Momento d'inerzia: definizione, calcolo con gli integrali, tabella ed esercizi svolti

Prova a far girare una matita tra le dita attorno al suo asse lungo: basta un niente. Tienila invece per il centro e falla girare come un’elica: serve più impegno, e con una scopa ancora di più. La grandezza che misura questa resistenza a ruotare è il momento d’inerzia, il protagonista del corpo rigido. In questa pagina vediamo la definizione, perché è l’inerzia delle rotazioni, da cosa dipende, come si calcola con gli integrali, la tabella dei corpi notevoli, il raggio giratore, tre proprietà utili, l’energia di rotazione, il rotolamento, gli esempi di tutti i giorni, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è il momento d’inerzia

Nelle rotazioni attorno a un asse fisso compaiono tre formule fondamentali: $M = I\alpha$, $L = I\omega$ ed $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$. In tutte c’è la stessa grandezza, $I$. Per un sistema di punti materiali, il momento d’inerzia rispetto a un asse è:

$$I = \sum_i m_i\,r_i^2$$

dove $m_i$ è la massa del punto $i$ e $r_i$ è la sua distanza dall’asse, misurata perpendicolarmente all’asse. In pratica: prendi ogni punto, moltiplichi la sua massa per il quadrato della sua distanza dall’asse, e sommi tutto. Il risultato si misura in $\text{kg·m}^2$.

Per un corpo continuo

Per un corpo continuo la somma diventa un integrale:

$$I = \int r^2\,dm$$

L’idea è la stessa: dividi il corpo in pezzetti così piccoli che ognuno si trova tutto alla stessa distanza $r$ dall’asse, e sommi i contributi $r^2\,dm$ di tutti i pezzetti. Per scrivere $dm$ si usa la densità, come visto per il centro di massa: $dm = \rho\,dV$ per un solido, $dm = \sigma\,dS$ per una lamina, $dm = \lambda\,dl$ per un filo o un’asta sottile.

Il significato: l’inerzia delle rotazioni

La massa misura quanto è difficile cambiare la velocità di un corpo: a parità di forza, un corpo con più massa accelera meno, $a = F/m$. Il momento d’inerzia fa la stessa cosa per le rotazioni: a parità di momento della forza, un corpo con un grande $I$ accelera lentamente, $\alpha = M/I$. Per questo si chiama anche inerzia rotazionale.

L’analogia con il moto rettilineo è completa:

Traslazione	Rotazione
massa $m$	momento d’inerzia $I$
velocità $v$	velocità angolare $\omega$
forza $F$	momento $M$
$F = m\,a$	$M = I\,\alpha$
$p = m\,v$	$L = I\,\omega$
$E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2$	$E_k = \frac{1}{2}\,I\,\omega^2$

C’è però una differenza: la massa è una proprietà del corpo, il momento d’inerzia è una proprietà del corpo e dell’asse attorno a cui ruota. Cambi asse, cambia $I$.

Da cosa dipende

Il momento d’inerzia dipende dalla massa del corpo, da come è distribuita la massa, cioè dalla forma, e dall’asse di rotazione scelto. Con la massa è facile: a parità di forma, il doppio della massa dà il doppio di $I$. Vediamo le altre due.

Stessa massa, momento d’inerzia diverso

Le distanze compaiono al quadrato, quindi conta soprattutto la massa lontana dall’asse: un pezzetto di massa al doppio della distanza conta quattro volte di più. Guarda un manubrio con due sfere che possono scorrere lungo l’asta: la massa totale non cambia, ma il momento d’inerzia sì, e di molto.

Con le sfere agli estremi il momento d’inerzia è più del triplo, e per dare al manubrio la stessa accelerazione angolare serve un momento più di tre volte più grande. I conti sono nell’esercizio 3. Per lo stesso motivo un anello ha il doppio del momento d’inerzia di un disco con la stessa massa e lo stesso raggio: nell’anello tutta la massa è sul bordo, nel disco è distribuita anche vicino al centro.

