Oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa: equazione, tre regimi ed esercizi

Un’altalena lasciata a sé stessa oscilla sempre meno fino a fermarsi; una molla immersa nell’olio non oscilla quasi per niente; un’auto con gli ammortizzatori buoni, dopo una buca, non continua a saltellare. Nella realtà c’è sempre una forza che sottrae energia al moto. In questo articolo vediamo l’oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa, il modello più semplice e più usato per descrivere questo fenomeno: l’equazione del moto, i tre regimi di smorzamento, l’energia, il fattore di qualità e cinque esercizi svolti.

La forza viscosa

Un corpo che si muove lentamente in un fluido, come aria, acqua od olio, subisce una forza di attrito viscoso proporzionale alla velocità e opposta ad essa:

$$\vec{F}_v = -b\,\vec{v}$$

dove $b$ è una costante positiva, misurata in kg/s, che dipende dal fluido e dalla forma del corpo. A differenza dell’attrito radente, che ha un valore fisso, questa forza è tanto più grande quanto più il corpo è veloce, e si annulla quando il corpo è fermo. La legge vale per velocità basse; a velocità alte la resistenza dei fluidi cresce più in fretta, circa con il quadrato della velocità, ma in Fisica 1 si usa quasi sempre il modello lineare.

L’equazione del moto

Sulla massa $m$ attaccata alla molla di costante $k$ agiscono ora la forza elastica e la forza viscosa. Per il secondo principio:

$$m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x - b\,\frac{dx}{dt}$$

Dividendo per $m$ e introducendo due costanti:

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad \gamma = \frac{b}{2m}$$

l’equazione diventa:

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma\,\frac{dx}{dt} + \omega_0^2\,x = 0$$

• $\omega_0$ è la pulsazione propria, quella che l’oscillatore avrebbe senza attrito, come nel moto armonico semplice;
• $\gamma$ è il coefficiente di smorzamento, in $\text{s}^{-1}$: misura quanto è intenso l’attrito rispetto all’inerzia del corpo.

Come si risolve

È un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti. Il metodo completo si vede nei corsi di Analisi, ma l’idea è semplice: si cercano soluzioni del tipo $x = e^{\lambda t}$. Sostituendo, ogni derivata fa comparire un fattore $\lambda$ e l’esponenziale si semplifica, lasciando l’equazione caratteristica:

$$\lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0$$

Con la formula delle equazioni di secondo grado:

$$\lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$$

Il segno della quantità sotto radice decide tutto: ci sono tre regimi diversi, a seconda che l’attrito sia piccolo, «giusto» o grande rispetto alla molla.

Come riconoscere il regime

Confrontare $\gamma$ con $\omega_0$ equivale a confrontare $b$ con un valore critico, $b_c = 2m\,\omega_0 = 2\sqrt{k\,m}$:

• $b < 2\sqrt{km}$: sottosmorzato, il corpo oscilla;
• $b = 2\sqrt{km}$: critico, torna all’equilibrio nel modo più rapido senza oscillare;
• $b > 2\sqrt{km}$: sovrasmorzato, torna all’equilibrio lentamente senza oscillare.

Smorzamento debole (sottosmorzato): γ < ω₀

Quando l’attrito è piccolo, la radice è immaginaria e il corpo oscilla con un’ampiezza che si riduce in modo esponenziale:

$$\begin{gathered} x(t) = A_0\,e^{-\gamma t}\cos(\omega t + \varphi) \\ \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} \end{gathered}$$

• Il termine $A_0\,e^{-\gamma t}$ è l’ampiezza, che decresce nel tempo: nel grafico è la curva tratteggiata, l’inviluppo delle oscillazioni.
• La pulsazione $\omega$ è un po’ minore di $\omega_0$: l’attrito rallenta leggermente le oscillazioni. Con smorzamento debole la differenza è quasi trascurabile.
• Il tempo $\tau = 1/\gamma$ è il tempo di smorzamento: in un tempo $\tau$ l’ampiezza si riduce a $1/e$, circa il 37%. Dopo $5\tau$ è sotto l’1%, e in pratica l’oscillazione è finita.

