Calcolo dei limiti: tecniche, scaletta per le forme indeterminate ed esercizi svolti

Conosci la definizione di limite e le regole per combinarli, ma davanti a un esercizio la domanda è sempre la stessa: da dove comincio? Il calcolo dei limiti è la parte più pratica del capitolo e una delle più presenti all’esame di Analisi 1: serve per gli asintoti, lo studio di funzione, le derivate e le serie. Le tecniche sono poche, e quasi sempre si sceglie quella giusta guardando che tipo di funzione hai davanti. In questa pagina vediamo la sostituzione diretta, una scaletta per scegliere la tecnica, la scomposizione con Ruffini per la forma $\frac{0}{0}$, il confronto dei gradi all’infinito, la razionalizzazione e la trappola di $\sqrt{x^2}$, il cambio di variabile, i limiti destro e sinistro, esponenziali e logaritmi, quando passare ai limiti notevoli o a de l’Hôpital, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il primo passo: sostituire

Prima di qualsiasi tecnica, sostituisci il valore a cui tende $x$. Le funzioni elementari (polinomi, potenze, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche) e quelle che ottieni combinandole sono continue nel loro dominio, e per una funzione continua in $x_0$ il limite è il valore nel punto: è la definizione stessa di continuità.

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x + 3}} = \frac{4}{2} = 2$$

Se invece $x_0$ non sta nel dominio, oppure $x \to \pm\infty$, sostituire «per finta» ti dice comunque che forma ha il limite. Le possibilità sono due:

• una forma determinata, come $\frac{5}{\infty} = 0$, $\ 3 + \infty = +\infty$ o $\frac{\ell}{0}$ con $\ell \neq 0$, dove resta solo da studiare il segno: hai finito;
• una forma indeterminata, cioè $\infty - \infty$, $\ 0 \cdot \infty$, $\ \frac{0}{0}$, $\ \frac{\infty}{\infty}$, $\ 1^\infty$, $\ 0^0$, $\ \infty^0$: serve una tecnica.

Le regole complete, con il perché di ognuna, sono nell’articolo sulle operazioni con i limiti e le forme indeterminate.

La scaletta per calcolare un limite

Ecco il procedimento da seguire, nell’ordine. Ogni passo ha la sua sezione più sotto.

1. Sostituisci. Se esce un numero o una forma determinata, hai finito (con $\frac{\ell}{0}$ resta da studiare il segno).
2. Se esce una forma indeterminata, guarda che funzione hai e dove va $x$:
   • frazione di polinomi, $x \to x_0$, forma $\frac{0}{0}$: scomponi e semplifica il fattore $x - x_0$;
   • polinomi o frazioni di polinomi all’infinito: raccogli la potenza più alta;
   • radici in una differenza: razionalizza; radici all’infinito: raccogli, ricordando che $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$;
   • esponenziali e logaritmi all’infinito: raccogli il termine che cresce più in fretta;
   • seno, coseno, $e^{(\dots)} - 1$, $\ln(1 + \dots)$ con argomento che tende a 0: limiti notevoli.
3. Se un pezzo della funzione complica tutto (radici di indice diverso, $\frac{1}{x}$, $x \to -\infty$), prova un cambio di variabile.
4. Se la funzione cambia comportamento ai due lati di $x_0$ (denominatore che cambia segno, valore assoluto, funzione definita a tratti), calcola separatamente limite destro e sinistro.
5. Se l’algebra non basta, passa a de l’Hôpital o agli sviluppi di Taylor.

L’idea di fondo è sempre la stessa: ogni tecnica trasforma la funzione in un’altra che, vicino a $x_0$, ha gli stessi valori, ma che sostituendo non dà più una forma indeterminata.

La forma 0/0 con i polinomi: scomporre

Se in una frazione di polinomi sostituendo $x_0$ ottieni $\frac{0}{0}$, numeratore e denominatore hanno un fattore in comune che si annulla in $x_0$. Lo garantisce questo teorema.

Perché è vero. Dividendo $P(x)$ per $x - x_0$ si ottiene $P(x) = (x - x_0)\,Q(x) + R$, dove il resto $R$ è un numero, perché il divisore ha grado 1. Ponendo $x = x_0$ resta $P(x_0) = R$: il resto è zero esattamente quando $P(x_0) = 0$.

