Funzioni continue: definizione, continuità in un punto, esempi ed esercizi svolti

Nel capitolo sui limiti abbiamo visto che il limite per $x \to x_0$ non dipende da quanto vale la funzione in $x_0$. Nelle funzioni che usi ogni giorno, però, di solito le due cose coincidono, e questa coincidenza si chiama continuità. Permette di calcolare i limiti sostituendo, è l’ipotesi del teorema degli zeri e di quello di Weierstrass, e all’esame compare quasi sempre, spesso come funzione a tratti da rendere continua con un parametro. In questa pagina vediamo la definizione di funzione continua in un punto con le tre condizioni, le definizioni con ε e δ e con le successioni, la continuità da destra e da sinistra, le funzioni elementari, le operazioni che conservano la continuità, il legame con il calcolo dei limiti, l’equivoco della matita, le funzioni a tratti con parametri, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: piccoli cambiamenti, piccoli effetti

Pensa alla temperatura di una stanza: in un minuto cambia di pochissimo, senza mai saltare. Il costo di una spedizione, invece, va spesso «a scaglioni»: superata una soglia di peso, anche di un solo grammo, paghi di più. La temperatura è una funzione continua del tempo; il costo fa un salto.

In matematica: $f$ è continua in $x_0$ se, quando $x$ si avvicina a $x_0$, i valori $f(x)$ si avvicinano proprio a $f(x_0)$. Niente salti, niente buchi, niente punti fuori posto, come nel grafico a sinistra.

La definizione di funzione continua in un punto

Dentro questa uguaglianza ci sono tre richieste:

1. $f$ è definita in $x_0$, cioè $f(x_0)$ esiste;
2. il limite per $x \to x_0$ esiste ed è finito;
3. il limite è uguale a $f(x_0)$.

Se ne manca anche una sola, $f$ non è continua in $x_0$. Ecco un controesempio per ciascuna.

Manca il valore. $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ in $x_0 = 1$: per $x \neq 1$ vale $x + 1$, quindi il limite è 2, ma $f(1)$ non esiste. A rigore la continuità riguarda solo i punti del dominio; negli esercizi, però, si dice che lì c’è una discontinuità.

Manca il limite. La parte intera $\lfloor x \rfloor$, il più grande intero che non supera $x$, vale 1 in $x_0 = 1$, ma da sinistra tende a 0 e da destra a 1. Oppure il limite è infinito, come per $\frac{1}{x^2}$ con $f(0) = 0$.

Il limite è diverso dal valore. $\frac{\sin x}{x}$ per $x \neq 0$, con $f(0) = 0$: il limite è 1 per il limite notevole del seno, ma il valore è 0.

Sono i tre tipi di punti di discontinuità: il buco e il punto spostato sono di terza specie, cioè eliminabili; il salto è di prima specie; un limite laterale infinito o inesistente dà la seconda specie.

La definizione con ε e δ

Scrivendo il limite con la sua definizione, e mettendo $f(x_0)$ al posto di $\ell$, si ottiene la versione che vale in ogni punto del dominio $A$ di $f$.

In parole: se $x$ cambia di poco, $f(x)$ cambia di poco. Comunque scegli la fascia orizzontale attorno a $f(x_0)$, trovi una striscia verticale attorno a $x_0$ in cui il grafico resta dentro la fascia.

Rispetto alla definizione di limite cambiano due cose.

• Il punto $x_0$ non è escluso. Nel limite si chiede $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$, qui basta $\lvert x - x_0 \rvert < \delta$. Per $x = x_0$ la disuguaglianza è ovvia, $0 < \varepsilon$: includere il punto non aggiunge condizioni. In figura il punto è pieno, non un buco.
• $x_0$ deve stare nel dominio, perché al posto di $\ell$ c’è $f(x_0)$: è questo che obbliga il limite a valere proprio $f(x_0)$.

