Limiti di funzioni: cos'è il limite, definizione con epsilon e delta ed esercizi

Il limite di una funzione è il concetto su cui si regge tutta l’Analisi: derivate, integrali e serie sono limiti. Dice cosa succede a $f(x)$ quando $x$ si avvicina a un punto, anche se lì la funzione non è definita. All’esame lo trovi ovunque: nella domanda di teoria sulla definizione, negli esercizi di calcolo, negli asintoti dello studio di funzione. In questa pagina vediamo l’idea con una tabella e un grafico, la definizione con gli intorni e con $\varepsilon$ e $\delta$ letta simbolo per simbolo, quattro verifiche passo passo, i punti di accumulazione, il limite destro e sinistro, il criterio con le successioni, quando il limite non esiste, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: avvicinarsi senza arrivare

Prendiamo la funzione

$$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

In $x = 1$ non è definita: verrebbe $\frac{0}{0}$. Ma cosa succede vicino a 1? Calcoliamo qualche valore, da sinistra ($x < 1$) e da destra ($x > 1$):

$x$	$f(x)$	distanza da 2
$0{,}5$	$1{,}5$	$0{,}5$
$0{,}9$	$1{,}9$	$0{,}1$
$0{,}99$	$1{,}99$	$0{,}01$
$0{,}999$	$1{,}999$	$0{,}001$
$1$	non definita
$1{,}001$	$2{,}001$	$0{,}001$
$1{,}01$	$2{,}01$	$0{,}01$
$1{,}1$	$2{,}1$	$0{,}1$
$1{,}5$	$2{,}5$	$0{,}5$

Più $x$ si avvicina a 1, da una parte o dall’altra, più $f(x)$ si avvicina a 2: la sua distanza da 2 è uguale alla distanza di $x$ da 1. Nella figura i punti del grafico si accalcano verso $(1, 2)$ da entrambi i lati, senza mai raggiungerlo: lì c’è un buco.

Il motivo: per $x \neq 1$ si può semplificare,

$$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$$

Il grafico è la retta $y = x + 1$ con un «buco» nel punto $(1, 2)$. Diciamo allora che il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a 1 è 2, e scriviamo

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

In generale $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ si legge «limite per $x$ che tende a $x_0$ di $f(x)$ uguale a elle». Si scrive anche $f(x) \to \ell$: «$f(x)$ tende a $\ell$».

Il valore nel punto non conta

Nell’esempio la funzione in 1 non esiste, eppure il limite c’è: il limite guarda solo cosa succede vicino a $x_0$, mai in $x_0$. Se ridefiniamo la funzione ponendo $f(1) = 7$, il limite resta 2, perché cambia solo il valore in 1, e i valori vicino a 1, quelli che decidono il limite, restano gli stessi.

Se invece il limite coincide con il valore nel punto, $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, la funzione si dice continua in $x_0$. Le funzioni elementari sono continue nel loro dominio, quindi spesso basta sostituire: $\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 5$. Dove sostituire non si può, come in $x = 1$ per la nostra funzione, servono le operazioni con i limiti, le tecniche del calcolo dei limiti e i limiti notevoli.

La definizione con gli intorni e con ε e δ

«Si avvicina» è vago: quanto vicino? Usiamo gli intorni: l’intorno di $x_0$ di raggio $\delta$ è l’intervallo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, cioè i punti che distano da $x_0$ meno di $\delta$. L’idea diventa: per ogni intorno di $\ell$ piccolo a piacere esiste un intorno di $x_0$ in cui $f(x)$ sta nell’intorno di $\ell$, per tutti gli $x$ del dominio tranne al più $x_0$. Con intorni di raggio $\varepsilon$ attorno a $\ell$ e $\delta$ attorno a $x_0$ si ottiene la definizione. Serve solo che $x_0$ sia un punto di accumulazione del dominio, cioè che ci si possa avvicinare a $x_0$ con punti del dominio diversi da $x_0$: ne parliamo tra poco.

