Urto anelastico: coefficiente di restituzione, velocità finali ed energia persa

La maggior parte degli urti reali non è né perfettamente elastica né completamente anelastica: una pallina che rimbalza torna su, ma un po’ meno in alto; due auto che si tamponano si separano, ma ammaccate; due bilie da biliardo perdono un po’ di energia in un piccolo «clic». Sono urti anelastici: la quantità di moto si conserva, ma una parte dell’energia cinetica si perde. In questa pagina trovi il coefficiente di restituzione, le velocità finali con la dimostrazione, quanta energia si perde, la palla che rimbalza e cinque esercizi svolti.

Cos’è un urto anelastico

In un urto anelastico:

• la quantità di moto totale si conserva, come in ogni urto, se non agiscono forze esterne impulsive;
• l’energia cinetica totale diminuisce: una parte si trasforma in calore, deformazioni permanenti, vibrazioni e suono;
• dopo l’urto i corpi si separano. Se restano attaccati, l’urto è completamente anelastico.

Il confronto con gli altri due tipi di urto, con due corpi uguali e il bersaglio fermo:

Perché la quantità di moto si conserva e l’energia no

Durante l’urto i due corpi si scambiano forze molto intense per un tempo brevissimo. Sono forze interne al sistema dei due corpi, e per il terzo principio sono uguali e opposte: i loro impulsi si annullano, quindi la quantità di moto totale non cambia. Le forze esterne, come il peso, in quel tempo così breve danno un impulso trascurabile.

L’energia cinetica invece non ha una legge di conservazione garantita. Nell’urto i corpi si deformano: se la deformazione è perfettamente elastica, come una molla, l’energia immagazzinata viene restituita tutta e l’urto è elastico. Ma nei corpi reali una parte della deformazione resta, i materiali si scaldano, vibrano e fanno rumore. Quella parte di energia non torna più in forma cinetica.

Il coefficiente di restituzione

Le due equazioni dell’urto elastico, conservazione della quantità di moto ed energia, qui non bastano più, perché l’energia non si conserva. Serve un’informazione in più che dica quanto è elastico l’urto. È il coefficiente di restituzione: per un urto centrale, lungo una retta, è il rapporto tra la velocità relativa di allontanamento dopo l’urto e quella di avvicinamento prima.

$$e = -\,\frac{v_{1,f} - v_{2,f}}{v_1 - v_2}$$

Il segno meno lo rende positivo, perché la velocità relativa cambia verso. Il suo valore classifica l’urto:

• $e = 1$: urto elastico, l’energia cinetica si conserva;
• $0 < e < 1$: urto anelastico, se ne perde una parte;
• $e = 0$: urto completamente anelastico, se ne perde il massimo possibile.

Il coefficiente dipende dai materiali dei due corpi, e anche un po’ dalla velocità dell’urto. Fu Newton a introdurlo, nel 1687, come legge sperimentale degli urti: un secolo e mezzo prima che si parlasse di energia cinetica nel senso di oggi.

Il significato nel sistema del centro di massa

Nel sistema del centro di massa i due corpi hanno sempre quantità di moto uguali e opposte: si vengono incontro, si urtano e si allontanano. Il coefficiente di restituzione dice di quanto si riducono le loro velocità nell’urto:

$$\vec{p}_{1,f}\,' = -\,e\,\vec{p}_1\,' \qquad \vec{p}_{2,f}\,' = -\,e\,\vec{p}_2\,'$$

Visto dal centro di massa, ogni corpo rimbalza indietro con la velocità ridotta del fattore $e$. È l’immagine più semplice per ricordare cosa significa $e$.