Una conseguenza curiosa: se $x_0$ è un punto isolato del dominio, cioè vicino a lui non ci sono altri punti del dominio, con $\delta$ piccolo l’unico $x \in A$ con $\lvert x - x_0 \rvert < \delta$ è $x_0$ stesso, e la condizione è soddisfatta. Ogni funzione è continua nei punti isolati del suo dominio: $\sqrt{x^2(x - 1)}$, con dominio $\{0\} \cup [1, +\infty)$, è continua in 0, dove il limite non ha senso.

La continuità con le successioni

Spesso conviene ragionare con le successioni di punti.

Dimostrazione

Se $f$ è continua. Fissato $\varepsilon > 0$, prendi il $\delta$ della definizione. Siccome $x_n \to x_0$, da un certo indice in poi $\lvert x_n - x_0 \rvert < \delta$, quindi $\lvert f(x_n) - f(x_0) \rvert < \varepsilon$: è la definizione di $f(x_n) \to f(x_0)$.

Se $f$ non è continua. Esiste un $\varepsilon_0 > 0$ per cui nessun $\delta$ funziona. Con $\delta = \frac{1}{n}$ troviamo, per ogni $n$, un $x_n \in A$ con $\lvert x_n - x_0 \rvert < \frac{1}{n}$ ma $\lvert f(x_n) - f(x_0) \rvert \geq \varepsilon_0$: la successione tende a $x_0$, ma $f(x_n)$ non tende a $f(x_0)$.

A cosa serve. Per dimostrare che $f$ non è continua in $x_0$ basta una successione $x_n \to x_0$ con $f(x_n)$ che non tende a $f(x_0)$. Sia $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ per $x \neq 0$, con $f(0) = 0$. I punti

$$x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$$

tendono a 0 (con $n = 10$ siamo a circa $0{,}016$), ma $f(x_n) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1$ per ogni $n$: $f$ non è continua in 0. Per dire che $f$ è continua, invece, servono tutte le successioni: conviene usare limiti e operazioni.

Continuità da destra e da sinistra

Se il dominio prosegue da entrambi i lati di $x_0$, $f$ è continua in $x_0$ se e solo se lo è da destra e da sinistra.

• La radice in 0. $\sqrt{x}$ è definita solo per $x \geq 0$: a 0 ci si avvicina solo da destra, e $\sqrt{x} \to 0 = \sqrt{0}$. A sinistra non c’è dominio, quindi la continuità da destra è tutta la continuità: $\sqrt{x}$ è continua in 0.
• La parte intera negli interi. In un intero $n$, appena a destra si ha $\lfloor x \rfloor = n$, appena a sinistra $\lfloor x \rfloor = n - 1$. Il limite destro è $n = \lfloor n \rfloor$, quello sinistro $n - 1$: la parte intera è continua da destra, non da sinistra (pallino pieno all’inizio di ogni gradino, nel grafico più avanti).

Funzioni continue su un insieme

Su un intervallo chiuso $[a, b]$ la definizione guarda solo i punti di $[a, b]$: $f$ è continua su $[a, b]$ se lo è nei punti interni, da destra in $a$ e da sinistra in $b$. L’insieme delle funzioni continue su $I$ si indica con $C(I)$ o $C^0(I)$.

Le funzioni elementari sono continue

Per $f(x) = x$ basta $\delta = \varepsilon$, per una costante va bene qualsiasi $\delta$; con le operazioni del prossimo paragrafo si ottengono tutti i polinomi. Per il valore assoluto la disuguaglianza triangolare dà $\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert x_0 \rvert \big\rvert \leq \lvert x - x_0 \rvert$, e di nuovo basta $\delta = \varepsilon$.