Smorzamento critico: γ = ω₀

Quando $\gamma$ è esattamente uguale a $\omega_0$ le due soluzioni coincidono e il moto è:

$$x(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-\gamma t}$$

Il corpo non oscilla: torna all’equilibrio nel tempo più breve possibile senza superarlo. È il regime a cui si cerca di avvicinarsi negli ammortizzatori delle auto, nei chiudiporta automatici e negli strumenti di misura a lancetta, che devono arrivare al valore giusto in fretta e senza oscillare. Il valore critico della costante viscosa è $b_c = 2m\,\omega_0 = 2\sqrt{km}$.

Smorzamento forte (sovrasmorzato): γ > ω₀

Quando l’attrito è grande, le due soluzioni sono reali e negative, e il moto è la somma di due esponenziali decrescenti:

$$\begin{gathered} x(t) = e^{-\gamma t}\left(C_1\,e^{\alpha t} + C_2\,e^{-\alpha t}\right) \\ \alpha = \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} \end{gathered}$$

Anche qui il corpo non oscilla, ma torna all’equilibrio più lentamente che nel caso critico: l’attrito è così forte che frena anche il ritorno. Dopo un primo momento, a dominare è l’esponenziale più lento, $e^{-(\gamma - \alpha)t}$. È ciò che succede a una molla immersa nel miele.

In tutti e tre i casi le costanti $C_1$, $C_2$ (o $A_0$, $\varphi$) si ricavano dalle condizioni iniziali: posizione e velocità all’istante zero.

Cosa succede all’energia

La forza viscosa non è conservativa: compie un lavoro sempre negativo e l’energia meccanica diminuisce. Nel caso di smorzamento debole, l’energia dell’oscillatore è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, come nell’oscillatore armonico, quindi:

$$E(t) \approx \frac{1}{2}\,k\,A_0^2\,e^{-2\gamma t}$$

L’energia diminuisce due volte più in fretta dell’ampiezza: quando l’ampiezza è dimezzata, l’energia è già scesa a un quarto. Quella persa si trasforma in calore nel fluido.

Il fattore di qualità

Per descrivere quanto un oscillatore è poco smorzato si usa il fattore di qualità:

$$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}$$

Più $Q$ è grande, più a lungo dura l’oscillazione. Due modi pratici di leggerlo, validi quando lo smorzamento è debole:

• in ogni oscillazione si perde circa la frazione $2\pi/Q$ dell’energia;
• $Q$ è circa il numero di oscillazioni compiute mentre l’energia si riduce di un fattore $e^{2\pi} \approx 535$.

Un diapason ha un $Q$ di migliaia, e infatti suona a lungo; lo smorzamento critico corrisponde a $Q = 0{,}5$. Con $Q < 0{,}5$ il moto è sovrasmorzato.

Il decremento logaritmico: misurare lo smorzamento

Come si misura $\gamma$ in laboratorio? Basta guardare due massimi successivi delle oscillazioni. Sono separati da un periodo $T$, e l’inviluppo nel frattempo si è ridotto del fattore $e^{-\gamma T}$. Il rapporto tra le due ampiezze non dipende da quale coppia di massimi scegli:

$$\frac{A_n}{A_{n+1}} = e^{\gamma T}$$

Il suo logaritmo naturale si chiama decremento logaritmico $\delta$:

$$\delta = \ln\frac{A_n}{A_{n+1}} = \gamma\,T$$

Misurando due ampiezze successive e il periodo si trova subito $\gamma = \delta/T$, e da lì il fattore di qualità: con smorzamento debole $Q \approx \pi/\delta$.

