Infinitesimi e infiniti: ordine, parte principale, asintotici, o piccolo ed esercizi

Nelle forme indeterminate come $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$ conta chi va più veloce: due funzioni tendono entrambe a 0, o entrambe all’infinito, e il risultato dipende da quale ci arriva prima. Gli infinitesimi e gli infiniti danno a questa idea un linguaggio preciso, e con il simbolo $\sim$ trasformano i limiti notevoli in uno strumento rapidissimo: molti limiti d’esame si risolvono in una riga. Lo stesso linguaggio ritorna negli asintoti, nella formula di Taylor e nel confronto asintotico per le serie. In questa pagina vediamo il confronto tra infinitesimi e tra infiniti, l’ordine e la parte principale, le funzioni asintotiche con la tabella da sapere, il principio di sostituzione e perché nelle somme può tradirti, la gerarchia degli infiniti, il simbolo o piccolo, il metodo per i limiti, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: chi arriva prima a zero

Prendi tre funzioni che per $x \to 0$ tendono tutte a 0: $x$, $x^2$ e $x^3$. Guardale con i numeri:

$x$	$x^2$	$x^3$
$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
$0{,}01$	$0{,}000\,1$	$10^{-6}$
$0{,}001$	$10^{-6}$	$10^{-9}$

Vanno tutte a zero, ma a velocità molto diverse: quando $x$ è un millesimo, $x^3$ è un miliardesimo. Per misurare «quanto più in fretta» si guarda il rapporto: $\frac{x^2}{x} = x$ tende a 0, quindi $x^2$ è trascurabile rispetto a $x$. Invece $\frac{\sin x}{x} \to 1$: vicino a 0 il seno e $x$ sono praticamente la stessa cosa. Tutta la pagina si basa su quest’idea: per confrontare due funzioni se ne fa il quoziente.

Infinitesimi e infiniti

Fissiamo un punto $x_0$, che può essere un numero reale oppure $+\infty$ o $-\infty$, e una funzione $f$ definita in un intorno di $x_0$, escluso al più $x_0$ stesso.

Un infinito, quindi, diventa grande quanto vuoi in valore assoluto: può tendere a $+\infty$, a $-\infty$, oppure, come $\frac{1}{x}$ per $x \to 0$, a $+\infty$ da una parte e a $-\infty$ dall’altra. Per $x \to 0$ sono infinitesimi $x^2$, $\sin x$, $1 - \cos x$ ed $e^x - 1$, mentre $\frac{1}{x^2}$ è un infinito. Per $x \to +\infty$ sono infinitesimi $\frac{1}{x}$ ed $e^{-x}$, e sono infiniti $x^3$, $e^x$ e $\ln x$.

Un infinitesimo non è un numero piccolo: è una funzione insieme a un punto. $x^2$ è un infinitesimo per $x \to 0$, un infinito per $x \to +\infty$, e per $x \to 3$ nessuno dei due. Le definizioni dei limiti infiniti sono in limiti infiniti e all’infinito. Nota che il reciproco di un infinito è un infinitesimo, e il reciproco di un infinitesimo che non si annulla vicino a $x_0$ è un infinito.

Il confronto tra due infinitesimi

«Ordine superiore» vuol dire che $f$ va a zero più in fretta. Per $x \to 0$:

• $x^2$ è di ordine superiore a $x$, perché $\frac{x^2}{x} = x \to 0$;
• $\sin x$ e $x$ sono dello stesso ordine, anzi asintotici: $\frac{\sin x}{x} \to 1$;
• $1 - \cos x$ è di ordine superiore a $x$, perché $\frac{1 - \cos x}{x} \to 0$, e dello stesso ordine di $x^2$, perché $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$;
• per $x \to 0^+$, $\sqrt{x}$ è di ordine inferiore a $x$, perché $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$: la radice va a zero più piano.

Due infinitesimi non confrontabili

Prendi $f(x) = x\sin\frac{1}{x}$ e $g(x) = x$, per $x \to 0$. Anche $f$ è un infinitesimo, perché $|f(x)| \leq |x|$: è una funzione limitata per una infinitesima, come vedi nei teoremi sui limiti. Ma il rapporto

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \sin\frac{1}{x}$$

oscilla tra $-1$ e $1$ e non ha limite: vale 0 nei punti $x = \frac{1}{k\pi}$ e vale 1 nei punti $x = \frac{1}{\pi/2 + 2k\pi}$, con $k$ intero non nullo, che si accumulano vicino a 0. Nessuna delle due va «più veloce»: a tratti $f$ è grande quanto $g$, a tratti si annulla. Il confronto ha senso solo se il limite del rapporto esiste.