Esempio 1. $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$. Sostituendo viene $\frac{0}{0}$, quindi scomponiamo:

$$\begin{gathered} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 1)} \\ {} = \frac{x + 2}{x - 1} \to \frac{4}{1} = 4 \end{gathered}$$

Perché si può semplificare? Le due funzioni sono uguali per ogni $x$ diverso da 1 e da 2, e il limite per $x \to 2$ guarda solo i punti vicini a 2, mai il punto 2: due funzioni che coincidono in un intorno di $x_0$, escluso $x_0$, hanno lo stesso limite. Il grafico della funzione di partenza è quello di $\frac{x + 2}{x - 1}$ con un buco nel punto $(2, 4)$.

Nella figura c’è anche l’altro punto escluso dal dominio, $x = 1$. Lì sostituendo viene $\frac{-3}{0}$, che non è una forma indeterminata: il limite è $+\infty$ da destra e $-\infty$ da sinistra, e la retta $x = 1$ è un asintoto verticale. Quindi, se il denominatore si annulla e il numeratore no, c’è un asintoto; se si annullano entrambi, si scompone e si vede.

La regola di Ruffini

Quando la scomposizione non è evidente, si divide per $x - x_0$ con la regola di Ruffini, che prende il nome da Paolo Ruffini, matematico che insegnò all’Università di Modena e la pubblicò nei primi anni dell’Ottocento.

Esempio 2. $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^2 - 4}$. Sostituendo, sopra viene $8 - 8 - 2 + 2 = 0$ e sotto $0$. Dividiamo il numeratore per $x - 2$, con i coefficienti $1, -2, -1, 2$:

$$\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -2 & -1 & 2 \\ 2 & & 2 & 0 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & -1 & 0 \end{array}$$

Si abbassa il primo coefficiente, lo si moltiplica per 2 e lo si somma al coefficiente successivo, e così via. L’ultimo numero è il resto, 0 come previsto; gli altri sono i coefficienti del quoziente, $x^2 + 0x - 1 = x^2 - 1$. Quindi:

$$\begin{gathered} \frac{(x - 2)(x^2 - 1)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 - 1}{x + 2} \\ {} \to \frac{4 - 1}{2 + 2} = \frac{3}{4} \end{gathered}$$

Se dopo la semplificazione esce di nuovo $\frac{0}{0}$, $x_0$ annulla ancora entrambi i polinomi (è una radice doppia, o multipla): si divide un’altra volta. Per esempio $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$ e $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$: il loro quoziente, per $x \to 1$, ha lo stesso limite di $x + 2$, cioè 3.

Polinomi e frazioni all’infinito: il grado massimo

Per $x \to \pm\infty$ un polinomio dà spesso la forma $\infty - \infty$. L’idea è che, quando $x$ è enorme, la potenza più alta schiaccia tutte le altre: con $x = 1000$, in $x^3 - 5x^2 + 1$ il primo termine vale un miliardo e il secondo cinque milioni, appena lo 0,5% del primo.

Perché è vero. Si raccoglie la potenza più alta:

$$x^3 - 5x^2 + 1 = x^3\left(1 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^3}\right)$$

La parentesi tende a 1, quindi il limite è quello di $x^3$: $+\infty$ per $x \to +\infty$, $-\infty$ per $x \to -\infty$. In generale la parentesi tende al coefficiente del termine di grado massimo, che decide il segno insieme alla parità dell’esponente: per esempio $2x^4 - x^3 \to +\infty$ anche per $x \to -\infty$.

Per una frazione di polinomi si raccoglie la potenza più alta sopra e sotto, separatamente:

$$\begin{gathered} \frac{3x^2 - x}{2x^2 + 5} = \frac{x^2\left(3 - \frac{1}{x}\right)}{x^2\left(2 + \frac{5}{x^2}\right)} \\ {} = \frac{3 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}} \to \frac{3}{2} \end{gathered}$$

In generale la frazione si comporta come il quoziente dei termini di grado massimo, $\frac{a_n x^n}{b_m x^m}$, dove $n$ e $m$ sono i gradi del numeratore e del denominatore e $a_n$, $b_m$ i coefficienti di quei termini. Ne vengono tre casi:

Gradi	Limite per ${x \to \pm\infty}$	Esempio
$n < m$	$0$	${\frac{x + 1}{x^2 - 3} \to 0}$
$n = m$	$\frac{a_n}{b_m}$	${\frac{3x^2 - x}{2x^2 + 5} \to \frac{3}{2}}$
$n > m$	$+\infty$ o $-\infty$	${\frac{x^3 + 1}{4x - 2} \to +\infty}$

Quando $n > m$ il segno si legge dal quoziente dei termini di grado massimo. Nell’ultimo esempio è $\frac{x^3}{4x} = \frac{x^2}{4}$, che tende a $+\infty$ sia per $x \to +\infty$ sia per $x \to -\infty$. Se invece $n - m$ è dispari, i limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$ hanno segni opposti, come nell’esercizio 2.