In simboli:

$$\begin{gathered} \forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta > 0 : \forall x \in A, \\ 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon \end{gathered}$$

Le disuguaglianze hanno un significato preciso:

• $\lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon$ equivale a $\ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon$: $f(x)$ sta nella fascia orizzontale attorno a $\ell$;
• $\lvert x - x_0 \rvert < \delta$ equivale a $x_0 - \delta < x < x_0 + \delta$: $x$ sta nella striscia verticale attorno a $x_0$;
• $0 < \lvert x - x_0 \rvert$ vuol dire $x \neq x_0$: il punto $x_0$ è escluso. È la traduzione di «il valore nel punto non conta». Senza questa condizione, la funzione con $f(1) = 7$ non avrebbe limite 2: per $\varepsilon \leq 5$ il punto $x = 1$ darebbe $\lvert 7 - 2 \rvert = 5$, che non è minore di $\varepsilon$.

Nella figura, dentro la striscia verticale (buco escluso) il tratto verde del grafico sta tutto nella fascia orizzontale.

Il gioco dell’ε e del δ

La definizione si capisce bene come una sfida tra due giocatori.

1. Lo sfidante sceglie una tolleranza $\varepsilon > 0$, piccola quanto vuole: la fascia orizzontale.
2. Tu rispondi con un $\delta > 0$: una striscia verticale in cui, escluso $x_0$, il grafico stia tutto nella fascia.
3. Il limite è $\ell$ se vinci sempre, qualunque $\varepsilon$ ti venga proposto.

Prima viene $\varepsilon$, poi $\delta$: quindi $\delta$ può dipendere da $\varepsilon$ e da $x_0$, ma mai da $x$, perché deve andare bene per tutti gli $x$ della striscia. E se un $\delta$ funziona, funziona anche ogni $\delta$ più piccolo: non serve trovare il migliore.

Lo sfidante vince se trova un $\varepsilon$ per cui nessuna striscia funziona: è la negazione della definizione, che dimostra che $\ell$ non è il limite:

$$\begin{gathered} \exists \varepsilon > 0 : \forall \delta > 0\ \ \exists x \in A \text{ con} \\ 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta \ \text{ e } \ \lvert f(x) - \ell \rvert \geq \varepsilon \end{gathered}$$

Perché δ dipende da ε, e anche da x₀

Per $f(x) = x^2$ cerchiamo il $\delta$ più grande che funziona vicino a $x_0 = 1$, dove il limite è 1, e vicino a $x_0 = 3$, dove è 9. Per esempio, con $\varepsilon = 1$ vicino a 3 serve $8 < x^2 < 10$, cioè $\sqrt{8} < x < \sqrt{10}$, e il raggio massimo è $\sqrt{10} - 3 \approx 0{,}162$. Facendo lo stesso conto in altri casi:

$\varepsilon$	$\delta$ con $x_0 = 1$	$\delta$ con $x_0 = 3$
$1$	$0{,}414$	$0{,}162$
$0{,}1$	$0{,}048\,8$	$0{,}016\,6$
$0{,}01$	$0{,}004\,99$	$0{,}001\,67$

Scendendo nella tabella, un $\varepsilon$ dieci volte più piccolo richiede un $\delta$ circa dieci volte più piccolo. A parità di $\varepsilon$, vicino a 3 il $\delta$ è circa un terzo di quello vicino a 1: lì la parabola è più ripida, e una piccola variazione di $x$ cambia di più $f(x)$.

Come si verifica un limite con la definizione

«Verificare» un limite vuol dire che $\ell$ è già dato: devi dimostrare che per ogni $\varepsilon$ esiste un $\delta$. La scaletta:

1. Scrivi la distanza $\lvert f(x) - \ell \rvert$ e semplificala, facendo comparire $\lvert x - x_0 \rvert$.
2. Maggiora con un numero i fattori che dipendono da $x$, restringendo $x$ vicino a $x_0$, per esempio con $\lvert x - x_0 \rvert < 1$.
3. Scegli $\delta$, spesso come minimo tra due numeri.
4. Controlla: parti da $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$ e arriva a $\lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon$. Una prova numerica aiuta, ma non basta.

Una funzione lineare

Verifichiamo che $\displaystyle\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$. Fissato $\varepsilon > 0$:

$$\begin{gathered} \lvert (3x - 1) - 5 \rvert = 3\lvert x - 2 \rvert \\ 3\lvert x - 2 \rvert < \varepsilon \iff \lvert x - 2 \rvert < \frac{\varepsilon}{3} \end{gathered}$$

Basta $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$: per avere $f(x)$ a meno di $0{,}03$ da 5 basta $x$ a meno di $0{,}01$ da 2. In generale, per $f(x) = mx + q$ con $m \neq 0$ il limite in $x_0$ è $mx_0 + q$, la distanza è $\lvert m \rvert \cdot \lvert x - x_0 \rvert$, e si prende $\delta = \frac{\varepsilon}{\lvert m \rvert}$: più la retta è ripida, più $\delta$ è piccolo.