Il confronto tra due infiniti

Con gli infiniti lo schema è lo stesso, ma le parole si rovesciano. Se $f$ e $g$ sono infiniti per $x \to x_0$ e $\frac{f}{g} \to \ell$:

• se $\ell = \pm\infty$, $f$ è un infinito di ordine superiore: cresce più in fretta;
• se $\ell$ è finito e diverso da 0, hanno lo stesso ordine;
• se $\ell = 0$, $f$ è di ordine inferiore, e $f = o(g)$.

Per esempio, per $x \to +\infty$, $x^2 + x$ e $3x^2$ hanno lo stesso ordine (il rapporto tende a $\frac{1}{3}$), mentre $x = o(x^2)$. Anche qui ci sono infiniti non confrontabili: $x\,(2 + \sin x)$ e $x$ tendono a $+\infty$, ma il loro rapporto, $2 + \sin x$, oscilla tra 1 e 3.

Per non confonderti ricorda una cosa sola: $f = o(g)$ vuol dire sempre che $f$ è trascurabile rispetto a $g$. Per gli infinitesimi, $f$ va a zero più in fretta; per gli infiniti, cresce più piano.

L’ordine di un infinitesimo e la parte principale

Confrontare le funzioni a due a due è scomodo. Conviene fissare un infinitesimo campione e misurare tutti gli altri rispetto a quello, come si misurano le lunghezze in metri: $x - x_0$ per $x \to x_0$ (per $x \to 0$ è semplicemente $x$) e $\frac{1}{x}$ per $x \to \pm\infty$.

Se $\alpha$ non è intero, $(x - x_0)^\alpha$ è definita solo per $x > x_0$: si guarda il limite da destra, oppure si usa $|x - x_0|^\alpha$ (e, all’infinito, $|x|^\alpha$).

Perché è utile. Una funzione è asintotica alla sua parte principale, cioè

$$f(x) = \ell\,(x - x_0)^\alpha + o\big((x - x_0)^\alpha\big)$$

Infatti, divisa per $(x - x_0)^\alpha$, la differenza $f(x) - \ell\,(x - x_0)^\alpha$ dà $\frac{f(x)}{(x - x_0)^\alpha} - \ell$, che tende a 0. È la stessa notazione della formula di Taylor.

L’ordine, se esiste, è unico. Con $u = x - x_0$, se $\frac{f}{u^\alpha} \to \ell \neq 0$, per ogni altro esponente $\beta$

$$\frac{f}{u^\beta} = \frac{f}{u^\alpha} \cdot u^{\alpha - \beta}$$

tende a 0 se $\beta < \alpha$ e, in valore assoluto, a $+\infty$ se $\beta > \alpha$. È lo schema degli esercizi con un parametro, come l’esercizio 6.

Quattro esempi da sapere

Per ${x \to 0}$	Ordine	Parte principale
${1 - \cos x}$	2	$\frac{x^2}{2}$
${\sqrt{1 + x} - 1}$	1	$\frac{x}{2}$
${e^{x^2} - 1}$	2	$x^2$
${\sin x - x}$	3	$-\frac{x^3}{6}$

I primi tre sono limiti notevoli: $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$; $\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} \to \alpha$ con $\alpha = \frac{1}{2}$; $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$ con $t = x^2$, che tende a 0.

L’ultimo è diverso: in $\sin x - x$ la parte principale del seno si cancella con $-x$, e i limiti notevoli non bastano. Il rapporto $\frac{\sin x - x}{x^3}$ vale $-0{,}166\,58$ per $x = 0{,}1$ e $-0{,}166\,665\,8$ per $x = 0{,}01$: tende a $-\frac{1}{6}$. Per dimostrarlo serve il teorema di de l’Hôpital oppure lo sviluppo $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$.

L’ordine di un infinito

Per gli infiniti il campione è $x$ per $x \to \pm\infty$ e $\frac{1}{x - x_0}$ per $x \to x_0$. Così $x^3 + x$ è un infinito di ordine 3 per $x \to +\infty$, con parte principale $x^3$, perché $\frac{x^3 + x}{x^3} = 1 + \frac{1}{x^2} \to 1$. E $\frac{1}{1 - \cos x}$ è un infinito di ordine 2 per $x \to 0$, con parte principale $\frac{2}{x^2}$, perché $\frac{x^2}{1 - \cos x} \to 2$.