Le radici: razionalizzare e raccogliere

La forma 0/0 con le radici

Quando la forma indeterminata nasce da una differenza in cui c’è una radice, si moltiplica e si divide per il coniugato, cioè la stessa espressione con il segno opposto in mezzo. Così si sfrutta il prodotto notevole $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, che fa sparire la radice.

Esempio 3. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$, forma $\frac{0}{0}$:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} \\ {} = \frac{(1 + x) - 1}{x\left(\sqrt{1 + x} + 1\right)} \\ {} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \end{gathered}$$

Il fattore $x$ che dava fastidio si è semplificato, e ora sostituendo si trova $\frac{1}{2}$.

La forma ∞ − ∞ con le radici

Esempio 4. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$. Razionalizziamo:

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} \\ {} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} \end{gathered}$$

Ora raccogliamo $x$ sotto: per $x > 0$ si ha $\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$, quindi

$$\frac{x}{x\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \to \frac{1}{2}$$

Sorprendente: $\sqrt{x^2 + x}$ e $x$ diventano enormi entrambi, ma la loro differenza non va a zero, si stabilizza su $\frac{1}{2}$: con $x = 1000$ vale circa $0{,}4999$. Invece $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \to 0$.

Prima di razionalizzare, raccogli. La razionalizzazione serve solo quando i termini principali si cancellano. In $\sqrt{x^2 + 1} - 2x$, per $x \to +\infty$, raccogliendo $x$ si ha $x\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - 2\right)$: la parentesi tende a $1 - 2 = -1$ e il limite è $-\infty$, senza bisogno di coniugati.

La trappola: la radice di x² è |x|

Quando porti $x^2$ fuori da una radice quadrata ricorda che $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$, il valore assoluto, e non $x$. Per $x \to +\infty$ non cambia nulla, ma per $x \to -\infty$ si ha $\lvert x \rvert = -x$, e dimenticarlo cambia il segno del risultato.

Esempio 5. $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$. Raccogliendo $x^2$ sotto radice:

$$\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{\lvert x \rvert\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x}$$

Per $x \to +\infty$, $\frac{\lvert x \rvert}{x} = 1$ e il limite è $1$. Per $x \to -\infty$, $\frac{\lvert x \rvert}{x} = -1$ e il limite è $-1$. Ha senso: per $x$ negativo il numeratore è positivo e il denominatore negativo, quindi la frazione è negativa. Chi scrive $\sqrt{x^2} = x$ trova $1$ in entrambi i casi.

Il cambio di variabile

A volte la funzione diventa molto più semplice se chiami $t$ un suo pezzo. È lo stesso trucco delle equazioni con sostituzione, con una cosa in più da ricordare: cambia anche il punto a cui si tende. La giustificazione è il teorema sul limite di una funzione composta.

L’idea è semplice: se $x$ è vicino a $x_0$, allora $t = g(x)$ è vicino a $t_0$, e quindi $f(t)$ è vicino a $\ell$. La dimostrazione rigorosa, con gli intorni, la saltiamo. Nei cambi di variabile più comuni, come $t = \frac{1}{x}$ o $t = \sqrt[3]{x}$, la condizione è soddisfatta, perché a valori diversi di $x$ corrispondono valori diversi di $t$. In pratica: scegli $t$, trova dove tende, riscrivi tutto in funzione di $t$ e calcola il nuovo limite.

