Teoremi sui limiti: unicità, permanenza del segno, carabinieri e funzione composta

I teoremi sui limiti descrivono come si comportano i limiti, prima ancora di imparare a calcolarli. Garantiscono che il limite, se esiste, è uno solo; che il suo segno passa alla funzione vicino al punto; che una funzione stretta tra altre due ne eredita il limite. Reggono le regole di calcolo e i limiti notevoli, e risolvono gli esercizi con funzioni che oscillano. All’esame compaiono sia come domande di teoria (enunciato e dimostrazione) sia dentro gli esercizi. In questa pagina vediamo l’unicità del limite, la limitatezza locale, la permanenza del segno, il teorema del confronto (dei carabinieri) anche con l’infinito, il prodotto di una funzione limitata per una infinitesima, il limite della funzione composta e il cambio di variabile, i limiti delle funzioni monotone, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Prima di cominciare: la definizione che useremo

Tutti i teoremi di questa pagina si dimostrano con la definizione vista nell’articolo sul limite di una funzione. Sia $f$ definita su un insieme $A$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione di $A$: vuol dire che ci si può avvicinare a $x_0$ con punti del dominio diversi da $x_0$. D’ora in poi sottintendiamo sempre che $x$ stia nel dominio.

Nelle dimostrazioni useremo sempre due mosse. La prima è togliere il valore assoluto:

$$\begin{gathered} \lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon \\ {} \iff \ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon \end{gathered}$$

cioè il grafico sta nella fascia orizzontale tra $\ell - \varepsilon$ e $\ell + \varepsilon$. La seconda: se una proprietà vale per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_1$ e un’altra per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_2$, con $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ valgono tutte e due, perché l’intorno più piccolo sta dentro entrambi.

Enunciamo i teoremi per $x \to x_0$ finito, ma valgono anche per i limiti destro e sinistro e per $x \to \pm\infty$: basta sostituire l’intorno di $x_0$ con una semiretta $x > N$ (o $x < -N$), come nei limiti all’infinito. Con le stesse dimostrazioni valgono anche per il limite di una successione.

Il teorema di unicità del limite

Cosa vuol dire. Una funzione non può avvicinarsi a due valori diversi nello stesso momento. Sembra ovvio, ma è questo teorema che ci autorizza a dire «il» limite.

Dimostrazione. Facciamo il caso di due limiti finiti; con $\pm\infty$ l’idea è la stessa. Supponiamo per assurdo $\ell_1 < \ell_2$ e scegliamo come tolleranza metà della loro distanza:

$$\varepsilon = \frac{\ell_2 - \ell_1}{2}$$

Così la fascia attorno a $\ell_1$ finisce dove comincia quella attorno a $\ell_2$, nel punto medio $\frac{\ell_1 + \ell_2}{2}$: le due fasce non hanno punti in comune. Applicando due volte la definizione, esistono $\delta_1$ e $\delta_2$ tali che

$$\begin{gathered} 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_1 \implies f(x) < \ell_1 + \varepsilon \\ 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_2 \implies f(x) > \ell_2 - \varepsilon \end{gathered}$$

Prendiamo $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ e un punto $x$ con $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$: esiste, perché $x_0$ è di accumulazione. Per quel punto valgono entrambe le disuguaglianze, e siccome $\ell_1 + \varepsilon = \ell_2 - \varepsilon = \frac{\ell_1 + \ell_2}{2}$:

$$\frac{\ell_1 + \ell_2}{2} < f(x) < \frac{\ell_1 + \ell_2}{2}$$

Nessun numero è strettamente maggiore e minore di se stesso: assurdo. Quindi $\ell_1 = \ell_2$.

Perché serve il punto di accumulazione. Se vicino a $x_0$ non ci fossero punti del dominio, la definizione non si potrebbe mai mettere alla prova: sarebbe vera per qualunque $\ell$, e ogni numero sarebbe «un limite».

Una conseguenza pratica. Se avvicinandoti a $x_0$ in due modi diversi trovi due valori diversi, il limite non esiste: è il caso della funzione segno $\frac{\lvert x \rvert}{x}$, che tende a 1 da destra e a $-1$ da sinistra.