Stesso corpo, assi diversi

Torna alla matita, o meglio a un’asta sottile di massa $m$ e lunghezza $L$:

• attorno al proprio asse lungo, tutta la massa è vicinissima all’asse e $I$ è quasi zero;
• attorno a un asse perpendicolare passante per il centro, $I = \frac{1}{12}mL^2$;
• attorno a un asse perpendicolare passante per un estremo, $I = \frac{1}{3}mL^2$, quattro volte di più.

L’oggetto è lo stesso: cambia come la sua massa è distribuita rispetto all’asse.

Come si calcola con gli integrali

Per i corpi continui il metodo è sempre lo stesso:

1. scegli un pezzetto di massa $dm$ i cui punti siano tutti alla stessa distanza dall’asse;
2. scrivi $dm$ con la densità e la dimensione piccola del pezzetto, come $dx$ o $dr$;
3. integra $r^2\,dm$ su tutto il corpo.

Il trucco è nel primo passo: per un’asta il pezzetto giusto è un trattino corto, per un disco è un anello sottile, come nella figura.

Se ti serve un ripasso, rivedi gli integrali definiti: questi sono tra i più semplici.

L’anello

Un anello sottile di massa $m$ e raggio $R$, rispetto all’asse perpendicolare passante per il centro. Qui non serve nemmeno dividere: tutti i punti sono alla stessa distanza $R$ dall’asse, quindi $R^2$ esce dall’integrale.

$$I = \int R^2\,dm = R^2 \int dm = m\,R^2$$

Lo stesso vale per un cilindro cavo a parete sottile, come un tubo, qualunque sia la sua altezza: anche lì tutta la massa è a distanza $R$ dall’asse.

L’asta sottile

Un’asta omogenea di massa $m$ e lunghezza $L$, rispetto a un asse perpendicolare passante per il centro. Mettiamo l’asta lungo l’asse $x$, da $-L/2$ a $L/2$. La densità lineare è $\lambda = m/L$ e un trattino $dx$, a distanza $x$ dall’asse, ha massa $dm = \lambda\,dx$:

$$\begin{gathered} I = \int_{-L/2}^{L/2} \lambda\,x^2\,dx = \lambda\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2} \\ {} = \lambda \cdot \frac{2}{3}\left(\frac{L}{2}\right)^3 = \lambda\,\frac{L^3}{12} \\ {} = \frac{1}{12}\,m\,L^2 \end{gathered}$$

Rispetto a un asse passante per un estremo basta cambiare gli estremi di integrazione, da $0$ a $L$:

$$I = \int_0^L \lambda\,x^2\,dx = \lambda\,\frac{L^3}{3} = \frac{1}{3}\,m\,L^2$$

Quattro volte di più: ora l’asta arriva fino a distanza $L$ dall’asse, non solo $L/2$, e quei pezzetti lontani contano tantissimo.

Il disco e il cilindro pieno

Un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $R$, rispetto al suo asse. Lo dividiamo in anelli sottili di raggio $r$ e spessore $dr$. La densità superficiale è $\sigma = m/(\pi R^2)$; un anello, se lo “srotoli”, è una striscia lunga $2\pi r$ e larga $dr$, quindi ha massa $dm = \sigma\,2\pi r\,dr$. Ogni anello contribuisce con $r^2\,dm$:

$$\begin{gathered} I = \int_0^R r^2\,\sigma\,2\pi r\,dr = 2\pi\sigma\,\frac{R^4}{4} \\ {} = \frac{1}{2}\,\pi\sigma R^4 = \frac{1}{2}\,m\,R^2 \end{gathered}$$

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato $m = \sigma\pi R^2$. Lo stesso vale per un cilindro pieno rispetto al suo asse, qualunque sia la sua altezza: un cilindro è una pila di dischi con lo stesso asse.

La sfera piena

La sfera piena si divide in dischi sottili perpendicolari all’asse, e si somma il contributo $\frac{1}{2}r^2\,dm$ di ogni disco. Il risultato è $I = \frac{2}{5}mR^2$; il calcolo completo, una domanda classica all’orale, è nell’esercizio 6.