Esempio 6. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}$, forma $\frac{0}{0}$. Poniamo $t = \sqrt[3]{x}$: per $x \to 1$ anche $t \to 1$, e $x = t^3$.

$$\begin{gathered} \lim_{t \to 1} \frac{t - 1}{t^3 - 1} \\ {} = \lim_{t \to 1} \frac{t - 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} \\ {} = \lim_{t \to 1} \frac{1}{t^2 + t + 1} = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Esempio 7. Con $x \to -\infty$ conviene spesso porre $t = -x$: così $t \to +\infty$ e si lavora con numeri positivi, senza valori assoluti. Prendiamo $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} + x\right)$, forma $\infty - \infty$. Con $x = -t$:

$$\begin{gathered} \lim_{t \to +\infty} \left(\sqrt{t^2 - t} - t\right) \\ {} = \lim_{t \to +\infty} \frac{(t^2 - t) - t^2}{\sqrt{t^2 - t} + t} \\ {} = \lim_{t \to +\infty} \frac{-t}{t\left(\sqrt{1 - \frac{1}{t}} + 1\right)} = -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Esempio 8. In $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\sin\frac{1}{x}$, forma $\infty \cdot 0$, poniamo $t = \frac{1}{x}$: si ha $t \to 0^+$ e resta $\frac{\sin t}{t} \to 1$, il primo dei limiti notevoli.

Limite destro e limite sinistro

Il limite per $x \to x_0$ esiste se e solo se esistono il limite destro e il limite sinistro e sono uguali. Di solito non serve separarli, ma ci sono situazioni tipiche in cui devi farlo:

• un numero diviso zero, $\frac{\ell}{0}$ con $\ell \neq 0$, quando il denominatore cambia segno in $x_0$: per esempio $\frac{1}{x}$ tende a $+\infty$ da destra e a $-\infty$ da sinistra;
• un valore assoluto che si annulla in $x_0$, come $\lvert x - 1 \rvert$ in 1: a destra vale $x - 1$, a sinistra $1 - x$;
• una funzione definita a tratti, nel punto in cui cambia formula;
• funzioni come $e^{1/x}$ o $\arctan\frac{1}{x}$, in cui l’argomento va a $+\infty$ da una parte e a $-\infty$ dall’altra.

Esempio 9. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\lvert x - 1 \rvert}{x^2 - 1}$. Sostituendo viene $\frac{0}{0}$. Scomponiamo il denominatore, $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, e togliamo il valore assoluto separatamente dai due lati. Per $x > 1$:

$$\frac{\lvert x - 1 \rvert}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$$

Per $x < 1$, invece, $\lvert x - 1 \rvert = -(x - 1)$, e allo stesso modo la funzione diventa $-\frac{1}{x + 1}$. Quindi:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 1^+} \frac{\lvert x - 1 \rvert}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \\ \lim_{x \to 1^-} \frac{\lvert x - 1 \rvert}{x^2 - 1} = -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

I due limiti sono finiti ma diversi: il limite per $x \to 1$ non esiste, e il grafico fa un salto. Nel grafico si vede anche l’asintoto $x = -1$: lì viene $\frac{2}{0}$, e il limite è $+\infty$ da sinistra e $-\infty$ da destra, perché $x^2 - 1$ è positivo per $x < -1$ e negativo per $-1 < x < 1$.

Esempio 10. Con una funzione definita a tratti si usa, da ogni lato, la formula di quel lato:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x < 1 \\ x^2 & x \geq 1 \end{cases}$$

Da sinistra $2x + 1 \to 3$, da destra $x^2 \to 1$: il limite in 1 non esiste. In tutti gli altri punti si sostituisce e basta, perché ogni pezzo è un polinomio.

Esponenziali e logaritmi all’infinito

Anche qui si raccoglie il termine che cresce più in fretta. Per sapere chi è serve la gerarchia degli infiniti: per $x \to +\infty$ ogni logaritmo è trascurabile rispetto a ogni potenza positiva di $x$, e ogni potenza è trascurabile rispetto a ogni esponenziale con base maggiore di 1. «Trascurabile» vuol dire che il quoziente tende a 0: per esempio $\frac{x^5}{e^x} \to 0$ e $\frac{\ln x}{x} \to 0$.

Esponenziali con basi diverse. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2^x - 3^x\right)$ è una forma $\infty - \infty$. Si raccoglie la base più grande:

$$2^x - 3^x = 3^x\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x - 1\right)$$

La parentesi tende a $0 - 1 = -1$, perché $\frac{2}{3} < 1$, quindi il limite è $-\infty$.

Potenze contro esponenziali e logaritmi. Stesso metodo, per $x \to +\infty$:

$$\begin{gathered} x^2 - e^x = e^x\left(\frac{x^2}{e^x} - 1\right) \to -\infty \\ x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty \end{gathered}$$

In entrambi i casi la frazione nella parentesi tende a 0 per la gerarchia, e la parentesi tende a $-1$ nel primo caso e a $1$ nel secondo.