Il seno. Con le formule di prostaferesi:

$$\begin{gathered} \sin x - \sin x_0 \\ {} = 2\cos\frac{x + x_0}{2}\,\sin\frac{x - x_0}{2} \end{gathered}$$

Il coseno vale al massimo 1 in valore assoluto, e per ogni $t$ in radianti $\lvert \sin t \rvert \leq \lvert t \rvert$: per $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ il segmento che misura $\sin t$ sulla circonferenza goniometrica è più corto dell’arco lungo $t$, per $t > \frac{\pi}{2}$ il seno non supera $1 < t$, e per $t < 0$ si usa la simmetria. Quindi

$$\begin{gathered} \lvert \sin x - \sin x_0 \rvert \leq 2 \cdot 1 \cdot \frac{\lvert x - x_0 \rvert}{2} \\ {} = \lvert x - x_0 \rvert \end{gathered}$$

e basta $\delta = \varepsilon$. Per il coseno si usa $\cos x - \cos x_0 = -2\sin\frac{x + x_0}{2}\sin\frac{x - x_0}{2}$. Per l’esponenziale la prova dipende da come la definisce il corso, e la saltiamo; logaritmi e radici seguono dalla continuità dell’inversa, qui sotto.

Le operazioni conservano la continuità

Perché è vero. È l’algebra dei limiti finiti delle operazioni con i limiti: il limite di $f(x) + g(x)$ è $f(x_0) + g(x_0)$, cioè proprio il valore di $f + g$ in $x_0$, e lo stesso vale per il prodotto. Per il quoziente serve $g(x_0) \neq 0$: per la permanenza del segno, nei teoremi sui limiti, $g$ non si annulla vicino a $x_0$, e $\frac{f}{g}$ è definita lì. Così sono continui i polinomi, le funzioni razionali e $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ nei loro domini.

La funzione composta

Dimostrazione. Fissiamo $\varepsilon > 0$ e chiamiamo $y_0 = g(x_0)$.

1. $f$ è continua in $y_0$: esiste $\eta > 0$ ($\eta$ è la lettera greca «eta») tale che $\lvert y - y_0 \rvert < \eta$ implica $\lvert f(y) - f(y_0) \rvert < \varepsilon$.
2. $g$ è continua in $x_0$: usando $\eta$ come tolleranza, esiste $\delta > 0$ tale che $\lvert x - x_0 \rvert < \delta$ implica $\lvert g(x) - y_0 \rvert < \eta$.
3. Per $\lvert x - x_0 \rvert < \delta$, con $x$ nel dominio della composta, $y = g(x)$ dista da $y_0$ meno di $\eta$, e il passo 1 dà $\lvert f(g(x)) - f(g(x_0)) \rvert < \varepsilon$.

È una catena di tolleranze: $\varepsilon$ decide $\eta$, ed $\eta$ decide $\delta$. Le ipotesi in più del limite della funzione composta non servono, perché $f$ è continua in $y_0$: nel passo 1 il punto $y_0$ non è escluso, e la stima vale anche quando $g(x) = y_0$. Così $e^{x^2 + 1}$ e $\ln(1 + x^2)$ sono continue su $\mathbb{R}$, e $\sin\frac{1}{x}$ su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

La funzione inversa

Ne segue la continuità di $\sqrt{x}$, inversa di $x^2$ su $[0, +\infty)$, di $\ln x$, inversa di $e^x$, e delle goniometriche inverse. La dimostrazione, e un esempio che mostra perché serve l’intervallo, sono nella pagina sulla continuità uniforme e le funzioni monotone.

Continuità e calcolo dei limiti

La continuità è il motivo per cui il primo passo nel calcolo dei limiti è sostituire: una funzione costruita con le funzioni elementari è continua in ogni punto del suo dominio, e lì il limite è il valore.

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 1}{x + 1} = \frac{8 - 1}{2 + 1} = \frac{7}{3}$$

Ancora più utile è questa regola: il limite passa dentro una funzione continua.