La tabella dei momenti d’inerzia

Per i corpi omogenei più comuni non serve rifare l’integrale ogni volta:

Per i corpi “rotondi” $I$ è un numero per $mR^2$, e quel numero dice quanto la massa è lontana dall’asse: 1 per l’anello, $2/3$ per la sfera cava, $1/2$ per il disco, $2/5$ per la sfera piena. Per assi paralleli spostati si usa il teorema di Huygens-Steiner, che vediamo tra poco.

Il raggio giratore

Il raggio giratore $k$ è la distanza dall’asse a cui dovresti concentrare tutta la massa del corpo per avere lo stesso momento d’inerzia:

$$\begin{gathered} I = m\,k^2 \\ k = \sqrt{\frac{I}{m}} \end{gathered}$$

Per un anello $k = R$; per un disco $k = R/\sqrt{2} \approx 0{,}71\,R$; per una sfera piena $k = R\sqrt{2/5} \approx 0{,}63\,R$. Più $k$ è piccolo rispetto alle dimensioni del corpo, più la massa è raccolta vicino all’asse.

Un esempio curioso è la Terra. Se fosse omogenea, rispetto al suo asse avrebbe $I = 0{,}4\,mR^2$; le misure danno circa $0{,}33\,mR^2$, cioè $k \approx 0{,}57\,R$. Vuol dire che la sua massa è più concentrata verso il centro: la densità cresce con la profondità, fino al nucleo di ferro.

Tre proprietà utili

Additività

Il momento d’inerzia di un corpo composto, rispetto a un asse, è la somma dei momenti d’inerzia delle sue parti rispetto allo stesso asse. Funziona anche al contrario: un disco con un foro al centro è un disco pieno di raggio $R_2$ a cui togli un disco di raggio $R_1$. Con la stessa densità superficiale $\sigma$:

$$\begin{gathered} I = \frac{1}{2}\,\sigma\pi R_2^4 - \frac{1}{2}\,\sigma\pi R_1^4 \\ {} = \frac{1}{2}\,\sigma\pi\,(R_2^2 - R_1^2)(R_2^2 + R_1^2) \\ {} = \frac{1}{2}\,m\,(R_1^2 + R_2^2) \end{gathered}$$

dove $m = \sigma\pi(R_2^2 - R_1^2)$ è la massa del disco forato. Ecco da dove viene la formula del cilindro cavo spesso della tabella.

Assi perpendicolari

Per una lamina piana nel piano $xy$, il momento d’inerzia rispetto all’asse $z$, perpendicolare alla lamina, è la somma di quelli rispetto ai due assi $x$ e $y$ che stanno nel suo piano:

$$I_z = I_x + I_y$$

Così si ricava subito il momento d’inerzia del disco rispetto a un diametro: per simmetria $I_x = I_y$, quindi $I_x = \frac{1}{2}I_z = \frac{1}{4}mR^2$. Il teorema vale solo per corpi piani e sottili: per una sfera, per esempio, non funziona.

Assi paralleli

Se conosci il momento d’inerzia $I_{cm}$ rispetto a un asse passante per il centro di massa, quello rispetto a un asse parallelo, a distanza $d$, è:

$$I = I_{cm} + m\,d^2$$

È il teorema di Huygens-Steiner. Controlliamolo con l’asta: dal centro all’estremo la distanza è $L/2$, quindi

$$\begin{gathered} I = \frac{1}{12}\,m\,L^2 + m\left(\frac{L}{2}\right)^2 \\ {} = \frac{1}{12}\,m\,L^2 + \frac{1}{4}\,m\,L^2 = \frac{1}{3}\,m\,L^2 \end{gathered}$$

come avevamo trovato con l’integrale. Una conseguenza importante: dato che $m\,d^2$ non è mai negativo, tra tutti gli assi paralleli il momento d’inerzia più piccolo è quello per il centro di massa.