Differenze di logaritmi. Con $\infty - \infty$ tra due logaritmi conviene unirli in uno solo, con le proprietà dei logaritmi, e poi usare la continuità:

$$\ln(2x + 1) - \ln x = \ln\frac{2x + 1}{x} \to \ln 2$$

perché $\frac{2x + 1}{x} \to 2$ e il logaritmo è continuo in 2.

Controlla che la forma sia davvero indeterminata. Prendi $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{e^x + 1}{e^{2x} - 1}$. Per $x \to +\infty$ è $\frac{\infty}{\infty}$, e raccogliendo il quoziente si comporta come $\frac{e^x}{e^{2x}} = e^{-x} \to 0$. Per $x \to -\infty$, invece, $e^x$ ed $e^{2x}$ tendono a 0 e non c’è niente da risolvere: il limite è $\frac{0 + 1}{0 - 1} = -1$.

Funzioni che oscillano. Seno e coseno all’infinito non hanno limite, ma sono limitati: restano tra $-1$ e $1$. Il prodotto di una funzione limitata per una che tende a 0 tende a 0, come conseguenza del teorema del confronto. Così $\frac{\sin x}{x} = \sin x \cdot \frac{1}{x} \to 0$ per $x \to +\infty$, e quindi

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{x} \\ {} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1 \end{gathered}$$

Quando passare ai limiti notevoli o a de l’Hôpital

Con le funzioni goniometriche, o con esponenziali e logaritmi vicino a un punto, non c’è niente da scomporre: $\frac{\sin x}{x}$ in 0 è un $\frac{0}{0}$ che nessuna scomposizione scioglie. Allora:

• limiti notevoli: se compaiono $\sin(\dots)$, $1 - \cos(\dots)$, $e^{(\dots)} - 1$, $\ln(1 + \dots)$ o $(1 + \dots)^\alpha - 1$ con l’argomento che tende a 0, riconduci il limite ai limiti notevoli, facendo comparire al denominatore lo stesso argomento. Anche le forme $1^\infty$ si risolvono con il limite notevole del numero $e$;
• de l’Hôpital: per una forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ con funzioni derivabili si possono derivare numeratore e denominatore separatamente, con il teorema di de l’Hôpital. È comodo quando l’algebra si complica, come in $\frac{x - \sin x}{x^3}$;
• Taylor: quando nelle differenze i limiti notevoli si cancellano, come in $\tan x - \sin x$, la strada più sicura è la formula di Taylor.

Gli errori più comuni

• Usare una tecnica prima di aver sostituito. Molti limiti non sono forme indeterminate: $\frac{e^x + 1}{e^{2x} - 1}$ per $x \to -\infty$ vale $-1$ e basta.
• Dire che «diviso zero fa infinito» senza guardare il segno. Con $\frac{\ell}{0}$ il limite è $+\infty$ o $-\infty$ secondo il segno del denominatore; se il segno cambia dai due lati, il limite non esiste.
• Confrontare i gradi per x che tende a 0. Il termine di grado massimo comanda solo all’infinito; vicino a 0 comanda quello di grado minimo.
• Scrivere che la radice di x² è x quando x tende a meno infinito. È $\lvert x \rvert = -x$, e il segno del risultato cambia.
• Trascurare i termini «piccoli» in una differenza. Dire che $\sqrt{x^2 + x}$ «è circa $x$» e concludere che $\sqrt{x^2 + x} - x \to 0$ è sbagliato: il limite è $\frac{1}{2}$. Quando i termini principali si cancellano, conta proprio quello che hai buttato via.
• Dimenticare di cambiare il punto nel cambio di variabile. Con $t = \frac{1}{x}$ e $x \to +\infty$ il nuovo limite è per $t \to 0^+$, non per $t \to +\infty$.
• Pensare che una forma indeterminata voglia dire che il limite non esiste. Vuol dire solo che serve altro lavoro: il risultato può essere un numero qualsiasi, un infinito, oppure non esistere.