Un infinitesimo all’infinito con le radici

Per $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2 + 1} - x$ è una forma $\infty - \infty$. Razionalizzando:

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \\ {} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \end{gathered}$$

Il denominatore è asintotico a $2x$, perché $\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{2x} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1\right) \to 1$. Quindi $\sqrt{x^2 + 1} - x \sim \frac{1}{2x}$: è un infinitesimo di ordine 1 rispetto a $\frac{1}{x}$, con parte principale $\frac{1}{2x}$. Con i numeri: $\sqrt{10\,001} - 100 \approx 0{,}005 = \frac{1}{200}$.

Funzioni asintotiche

Il caso più utile del confronto è quando il rapporto tende proprio a 1.

Le funzioni possono essere infinitesimi, infiniti, oppure tendere a un numero $L \neq 0$: allora $f \sim L$, per esempio $\cos x \sim 1$ per $x \to 0$. La relazione è transitiva: se $f \sim g$ e $g \sim h$, allora $f \sim h$, perché $\frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1$.

Inoltre $f \sim g$ equivale a $f = g + o(g)$, perché $\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1$. Due funzioni asintotiche differiscono quindi per una quantità trascurabile rispetto a loro, non per forza piccola: per $x \to +\infty$, $x^2 + x \sim x^2$, anche se la differenza, $x$, tende a infinito.

Un polinomio, per $x \to \pm\infty$, è asintotico al suo termine di grado massimo; per $x \to 0$, al termine non nullo di grado minimo. Così $x^3 + 2x \sim x^3$ all’infinito, ma $x^3 + 2x \sim 2x$ vicino a 0.

La tabella da sapere

I limiti notevoli, dove trovi le dimostrazioni, diventano una lista di asintotici:

Per ${x \to 0}$	è asintotica a
$\sin x$, $\ \tan x$	$x$
$\arcsin x$, $\ \arctan x$	$x$
${1 - \cos x}$	$\frac{x^2}{2}$
${\ln(1 + x)}$, $\ {e^x - 1}$	$x$
${a^x - 1}$	${x\ln a}$
${(1 + x)^\alpha - 1}$	$\alpha\,x$

Nella riga di $a^x$ è $a > 0$, $a \neq 1$; nell’ultima $\alpha \neq 0$. Gli angoli vanno in radianti.

La forza della tabella è che al posto di $x$ puoi mettere qualunque funzione $t(x)$ che tende a 0 e non si annulla vicino a $x_0$ (tranne al più in $x_0$): è il teorema sul limite della funzione composta. Per $x \to 0$: $\sin 3x \sim 3x$, $\ln(1 + x^2) \sim x^2$, $e^{\sin x} - 1 \sim \sin x \sim x$. Per $x \to +\infty$: $\sin\frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}$. Ma l’argomento deve tendere a 0: per $x \to +\infty$, $\sin x \sim x$ è falso.

Il principio di sostituzione

Ecco perché gli asintotici sono così comodi.

Dimostrazione

Basta moltiplicare e dividere:

$$\begin{gathered} f\,g = \frac{f}{f_1} \cdot \frac{g}{g_1} \cdot f_1\,g_1 \\ \frac{f}{g} = \frac{f}{f_1} \cdot \frac{g_1}{g} \cdot \frac{f_1}{g_1} \end{gathered}$$

I primi due fattori tendono a 1, quindi resta il limite di $f_1 g_1$, o di $\frac{f_1}{g_1}$. Scambiando i ruoli, perché anche $\frac{f_1}{f} \to 1$, vale il viceversa.

In pratica: in un prodotto o in un quoziente, ogni fattore si sostituisce con la sua parte principale, e un fattore che tende a $L \neq 0$ si sostituisce con $L$.

Esempio 1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cdot \ln(1 + 3x)}{x\,(e^x - 1)}$. Per $x \to 0$: $\sin 2x \sim 2x$, $\ \ln(1 + 3x) \sim 3x$, $\ e^x - 1 \sim x$. Sostituendo:

$$\frac{2x \cdot 3x}{x \cdot x} = 6$$

Nelle somme si eliminano i termini trascurabili

Perché è vero. $\frac{f + g}{f} = 1 + \frac{g}{f} \to 1$. In una somma puoi quindi buttare via gli addendi trascurabili rispetto a un altro: per $x \to 0$, $x + x^2 \sim x$.