Il teorema della limitatezza locale

Dimostrazione. Usiamo la definizione con $\varepsilon = 1$: esiste $\delta$ tale che, per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$, si ha $\ell - 1 < f(x) < \ell + 1$. Allora

$$\lvert f(x) \rvert < \lvert \ell \rvert + 1$$

e basta prendere $K = \lvert \ell \rvert + 1$.

Le ipotesi contano. Il limite deve essere finito: $\frac{1}{x^2} \to +\infty$ per $x \to 0$, e vicino a 0 non è limitata. La limitatezza, poi, è solo locale: $f(x) = x$ tende a 2 per $x \to 2$, ma su tutto $\mathbb{R}$ non è limitata. Infine il viceversa è falso: $\sin\frac{1}{x}$ è limitata vicino a 0, perché sta tra $-1$ e $1$, ma non ha limite.

Il teorema della permanenza del segno

Cosa vuol dire. Il segno del limite «contagia» la funzione vicino al punto: non si può arrivare vicinissimi a 2 restando sotto lo zero. Lo userai per esempio così: se il numeratore di una frazione tende a 3, vicino al punto è positivo, e il segno della frazione dipende solo dal denominatore.

Nella figura la funzione tende a $\ell$ per $x \to x_0$. Dentro la striscia verde il grafico sta nella fascia azzurra tra $\frac{\ell}{2}$ e $\frac{3\ell}{2}$, quindi sopra l’asse $x$. Lontano da $x_0$ la funzione diventa negativa, e anche il valore $f(x_0)$ è negativo: il teorema parla solo dei punti vicini a $x_0$ e diversi da $x_0$.

Dimostrazione. Con $\ell$ finito, usiamo la definizione con $\varepsilon = \frac{\ell}{2}$, che è positivo. Esiste $\delta$ tale che, per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$:

$$\begin{gathered} \ell - \frac{\ell}{2} < f(x) < \ell + \frac{\ell}{2} \\ \frac{\ell}{2} < f(x) < \frac{3\ell}{2} \end{gathered}$$

Quindi $f(x) > \frac{\ell}{2} > 0$: la funzione resta addirittura lontana da zero. Se il limite è $+\infty$ basta la definizione con la soglia $M = 1$: vicino a $x_0$ si ha $f(x) > 1 > 0$.

Se il limite è zero, il teorema non dice niente. Per $x \to 0$ tendono a 0 sia $x^2$, che è positiva, sia $-x^2$, che è negativa, sia $x$, che cambia segno. E $x\sin\frac{1}{x}$, che vedremo tra poco, cambia segno infinite volte in ogni intorno di 0.

Il teorema al contrario: le disuguaglianze diventano larghe

Dimostrazione. Per assurdo: se il limite fosse negativo, per la permanenza del segno $f$ sarebbe negativa in un intorno di $x_0$. Nei punti comuni ai due intorni, che esistono perché $x_0$ è di accumulazione, $f$ sarebbe insieme $\geq 0$ e $< 0$: impossibile.

Applicando il corollario alla differenza $g - f$ e usando le operazioni con i limiti si ottiene la versione con due funzioni: se $f(x) \leq g(x)$ vicino a $x_0$, $f(x) \to \ell$ e $g(x) \to m$, con $\ell$ e $m$ finiti, allora $\ell \leq m$. Anche qui le disuguaglianze strette diventano larghe.

Il teorema del confronto, o dei carabinieri

Cosa vuol dire. La funzione $f$ è come un arrestato tra due carabinieri, $g$ e $h$, che camminano verso lo stesso punto: volente o nolente, ci arriva anche lei. Differenza importante con il corollario di prima: qui l’esistenza del limite di $f$ non è un’ipotesi, è una conclusione. Per questo il teorema è prezioso con le funzioni che oscillano. In inglese si chiama squeeze theorem.