Esercizi svolti

1. Una forma 0/0 con Ruffini

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

Sostituendo, sopra viene $1 + 1 - 2 = 0$ e sotto $1 - 1 = 0$: forma $\frac{0}{0}$. Per il teorema di Ruffini numeratore e denominatore sono divisibili per $x - 1$. Il denominatore è una differenza di quadrati, $(x - 1)(x + 1)$. Per il numeratore usiamo la regola di Ruffini con i coefficienti $1, 1, 0, -2$ (il termine in $x$ manca e va scritto come 0):

$$\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & & 1 & 2 & 2 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}$$

Quindi $x^3 + x^2 - 2 = (x - 1)(x^2 + 2x + 2)$ e

$$\begin{gathered} \frac{(x - 1)(x^2 + 2x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \\ {} \to \frac{1 + 2 + 2}{1 + 1} = \frac{5}{2} \end{gathered}$$

Il limite vale $\frac{5}{2}$: il grafico della funzione ha un buco nel punto $\left(1, \frac{5}{2}\right)$.

2. Una frazione di polinomi ai due infiniti

Testo. Calcola il limite di $f(x) = \frac{2x^3 - x + 1}{5 - x^2}$ per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$.

In entrambi i casi è una forma $\frac{\infty}{\infty}$. Raccogliamo la potenza più alta sopra e sotto:

$$\begin{gathered} f(x) = \frac{x^3\left(2 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)}{x^2\left(\frac{5}{x^2} - 1\right)} \\ {} = x \cdot \frac{2 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{\frac{5}{x^2} - 1} \end{gathered}$$

La frazione tende a $\frac{2}{-1} = -2$, quindi $f(x)$ si comporta come $-2x$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \\ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \end{gathered}$$

Il grado del numeratore supera di 1 quello del denominatore: per questo i due limiti hanno segni opposti. Come vedrai con gli asintoti obliqui, il grafico si avvicina alla retta $y = -2x$.

3. Radici con x che tende a meno infinito

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{4x^2 - 3x} + 2x\right)$.

La radice è definita per $x \leq 0$ e per $x \geq \frac{3}{4}$, quindi ha senso andare a $-\infty$. La radice tende a $+\infty$ e $2x$ a $-\infty$: forma $\infty - \infty$. I termini principali, $\sqrt{4x^2} = 2\lvert x \rvert = -2x$ e $2x$, si cancellano, quindi razionalizziamo moltiplicando e dividendo per $\sqrt{4x^2 - 3x} - 2x$:

$$\begin{gathered} \frac{(4x^2 - 3x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 - 3x} - 2x} \\ {} = \frac{-3x}{\sqrt{4x^2 - 3x} - 2x} \end{gathered}$$

Ora raccogliamo sotto radice, ricordando che per $x < 0$ si ha $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert = -x$:

$$\sqrt{4x^2 - 3x} = -x\sqrt{4 - \frac{3}{x}}$$

Il denominatore diventa $-x\sqrt{4 - \frac{3}{x}} - 2x = -x\left(\sqrt{4 - \frac{3}{x}} + 2\right)$, e quindi

$$\begin{gathered} \frac{-3x}{-x\left(\sqrt{4 - \frac{3}{x}} + 2\right)} \\ {} = \frac{3}{\sqrt{4 - \frac{3}{x}} + 2} \to \frac{3}{4} \end{gathered}$$

Il limite vale $\frac{3}{4}$: con $x = -1000$ l’espressione vale circa $0{,}7499$. Con l’errore $\sqrt{x^2} = x$ il denominatore sarebbe diventato $x\left(\sqrt{4 - \frac{3}{x}} - 2\right)$, con la parentesi che tende a 0, e si sarebbe trovato un limite infinito.

4. Radici di indice diverso con il cambio di variabile

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}$.

Sostituendo viene $\frac{0}{0}$. Le radici hanno indici 2 e 3: chiamiamo $t$ la radice di indice 6, il minimo comune multiplo, così entrambe diventano potenze intere di $t$:

$$\begin{gathered} t = \sqrt[6]{x}, \quad x = t^6 \\ \sqrt{x} = t^3, \quad \sqrt[3]{x} = t^2 \end{gathered}$$

Per $x \to 1$ anche $t \to 1$, e $t \neq 1$ per $x \neq 1$. Il limite diventa:

$$\begin{gathered} \lim_{t \to 1} \frac{t^3 - 1}{t^2 - 1} \\ {} = \lim_{t \to 1} \frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{(t - 1)(t + 1)} \\ {} = \lim_{t \to 1} \frac{t^2 + t + 1}{t + 1} = \frac{3}{2} \end{gathered}$$

Il limite vale $\frac{3}{2}$ (con $x = 1{,}001$ il quoziente vale circa $1{,}5001$). Il cambio di variabile ha trasformato due radici in una semplice scomposizione di polinomi.