Esempio 2. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 2^x}{3^x + x^5}$. Per la gerarchia che vedremo tra poco, $x^3 = o(2^x)$ e $x^5 = o(3^x)$, quindi il limite è quello di $\frac{2^x}{3^x} = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, cioè 0.

Attenzione: nelle differenze le parti principali si cancellano

Il principio di sostituzione vale per prodotti e quozienti. In una somma di infinitesimi dello stesso ordine, sostituire ciascuno con il suo asintotico può dare un risultato sbagliato.

Esempio 3. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$.

Sostituendo $\tan x \sim x$ e $\sin x \sim x$ al numeratore otterremmo $\frac{x - x}{x^3} = 0$: sbagliato. Con l’o piccolo si vede perché: $\tan x - \sin x = \big(x + o(x)\big) - \big(x + o(x)\big) = o(x)$. È vero, ma dice solo che il numeratore va a zero più in fretta di $x$, mentre serve il confronto con $x^3$. Le parti uguali si cancellano e resta proprio quello che l’asintotico aveva buttato via.

Il modo corretto è trasformare la differenza in un prodotto:

$$\begin{gathered} \tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x \\ {} = \frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{\cos x} \end{gathered}$$

Ora si sostituisce: $\sin x \sim x$, $\ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, $\ \cos x \sim 1$, quindi

$$\tan x - \sin x \sim \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{1} = \frac{x^3}{2}$$

Il limite vale $\frac{1}{2}$, non 0: $\tan x - \sin x$ è un infinitesimo di ordine 3 con parte principale $\frac{x^3}{2}$. Con gli sviluppi della formula di Taylor si ritrova lo stesso risultato, e il grafico del rapporto lo conferma.

Quando nelle somme si può

Il problema nasce solo quando le parti principali si cancellano.

Perché è vero. $\frac{f + g}{u^\alpha} = \frac{f}{u^\alpha} + \frac{g}{u^\alpha} \to a + b$. Con ordini diversi, invece, vince quello più basso, per la regola dei termini trascurabili.

Esempio 4. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x\arctan x}$. Il numeratore è la differenza di due funzioni che tendono a 1. Aggiungendo e togliendo 1 compaiono due infinitesimi di ordine 2:

$$\begin{gathered} e^{x^2} - \cos x = \left(e^{x^2} - 1\right) + (1 - \cos x) \\ {} \sim x^2 + \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}\,x^2 \end{gathered}$$

I coefficienti, 1 e $\frac{1}{2}$, non si cancellano. Il denominatore è un prodotto, $x\arctan x \sim x^2$, quindi il limite vale $\frac{3}{2}$.

La gerarchia degli infiniti

Per $x \to +\infty$ le funzioni elementari si mettono in fila, dalla più lenta alla più veloce.

Ogni potenza del logaritmo è trascurabile rispetto a ogni potenza positiva di $x$, ogni potenza rispetto a ogni esponenziale con base maggiore di 1, ogni esponenziale rispetto a $x^x$. La base del logaritmo non conta, perché $\log_d x = \frac{\ln x}{\ln d}$. Per esempio:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0 \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^x} = 0 \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{100}}{1{,}01^x} = 0 \end{gathered}$$

L’ultimo è controintuitivo: per $x = 1000$ il numeratore vale $10^{300}$, il denominatore circa 21 000. Ma la gerarchia parla di cosa succede alla fine: l’esponenziale sorpassa la potenza intorno a $x \approx 117\,000$, e da lì non c’è più partita.

Nel grafico l’asse verticale è in scala logaritmica: ogni tacca vale diecimila volte la precedente. Gli esponenziali diventano rette, le potenze curve che si appiattiscono. $2^x$ parte sotto $x^3$, lo raggiunge in $x \approx 9{,}94$ e da lì lo lascia indietro per sempre.

Perché è vera

Serve un solo ingrediente: $\ln t \leq t - 1$ per ogni $t > 0$. Equivale a $e^y \geq 1 + y$ per ogni $y$ reale, che si ottiene passando al limite per $n \to +\infty$ nella disuguaglianza di Bernoulli $\left(1 + \frac{y}{n}\right)^n \geq 1 + y$, valida per $n > |y|$. Poi quattro gradini.