Gli errori più comuni

• Confondere $b$ e $\gamma$. $b$ è la costante della forza viscosa, in kg/s; $\gamma = b/(2m)$ è il coefficiente di smorzamento, in s⁻¹. Il fattore 2 si dimentica spesso.
• Confrontare $b$ con $k$. Il regime si decide confrontando $\gamma$ con $\omega_0$, oppure $b$ con $2\sqrt{km}$: $b$ e $k$ hanno unità diverse e non si confrontano direttamente.
• Usare $\omega_0$ al posto di $\omega$. Le oscillazioni smorzate hanno pulsazione $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$; la differenza conta quando lo smorzamento non è piccolo.
• Far decadere l’energia come l’ampiezza. L’ampiezza va come $e^{-\gamma t}$, l’energia come $e^{-2\gamma t}$.
• Pensare che il sovrasmorzato sia il più rapido. Il ritorno più veloce senza oscillazioni è quello critico; con più attrito si torna più lentamente.

Esercizi svolti

1. Una molla in un fluido

Testo. Una massa di 0,5 kg è attaccata a una molla con $k = 50\ \text{N/m}$ e oscilla in un fluido con $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$. In che regime si trova? Quanto vale il periodo? Dopo quanto tempo l’ampiezza si dimezza?

$$\begin{gathered} \omega_0 = \sqrt{\frac{50}{0{,}5}}\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} \\ \gamma = \frac{0{,}5}{2 \cdot 0{,}5}\ \text{s}^{-1} = 0{,}5\ \text{s}^{-1} \end{gathered}$$

Dato che $\gamma < \omega_0$ il moto è sottosmorzato. La pulsazione è quasi la stessa:

$$\begin{gathered} \omega = \sqrt{100 - 0{,}25}\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} \approx 9{,}99\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} \\ T = \frac{2\pi}{\omega} \approx 0{,}629\ \text{s} \end{gathered}$$

L’ampiezza si dimezza quando $e^{-\gamma t} = 1/2$, cioè dopo:

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\gamma} \approx 1{,}39\ \text{s}$$

poco più di due oscillazioni. Dopo 3 s l’ampiezza è il 22% di quella iniziale, mentre l’energia è solo il 5%. Il fattore di qualità è $Q = 10/(2 \cdot 0{,}5) = 10$. Per avere lo smorzamento critico servirebbe $b_c = 2m\omega_0 = 10\ \text{kg/s}$, venti volte di più.

2. Quante oscillazioni prima di fermarsi?

Testo. Per l’oscillatore dell’esercizio precedente, dopo quante oscillazioni l’energia scende all’1% di quella iniziale?

L’energia va come $e^{-2\gamma t}$, quindi:

$$\begin{gathered} e^{-2\gamma t} = 0{,}01 \\ t = \frac{\ln 100}{2\gamma} = \frac{4{,}61}{1}\ \text{s} \approx 4{,}6\ \text{s} \end{gathered}$$

Sono $4{,}6/0{,}629 \approx 7{,}3$ oscillazioni. In ogni periodo l’energia si riduce del fattore $e^{-2\gamma T} \approx 0{,}53$, cioè se ne perde il 47%. Attenzione: la regola approssimata $2\pi/Q$ darebbe il 63%, ma vale solo quando $Q$ è molto grande; con $Q = 10$ è un’indicazione grossolana, e il calcolo giusto è quello con l’esponenziale.

3. Il decremento logaritmico

Testo. Un oscillatore ha periodo 0,5 s. Due massimi successivi valgono 8,0 cm e 6,4 cm. Quanto valgono il coefficiente di smorzamento e il fattore di qualità? Dopo quante oscillazioni l’ampiezza scende da 10 cm a 1 cm?

$$\begin{gathered} \delta = \ln\frac{8{,}0}{6{,}4} = \ln 1{,}25 \approx 0{,}223 \\ \gamma = \frac{\delta}{T} = \frac{0{,}223}{0{,}5}\ \text{s}^{-1} \approx 0{,}446\ \text{s}^{-1} \\ Q \approx \frac{\pi}{\delta} \approx 14 \end{gathered}$$

A ogni oscillazione l’ampiezza si divide per 1,25. Per passare da 10 cm a 1 cm, cioè per dividerla per 10, servono $\ln 10/\ln 1{,}25 \approx 10{,}3$ oscillazioni, circa 5 s. A ogni oscillazione l’energia si riduce di $1/1{,}25^2 = 0{,}64$: se ne perde il 36%.