5. Valore assoluto e funzione a tratti

Testo. Calcola, se esiste, il limite per $x \to 0$ di $f(x) = \frac{x^2 - 2x}{\lvert x \rvert + x^2}$. Poi trova il valore di $k$ per cui ha limite in 0 la funzione

$$g(x) = \begin{cases} f(x) & x > 0 \\ k + x & x \leq 0 \end{cases}$$

Sostituendo viene $\frac{0}{0}$. Il valore assoluto cambia formula in 0, quindi separiamo i due lati e raccogliamo $x$. Per $x > 0$ si ha $\lvert x \rvert = x$:

$$\begin{gathered} \frac{x^2 - 2x}{x + x^2} = \frac{x(x - 2)}{x(1 + x)} \\ {} = \frac{x - 2}{1 + x} \to -2 \end{gathered}$$

Per $x < 0$ si ha $\lvert x \rvert = -x$:

$$\begin{gathered} \frac{x^2 - 2x}{-x + x^2} = \frac{x(x - 2)}{x(x - 1)} \\ {} = \frac{x - 2}{x - 1} \to 2 \end{gathered}$$

Il limite destro è $-2$ e il sinistro è $2$: il limite di $f$ per $x \to 0$ non esiste. Passiamo a $g$. Da destra $g$ coincide con $f$, quindi tende a $-2$; da sinistra $k + x \to k$. Il limite esiste se i due valori coincidono, cioè per $k = -2$. In quel caso anche $g(0) = k = -2$, e la funzione $g$ è addirittura continua in 0.

6. Un esponenziale dentro un logaritmo

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\ln\left(e^{2x} + x\right) - 2x\right]$.

Il logaritmo tende a $+\infty$, e anche $2x$: forma $\infty - \infty$. Dentro il logaritmo, per la gerarchia degli infiniti, $e^{2x}$ cresce molto più in fretta di $x$: raccogliamolo.

$$\begin{gathered} \ln\left(e^{2x} + x\right) = \ln\left[e^{2x}\left(1 + \frac{x}{e^{2x}}\right)\right] \\ {} = 2x + \ln\left(1 + \frac{x}{e^{2x}}\right) \end{gathered}$$

Abbiamo usato $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ e $\ln e^{2x} = 2x$. Ora il termine $2x$ si cancella:

$$\begin{gathered} \ln\left(e^{2x} + x\right) - 2x = \ln\left(1 + \frac{x}{e^{2x}}\right) \\ {} \to \ln 1 = 0 \end{gathered}$$

perché $\frac{x}{e^{2x}} \to 0$ per la gerarchia e il logaritmo è continuo in 1. Il limite vale 0: per $x$ grande, $\ln\left(e^{2x} + x\right)$ è praticamente uguale a $2x$, e già con $x = 5$ la differenza è circa $0{,}0002$.

Altri esercizi, con tutte le tecniche del capitolo, li trovi negli esercizi svolti sui limiti.

In sintesi

• Prima si sostituisce: se esce un numero o una forma determinata, hai finito.
• Forma $\frac{0}{0}$ con i polinomi: per Ruffini sopra e sotto c’è il fattore $x - x_0$; si scompone e si semplifica.
• All’infinito un polinomio si comporta come il termine di grado massimo; per le frazioni si confrontano i gradi: limite $0$, $\frac{a_n}{b_m}$ oppure infinito.
• Con le radici si razionalizza, se i termini principali si cancellano; e $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$.
• Nel cambio di variabile $t = g(x)$ cambia anche il punto: $x \to x_0$ diventa $t \to t_0$.
• Con $\frac{\ell}{0}$, valori assoluti e funzioni a tratti si calcolano limite destro e sinistro: il limite esiste solo se sono uguali.
• Con esponenziali e logaritmi si raccoglie il termine più veloce; dal più lento: logaritmi, potenze, esponenziali.
• Seni, coseni, esponenziali e logaritmi vicino a un punto: limiti notevoli, de l’Hôpital o Taylor.

Per le forme indeterminate con seno, coseno, esponenziali e logaritmi vicino a un punto servono alcuni limiti speciali, da sapere a memoria: i limiti notevoli.