Le velocità finali

Ci sono due incognite, $v_{1,f}$ e $v_{2,f}$, e due equazioni: la conservazione della quantità di moto e la definizione di $e$.

$$\begin{gathered} m_1\,v_1 + m_2\,v_2 = m_1\,v_{1,f} + m_2\,v_{2,f} \\ v_{2,f} - v_{1,f} = e\,(v_1 - v_2) \end{gathered}$$

Dalla seconda ricaviamo $v_{2,f} = v_{1,f} + e\,(v_1 - v_2)$ e lo sostituiamo nella prima. Chiamando $M = m_1 + m_2$ la massa totale e $v_{cm} = (m_1v_1 + m_2v_2)/M$ la velocità del centro di massa:

$$\begin{gathered} M\,v_{1,f} = m_1\,v_1 + m_2\,v_2 - e\,m_2\,(v_1 - v_2) \\ v_{1,f} = v_{cm} - e\,\frac{m_2}{M}\,(v_1 - v_2) \end{gathered}$$

e allo stesso modo per il secondo corpo:

$$v_{2,f} = v_{cm} + e\,\frac{m_1}{M}\,(v_1 - v_2)$$

Con $e = 1$ si ritrovano le formule dell’urto elastico; con $e = 0$ entrambi i corpi proseguono con la velocità del centro di massa, come nell’urto completamente anelastico. Le velocità sono con segno: prima di tutto scegli il verso positivo dell’asse.

Il caso del bersaglio fermo

Se il secondo corpo è fermo, $v_2 = 0$, le formule si semplificano:

$$\begin{gathered} v_{1,f} = \frac{m_1 - e\,m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 \\ v_{2,f} = \frac{(1 + e)\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 \end{gathered}$$

La prima formula dice quando il proiettile torna indietro: se $m_1 < e\,m_2$ la sua velocità finale è negativa. Il bersaglio invece parte sempre in avanti, tanto più veloce quanto più l’urto è elastico.

L’energia cinetica persa

Per il teorema di König l’energia cinetica di due corpi è la somma di due parti: quella del centro di massa, $\frac{1}{2}M\,v_{cm}^2$, e quella del moto relativo al centro di massa, che si può scrivere con la massa ridotta $\mu$:

$$E_k\,' = \frac{1}{2}\,\mu\,(v_1 - v_2)^2 \qquad \mu = \frac{m_1\,m_2}{m_1 + m_2}$$

Nell’urto la velocità del centro di massa non cambia, quindi la prima parte resta uguale. Cambia solo la seconda: la velocità relativa si riduce del fattore $e$, e l’energia relativa, che dipende dal suo quadrato, si riduce del fattore $e^2$. L’energia persa è quindi:

$$\Delta E_k = -\left(1 - e^2\right)\frac{1}{2}\,\mu\,(v_1 - v_2)^2$$

Con $e = 1$ non si perde nulla; con $e = 0$ si perde tutta l’energia relativa al centro di massa; con $e = 0{,}5$ se ne perde il 75%. Attenzione: è il 75% dell’energia relativa, non di quella totale.

Se il bersaglio è fermo, la frazione dell’energia iniziale che si perde è:

$$\frac{|\Delta E_k|}{E_{k,i}} = \left(1 - e^2\right)\frac{m_2}{m_1 + m_2}$$

Per due corpi uguali con $e = 0{,}5$ si perde il $0{,}75 \cdot 0{,}5 = 37{,}5\%$: ne resta il 62,5%, come nella figura all’inizio.

La palla che rimbalza

Un caso classico: una palla lasciata cadere da un’altezza $h$ su un pavimento rigido. Il pavimento si comporta come un bersaglio fermo di massa enorme, che non si muove, quindi $e$ è semplicemente il rapporto tra la velocità dopo e prima del rimbalzo. Per la conservazione dell’energia nella caduta e nella risalita, $v_i = \sqrt{2gh}$ e $v_f = \sqrt{2gh'}$:

$$e = \sqrt{\frac{h'}{h}} \qquad h' = e^2\,h$$

A ogni rimbalzo la palla perde la frazione $1 - e^2$ della sua energia e risale a un’altezza $e^2$ volte quella precedente. È così che si misura il coefficiente di restituzione in laboratorio. Le palline da tennis, per regolamento, lasciate cadere da 254 cm su un pavimento rigido devono rimbalzare tra 135 e 147 cm: il loro coefficiente di restituzione è quindi tra circa 0,73 e 0,76.

Quanto dura il rimbalzare?