È il teorema sul limite della funzione composta quando la funzione esterna è continua; $x_0$ può stare fuori dal dominio di $g$, o essere $\pm\infty$. Siccome $\frac{\sin x}{x} \to 1$ e $\frac{\sin 3x}{x} \to 3$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0} e^{\frac{\sin x}{x}} = e^1 = e \\ \lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin 3x}{x}} = \sqrt{3} \end{gathered}$$

L’equivoco della matita

«Una funzione è continua se si disegna senza staccare la matita dal foglio»: è un’immagine utile, ma come definizione è sbagliata, in due direzioni.

Grafico spezzato, eppure continua. $f(x) = \frac{1}{x}$ ha un grafico in due rami, ma è continua: lo è in ogni punto del suo dominio, $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, e in 0 non c’è niente da verificare, perché lì non è definita. Lo stesso vale per $\tan x$, che ha infinite interruzioni, tutte fuori dal dominio. La parte intera, invece, salta in punti del dominio: lì la continuità si rompe davvero.

Negli esercizi si legge anche che $\frac{1}{x}$ ha in 0 una «discontinuità di seconda specie»: i testi italiani classificano anche i punti esclusi dal dominio. Nessuna contraddizione: «continua» parla dei punti del dominio, la classificazione descrive il grafico vicino a 0.

Impossibile da disegnare, eppure continua in un punto. Sia $D(x)$ la funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali, e sia $f(x) = x \cdot D(x)$: vale $x$ se $x$ è razionale, 0 se è irrazionale.

• In 0 è continua: $\lvert f(x) \rvert \leq \lvert x \rvert$, e per il teorema dei carabinieri $f(x) \to 0 = f(0)$.
• In ogni $x_0 \neq 0$ non lo è: presi razionali $q_n \to x_0$ e irrazionali $r_n \to x_0$, si ha $f(q_n) = q_n \to x_0$ e $f(r_n) = 0$. Due limiti diversi non possono essere entrambi $f(x_0)$: per il criterio delle successioni, $f$ non è continua in $x_0$.

L’immagine della matita funziona solo sugli intervalli: lì una funzione continua non salta nessun valore, come dice il teorema dei valori intermedi.

Funzioni definite a tratti e parametri

Nelle funzioni «a pezzi», l’esercizio più frequente del capitolo, la continuità va controllata a mano nei punti di raccordo, dove cambia la formula.

1. Controlla i pezzi: di solito sono funzioni elementari, continue nei loro intervalli aperti, salvo punti esclusi dal dominio.
2. In ogni raccordo $x_0$ calcola il valore $f(x_0)$, con la riga che contiene $x_0$, e i due limiti laterali, ognuno con la formula del suo lato.
3. Imponi che siano uguali: un’equazione per raccordo.
4. Risolvi e controlla sostituendo.

Un parametro. Per quale $k$ è continua la funzione seguente?

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \leq 1 \\ 3x + k & x > 1 \end{cases}$$

I pezzi sono polinomi: resta $x = 1$. Il valore è $f(1) = 2$ e coincide con il limite sinistro; il limite destro è $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} (3x + k) = 3 + k$. Serve $3 + k = 2$, cioè $k = -1$. Con ogni altro $k$ il grafico salta: è la figura all’inizio della pagina, con $k = -1$ a sinistra e $k = 1$ a destra.

Due parametri. Trova $a$ e $b$ in modo che sia continua su $\mathbb{R}$

$$g(x) = \begin{cases} ax + b & x < 1 \\ x^2 & 1 \leq x \leq 2 \\ bx + a & x > 2 \end{cases}$$

• In $x = 1$: il limite sinistro è $a + b$, il valore e il limite destro valgono 1. Serve $a + b = 1$.
• In $x = 2$: il valore e il limite sinistro valgono 4, il limite destro è $2b + a$. Serve $a + 2b = 4$.

Sottraendo la prima equazione dalla seconda si trova $b = 3$, quindi $a = -2$. Controllo: $-2x + 3$ vale 1 in $x = 1$ e $3x - 2$ vale 4 in $x = 2$.