L’energia cinetica di rotazione

Quando un corpo ruota attorno a un asse fisso con velocità angolare $\omega$, ogni suo punto si muove su una circonferenza con velocità $v_i = \omega\,r_i$. Sommando le energie cinetiche di tutti i punti:

$$\begin{gathered} E_k = \sum_i \frac{1}{2}\,m_i\,v_i^2 \\ {} = \sum_i \frac{1}{2}\,m_i\,\omega^2 r_i^2 \\ {} = \frac{1}{2}\,I\,\omega^2 \end{gathered}$$

perché $\omega$ è la stessa per tutti i punti e si porta fuori dalla somma, e quello che resta è proprio $\sum m_i r_i^2 = I$. È la formula di $\frac{1}{2}mv^2$, con $I$ al posto di $m$ e $\omega$ al posto di $v$. Un corpo con un grande momento d’inerzia immagazzina molta energia anche girando a velocità ragionevoli: è il principio del volano, che vediamo con i numeri nell’esercizio 4.

Il momento d’inerzia nel rotolamento

Se un corpo rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di angolo $\theta$, il suo centro accelera con:

$$a_{cm} = \frac{g\sin\theta}{1 + \dfrac{I_{cm}}{m\,R^2}}$$

Conta solo il numero della tabella, $I_{cm}/(mR^2)$, non la massa né il raggio. A 30° la sfera piena accelera a $3{,}50\ \text{m/s}^2$, il cilindro pieno a $3{,}27\ \text{m/s}^2$, l’anello a $2{,}45\ \text{m/s}^2$: vince chi ha più massa vicino al centro. La formula si ricava nel moto di puro rotolamento.

Esempi di tutti i giorni

• Il volano. Nei motori a scoppio un disco pesante montato sull’albero motore rende più regolare la rotazione: con un grande momento d’inerzia, la velocità angolare cambia poco tra uno scoppio e l’altro. Per lo stesso motivo il tornio del vasaio continua a girare a lungo dopo una spinta.
• La pattinatrice. Sul ghiaccio il momento angolare $L = I\omega$ si conserva: chiudendo le braccia la pattinatrice avvicina massa all’asse, riduce $I$ e gira più veloce (esercizio 5). Il tuffatore fa lo stesso quando si raccoglie per fare più capriole.
• L’equilibrista. L’asta lunga che porta in mano mette molta massa lontano dal suo corpo e aumenta il suo momento d’inerzia rispetto al filo. Così le rotazioni che lo farebbero cadere diventano più lente, e lui ha il tempo di correggersi.

Un po’ di storia

L’idea del momento d’inerzia nasce dai pendoli. Christiaan Huygens, nell’Horologium oscillatorium del 1673, studiò il pendolo composto, cioè un corpo esteso che oscilla attorno a un perno, e per trovarne il “centro di oscillazione” arrivò in sostanza alla somma delle masse per i quadrati delle distanze, senza ancora darle un nome. Il nome latino momentum inertiae compare nella Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, il trattato di Eulero del 1765 sul moto dei corpi rigidi, ed è a lui che di solito si attribuisce il termine.

Gli errori più comuni

• Usare la distanza dal centro invece che dall’asse. In $I = \sum m_i r_i^2$, $r_i$ è la distanza perpendicolare dall’asse; un punto sull’asse non conta, anche se è lontano dal centro.
• Dare un momento d’inerzia senza dire l’asse. Cambiando asse cambia $I$: un’asta ha $\frac{1}{12}mL^2$ al centro e $\frac{1}{3}mL^2$ a un estremo.
• Confondere le formule dei corpi simili. L’anello ha $mR^2$, il disco $\frac{1}{2}mR^2$; la sfera piena $\frac{2}{5}mR^2$, quella cava $\frac{2}{3}mR^2$. Leggi bene se il corpo è pieno o cavo.
• Dimenticare di convertire prima di elevare al quadrato. 5 cm sono 0,05 m, e al quadrato fanno 0,0025 m²: lasciare i centimetri sbaglia il risultato di un fattore diecimila.
• Usare Huygens-Steiner tra due assi qualsiasi. La formula $I = I_{cm} + md^2$ vale solo se uno dei due assi passa per il centro di massa. Altrimenti servono due passaggi: prima si torna al centro di massa, poi si va al nuovo asse.
• Usare il teorema degli assi perpendicolari per un solido. $I_z = I_x + I_y$ vale solo per lamine piane e sottili.
• Mettere i giri al minuto in $\frac{1}{2}I\omega^2$. La velocità angolare va in radianti al secondo: un giro al secondo sono $2\pi$ rad/s.