I rimbalzi sono infiniti, eppure la palla si ferma in un tempo finito: lo vedi nel grafico. A ogni rimbalzo la velocità si riduce del fattore $e$, e con lei la durata del volo. Chiamando $t_0 = \sqrt{2h/g}$ il tempo della prima caduta, il primo volo dura $2e\,t_0$, il secondo $2e^2\,t_0$, e così via. Sommando tutti i termini con la serie geometrica:

$$\begin{gathered} t_{tot} = t_0 + 2\,t_0\left(e + e^2 + e^3 + \dots\right) \\ t_{tot} = t_0\,\frac{1 + e}{1 - e} \end{gathered}$$

Allo stesso modo la strada totale percorsa, in su e in giù, è finita: $h\,\dfrac{1 + e^2}{1 - e^2}$. Nella realtà la palla si ferma anche un po’ prima, perché a velocità molto basse entrano in gioco altri effetti, ma l’idea è proprio questa.

L’urto obliquo contro una parete

Se una palla colpisce una parete liscia di sbieco, conviene scomporre la velocità in due componenti: una perpendicolare alla parete, normale, e una parallela, tangente. Senza attrito la parete non può spingere lungo la sua superficie, quindi:

• la componente tangente resta uguale;
• la componente normale si inverte e si riduce del fattore $e$.

Il risultato è che la palla rimbalza più «schiacciata» verso la parete di come è arrivata: l’angolo di uscita, misurato dalla normale, è maggiore di quello di entrata. Solo con $e = 1$ i due angoli sono uguali, come per la luce su uno specchio.

Gli errori più comuni

• Dimenticare i segni. Nella formula di $e$ e in quelle delle velocità finali le velocità hanno segno: due corpi che si vengono incontro hanno velocità di segno opposto.
• Scrivere la conservazione dell’energia cinetica. In un urto anelastico l’energia cinetica non si conserva: la seconda equazione è la definizione di $e$.
• Calcolare $e$ con le velocità di un solo corpo. È il rapporto tra velocità relative; solo contro una parete ferma diventa il rapporto tra le velocità della palla.
• Confondere energia relativa ed energia totale. La frazione $1 - e^2$ si riferisce all’energia relativa al centro di massa.
• Usare $e = h'/h$. Nel rimbalzo è la radice del rapporto delle altezze.

Esercizi svolti

1. Due carrelli

Testo. Un carrello di 2 kg a 3 m/s urta un carrello di 1 kg fermo, con coefficiente di restituzione $e = 0{,}5$. Trova le velocità finali e l’energia persa.

La velocità del centro di massa è $v_{cm} = \dfrac{2 \cdot 3}{3}\ \text{m/s} = 2\ \text{m/s}$, la massa totale $M = 3\ \text{kg}$:

$$\begin{gathered} v_{1,f} = 2 - 0{,}5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 1{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ v_{2,f} = 2 + 0{,}5 \cdot \frac{2}{3} \cdot 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{gathered}$$

Energia persa. La massa ridotta è $\mu = 2/3\ \text{kg}$, quindi l’energia relativa al centro di massa prima dell’urto è $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 3^2 = 3\ \text{J}$, e se ne perde il 75%:

$$\Delta E_k = -(1 - 0{,}25) \cdot 3\ \text{J} = -2{,}25\ \text{J}$$

Controllo. L’energia passa da $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2 = 9\ \text{J}$ a $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1{,}5^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3^2 = 6{,}75\ \text{J}$. Torna.

2. Le bilie da biliardo

Testo. Una bilia a 2,0 m/s colpisce in pieno una bilia uguale ferma. Dopo l’urto la prima prosegue a 0,10 m/s e la seconda parte a 1,90 m/s. Quanto vale il coefficiente di restituzione? Che percentuale di energia si perde?

Prima un controllo sui dati: con masse uguali la quantità di moto si conserva se la somma delle velocità resta la stessa, e infatti $0{,}10 + 1{,}90 = 2{,}0$. Poi la definizione:

$$e = -\,\frac{0{,}10 - 1{,}90}{2{,}0 - 0} = 0{,}90$$

Con il bersaglio fermo e masse uguali si perde la frazione $(1 - e^2) \cdot \frac{1}{2} = 0{,}19 \cdot 0{,}5 \approx 9{,}5\%$ dell’energia. Controllo diretto: l’energia è proporzionale a $2{,}0^2 = 4{,}00$ prima e a $0{,}10^2 + 1{,}90^2 = 3{,}62$ dopo, cioè il 90,5%. Le bilie sono quasi elastiche, ma non del tutto: per questo la bilia che colpisce non si ferma del tutto.