Ogni raccordo dà una equazione. Con due parametri e un solo raccordo, come in

$$h(x) = \begin{cases} x^2 + a & x \leq 1 \\ bx & x > 1 \end{cases}$$

l’unica condizione è $1 + a = b$, e le soluzioni sono infinite. Per fissarle serve un’altra richiesta, di solito la derivabilità. E se da un lato il limite è infinito per ogni valore del parametro, nessuna scelta può rimediare.

A cosa serve la continuità

È l’ipotesi dei grandi teoremi su un intervallo $[a, b]$: il teorema degli zeri (se agli estremi i segni sono opposti, la funzione si annulla), il teorema di Weierstrass (esistono massimo e minimo) e il teorema di Heine-Cantor, da cui segue che le funzioni continue sono integrabili. E ogni funzione derivabile è continua, ma non viceversa: pensa a $\lvert x \rvert$ in 0.

Un po’ di storia

La prima definizione moderna di continuità si deve a Bernard Bolzano, in un opuscolo pubblicato a Praga nel 1817 per dimostrare in modo «puramente analitico» proprio il teorema degli zeri: $f$ varia secondo la «legge di continuità» se $f(x + \omega) - f(x)$ diventa più piccola di qualsiasi quantità data, prendendo $\omega$ abbastanza piccolo. Nel 1821, nel Cours d’analyse, Augustin-Louis Cauchy scrisse che $f$ è continua se un incremento infinitamente piccolo della variabile produce sempre un incremento infinitamente piccolo della funzione. Il lavoro di Bolzano rimase a lungo poco noto; la forma con $\varepsilon$ e $\delta$ si affermò con Karl Weierstrass, nella seconda metà dell’Ottocento.

Gli errori più comuni

• Dire che $\frac{1}{x}$ è discontinua perché il grafico è spezzato. La continuità si controlla nei punti del dominio, e 0 non ci sta.
• Controllare il limite e dimenticare il valore. Servono tre cose: $f(x_0)$ esiste, il limite esiste finito, e sono uguali.
• Mescolare le righe di una funzione a tratti. Il valore in $x_0$ si legge nella riga che contiene $x_0$, i limiti laterali con le formule dei due lati.
• Portare il limite dentro una funzione non continua. $\lfloor \cos x \rfloor$ tende a 0 per $x \to 0$, non a $\lfloor 1 \rfloor = 1$.
• Usare una sola successione per dimostrare la continuità. Una successione basta per dire di no; per dire di sì servono tutte.
• Dire che $\sqrt{x}$ non è continua in 0 perché manca il limite sinistro. A sinistra di 0 non c’è dominio: la continuità da destra basta.

Esercizi svolti

1. Dove è continua

Testo. Trova l’insieme in cui sono continue $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x^2 - 9}$ e $g(x) = \ln(\sin x)$.

Per $f$ la radice chiede $x \geq 1$, e il denominatore $(x - 3)(x + 3)$ deve essere diverso da 0; il punto $-3$ è già escluso. Il dominio è $[1, 3) \cup (3, +\infty)$. Numeratore (una composta di funzioni continue) e denominatore (un polinomio) sono continui, e il quoziente lo è dove il denominatore non si annulla: $f$ è continua in tutto il dominio, in $x = 1$ da destra, con $f(x) \to 0 = f(1)$.

Per $g$ serve $\sin x > 0$, cioè $2k\pi < x < \pi + 2k\pi$ con $k$ intero. $g$ è composta del seno e del logaritmo, continuo su $(0, +\infty)$: è continua in tutto il dominio, fatto di infiniti intervalli separati. Per le funzioni costruite con quelle elementari, «dove è continua?» e «dove è definita?» sono la stessa domanda.