Dimostrazione. Sia $\delta_0$ il raggio dell’intorno in cui vale $g \leq f \leq h$ e fissiamo $\varepsilon > 0$. Siccome $g \to \ell$, esiste $\delta_1$ tale che $g(x) > \ell - \varepsilon$ per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_1$; siccome $h \to \ell$, esiste $\delta_2$ tale che $h(x) < \ell + \varepsilon$ per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_2$. Con $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1, \delta_2\}$, per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$ valgono tutte insieme:

$$\ell - \varepsilon < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < \ell + \varepsilon$$

cioè $\lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon$. È esattamente la definizione di $f(x) \to \ell$.

Esempio. $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}$. Il fattore $\sin\frac{1}{x}$ non ha limite per $x \to 0$, quindi la regola del prodotto non si può usare. Però $\lvert \sin\frac{1}{x} \rvert \leq 1$, e moltiplicando per $\lvert x \rvert$:

$$-\lvert x \rvert \leq x\sin\frac{1}{x} \leq \lvert x \rvert$$

Entrambi i carabinieri tendono a 0, quindi

$$\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$$

Nel grafico la curva oscilla sempre più fitta, ma è intrappolata tra i grafici di $y = \lvert x \rvert$ e $y = -\lvert x \rvert$, una «V» e una «V» rovesciata che si toccano nell’origine.

Con lo stesso teorema si dimostra il più famoso dei limiti notevoli: per $0 < \lvert x \rvert < \frac{\pi}{2}$ vale $\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$, e siccome $\cos x \to 1$, anche $\frac{\sin x}{x} \to 1$ per $x \to 0$.

Se i carabinieri vanno in posti diversi, non si conclude niente. Vale $-1 \leq \sin\frac{1}{x} \leq 1$, ma i due carabinieri, le costanti $-1$ e $1$, hanno limiti diversi: e infatti $\sin\frac{1}{x}$ non ha limite per $x \to 0$.

Il confronto con l’infinito

Per i limiti infiniti basta un solo carabiniere, quello dalla parte giusta.

Dimostrazione. Sia $\delta_0$ il raggio dell’intorno in cui $f \geq g$. Fissata una soglia $M$, esiste $\delta_1$ tale che $g(x) > M$ per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_1$. Con $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ si ha $f(x) \geq g(x) > M$.

Esempio. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x + \sin x)$. Siccome $\sin x \geq -1$, vale $x + \sin x \geq x - 1$, e $x - 1 \to +\infty$. Il limite è $+\infty$. Attenzione alla direzione: sapere che $f \leq g$ con $g \to +\infty$ non dice niente su $f$. Per esempio $\sin x \leq x$ per $x \geq 0$, ma $\sin x$ non tende a $+\infty$.

Funzione limitata per funzione infinitesima

Una funzione che tende a 0 si chiama infinitesima (ne parliamo a fondo in infinitesimi e infiniti). L’esempio di $x\sin\frac{1}{x}$ è un caso di una regola generale, utilissima negli esercizi.

Dimostrazione. Per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_0$ si ha $\lvert f(x)\,g(x) \rvert \leq K\lvert f(x) \rvert$, cioè

$$-K\lvert f(x) \rvert \leq f(x)\,g(x) \leq K\lvert f(x) \rvert$$

I due carabinieri tendono a 0, perché $\lvert f(x) \rvert$ ha da 0 la stessa distanza di $f(x)$, quindi tende a 0 anche lei. Per il teorema dei carabinieri, $f(x)\,g(x) \to 0$.

Perché serve. La regola «il limite del prodotto è il prodotto dei limiti» richiede che entrambi i limiti esistano. Qui invece $g$ può oscillare quanto vuole, purché resti limitata. Così, senza fare conti:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \\ \lim_{x \to 0} x^2\cos\frac{1}{x} = 0 \end{gathered}$$

Nel primo $\frac{1}{x}$ è infinitesima e $\sin x$ è limitata; nel secondo $x^2$ è infinitesima e $\cos\frac{1}{x}$ è limitata.

Le ipotesi contano. Se $g$ non è limitata, il prodotto può fare qualsiasi cosa: con $f(x) = x$ e $g(x) = \frac{1}{x}$ il prodotto vale sempre 1, con $g(x) = \frac{1}{x^2}$ diventa $\frac{1}{x}$, che per $x \to 0$ non ha limite. È la forma indeterminata $0 \cdot \infty$. Se invece $f$ non tende a 0, la limitatezza non basta: $1 \cdot \sin\frac{1}{x}$ non ha limite.