3. Il proiettile che torna indietro

Testo. Una sfera di 1 kg a 4 m/s urta una sfera di 3 kg ferma, con $e = 0{,}5$. Come si muovono dopo l’urto?

Con le formule del bersaglio fermo:

$$\begin{gathered} v_{1,f} = \frac{1 - 0{,}5 \cdot 3}{4} \cdot 4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = -0{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ v_{2,f} = \frac{1{,}5 \cdot 1}{4} \cdot 4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 1{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{gathered}$$

La prima sfera torna indietro a 0,5 m/s, perché la sua massa è minore di $e\,m_2 = 1{,}5\ \text{kg}$. Si perde la frazione $(1 - 0{,}25) \cdot \frac{3}{4} \approx 56\%$ dell’energia iniziale.

4. La palla che rimbalza

Testo. Una palla lasciata cadere da 1 m rimbalza fino a 64 cm. Quanto vale $e$? Quanto rimbalza dopo tre rimbalzi? Dopo quanto tempo si ferma?

$$e = \sqrt{\frac{0{,}64}{1}} = 0{,}8$$

A ogni rimbalzo l’altezza si moltiplica per $e^2 = 0{,}64$, quindi dopo tre rimbalzi la palla risale a $0{,}64^3 \approx 0{,}26\ \text{m}$. A ogni urto perde il 36% della sua energia. Il tempo totale, con $t_0 = \sqrt{2 \cdot 1/9{,}81} \approx 0{,}4515\ \text{s}$:

$$t_{tot} = 0{,}4515 \cdot \frac{1{,}8}{0{,}2}\ \text{s} \approx 4{,}06\ \text{s}$$

In tutto la palla percorre $1 \cdot \frac{1{,}64}{0{,}36} \approx 4{,}56\ \text{m}$, in su e in giù.

5. La palla contro il muro, di sbieco

Testo. Una palla colpisce un muro liscio a 10 m/s, con la velocità inclinata di 45° rispetto alla perpendicolare al muro. Il coefficiente di restituzione è 0,6. Con che velocità e con che angolo rimbalza?

Scomponiamo la velocità: componente normale $10\cos 45° \approx 7{,}07\ \text{m/s}$, componente tangente $10\sin 45° \approx 7{,}07\ \text{m/s}$. Dopo l’urto la tangente resta 7,07 m/s, la normale diventa $0{,}6 \cdot 7{,}07 \approx 4{,}24\ \text{m/s}$:

$$\begin{gathered} v_f = \sqrt{7{,}07^2 + 4{,}24^2}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 8{,}25\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ \tan\beta = \frac{7{,}07}{4{,}24} \approx 1{,}67 \qquad \beta \approx 59° \end{gathered}$$

La palla esce a 59° dalla perpendicolare, più radente dei 45° con cui è arrivata, e ha perso il 32% della sua energia cinetica.

Altri problemi sugli urti, come i due carrelli che si vengono incontro, li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• Nell’urto anelastico si conserva la quantità di moto ma non l’energia cinetica; i corpi si separano.
• Il coefficiente di restituzione è $e = -(v_{1,f} - v_{2,f})/(v_1 - v_2)$, con $0 < e < 1$: dal centro di massa, ogni corpo rimbalza con la velocità ridotta del fattore $e$.
• Velocità finali: $v_{1,f} = v_{cm} - e\,\frac{m_2}{M}(v_1 - v_2)$ e $v_{2,f} = v_{cm} + e\,\frac{m_1}{M}(v_1 - v_2)$.
• Si perde la frazione $1 - e^2$ dell’energia relativa al centro di massa.
• Per una palla che rimbalza, $e = \sqrt{h'/h}$ e a ogni rimbalzo l’altezza si riduce del fattore $e^2$.

Il caso limite, con $e = 0$, è l’urto completamente anelastico.