Urto completamente anelastico: velocità finale, energia persa e pendolo balistico

Un proiettile che si conficca in un blocco di legno, due vagoni che si agganciano, una palla di plastilina che resta attaccata al muro, un’auto che tampona un’altra e ci resta incastrata: in tutti questi casi, dopo l’urto, i corpi restano uniti e proseguono insieme. È l’urto completamente anelastico, detto anche perfettamente anelastico: il più semplice da risolvere, e quello in cui si perde più energia possibile. In questa pagina trovi la velocità finale, lo scontro frontale, l’urto nel piano, l’energia persa, il pendolo balistico e cinque esercizi svolti.

Cos’è un urto completamente anelastico

In un urto completamente anelastico:

• dopo l’urto i corpi restano attaccati e si muovono con la stessa velocità;
• la quantità di moto totale si conserva, come in ogni urto;
• l’energia cinetica diminuisce, e diminuisce il più possibile.

Nel linguaggio del coefficiente di restituzione è il caso $e = 0$: dopo l’urto la velocità relativa tra i corpi è nulla.

La velocità dopo l’urto

Dopo l’urto i due corpi formano un unico corpo di massa $m_1 + m_2$ che si muove con velocità $\vec{V}$. Per la conservazione della quantità di moto:

$$m_1\,\vec{v}_1 + m_2\,\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\,\vec{V}$$

e quindi:

$$\vec{V} = \frac{m_1\,\vec{v}_1 + m_2\,\vec{v}_2}{m_1 + m_2} = \vec{v}_{cm}$$

I corpi uniti proseguono con la velocità del centro di massa, che l’urto non può cambiare. Basta la sola conservazione della quantità di moto: c’è una sola incognita, e una sola equazione per ogni direzione.

Lo scontro frontale: attenzione ai segni

Se i due corpi si vengono incontro, le loro velocità hanno verso opposto. Scegli un verso positivo e dai il segno meno alla velocità diretta al contrario. Per esempio, un’auto di 1200 kg a 15 m/s verso destra e una di 1500 kg a 10 m/s verso sinistra:

$$V = \frac{1200 \cdot 15 + 1500 \cdot (-10)}{2700}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Il segno positivo dice che le auto, incastrate, si muovono verso destra: vince la quantità di moto maggiore, $18\,000$ contro $15\,000\ \text{kg·m/s}$. Senza il segno meno avresti trovato più di 12 m/s, un risultato assurdo per uno scontro frontale.

L’urto nel piano

Se i corpi non si muovono sulla stessa retta, come due auto che si scontrano a un incrocio, la quantità di moto si conserva come vettore, cioè separatamente lungo ciascun asse. Si procede così:

1. si scelgono due assi, per esempio $x$ verso est e $y$ verso nord;
2. si scrive la conservazione lungo $x$ e lungo $y$, trovando le componenti della quantità di moto totale;
3. si dividono per la massa totale, ottenendo le componenti di $\vec V$;
4. si ricavano modulo e direzione con il teorema di Pitagora e la tangente, come per qualsiasi vettore.

Per esempio, un’auto A di 1000 kg diretta a est a 20 m/s urta un’auto B di 1500 kg diretta a nord a 15 m/s, e restano incastrate. Le quantità di moto sono $p_x = 20\,000\ \text{kg·m/s}$ e $p_y = 22\,500\ \text{kg·m/s}$, e la massa totale è 2500 kg:

$$\begin{gathered} V_x = \frac{20\,000}{2500}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ V_y = \frac{22\,500}{2500}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ V = \sqrt{8^2 + 9^2}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 12{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ \tan\alpha = \frac{9}{8} \qquad \alpha \approx 48° \end{gathered}$$

Le auto proseguono a circa 12 m/s, in una direzione inclinata di circa 48° verso nord rispetto all’est. È proprio così che i periti ricostruiscono gli incidenti: dalla direzione in cui sono finite le auto risalgono alle velocità prima dell’urto.

L’energia cinetica persa

Per il teorema di König l’energia cinetica totale è la somma di quella del centro di massa e di quella relativa al centro di massa, che si scrive con la massa ridotta $\mu$:

$$\begin{gathered} E_{k,i} = \frac{1}{2}\,(m_1 + m_2)\,v_{cm}^2 + \frac{1}{2}\,\mu\,(v_1 - v_2)^2 \\ \mu = \frac{m_1\,m_2}{m_1 + m_2} \end{gathered}$$

Dopo l’urto i corpi sono fermi rispetto al centro di massa, quindi resta solo il primo termine. L’energia persa è tutta quella relativa al centro di massa:

$$\Delta E_k = -\,\frac{1}{2}\,\mu\,(v_1 - v_2)^2$$

Negli urti nel piano, al posto di $(v_1 - v_2)^2$ va il quadrato del modulo della velocità relativa, $|\vec v_1 - \vec v_2|^2$.