Il limite della funzione composta e il cambio di variabile

Molti limiti si semplificano con una sostituzione: in $\frac{\sin(3x)}{3x}$, per esempio, conviene chiamare $t = 3x$. Il teorema che lo permette riguarda la funzione composta $f(g(x))$, dove $g$ è la funzione interna e $f$ quella esterna.

In pratica: si pone $t = g(x)$, si guarda dove va $t$ e si calcola il limite di $f(t)$. Se $t_0 = \pm\infty$ la condizione 1 è automatica, perché $g(x)$ è un numero reale.

Dimostrazione (caso finito). Fissiamo $\varepsilon > 0$. Siccome $f(t) \to \ell$, esiste $\eta > 0$ tale che

$$0 < \lvert t - t_0 \rvert < \eta \implies \lvert f(t) - \ell \rvert < \varepsilon$$

Siccome $g(x) \to t_0$, usando $\eta$ come tolleranza per $g$ troviamo $\delta > 0$ tale che $\lvert g(x) - t_0 \rvert < \eta$ per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$. Con la condizione 1, restringendo $\delta$ se serve, si ha anche $g(x) \neq t_0$, cioè

$$0 < \lvert g(x) - t_0 \rvert < \eta$$

e l’implicazione di prima, con $t = g(x)$, dà $\lvert f(g(x)) - \ell \rvert < \varepsilon$. Con la condizione 2, invece, nei punti in cui $g(x) = t_0$ si ha $f(g(x)) = f(t_0) = \ell$, e la disuguaglianza è vera lo stesso.

Perché serve una delle due condizioni. Prendi $g(x) = 0$ per ogni $x$ e

$$f(t) = \begin{cases} 1 & \text{se } t \neq 0 \\ 0 & \text{se } t = 0 \end{cases}$$

Allora $g(x) \to 0$ e $f(t) \to 1$ per $t \to 0$, perché il valore in 0 non conta. Ma $f(g(x)) = f(0) = 0$ per ogni $x$: il limite della composta è 0, non 1. Falliscono entrambe le condizioni: $g$ vale proprio $t_0 = 0$, e $f$ non è continua in 0. Lo stesso guaio, meno evidente, capita con $g(x) = x\sin\frac{1}{x}$: tende a 0 ma vale 0 in tutti i punti $x = \frac{1}{k\pi}$, quindi $f(g(x))$ salta tra 0 e 1 e non ha limite.

La condizione 2 è quella che usi senza accorgertene quando porti il limite dentro una funzione continua:

$$\lim_{x \to +\infty} \ln\frac{2x + 1}{x} = \ln 2$$

perché $\frac{2x + 1}{x} \to 2$ e il logaritmo è continuo in 2.

La scaletta per il cambio di variabile.

1. Riconosci la funzione interna e poni $t = g(x)$.
2. Calcola $t_0 = \displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)$, separando destra e sinistra se i due lati vanno in posti diversi.
3. Controlla una delle due condizioni: $g(x) \neq t_0$ vicino a $x_0$ (vero per esempio se $g$ è strettamente monotona, o se $t_0 = \pm\infty$), oppure $f$ continua in $t_0$.
4. Calcola $\displaystyle\lim_{t \to t_0} f(t)$.

Esempio. In $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}$ poniamo $t = 3x$: $t \to 0$ e $t \neq 0$ per $x \neq 0$. Il limite diventa $\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$.

Esempio. In $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^{-\frac{1}{x}}$ poniamo $t = -\frac{1}{x}$: per $x \to 0^+$ si ha $t \to -\infty$ e $e^t \to 0$, quindi il limite è 0. Da sinistra, invece, $t \to +\infty$ e la funzione tende a $+\infty$: ecco perché al passo 2 bisogna guardare i due lati.

I limiti delle funzioni monotone

Le funzioni crescenti o decrescenti non possono oscillare, quindi i limiti da destra e da sinistra esistono sempre. Il teorema usa l’estremo superiore e inferiore.