2. La radice con ε e δ

Testo. Dimostra con la definizione che $f(x) = \sqrt{x}$ è continua in $x_0 = 4$. Quale $\delta$ va bene per $\varepsilon = 0{,}1$?

Fissato $\varepsilon > 0$, stimiamo $\lvert \sqrt{x} - 2 \rvert$ per $x \geq 0$, moltiplicando e dividendo per $\sqrt{x} + 2$, che è almeno 2:

$$\begin{gathered} \lvert \sqrt{x} - 2 \rvert = \frac{\lvert x - 4 \rvert}{\sqrt{x} + 2} \\ {} \leq \frac{\lvert x - 4 \rvert}{2} \end{gathered}$$

Se $\lvert x - 4 \rvert < 2\varepsilon$, allora $\lvert \sqrt{x} - 2 \rvert < \varepsilon$: basta $\delta = 2\varepsilon$. Con $\varepsilon = 0{,}1$ si ha $\delta = 0{,}2$: per $3{,}8 < x < 4{,}2$ la radice sta tra $\sqrt{3{,}8} \approx 1{,}949$ e $\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}049$, a meno di $0{,}1$ da 2.

In un qualsiasi $x_0 > 0$, $\lvert \sqrt{x} - \sqrt{x_0} \rvert \leq \frac{\lvert x - x_0 \rvert}{\sqrt{x_0}}$ e basta $\delta = \varepsilon\sqrt{x_0}$. Il $\delta$ dipende da $\varepsilon$ e dal punto, mai da $x$: più ci si avvicina a 0, più deve essere piccolo.

3. Tre limiti con la continuità

Testo. Calcola i limiti:

1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln\frac{e^{3x} - 1}{x}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos\left(\pi \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2}\right)$
3. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \arctan\frac{x^2 - 1}{x - 1}$

Si calcola il limite della funzione interna e poi si usa la continuità di quella esterna.

1. Con il limite notevole dell’esponenziale, $\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \cdot \frac{e^{3x} - 1}{3x} \to 3$. Il logaritmo è continuo in 3: il limite è $\ln 3$.

2. Per il limite notevole del coseno $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$, quindi l’argomento tende a $\frac{\pi}{2}$. Il coseno è continuo: il limite è $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.

3. Per $x \neq 1$ si ha $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$, che tende a 2. L’arcotangente è continua: il limite è $\arctan 2 \approx 1{,}107$.

Il limite passa dentro anche se le funzioni interne non sono definite nel punto.

4. Un parametro, due soluzioni

Testo. Per quali $a$ è continua su $\mathbb{R}$ la funzione seguente? Per gli altri valori, che cosa succede in 0?

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin 3x}{x} & x < 0 \\[1.2ex] x^2 + a^2 - a + 1 & x \geq 0 \end{cases}$$

Per $x < 0$ è un quoziente di funzioni continue con denominatore non nullo, per $x > 0$ un polinomio: resta il raccordo $x = 0$.

• Limite sinistro: $\frac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \to 3$.
• Valore e limite destro: $f(0) = a^2 - a + 1$.

Serve $a^2 - a + 1 = 3$, cioè $a^2 - a - 2 = 0$, che si scompone in $(a - 2)(a + 1) = 0$: $a = 2$ oppure $a = -1$. Controllo: $4 - 2 + 1 = 3$ e $1 + 1 + 1 = 3$. Per gli altri valori $f$ è continua da destra ma non da sinistra: in 0 c’è un salto (prima specie) di ampiezza $\lvert a^2 - a - 2 \rvert$, per esempio 2 con $a = 0$. Un parametro può dare più soluzioni: tienile tutte.

5. Discontinua con le successioni

Testo. Sia $f(x) = \cos\frac{1}{x}$ per $x \neq 0$, con $f(0) = a$. Dimostra che $f$ non è continua in 0, qualunque sia $a$. Poi dimostra che $g(x) = x^2\cos\frac{1}{x}$, con $g(0) = 0$, è continua in 0.