La parabola: x² per x che tende a 3

Verifichiamo che $\displaystyle\lim_{x \to 3} x^2 = 9$. La distanza si scompone:

$$\lvert x^2 - 9 \rvert = \lvert x - 3 \rvert \cdot \lvert x + 3 \rvert$$

Il fattore $\lvert x + 3 \rvert$ dipende da $x$: lo maggioriamo restringendo $x$. Se $\lvert x - 3 \rvert < 1$, cioè $2 < x < 4$, allora $5 < x + 3 < 7$, e quindi

$$\lvert x^2 - 9 \rvert < 7\,\lvert x - 3 \rvert$$

che è minore di $\varepsilon$ se $\lvert x - 3 \rvert < \frac{\varepsilon}{7}$. Servono entrambe le condizioni, quindi

$$\delta = \min\left\{1, \frac{\varepsilon}{7}\right\}$$

Controllo. Se $0 < \lvert x - 3 \rvert < \delta$, valgono insieme $\lvert x + 3 \rvert < 7$ e $\lvert x - 3 \rvert < \frac{\varepsilon}{7}$; moltiplicando, $\lvert x^2 - 9 \rvert < \varepsilon$. Con $\varepsilon = 0{,}1$ si ha $\delta = \frac{1}{70} \approx 0{,}014\,3$, e infatti per $x = 3{,}014$ la differenza $x^2 - 9$ vale circa $0{,}084$, meno di 0,1.

Perché serve il minimo. Senza il vincolo $\lvert x - 3 \rvert < 1$ il conto non regge: con $\varepsilon = 70$, la scelta $\delta = \frac{\varepsilon}{7} = 10$ ammetterebbe $x = 12{,}9$, dove $x^2 - 9 = 157{,}41$.

Una radice: √x per x che tende a 4

Verifichiamo che $\displaystyle\lim_{x \to 4} \sqrt{x} = 2$, con dominio $x \geq 0$. Razionalizzando, cioè moltiplicando e dividendo per $\sqrt{x} + 2$, e usando $\sqrt{x} + 2 \geq 2$:

$$\begin{gathered} \lvert \sqrt{x} - 2 \rvert = \frac{\lvert x - 4 \rvert}{\sqrt{x} + 2} \\ {} \leq \frac{\lvert x - 4 \rvert}{2} \end{gathered}$$

che è minore di $\varepsilon$ se $\lvert x - 4 \rvert < 2\varepsilon$. Basta $\delta = 2\varepsilon$, sempre con $x$ nel dominio, come vuole la definizione. Con $\varepsilon = 0{,}01$: $\sqrt{4{,}019\,9} - 2 \approx 0{,}005$. Non è il $\delta$ migliore, ma va bene.

Una frazione: 1/x per x che tende a 2

Verifichiamo che $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$:

$$\left\lvert \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \right\rvert = \frac{\lvert x - 2 \rvert}{2\lvert x \rvert}$$

Il fattore $\frac{1}{2\lvert x \rvert}$ esplode vicino a 0, quindi restringiamo: se $\lvert x - 2 \rvert < 1$, cioè $1 < x < 3$, si ha $\frac{1}{2\lvert x \rvert} < \frac{1}{2}$. Allora la distanza è minore di $\frac{\lvert x - 2 \rvert}{2}$, e va bene $\delta = \min\{1, 2\varepsilon\}$. Con $\varepsilon = 0{,}01$: $\frac{1}{1{,}980\,1} - \frac{1}{2} \approx 0{,}005$. Senza il minimo, con $\varepsilon = 1$ e $\delta = 2$, entrerebbe $x = 0{,}01$, dove $\frac{1}{x} = 100$.

Dove ha senso il limite: i punti di accumulazione

Per parlare di limite in $x_0$ bisogna potersi avvicinare a $x_0$ con punti del dominio. Non serve che $f$ sia definita in $x_0$.

