari

Livello: da esame · Argomento: somma di moti armonici

  1. Due diapason vibrano a 440 Hz e 444 Hz con la stessa ampiezza. Che suono si sente? Ogni quanto si sente il massimo di intensità?
  2. Un punto si muove nel piano con x(t)=3cos⁡(ωt)x(t) = 3\cos(\omega t) e y(t)=2cos⁡ ⁣(ωt+π2)y(t) = 2\cos\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right), in centimetri. Che traiettoria descrive, e in che verso la percorre?
Mostra la soluzione

1. Battimenti. La somma di due oscillazioni di frequenze vicine si scrive come:

x(t)=2Acos⁡ ⁣(2π f2−f12 t)⋅ cos⁡ ⁣(2π f1+f22 t)\begin{gathered} x(t) = 2A\cos\!\left(2\pi\,\frac{f_2 - f_1}{2}\,t\right) \\ \cdot\,\cos\!\left(2\pi\,\frac{f_1 + f_2}{2}\,t\right) \end{gathered}

Si sente un suono alla frequenza media, 442 Hz, con un’intensità che cresce e cala. I massimi di intensità si ripetono con la frequenza di battimento:

fb=f2−f1=4 HzTb=0,25 s\begin{gathered} f_b = f_2 - f_1 = 4\ \text{Hz} \\ T_b = 0{,}25\ \text{s} \end{gathered}

È il metodo che usano i musicisti per accordare gli strumenti: si regola la corda finché i battimenti scompaiono.

2. Moti perpendicolari. Dato che cos⁡(ωt+π/2)=−sin⁡(ωt)\cos(\omega t + \pi/2) = -\sin(\omega t):

x3=cos⁡(ωt)y2=−sin⁡(ωt)x29+y24=1\begin{gathered} \frac{x}{3} = \cos(\omega t) \\ \frac{y}{2} = -\sin(\omega t) \\ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \end{gathered}

È un’ellisse con semiassi 3 cm e 2 cm, centrata nell’origine. A t=0t = 0 il punto è in (3; 0)(3;\ 0); subito dopo yy diventa negativo, quindi scende: l’ellisse è percorsa in senso orario. Con sfasamento −π/2-\pi/2 sarebbe percorsa in senso antiorario.

Gli errori più comuni

  • Calcolatrice in gradi. Nella legge oraria l’angolo ωt+φ\omega t + \varphi è in radianti: imposta la calcolatrice in modalità RAD.
  • Confondere ω\omega e ff. La pulsazione è ω=2πf\omega = 2\pi f: si misura in rad/s, la frequenza in hertz.
  • Pensare che il periodo dipenda dall’ampiezza. Nell’oscillatore armonico non dipende, e nel pendolo nemmeno, finché le oscillazioni sono piccole. Il periodo del pendolo non dipende neanche dalla massa.
  • Credere che la gravità cambi il periodo di una molla verticale. Sposta solo la posizione di equilibrio.
  • Dimenticare che l’energia va con il quadrato dell’ampiezza. Ampiezza doppia significa energia quattro volte più grande.
  • Dimenticare il 2 nello smorzamento. Il coefficiente di smorzamento è γ=b/(2m)\gamma = b/(2m), non b/mb/m.

Per continuare

Se un esercizio ti ha messo in difficoltà, ripassa l’argomento collegato e riprova il giorno dopo senza guardare la soluzione. Poi passa al capitolo successivo: la gravitazione, a partire dalle forze centrali.

Se vuoi altri esercizi spiegati passo per passo anche in video, li trovi nel mio corso di esercizi di Fisica 1 su Udemy.

Domande frequenti

Come si trovano ampiezza e fase di un moto armonico dalle condizioni iniziali?

Con x(t) = A·cos(ωt + φ) si impongono posizione e velocità iniziali: x₀ = A·cos φ e v₀ = −Aω·sin φ. Da queste si ricava A = √(x₀² + (v₀/ω)²), e cos φ = x₀/A e sin φ = −v₀/(Aω) individuano l'angolo φ senza ambiguità.

La gravità cambia il periodo di una molla verticale?

No. La gravità sposta soltanto la posizione di equilibrio, allungando la molla di mg/k, ma attorno a quella posizione il corpo oscilla con lo stesso periodo T = 2π√(m/k) che avrebbe in orizzontale.

Come si calcola il periodo di un pendolo semplice?

Per piccole oscillazioni il periodo è T = 2π·√(L/g), dove L è la lunghezza del filo. Non dipende dalla massa appesa né dall'ampiezza, purché l'angolo resti piccolo. Misurando T e L si può ricavare g = 4π²·L/T².

Come si risolvono gli esercizi sulle oscillazioni?

Si riconosce prima il sistema, massa-molla o pendolo, e si calcola la pulsazione ω. Poi si usano le condizioni iniziali per trovare ampiezza e fase, e l'energia E = ½·k·A² per velocità e posizioni. Se c'è attrito viscoso si controlla il regime confrontando γ = b/(2m) con ω₀.

Cosa cambia raddoppiando l'ampiezza di un oscillatore armonico?

Il periodo resta uguale, perché non dipende dall'ampiezza. Raddoppiano la velocità massima e l'accelerazione massima, mentre l'energia, che dipende dal quadrato dell'ampiezza, diventa quattro volte più grande.

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