Perché è la massima perdita possibile

La quantità di moto si conserva, quindi la velocità del centro di massa non cambia e nemmeno la sua energia cinetica: nessun urto può dissiparla. L’unica energia che un urto può perdere è quella del moto relativo, e l’urto completamente anelastico la perde tutta. È il caso estremo: qualunque altro urto tra gli stessi corpi, con le stesse velocità, perde meno energia.

L’energia persa non sparisce: si trasforma in deformazioni, calore e suono. Le carrozzerie delle auto hanno zone progettate apposta per deformarsi nell’urto e assorbire questa energia, invece di trasmetterla a chi è a bordo.

Il caso del bersaglio fermo

Se $v_2 = 0$, la frazione di energia cinetica persa è:

$$\frac{|\Delta E_k|}{E_{k,i}} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$$

Più il bersaglio è pesante rispetto al proiettile, più energia si perde: un proiettile che si conficca in un blocco molto più grande perde quasi tutta la sua energia cinetica. Al contrario, un camion che urta una bicicletta ferma perde pochissima energia: quasi tutta resta nel moto del camion.

Scontro frontale e muro: un risultato sorprendente

L’energia persa dipende solo dalla velocità relativa, non da come si muovono i corpi rispetto alla strada. Questo porta a una conclusione che sorprende molti. Due auto uguali che si scontrano frontalmente, ciascuna a 50 km/h, hanno il centro di massa fermo: dopo l’urto si fermano entrambe e perdono tutta la loro energia cinetica. Ognuna delle due dissipa quindi la propria energia, $\frac{1}{2}m\,v^2$ con $v = 50$ km/h: esattamente come se andasse a sbattere a 50 km/h contro un muro rigido, non a 100 km/h. Con auto di masse diverse invece la più leggera subisce la variazione di velocità più grande, ed è lei ad avere la peggio.

Il pendolo balistico

Il pendolo balistico è lo strumento che Benjamin Robins inventò nel 1742 per misurare la velocità dei proiettili, quando non esistevano cronometri abbastanza precisi. Un proiettile di massa $m$ e velocità $v$ si conficca in un blocco di massa $M$ appeso a fili leggeri; il blocco, con il proiettile dentro, oscilla e sale di un’altezza $h$. Il problema si risolve in due fasi, con due principi diversi.

1. L’urto. È completamente anelastico e brevissimo: si conserva la quantità di moto, non l’energia:

$$m\,v = (m + M)\,V$$

2. La risalita. Dopo l’urto, sul blocco agiscono il peso e la tensione dei fili, che non compie lavoro: si conserva l’energia meccanica, non la quantità di moto, perché i fili tirano il blocco verso l’alto:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,(m + M)\,V^2 = (m + M)\,g\,h \\ V = \sqrt{2\,g\,h} \end{gathered}$$

Mettendo insieme le due fasi:

$$v = \frac{m + M}{m}\,\sqrt{2\,g\,h}$$

Spesso l’esercizio non dà l’altezza ma l’angolo massimo $\theta$ di cui si inclinano i fili, lunghi $L$: allora $h = L\,(1 - \cos\theta)$.

Gli errori più comuni

• Conservare l’energia cinetica nell’urto. In un urto completamente anelastico l’energia cinetica non si conserva mai: si usa solo la quantità di moto.
• Dimenticare i segni. Se i corpi si vengono incontro, le velocità hanno segni opposti.
• Sommare i moduli nell’urto nel piano. La quantità di moto si conserva per componenti: le velocità lungo assi diversi non si sommano come numeri.
• Non convertire le unità. Le masse dei proiettili sono spesso in grammi: 10 g sono 0,010 kg.
• Applicare la quantità di moto nella seconda fase. Dopo l’urto, nel pendolo balistico o nel blocco che frena per attrito, agiscono forze esterne: lì vale l’energia, o le leggi del moto.

Esercizi svolti

1. Il pendolo balistico

Testo. Un proiettile di 10 g si conficca in un blocco di 2 kg appeso a dei fili, che sale di 5 cm. Con che velocità viaggiava il proiettile? Quanta energia si è persa nell’urto?

Dalla risalita troviamo la velocità del blocco subito dopo l’urto, poi dall’urto quella del proiettile:

$$\begin{gathered} V = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}05}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 0{,}99\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ v = \frac{2{,}01}{0{,}01} \cdot 0{,}99\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 199\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{gathered}$$

Nell’urto si perde la frazione $M/(m + M) = 2/2{,}01 \approx 99{,}5\%$ dell’energia cinetica del proiettile: da circa 198 J a meno di 1 J.