1. Logaritmo contro x. Con $t = \sqrt{x}$: $\ln x = 2\ln\sqrt{x} \leq 2\left(\sqrt{x} - 1\right) < 2\sqrt{x}$. Per $x > 1$ quindi $0 < \frac{\ln x}{x} < \frac{2}{\sqrt{x}}$, e per i carabinieri $\frac{\ln x}{x} \to 0$.
2. Potenze del logaritmo contro potenze. $\frac{(\ln x)^a}{x^b} = \left(\frac{\ln x}{x^{b/a}}\right)^a$. Con $s = x^{b/a} \to +\infty$ si ha $\ln x = \frac{a}{b}\ln s$, e la parentesi è $\frac{a}{b} \cdot \frac{\ln s}{s} \to 0$ per il gradino 1.
3. Potenze contro esponenziali. Con $y = c^x$, cioè $x = \frac{\ln y}{\ln c}$: $\frac{x^b}{c^x} = \frac{(\ln y)^b}{(\ln c)^b\,y} \to 0$ per il gradino 2.
4. Esponenziali contro x alla x. $\frac{c^x}{x^x} = \left(\frac{c}{x}\right)^x$ e, per $x > 2c$, $0 < \left(\frac{c}{x}\right)^x < \left(\frac{1}{2}\right)^x \to 0$.

Con de l’Hôpital, che vedrai con le derivate, i primi gradini si fanno anche derivando. Per le successioni la catena si allunga, perché tra $c^n$ e $n^n$ si inserisce il fattoriale: lo trovi nel criterio del rapporto per le successioni.

La stessa gerarchia vicino a zero

Perché è vero. Con $t = \frac{1}{x} \to +\infty$ si ha $|\ln x| = \ln t$ e $x^b = \frac{1}{t^b}$, quindi $x^b|\ln x|^a = \frac{(\ln t)^a}{t^b} \to 0$. Così $x\ln x \to 0$ e $\sqrt{x}\ln x \to 0$: la potenza che va a zero vince sul logaritmo che va a $-\infty$. La figura mostra la gara: più l’esponente è piccolo, più la curva scende prima di risalire, ma alla fine torna sempre a 0.

Ne segue che non tutti gli infinitesimi hanno un ordine. Per $x \to 0^+$, $\frac{x\ln x}{x^\alpha} = x^{1 - \alpha}\ln x$ tende a 0 se $\alpha < 1$ e a $-\infty$ se $\alpha \geq 1$: nessun esponente dà un limite finito e diverso da 0. E $e^{-1/x}$ va a zero più in fretta di ogni potenza, perché $\frac{e^{-1/x}}{x^b} = \frac{t^b}{e^t} \to 0$.

Il simbolo o piccolo

$o(g)$ non è una funzione precisa: è un’etichetta per «una qualunque funzione trascurabile rispetto a $g$». Le uguaglianze con l’o piccolo si leggono quindi da sinistra a destra: $x^3 = o(x^2)$ per $x \to 0$ è vero, $o(x^2) = x^3$ non ha senso. E conta il punto: per $x \to 0$, $x^2 = o(x)$; per $x \to +\infty$, $x = o(x^2)$.

Siccome $f \sim g$ equivale a $f = g + o(g)$, i limiti notevoli diventano uguaglianze, per $x \to 0$:

$$\begin{gathered} \sin x = x + o(x) \\ 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2) \\ e^x = 1 + x + o(x) \end{gathered}$$

Si dimostrano con la definizione. Per esempio, se $\varphi = o(x^n)$ ($\varphi$ è la lettera greca «fi»), allora $\frac{x^m\varphi(x)}{x^{m+n}} = \frac{\varphi(x)}{x^n} \to 0$.

L’algebra completa degli o piccoli, con somme, prodotti e composizioni di sviluppi, è il cuore della formula di Taylor, che calcola in modo meccanico anche l’ordine di differenze come $\sin x - x$.

Un po’ di storia. Il simbolo $O$, «o grande», compare nel 1894 in un libro di teoria dei numeri del tedesco Paul Bachmann. Nel 1909 Edmund Landau, nel suo trattato sulla distribuzione dei numeri primi, ne sviluppò le proprietà e introdusse la $o$ piccola: per questo si parla di simboli di Landau. In informatica li ritroverai per misurare la velocità degli algoritmi.