• Per $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ il punto 1 è di accumulazione del dominio $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, anche se non gli appartiene.
• Per $\sqrt{x}$, con dominio $[0, +\infty)$, lo 0 è di accumulazione, ma ci si avvicina solo da destra: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sqrt{x} = 0$ ha senso. Il punto $-1$ no: l’intorno $(-2, 0)$ non contiene punti del dominio.
• Un punto del dominio che non è di accumulazione si dice isolato. $\sqrt{x^2(x - 1)}$ è definita per $x = 0$ e per $x \geq 1$: in 0 vale 0, ma in $(-1, 1)$ non ci sono altri punti del dominio, e il limite per $x \to 0$ non ha senso.

Perché insistere? Se vicino a $x_0$ non ci fossero punti del dominio, la definizione non riguarderebbe nessun $x$ e sarebbe vera per ogni $\ell$. Nei punti di accumulazione, invece, il limite è unico, come si dimostra nei teoremi sui limiti.

Limite destro e limite sinistro

A volte ci si avvicina a $x_0$ da una parte sola: nella definizione si tiene solo metà della striscia.

$x \to x_0^+$ si legge «$x$ che tende a $x_0$ da destra», con $x > x_0$; $x \to x_0^-$ «da sinistra», con $x < x_0$. Serve, naturalmente, che ci si possa avvicinare a $x_0$ da quel lato.

Perché è vero. Se il limite è $\ell$, lo stesso $\delta$ va bene per ciascuna metà della striscia. Viceversa, fissato $\varepsilon$, sia $\delta_1$ un raggio che va bene a destra e $\delta_2$ uno che va bene a sinistra. Con $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$, ogni $x$ con $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$ sta da una delle due parti, e in entrambi i casi $\lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon$.

Se ci si avvicina da un lato solo, come per $\sqrt{x}$ in 0, il limite è quello da quel lato. Il teorema si usa soprattutto così: se i limiti laterali sono diversi, il limite non esiste.

La funzione segno. $\frac{\lvert x \rvert}{x}$ vale $1$ per $x > 0$ e $-1$ per $x < 0$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^+} \frac{\lvert x \rvert}{x} = 1 \\ \lim_{x \to 0^-} \frac{\lvert x \rvert}{x} = -1 \end{gathered}$$

Il limite in 0 non esiste: il grafico fa un salto.

La parte intera. $\lfloor x \rfloor$ è il più grande intero minore o uguale a $x$: $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$. Vicino a 2:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 2^-} \lfloor x \rfloor = 1 \\ \lim_{x \to 2^+} \lfloor x \rfloor = 2 \end{gathered}$$

quindi il limite in 2 non esiste; lo stesso in ogni intero $k$, con limiti laterali $k - 1$ e $k$. In un punto non intero, come $2{,}5$, la funzione è costante vicino al punto e il limite vale 2.

Una funzione a tratti. Prendiamo

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 2 \\ 5 & x = 2 \\ 8 - 2x & x > 2 \end{cases}$$

Da sinistra $x^2 \to 4$, da destra $8 - 2x \to 4$: il limite esiste e vale 4, anche se $f(2) = 5$.

Quando il limite non esiste

Un limite finito può mancare in tre modi tipici: i limiti laterali sono diversi, e c’è un salto; la funzione è illimitata, come $\frac{1}{x^2}$ vicino a 0, che ha limite infinito e un asintoto verticale (lo vediamo nei limiti infiniti e all’infinito); la funzione oscilla senza avvicinarsi a nessun valore, come $\sin\frac{1}{x}$. Per l’ultimo caso servono le successioni.

Il criterio con le successioni

Una successione $x_n \to x_0$ è un modo di avvicinarsi a $x_0$ un passo alla volta. Il teorema seguente, detto anche teorema ponte, lega i limiti di funzioni a quelli di successioni.

Perché è vero, con $\ell$ finito. Fissato $\varepsilon$, la definizione di limite dà un $\delta$. Siccome $x_n \to x_0$ e $x_n \neq x_0$, da un certo indice in poi $0 < \lvert x_n - x_0 \rvert < \delta$, quindi $\lvert f(x_n) - \ell \rvert < \varepsilon$: è la definizione di $f(x_n) \to \ell$. Viceversa, se il limite non fosse $\ell$, la negazione della definizione con $\delta = \frac{1}{n}$ darebbe punti $x_n$ con $0 < \lvert x_n - x_0 \rvert < \frac{1}{n}$ e $\lvert f(x_n) - \ell \rvert \geq \varepsilon$: una successione che tende a $x_0$ con $f(x_n)$ che non tende a $\ell$.