Se $b = +\infty$, «$x \to b^-$» vuol dire semplicemente $x \to +\infty$.

Dimostrazione (limite in $b$, con $b$ finito e $S = \sup f$ finito). Fissiamo $\varepsilon > 0$. Siccome $S$ è il più piccolo dei maggioranti, $S - \varepsilon$ non è un maggiorante: esiste $\bar{x} \in (a, b)$ con $f(\bar{x}) > S - \varepsilon$. Per ogni $x$ tra $\bar{x}$ e $b$, la monotonia e la definizione di $\sup$ danno

$$S - \varepsilon < f(\bar{x}) \leq f(x) \leq S$$

Quindi $\lvert f(x) - S \rvert < \varepsilon$ per $b - \delta < x < b$, con $\delta = b - \bar{x}$; se $b = +\infty$, basta $x > \bar{x}$. Se $S = +\infty$ il ragionamento è lo stesso, con una soglia $M$ al posto di $S - \varepsilon$.

Applicando il teorema agli intervalli $(a, x_0)$ e $(x_0, b)$, in ogni punto interno $x_0$ esistono il limite sinistro e il limite destro, e

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) \leq f(x_0) \leq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$$

perché $f(x_0)$ è un maggiorante dei valori a sinistra e un minorante di quelli a destra. I due limiti possono però essere diversi: la funzione può saltare, come in figura.

Esempio. L’arcotangente è crescente su $\mathbb{R}$ e i suoi valori stanno sotto $\frac{\pi}{2}$, avvicinandosi quanto vuoi: il $\sup$ è $\frac{\pi}{2}$, ed ecco perché $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$ per $x \to +\infty$.

Le ipotesi contano. Senza monotonia il teorema cade: $\sin\frac{1}{x}$ su $(0, 1)$ è limitata ma non ha limite per $x \to 0^+$. E il teorema garantisce i limiti unilaterali, non il limite: la parte intera $\lfloor x \rfloor$ è crescente, ma in $x = 1$ tende a 0 da sinistra e a 1 da destra. Per questo una funzione monotona può avere solo discontinuità di salto.

Gli errori più comuni

• Passare al limite tenendo la disuguaglianza stretta. Da $f(x) > 0$ segue solo $\lim f \geq 0$: $x^2 > 0$ per $x \neq 0$, ma il suo limite in 0 è 0.
• Usare la permanenza del segno quando il limite è 0. Con limite nullo la funzione può avere qualsiasi segno, anche cambiarlo infinite volte.
• Applicare i carabinieri con limiti diversi. Da $-1 \leq \sin\frac{1}{x} \leq 1$ non si ricava nessun limite: i due carabinieri devono tendere allo stesso valore.
• Spezzare il limite di un prodotto quando un fattore non ha limite. Scrivere $\lim x\sin\frac{1}{x} = \lim x \cdot \lim \sin\frac{1}{x}$ è sbagliato: il secondo limite non esiste. Serve il teorema della funzione limitata per infinitesima.
• Dimenticare che il fattore deve essere limitato. Infinitesima per illimitata è la forma indeterminata $0 \cdot \infty$: $x \cdot \frac{1}{x} = 1$, non 0.
• Usare il confronto con l’infinito nel verso sbagliato. Se $f \leq g$ e $g \to +\infty$ non si conclude niente su $f$: serve $f \geq g$.
• Cambiare variabile senza guardare dove va la nuova variabile. Con $t = \frac{1}{x}$, per $x \to 0^+$ si ha $t \to +\infty$ ma per $x \to 0^-$ si ha $t \to -\infty$: i due lati vanno studiati separatamente.
• Credere che una funzione monotona abbia sempre limite finito, o limite in ogni punto. Ha sempre i limiti unilaterali, ma agli estremi possono essere infiniti e nei punti di salto sono diversi tra loro.

Esercizi svolti

1. La permanenza del segno con i numeri

Testo. La funzione $f(x) = 3x - 1$ tende a 2 per $x \to 1$. Seguendo la dimostrazione della permanenza del segno, trova un intorno di 1 in cui $f(x) > 1$.