4. L’ammortizzatore dell’auto

Testo. Ogni ruota di un’auto regge circa 300 kg, e la molla della sospensione ha $k = 3{,}0 \cdot 10^4\ \text{N/m}$. Quale costante viscosa serve all’ammortizzatore per avere lo smorzamento critico? Con che frequenza oscillerebbe l’auto senza ammortizzatore?

$$\begin{gathered} b_c = 2\sqrt{k\,m} = 2\sqrt{3{,}0 \cdot 10^4 \cdot 300}\ \tfrac{\text{kg}}{\text{s}} \\ b_c = 6000\ \tfrac{\text{kg}}{\text{s}} \\ \omega_0 = \sqrt{\frac{3{,}0 \cdot 10^4}{300}}\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} \\ f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \approx 1{,}6\ \text{Hz} \end{gathered}$$

Senza ammortizzatore, dopo una buca l’auto continuerebbe a saltellare più di una volta e mezza al secondo. Con l’ammortizzatore vicino allo smorzamento critico, torna in posizione in una frazione di secondo. Quando gli ammortizzatori sono consumati, $b$ diminuisce e l’auto torna a oscillare: è il motivo per cui si controllano spingendo sul cofano e guardando se l’auto rimbalza.

5. Oscilla o no?

Testo. Una massa di 2 kg è attaccata a una molla con $k = 8\ \text{N/m}$ ed è immersa in un fluido con $b = 10\ \text{kg/s}$. Il corpo oscilla?

$$\begin{gathered} \gamma = \frac{10}{2 \cdot 2}\ \text{s}^{-1} = 2{,}5\ \text{s}^{-1} \\ \omega_0 = \sqrt{\frac{8}{2}}\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} = 2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} \end{gathered}$$

Dato che $\gamma > \omega_0$ il moto è sovrasmorzato: il corpo non oscilla. Infatti $b = 10\ \text{kg/s}$ è maggiore di $b_c = 2\sqrt{8 \cdot 2} = 8\ \text{kg/s}$. Con $\alpha = \sqrt{2{,}5^2 - 2^2} = 1{,}5\ \text{s}^{-1}$, gli esponenti sono $-\gamma \pm \alpha$, cioè $-1\ \text{s}^{-1}$ e $-4\ \text{s}^{-1}$. Il termine in $e^{-4t}$ si spegne in fretta; resta quello in $e^{-t}$, che riporta il corpo all’equilibrio con un tempo caratteristico di circa 1 s.

Altri esercizi sulle oscillazioni li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• La forza viscosa è $-b\,\vec{v}$; l’equazione del moto è $\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$ con $\gamma = b/2m$ e $\omega_0 = \sqrt{k/m}$.
• Sottosmorzato ($\gamma < \omega_0$): oscillazioni con ampiezza $A_0 e^{-\gamma t}$ e pulsazione $\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$.
• Critico ($\gamma = \omega_0$, cioè $b = 2\sqrt{km}$): ritorno all’equilibrio più rapido possibile, senza oscillare.
• Sovrasmorzato ($\gamma > \omega_0$): ritorno lento, senza oscillare.
• L’energia decresce come $e^{-2\gamma t}$; il fattore di qualità $Q = \omega_0/2\gamma$ misura quanto dura l’oscillazione; il decremento logaritmico $\delta = \gamma T$ permette di misurare lo smorzamento.

Per mantenere un oscillatore in moto nonostante l’attrito serve una forza esterna che lo spinga periodicamente: è l’oscillatore armonico forzato, con il fenomeno della risonanza.