Il criterio vale anche per $x \to \pm\infty$. Il calcolo dei limiti di successioni ne usa una metà con la sola successione $x_n = n$: se $f(x) \to \ell$ per $x \to +\infty$, allora $f(n) \to \ell$.

Per dimostrare che un limite esiste il criterio è scomodo, perché servirebbero tutte le successioni. Per dimostrare che non esiste è perfetto.

Infatti, se il limite fosse $L$, per il criterio sia $f(x_n)$ sia $f(y_n)$ tenderebbero a $L$, e per l’unicità del limite delle successioni sarebbe $\ell_1 = L = \ell_2$.

L’oscillazione: sin(1/x)

Vicino a 0, $\frac{1}{x}$ diventa enorme e $\sin\frac{1}{x}$ oscilla tra $-1$ e $1$ sempre più in fretta. Prendiamo i punti in cui vale 1 e quelli in cui vale $-1$:

$$\begin{gathered} x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi} \\ y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi} \end{gathered}$$

Sono positive e tendono entrambe a 0, perché i denominatori tendono a $+\infty$. Ma per ogni $n$

$$\begin{gathered} \sin\frac{1}{x_n} = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1 \\ \sin\frac{1}{y_n} = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi\right) = -1 \end{gathered}$$

quindi $f(x_n) \to 1$ e $f(y_n) \to -1$: il limite per $x \to 0$ non esiste, e nemmeno il limite destro. La funzione è dispari, quindi a sinistra succede lo stesso.

In ogni intorno di 0, per quanto piccolo, la funzione passa infinite volte da 1 a $-1$. Non confonderla con $x\sin\frac{1}{x}$, che invece tende a 0: il fattore $x$ «schiaccia» le oscillazioni, come mostra il teorema dei carabinieri nei teoremi sui limiti.

Una funzione che salta dappertutto

Il caso estremo è la funzione di Dirichlet:

$$D(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$

In ogni intervallo ci sono sia numeri razionali sia irrazionali, come si vede negli insiemi numerici. Quindi, per ogni $x_0$, nell’intervallo $\left(x_0, x_0 + \frac{1}{n}\right)$ si trovano un razionale $q_n$ e un irrazionale $r_n$: entrambe le successioni tendono a $x_0$, ma $D(q_n) = 1$ e $D(r_n) = 0$. Il limite non esiste in nessun punto.

Una breve storia

Nel 1817 Bernard Bolzano, in un lavoro che dimostrava il teorema degli zeri, trattò la continuità con un ragionamento che contiene già l’idea dell’$\varepsilon$ e del $\delta$, ma restò poco conosciuto. Nel 1821 Augustin-Louis Cauchy, nel Cours d’analyse, definì il limite a parole, come un valore fisso a cui una variabile si avvicina fino a differirne «poco quanto si vuole», e ragionava ancora con gli infinitesimi, quantità che tendono a zero. La forma con $\varepsilon$ e $\delta$ di oggi si attribuisce di solito a Karl Weierstrass, che la usava nelle sue lezioni a Berlino tra la fine degli anni Cinquanta e gli anni Sessanta dell’Ottocento: pubblicò poco, e le sue idee si diffusero con gli appunti dei suoi studenti.

Gli errori più comuni

• Calcolare il limite sostituendo sempre. Funziona solo se la funzione è continua in $x_0$: dove esce $\frac{0}{0}$, o dove la funzione cambia formula, il valore $f(x_0)$ non dice niente sul limite.
• Dimenticare la condizione $0 < \lvert x - x_0 \rvert$. Il punto $x_0$ è escluso: altrimenti una funzione con un solo punto «fuori posto» non avrebbe limite.
• Scegliere un $\delta$ che dipende da $x$. $\delta = \frac{\varepsilon}{\lvert x + 3 \rvert}$ non vale: il fattore con la $x$ va maggiorato con un numero.
• Scambiare i quantificatori. «Per ogni $\varepsilon$ esiste $\delta$» non è «esiste un $\delta$ buono per ogni $\varepsilon$»: nel secondo caso $f$ dovrebbe valere esattamente $\ell$ vicino a $x_0$.
• Dimenticare il minimo nelle verifiche. Se hai usato $\lvert x - x_0 \rvert < 1$ per maggiorare un fattore, il $\delta$ deve rispettare anche quel vincolo.
• Fidarsi di una tabella o di una sola successione. Per $\sin\frac{1}{x}$, lungo $x_n = \frac{1}{n\pi}$ si ottiene sempre 0, ma il limite non esiste.
• Calcolare limiti dove non hanno senso. Il limite di $\sqrt{x}$ per $x \to -1$ non si può nemmeno scrivere: $-1$ non è punto di accumulazione del dominio.
• Dire che il limite non esiste perché $f(x_0)$ è diverso dai limiti laterali. Se destro e sinistro coincidono, il limite esiste, qualunque sia $f(x_0)$.