Esercizi svolti

1. Tre masse su un’asta leggera

Testo. Tre piccole sfere, che puoi trattare come punti, sono fissate a un’asta di massa trascurabile che ruota attorno a un asse perpendicolare passante per un suo estremo: 3 kg a 10 cm dall’asse, 1 kg a 30 cm e 0,5 kg a 60 cm. Trova il momento d’inerzia del sistema e il raggio giratore. Quale sfera conta di più?

Convertiamo le distanze in metri, 0,1 m, 0,3 m e 0,6 m, e sommiamo i contributi:

$$\begin{gathered} I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2 \\ I = 3 \cdot 0{,}1^2 + 1 \cdot 0{,}3^2 + 0{,}5 \cdot 0{,}6^2 \\ I = 0{,}03 + 0{,}09 + 0{,}18 \\ I = 0{,}30\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

La massa totale è 4,5 kg, quindi:

$$k = \sqrt{\frac{I}{m}} = \sqrt{\frac{0{,}30}{4{,}5}}\ \text{m} \approx 0{,}26\ \text{m}$$

La sfera più leggera dà da sola il 60% del totale, quella più pesante solo il 10%. Conta più la distanza della massa: la terza sfera è sei volte più lontana della prima, e il suo $r^2$ è trentasei volte più grande.

2. Anello o disco?

Testo. Un anello sottile e un disco omogeneo hanno la stessa massa, 2 kg, e lo stesso raggio, 0,5 m. Sono fermi e a ciascuno, attorno al proprio asse, viene applicato un momento costante di 0,5 N·m. Trova le accelerazioni angolari e il tempo per arrivare a 10 rad/s. Che massa dovrebbe avere il disco per avere lo stesso momento d’inerzia dell’anello?

I due momenti d’inerzia sono:

$$\begin{gathered} I_{anello} = m\,R^2 = 2 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}5\ \text{kg·m}^2 \\ I_{disco} = \frac{1}{2}\,m\,R^2 = 0{,}25\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

Con $\alpha = M/I$:

$$\begin{gathered} \alpha_{anello} = \frac{0{,}5}{0{,}5}\ \text{rad/s}^2 = 1\ \text{rad/s}^2 \\ \alpha_{disco} = \frac{0{,}5}{0{,}25}\ \text{rad/s}^2 = 2\ \text{rad/s}^2 \end{gathered}$$

Partendo da fermi, $\omega = \alpha t$, quindi $t = \omega/\alpha$: l’anello impiega $10/1 = 10\ \text{s}$, il disco $10/2 = 5\ \text{s}$. Il disco accelera il doppio, perché ha metà del momento d’inerzia.

Per avere $\frac{1}{2}m'R^2 = 0{,}5\ \text{kg·m}^2$ servirebbe $m' = 2 \cdot 0{,}5/0{,}5^2 = 4\ \text{kg}$: la massa sul bordo “vale doppio”.

3. Il manubrio con le sfere che scorrono

Testo. Un’asta omogenea di 0,6 kg, lunga 1 m, porta due piccole sfere di 1 kg che possono scorrere lungo l’asta. Calcola il momento d’inerzia rispetto all’asse perpendicolare per il centro con le sfere agli estremi e con le sfere a 25 cm dal centro. A parità di momento applicato, quante volte più in fretta accelera il manubrio nel secondo caso?

Per l’additività sommiamo il contributo dell’asta, $\frac{1}{12}m_{asta}L^2$, e quello delle due sfere, trattate come punti. Con le sfere agli estremi, a 0,5 m dall’asse:

$$\begin{gathered} I_1 = \frac{1}{12} \cdot 0{,}6 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 0{,}5^2 \\ I_1 = 0{,}05 + 0{,}5 = 0{,}55\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

Le sfere danno oltre il 90% del totale. Con le sfere a 0,25 m il contributo dell’asta non cambia, quello delle sfere scende a un quarto:

$$\begin{gathered} I_2 = 0{,}05 + 2 \cdot 1 \cdot 0{,}25^2 \\ I_2 = 0{,}05 + 0{,}125 = 0{,}175\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

A parità di momento, l’accelerazione angolare è inversamente proporzionale a $I$: il rapporto è $0{,}55/0{,}175 \approx 3{,}14$. Stessa massa, accelerazione più che tripla: è la situazione della prima figura.