Nella dimostrazione si usa $\varepsilon = \frac{\ell}{2}$, cioè qui $\varepsilon = 1$. Cerchiamo per quali $x$ vale $\lvert f(x) - 2 \rvert < 1$:

$$\begin{gathered} \lvert (3x - 1) - 2 \rvert < 1 \\ \lvert 3x - 3 \rvert < 1 \\ 3\lvert x - 1 \rvert < 1 \\ \lvert x - 1 \rvert < \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Quindi con $\delta = \frac{1}{3}$, cioè per $\frac{2}{3} < x < \frac{4}{3}$, si ha $1 < f(x) < 3$. Controllo agli estremi: $f(\frac{2}{3}) = 1$ e $f(\frac{4}{3}) = 3$. In quell’intorno $f$ è positiva, anzi resta sopra 1. Il teorema non dà l’intorno più grande possibile (in realtà $f > 1$ per ogni $x > \frac{2}{3}$), ma uno sicuro.

2. I carabinieri con la parte intera

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\lfloor x \rfloor}{x}$, dove $\lfloor x \rfloor$ è la parte intera di $x$, cioè il più grande intero minore o uguale a $x$ (per esempio $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$).

Il numeratore cresce a scatti e non si può semplificare. Però la parte intera dista da $x$ meno di 1:

$$x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x$$

Per $x > 0$ possiamo dividere per $x$ senza cambiare i versi:

$$1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x \rfloor}{x} \leq 1$$

Il carabiniere di sinistra tende a $1 - 0 = 1$, quello di destra è la costante 1. Quindi

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\lfloor x \rfloor}{x} = 1$$

Per esempio con $x = 1000{,}5$ il rapporto vale circa $0{,}9995$.

3. Limitata per infinitesima dentro una frazione

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2\sin x}{x - \cos x}$.

Per il confronto con l’infinito, $x + 2\sin x \geq x - 2$ e $x - \cos x \geq x - 1$: numeratore e denominatore tendono a $+\infty$, una forma $\frac{\infty}{\infty}$. Come nel calcolo dei limiti delle frazioni, raccogliamo $x$ sopra e sotto (per $x > 1$ il denominatore è positivo, quindi non si annulla):

$$\frac{x + 2\sin x}{x - \cos x} = \frac{1 + 2\,\frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\cos x}{x}}$$

Ora $\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x} \cdot \sin x$ è il prodotto di una funzione infinitesima per una limitata, quindi tende a 0; lo stesso vale per $\frac{\cos x}{x}$. Con le regole delle operazioni:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2\sin x}{x - \cos x} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$$

Seno e coseno oscillano, ma diventano trascurabili rispetto a $x$. Nota che il teorema di de l’Hôpital qui non funziona: il rapporto delle derivate, $\frac{1 + 2\cos x}{1 + \sin x}$, non ha limite.

4. Un carabiniere solo, da due lati

Testo. Studia $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{2 + \sin\frac{1}{x}}{x}$.

Il numeratore non ha limite, ma è intrappolato: siccome $-1 \leq \sin\frac{1}{x} \leq 1$,

$$1 \leq 2 + \sin\frac{1}{x} \leq 3$$

Il numeratore vale sempre almeno 1. Ora conta il segno di $x$, quindi studiamo i due lati.

Da destra, con $x > 0$, dividendo la disuguaglianza $2 + \sin\frac{1}{x} \geq 1$ per $x$ il verso resta:

$$\frac{2 + \sin\frac{1}{x}}{x} \geq \frac{1}{x}$$

e $\frac{1}{x} \to +\infty$ per $x \to 0^+$. Per il confronto con l’infinito il limite destro è $+\infty$.

Da sinistra, con $x < 0$, dividendo per un numero negativo il verso si inverte:

$$\frac{2 + \sin\frac{1}{x}}{x} \leq \frac{1}{x}$$

e $\frac{1}{x} \to -\infty$ per $x \to 0^-$. Quindi il limite sinistro è $-\infty$.

I due limiti unilaterali sono diversi, quindi il limite per $x \to 0$ non esiste; la retta $x = 0$ è un asintoto verticale da entrambi i lati.

5. Stessa funzione, due limiti diversi

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}$ e $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\sin\frac{1}{x}$.