Esercizi svolti

1. Prima semplifica, poi verifica

Testo. Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$.

Il limite riguarda solo gli $x \neq 2$, per i quali si semplifica:

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$$

Fissato $\varepsilon > 0$, la distanza dal limite è quindi

$$\left\lvert \frac{x^2 - 4}{x - 2} - 4 \right\rvert = \lvert x - 2 \rvert$$

e basta $\delta = \varepsilon$. La condizione $0 < \lvert x - 2 \rvert$, cioè $x \neq 2$, è proprio quella che ci ha permesso di semplificare. Il limite è verificato: il grafico è la retta $y = x + 2$ con un buco nel punto $(2, 4)$.

2. Una parabola con il minimo

Testo. Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to 1} (x^2 + 2x) = 3$.

Il polinomio $x^2 + 2x - 3$ si annulla in 1, quindi è divisibile per $x - 1$:

$$\lvert x^2 + 2x - 3 \rvert = \lvert x - 1 \rvert \cdot \lvert x + 3 \rvert$$

Se $\lvert x - 1 \rvert < 1$, cioè $0 < x < 2$, allora $3 < x + 3 < 5$, quindi $\lvert x + 3 \rvert < 5$ e la distanza è minore di $5\,\lvert x - 1 \rvert$. Questa è minore di $\varepsilon$ se $\lvert x - 1 \rvert < \frac{\varepsilon}{5}$. Scegliamo

$$\delta = \min\left\{1, \frac{\varepsilon}{5}\right\}$$

Se $0 < \lvert x - 1 \rvert < \delta$ valgono entrambe le condizioni e, moltiplicando, la distanza da 3 è minore di $\varepsilon$. Controllo con $\varepsilon = 0{,}1$, cioè $\delta = 0{,}02$: $f(1{,}02) = 3{,}080\,4$ e $f(0{,}98) = 2{,}920\,4$ distano da 3 meno di $0{,}1$. Il limite è verificato.

3. Trovare δ per una tolleranza data

Testo. Per $\displaystyle\lim_{x \to 2} x^3 = 8$, trova un $\delta$ che vada bene per $\varepsilon = 0{,}1$, poi una formula valida per ogni $\varepsilon$.

Con $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$$\lvert x^3 - 8 \rvert = \lvert x - 2 \rvert \cdot \lvert x^2 + 2x + 4 \rvert$$

Se $\lvert x - 2 \rvert < 1$, cioè $1 < x < 3$, il secondo fattore è positivo e cresce con $x$, quindi è minore del suo valore in 3:

$$x^2 + 2x + 4 < 9 + 6 + 4 = 19$$

Per questi $x$ vale $\lvert x^3 - 8 \rvert < 19\,\lvert x - 2 \rvert$, e la formula è

$$\delta = \min\left\{1, \frac{\varepsilon}{19}\right\}$$

Per $\varepsilon = 0{,}1$ si ottiene $\delta = \frac{1}{190} \approx 0{,}005\,26$. Controllo ai bordi della striscia: $2{,}005\,26^3 \approx 8{,}063$ e $1{,}994\,74^3 \approx 7{,}937$, entrambi a meno di $0{,}1$ da 8. Va bene anche ogni $\delta$ più piccolo, come $0{,}005$.

4. Limiti laterali con un parametro

Testo. Sia $a$ un numero reale e

$$f(x) = \begin{cases} ax + 1 & x < 1 \\ 2 & x = 1 \\ x^2 + a^2 & x > 1 \end{cases}$$

Calcola i limiti destro e sinistro in 1 al variare di $a$. Per quali $a$ esiste $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$? Per quali coincide con $f(1)$?