2. Il tamponamento

Testo. Un’auto di 1000 kg a 20 m/s (72 km/h) tampona un’auto di 1500 kg ferma, e le due restano incastrate. Con che velocità proseguono? Quanta energia si perde?

$$V = \frac{1000 \cdot 20}{2500}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

L’energia cinetica passa da $\frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 20^2 = 200\ \text{kJ}$ a $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 8^2 = 80\ \text{kJ}$: si perdono 120 kJ, il 60%, proprio $m_2/(m_1 + m_2) = 1500/2500$. Quell’energia va nelle deformazioni delle carrozzerie.

3. Lo scontro frontale

Testo. Un’auto di 1200 kg a 15 m/s e una di 1500 kg a 10 m/s si scontrano frontalmente e restano incastrate. Come si muovono subito dopo? Quanta energia si perde?

Prendiamo positivo il verso della prima auto, quindi la seconda ha $v_2 = -10\ \text{m/s}$. Come abbiamo visto sopra, $V \approx +1{,}1\ \text{m/s}$, nel verso della prima auto. L’energia:

$$\begin{gathered} E_{k,i} = \frac{1}{2} \cdot 1200 \cdot 15^2 + \frac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 10^2\ \text{J} \\ E_{k,i} = 210\ \text{kJ} \\ E_{k,f} = \frac{1}{2} \cdot 2700 \cdot 1{,}11^2\ \text{J} \approx 1{,}7\ \text{kJ} \end{gathered}$$

Si perdono circa 208 kJ, più del 99%. Controllo con la massa ridotta: $\mu = 1200 \cdot 1500/2700 \approx 667\ \text{kg}$ e la velocità relativa è $15 - (-10) = 25\ \text{m/s}$, quindi $\frac{1}{2} \cdot 667 \cdot 25^2 \approx 208\ \text{kJ}$. Torna.

4. L’incidente all’incrocio

Testo. Riprendiamo le due auto dell’urto nel piano: A di 1000 kg verso est a 20 m/s, B di 1500 kg verso nord a 15 m/s. Quanta energia cinetica si perde?

Prima dell’urto: $\frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 20^2 + \frac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 15^2 = 368{,}75\ \text{kJ}$. Dopo, con $V^2 = 8^2 + 9^2 = 145\ \text{m}^2/\text{s}^2$: $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 145 = 181{,}25\ \text{kJ}$. Si perdono 187,5 kJ, circa il 51%.

Controllo. La velocità relativa ha modulo $\sqrt{20^2 + 15^2} = 25\ \text{m/s}$, perché le due velocità sono perpendicolari, e la massa ridotta è $\mu = 1000 \cdot 1500/2500 = 600\ \text{kg}$: $\frac{1}{2} \cdot 600 \cdot 25^2 = 187{,}5\ \text{kJ}$. Torna.

5. Il proiettile nel blocco che scivola

Testo. Un proiettile di 20 g a 300 m/s si conficca in un blocco di 1,98 kg fermo su un tavolo. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,40. Quanto scivola il blocco prima di fermarsi?

Fase 1, l’urto. Si conserva la quantità di moto; la massa totale è 2,00 kg:

$$V = \frac{0{,}020 \cdot 300}{2{,}00}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Fase 2, la frenata. Ora agisce l’attrito, una forza esterna, quindi la quantità di moto non si conserva più. L’attrito dà una decelerazione $\mu_d\,g$, e con la formula dello spazio di frenata:

$$d = \frac{V^2}{2\,\mu_d\,g} = \frac{3{,}0^2}{2 \cdot 0{,}40 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 1{,}15\ \text{m}$$

Il proiettile aveva 900 J di energia cinetica, ma dopo l’urto ne restano solo 9 J: è questa piccola parte che l’attrito dissipa lungo il tavolo.

Altri problemi sugli urti li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• Nell’urto completamente anelastico i corpi restano uniti e proseguono con la velocità del centro di massa: $V = \dfrac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$, con le velocità prese con il loro segno.
• Nel piano la quantità di moto si conserva per componenti.
• Si perde tutta l’energia cinetica relativa al centro di massa, $\frac{1}{2}\mu(v_1 - v_2)^2$: è la perdita massima possibile, e dipende solo dalla velocità relativa.
• Con il bersaglio fermo si perde la frazione $m_2/(m_1 + m_2)$ dell’energia iniziale.
• Pendolo balistico: quantità di moto nell’urto, energia nella risalita; $v = \frac{m + M}{m}\sqrt{2gh}$.

Con gli urti si chiude lo studio dei sistemi di punti. Il passo successivo è un sistema speciale, in cui le distanze tra i punti non cambiano mai: il corpo rigido.