Prendiamo due successioni che tendono a 0:

$$x_n = \frac{1}{2n\pi} \qquad y_n = \frac{1}{(2n + 1)\pi}$$

Allora $f(x_n) = \cos(2n\pi) = 1$ e $f(y_n) = \cos\big((2n + 1)\pi\big) = -1$ per ogni $n$. Se $f$ fosse continua in 0, per il criterio delle successioni entrambe tenderebbero a $f(0) = a$: dovrebbe essere $a = 1$ e insieme $a = -1$. Impossibile: $f$ non è continua in 0 per nessun $a$, e il limite non esiste (seconda specie).

Per $g$, siccome il coseno vale al massimo 1 in valore assoluto,

$$\lvert g(x) - g(0) \rvert = x^2 \left\lvert \cos\frac{1}{x} \right\rvert \leq x^2$$

e $x^2 \to 0$: per i carabinieri $g(x) \to 0 = g(0)$, quindi $g$ è continua in 0. Il fattore $x^2$ schiaccia le oscillazioni.

6. Due parametri e un denominatore che si annulla

Testo. Trova $a$ e $b$ in modo che sia continua su $\mathbb{R}$ la funzione

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax + b}{x - 1} & x \neq 1 \\[1.2ex] 3 & x = 1 \end{cases}$$

Per $x \neq 1$ è una funzione razionale con denominatore non nullo, quindi continua. In $x = 1$ il limite deve esistere finito e valere 3.

Il numeratore deve annullarsi. Il denominatore tende a 0. Se il numeratore tendesse a un numero diverso da 0, cioè se $1 + a + b \neq 0$, la frazione andrebbe all’infinito: con $a = 1$ e $b = 0$, per esempio, tende a $+\infty$ da destra e a $-\infty$ da sinistra. Quindi deve essere $1 + a + b = 0$, cioè $b = -1 - a$.

Semplifica. Con $b = -1 - a$ il numeratore si annulla in 1, quindi è divisibile per $x - 1$:

$$\begin{gathered} x^2 + ax - 1 - a \\ {} = (x - 1)(x + 1 + a) \end{gathered}$$

Per $x \neq 1$ si ha $f(x) = x + 1 + a$, che tende a $2 + a$.

Imponi il valore. Serve $2 + a = 3$: $a = 1$ e $b = -2$. Controllo: per $x \neq 1$ la frazione è $\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = x + 2$, e $f(1) = 3 = 1 + 2$, quindi $f(x) = x + 2$ su tutto $\mathbb{R}$. La chiave è il primo passo: se il denominatore si annulla, anche il numeratore deve annullarsi, altrimenti il limite è infinito.

Altri esercizi su tutto il capitolo, con il teorema degli zeri e Weierstrass, sono negli esercizi svolti sulla continuità.

In sintesi

• $f$ è continua in $x_0$ se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$: definita in $x_0$, limite finito, e uguali.
• Con $\varepsilon$ e $\delta$: $\lvert x - x_0 \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < \varepsilon$, con $x_0$ incluso; nei punti isolati ogni funzione è continua.
• Con le successioni: $f(x_n) \to f(x_0)$ per ogni $x_n \to x_0$; una successione basta per dire di no.
• Sono continue le funzioni elementari, e somme, prodotti, quozienti (denominatore non nullo), composte e inverse (su un intervallo) di funzioni continue.
• Il limite passa dentro una funzione continua: se $g(x) \to \ell$ e $f$ è continua in $\ell$, allora $f(g(x)) \to f(\ell)$.
• $\frac{1}{x}$ e $\tan x$ sono continue: la matita funziona solo sugli intervalli.
• Funzioni a tratti: in ogni raccordo valore e limiti laterali coincidono, un’equazione per raccordo.

E quando la continuità manca, come manca? Ci sono tre modi diversi, che vediamo nei punti di discontinuità.