Per $x \to 0$ l’abbiamo già visto: $x$ è infinitesima e $\sin\frac{1}{x}$ è limitata, quindi il limite è 0.

Per $x \to +\infty$ la situazione si capovolge: $x \to +\infty$ e $\sin\frac{1}{x} \to \sin 0 = 0$, una forma $\infty \cdot 0$. Seguiamo la scaletta del cambio di variabile: poniamo $t = \frac{1}{x}$. Per $x \to +\infty$ si ha $t \to 0^+$, e $t \neq 0$, quindi la condizione 1 è verificata. Siccome $x = \frac{1}{t}$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} x\sin\frac{1}{x} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} \\ {} = 1 \end{gathered}$$

per il limite notevole del seno. La stessa funzione tende a 0 vicino all’origine e a 1 all’infinito: per $x$ grande, $\frac{1}{x}$ è piccolo e $\sin\frac{1}{x}$ è quasi uguale a $\frac{1}{x}$.

6. Vero o falso

Testo. Per ciascuna affermazione di’ se è vera o falsa, giustificando con una dimostrazione o con un controesempio.

• a) Se $f(x) > 0$ per ogni $x \neq 0$ e $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = \ell$, allora $\ell > 0$.
• b) Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \lvert f(x) \rvert = 0$, allora $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$.
• c) Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \lvert f(x) \rvert = 3$, allora $f(x)$ tende a 3 oppure a $-3$.
• d) Se $f$ è crescente su $(0, 1)$, allora $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)$ esiste ed è finito.

a) Falsa. Basta $f(x) = x^2$: è positiva per $x \neq 0$, ma tende a 0. Dal corollario della permanenza del segno si può dire solo $\ell \geq 0$.

b) Vera. La distanza di $\lvert f(x) \rvert$ da 0 è $\lvert f(x) \rvert$, la stessa di $f(x)$. Quindi «$\lvert f(x) \rvert$ dista da 0 meno di $\varepsilon$» e «$f(x)$ dista da 0 meno di $\varepsilon$» sono la stessa frase, e le due definizioni di limite coincidono.

c) Falsa. Con $x_0 = 0$ e $f(x) = \frac{3\lvert x \rvert}{x}$ si ha $\lvert f(x) \rvert = 3$ per ogni $x \neq 0$, ma $f$ vale 3 per $x > 0$ e $-3$ per $x < 0$: tende a 3 da destra e a $-3$ da sinistra, quindi non ha limite. Il valore assoluto nasconde il salto.

d) Falsa. Il limite esiste sempre, per il teorema sulle funzioni monotone, ma può essere infinito: $f(x) = \frac{1}{1 - x}$ è crescente su $(0, 1)$ e tende a $+\infty$ per $x \to 1^-$. Il limite è finito se e solo se $f$ è limitata superiormente.

Per smontare un’affermazione falsa basta un controesempio; per una vera serve una dimostrazione.

Molti altri limiti, con tutte le tecniche del capitolo, li trovi negli esercizi svolti sui limiti.

In sintesi

• Unicità: se il limite esiste, è uno solo.
• Limitatezza locale: una funzione con limite finito è limitata vicino al punto.
• Permanenza del segno: se il limite è positivo (o $+\infty$), la funzione è positiva vicino al punto. Viceversa da $f \geq 0$ segue $\lim f \geq 0$: passando al limite, $>$ diventa $\geq$.
• Carabinieri: $g \leq f \leq h$ con $g$ e $h$ che tendono a $\ell$ implica $f \to \ell$; per $+\infty$ basta $f \geq g$ con $g \to +\infty$.
• Limitata per infinitesima tende a 0, anche se la funzione limitata non ha limite.
• Funzione composta: si pone $t = g(x)$ e si calcola il limite di $f(t)$ per $t \to t_0$, purché $g(x) \neq t_0$ vicino al punto oppure $f$ sia continua in $t_0$.
• Funzioni monotone: hanno sempre i limiti unilaterali, uguali all’estremo superiore e inferiore dei valori.

Ora possiamo passare ai calcoli: operazioni con i limiti e forme indeterminate.