4. L’energia di un volano

Testo. Un volano è un disco d’acciaio omogeneo di 40 kg e raggio 30 cm, che gira a 3000 giri al minuto attorno al suo asse. Quanta energia cinetica ha? A che velocità dovrebbe andare un’auto di 1000 kg per avere la stessa energia? E se la stessa massa fosse tutta sul bordo, come in un anello?

Il momento d’inerzia del disco è:

$$I = \frac{1}{2}\,m\,R^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 0{,}3^2 = 1{,}8\ \text{kg·m}^2$$

La velocità angolare va in radianti al secondo: ogni giro vale $2\pi$ rad e un minuto 60 s.

$$\begin{gathered} \omega = 3000 \cdot \frac{2\pi}{60}\ \text{rad/s} \\ \omega = 100\pi\ \text{rad/s} \approx 314{,}16\ \text{rad/s} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} E_k = \frac{1}{2}\,I\,\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 1{,}8 \cdot 314{,}16^2\ \text{J} \\ E_k \approx 88\,800\ \text{J} \end{gathered}$$

Un’auto di massa $m_a = 1000\ \text{kg}$ con la stessa energia cinetica avrebbe $\frac{1}{2}m_a v^2 = E_k$:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 88\,800}{1000}}\ \text{m/s} \\ v \approx 13{,}3\ \text{m/s} \end{gathered}$$

circa 48 km/h: un disco che gira senza spostarsi ha l’energia di un’auto in città. Con tutta la massa sul bordo, $I = mR^2 = 3{,}6\ \text{kg·m}^2$ e l’energia raddoppierebbe, circa $178\,000\ \text{J}$: per questo molti volani hanno il bordo spesso.

5. La pattinatrice che chiude le braccia

Testo. Una pattinatrice ruota su se stessa a 1 giro al secondo con le braccia aperte; in questa posizione il suo momento d’inerzia rispetto all’asse verticale è 2,4 kg·m². Poi chiude le braccia al petto e il momento d’inerzia scende a 0,8 kg·m². Trascurando l’attrito con il ghiaccio, quanti giri al secondo fa ora? Come cambia la sua energia cinetica?

Peso e reazione del ghiaccio sono paralleli all’asse e non hanno momento rispetto a esso; l’attrito è trascurabile. Il momento angolare si conserva:

$$\begin{gathered} I_1\,\omega_1 = I_2\,\omega_2 \\ \omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\,\omega_1 = \frac{2{,}4}{0{,}8} \cdot 1\ \text{giro/s} \\ \omega_2 = 3\ \text{giri/s} \end{gathered}$$

Il momento d’inerzia è diventato un terzo, la velocità angolare il triplo. Per l’energia servono i radianti al secondo: $\omega_1 = 2\pi \approx 6{,}28\ \text{rad/s}$ e $\omega_2 = 6\pi \approx 18{,}85\ \text{rad/s}$.

$$\begin{gathered} E_1 = \frac{1}{2} \cdot 2{,}4 \cdot (2\pi)^2\ \text{J} \approx 47{,}4\ \text{J} \\ E_2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}8 \cdot (6\pi)^2\ \text{J} \approx 142\ \text{J} \end{gathered}$$

L’energia è triplicata, anche se il momento angolare è lo stesso. Non è un errore: per tirare le braccia verso l’asse la pattinatrice fa forza con i muscoli, e i circa 95 J in più sono proprio il loro lavoro. Il momento angolare si conserva, l’energia cinetica no.