Da sinistra vale la prima formula, da destra la terza; $f(1) = 2$ non entra nei limiti. Sono polinomi, quindi si sostituisce:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 1^-} (ax + 1) = a + 1 \\ \lim_{x \to 1^+} (x^2 + a^2) = 1 + a^2 \end{gathered}$$

Il limite esiste se e solo se i limiti laterali sono uguali:

$$\begin{gathered} a + 1 = 1 + a^2 \iff a^2 - a = 0 \\ {} \iff a(a - 1) = 0 \end{gathered}$$

cioè per $a = 0$ oppure $a = 1$. Con $a = 0$ il limite vale 1, diverso da $f(1) = 2$: è una discontinuità eliminabile. Con $a = 1$ il limite vale 2, uguale a $f(1)$: la funzione è continua in 1. Per ogni altro $a$ il limite non esiste: per esempio, con $a = 2$ i limiti laterali valgono 3 e 5.

5. La negazione della definizione

Testo. Usando la negazione della definizione, senza successioni, dimostra che $\displaystyle\lim_{x \to 0} \lfloor x \rfloor$ non esiste.

Vicino a 0 la parte intera vale $-1$ per $-1 \leq x < 0$ e $0$ per $0 \leq x < 1$. Dobbiamo mostrare che nessun $\ell$ è il limite. Fissiamo $\ell$, prendiamo $\varepsilon = \frac{1}{2}$ e un $\delta > 0$ qualsiasi. Con $h = \frac{1}{2}\min\{\delta, 1\}$, i punti $h$ e $-h$ stanno nell’intorno bucato di raggio $\delta$, e

$$\lfloor h \rfloor = 0, \qquad \lfloor -h \rfloor = -1$$

Se entrambi i valori distassero da $\ell$ meno di $\frac{1}{2}$, per la disuguaglianza triangolare del valore assoluto si avrebbe

$$\begin{gathered} \lvert 0 - (-1) \rvert \leq \lvert 0 - \ell \rvert + \lvert \ell - (-1) \rvert \\ {} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{gathered}$$

mentre la distanza tra 0 e $-1$ è esattamente 1. Quindi in almeno uno dei due punti $\lvert \lfloor x \rfloor - \ell \rvert \geq \frac{1}{2}$: lo sfidante vince con $\varepsilon = \frac{1}{2}$, qualunque sia $\ell$. Il limite finito non esiste, e nemmeno infinito, perché vicino a 0 la funzione vale solo 0 o $-1$.

6. Né finito né infinito

Testo. Dimostra che $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$ non esiste, né finito né infinito.

Usiamo il metodo delle due successioni, con punti in cui il seno vale 0 e punti in cui vale 1:

$$\begin{gathered} x_n = \frac{1}{n\pi} \\ y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi} \end{gathered}$$

Sono positive e tendono a 0. Sulla prima, siccome $\frac{1}{x_n} = n\pi$:

$$f(x_n) = n\pi \cdot \sin(n\pi) = 0$$

quindi $f(x_n) \to 0$. Sulla seconda, siccome $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1$:

$$f(y_n) = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \to +\infty$$

Le due successioni danno limiti diversi, 0 e $+\infty$. Per il criterio, che vale anche con i limiti infiniti, il limite non può essere un numero $\ell$, perché $f(y_n)$ non tende a $\ell$, né $\pm\infty$, perché $f(x_n)$ tende a 0. La funzione è illimitata vicino a 0, ma non tende all’infinito: torna a 0 infinite volte.

Molti altri limiti, con tutte le tecniche del capitolo, li trovi negli esercizi svolti sui limiti.

In sintesi

• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$: per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che, nel dominio, $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$ implica $\lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon$.
• $x_0$ è escluso: $f(x_0)$ non conta. Se il limite vale $f(x_0)$, $f$ è continua in $x_0$.
• $\delta$ dipende da $\varepsilon$ e da $x_0$, mai da $x$; nelle verifiche spesso $\delta = \min\{1, \ldots\}$.
• Il limite ha senso solo nei punti di accumulazione del dominio.
• Il limite esiste se e solo se limite destro e sinistro esistono e sono uguali.
• Criterio con le successioni: due successioni $x_n \to x_0$, con $x_n \neq x_0$, su cui $f$ ha limiti diversi dimostrano che il limite non esiste.
• Senza limite: funzione segno e parte intera (salto), $\sin\frac{1}{x}$ (oscillazione), funzione di Dirichlet (ovunque).

Finora sia $x_0$ sia $\ell$ erano numeri. Ma $x$ può anche crescere senza fine, e $f(x)$ può diventare enorme: lo vediamo nei limiti infiniti e all’infinito.