6. La sfera piena con un integrale

Testo. Dimostra, dividendo la sfera in dischi sottili, che il momento d’inerzia di una sfera piena omogenea di massa $m$ e raggio $R$ rispetto a un diametro vale $\frac{2}{5}mR^2$. Poi calcolalo per una sfera di 4 kg e raggio 5 cm, e confrontalo con quello di una sfera cava sottile con la stessa massa e lo stesso raggio.

Prendiamo l’asse $z$ lungo il diametro, con l’origine nel centro. A quota $z$ tagliamo un disco di spessore $dz$: per Pitagora il suo raggio è $r$, con $r^2 = R^2 - z^2$, e la sua massa è $dm = \rho\,\pi r^2\,dz$. Ogni disco ruota attorno al proprio asse e contribuisce con $\frac{1}{2}\,r^2\,dm$:

$$\begin{gathered} dI = \frac{1}{2}\,r^2\,dm = \frac{1}{2}\,\rho\,\pi\,r^4\,dz \\ I = \frac{1}{2}\,\rho\,\pi \int_{-R}^{R} (R^2 - z^2)^2\,dz \end{gathered}$$

Sviluppiamo il quadrato; la funzione è pari, quindi l’integrale da $-R$ a $R$ è il doppio di quello da $0$ a $R$:

$$\begin{gathered} \int_{-R}^{R} (R^4 - 2R^2 z^2 + z^4)\,dz \\ {} = 2\left(R^5 - \frac{2}{3}R^5 + \frac{1}{5}R^5\right) = \frac{16}{15}\,R^5 \end{gathered}$$

Quindi $I = \frac{1}{2}\,\rho\,\pi \cdot \frac{16}{15}\,R^5 = \frac{8}{15}\,\pi\rho R^5$. Ora sostituiamo la densità, che si ricava dalla massa, $m = \frac{4}{3}\pi\rho R^3$:

$$\begin{gathered} \rho = \frac{3\,m}{4\pi R^3} \\ I = \frac{8}{15}\,\pi R^5 \cdot \frac{3\,m}{4\pi R^3} \\ I = \frac{24}{60}\,m\,R^2 = \frac{2}{5}\,m\,R^2 \end{gathered}$$

Per la sfera di 4 kg e raggio 0,05 m:

$$\begin{gathered} I_{piena} = \frac{2}{5} \cdot 4 \cdot 0{,}05^2 = 0{,}004\ \text{kg·m}^2 \\ I_{cava} = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 0{,}05^2 \approx 0{,}0067\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

La sfera cava ha un momento d’inerzia 5/3 di quello della sfera piena, perché tutta la sua massa è sulla superficie. Così, facendole rotolare su un piano inclinato, puoi distinguere una palla piena da una vuota con lo stesso peso e lo stesso raggio: quella cava arriva dopo.

Altri problemi su momento d’inerzia, rotazioni e rotolamento li trovi negli esercizi svolti sul corpo rigido.

In sintesi

• Il momento d’inerzia è $I = \sum m_i r_i^2 = \int r^2\,dm$, con $r$ distanza dall’asse; si misura in $\text{kg·m}^2$.
• Nelle rotazioni ha il ruolo della massa: $M = I\alpha$, $L = I\omega$, $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$.
• Dipende da massa, distribuzione della massa e asse; la massa lontana dall’asse conta di più, perché le distanze vanno al quadrato.
• Anello $mR^2$, disco e cilindro pieno $\frac{1}{2}mR^2$, sfera piena $\frac{2}{5}mR^2$, sfera cava $\frac{2}{3}mR^2$, asta $\frac{1}{12}mL^2$ al centro e $\frac{1}{3}mL^2$ a un estremo.
• Il raggio giratore è $k = \sqrt{I/m}$.
• Il momento d’inerzia è additivo rispetto allo stesso asse; per le lamine $I_z = I_x + I_y$; per assi paralleli $I = I_{cm} + md^2$.
• Nel rotolamento su un piano inclinato $a_{cm} = g\sin\theta/(1 + I_{cm}/(mR^2))$: vince il corpo con il rapporto $I_{cm}/(mR^2)$ più piccolo.

Come si passa da un asse a un altro parallelo, con dimostrazione ed esempi, lo dice il teorema di Huygens-Steiner.