Calcolare i limiti con gli asintotici: la scaletta

1. Controlla la forma. Prima sostituisci: se la forma non è indeterminata, hai finito. Il metodo serve per $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ e $0 \cdot \infty$, le forme indeterminate più comuni.
2. Riscrivi tutto come prodotti e quozienti. Trasforma le differenze con le tecniche del calcolo dei limiti: raccogli, razionalizza, oppure aggiungi e togli 1 per far comparire $e^t - 1$, $1 - \cos t$ o $(1 + t)^\alpha - 1$.
3. Trova la parte principale di ogni fattore. Vicino a un punto con la tabella, controllando che l’argomento tenda a 0; all’infinito con la gerarchia, tenendo il termine più veloce, oppure ponendo $t = \frac{1}{x}$.
4. Nelle somme che restano, somma le parti principali solo se non si cancellano. Se si cancellano, serve Taylor.
5. Semplifica e calcola il limite.

Gli esempi 1-4 seguono proprio questa scaletta; altri limiti di ogni tipo li trovi negli esercizi svolti sui limiti.

Gli errori più comuni

• Sostituire gli asintotici in una differenza. $\tan x - \sin x$ non è $x - x = 0$: ha parte principale $\frac{x^3}{2}$. Le parti principali si sommano solo se non si cancellano.
• Usare un asintotico quando l’argomento non tende a 0. $\sin x \sim x$ vale per $x \to 0$, non per $x \to +\infty$. E per $x \to 0$, $\sin(x^2 + 1)$ non è asintotico a $x^2 + 1$: l’argomento tende a 1.
• Dimenticare la costante della parte principale. $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, non $x^2$: l’ordine è giusto, ma il limite viene sbagliato di un fattore 2.
• Tenere il termine sbagliato di un polinomio. All’infinito comanda il grado più alto, vicino a 0 quello più basso: $x^3 + 2x \sim 2x$ per $x \to 0$.
• Confondere «ordine superiore» per infinitesimi e infiniti. Un infinitesimo di ordine superiore va a zero più in fretta, un infinito di ordine superiore cresce più in fretta.
• Cancellare gli o piccoli. $o(x^3) - o(x^3)$ fa $o(x^3)$, non 0. E nessuna funzione è «asintotica a 0»: se dopo una sostituzione resta 0, l’approssimazione era troppo grossolana.
• Sostituire dentro un esponenziale. Per $x \to +\infty$, $x^2 + x \sim x^2$, ma $\frac{e^{x^2 + x}}{e^{x^2}} = e^x \to +\infty$. Il principio vale per i fattori, non per gli argomenti delle funzioni.

Esercizi svolti

1. Ordine e parte principale

Testo. Trova ordine e parte principale, per $x \to 0$, di $\ln(1 + 2x^2)$ e di $\sin x\,(1 - \cos 2x)$; e, per $x \to 0^+$, di $\sqrt{x}\arctan x$.

Primo. L’argomento $t = 2x^2$ tende a 0, quindi $\ln(1 + t) \sim t$:

$$\ln(1 + 2x^2) \sim 2x^2$$

Ordine 2, parte principale $2x^2$.

Secondo. È un prodotto. $\sin x \sim x$ e, con $t = 2x$ nel limite del coseno, $1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = 2x^2$. Quindi

$$\sin x\,(1 - \cos 2x) \sim x \cdot 2x^2 = 2x^3$$

Ordine 3, parte principale $2x^3$: in un prodotto gli ordini si sommano, $1 + 2 = 3$.

Terzo. $\arctan x \sim x$, quindi $\sqrt{x}\arctan x \sim \sqrt{x} \cdot x = x^{3/2}$. Ordine $\frac{3}{2}$, parte principale $x^{3/2}$. L’ordine non è intero: per questo si guarda solo $x \to 0^+$.

2. Due limiti con gli asintotici

Testo. Calcola i due limiti per $x \to 0$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos 2x)(3^x - 1)}{x^2\ln(1 + 4x)} \\ \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin 3x} - 1}{\ln(1 + \tan 2x)} \end{gathered}$$

Primo. È una forma $\frac{0}{0}$ fatta di prodotti. Le parti principali: $1 - \cos 2x \sim 2x^2$, $\ 3^x - 1 \sim x\ln 3$, $\ \ln(1 + 4x) \sim 4x$. Sostituendo:

$$\frac{2x^2 \cdot x\ln 3}{x^2 \cdot 4x} = \frac{2\ln 3}{4} = \frac{\ln 3}{2}$$

Il limite vale $\frac{\ln 3}{2} \approx 0{,}549$.

Secondo. Qui ci sono funzioni composte. Con $t = \sin 3x$, che tende a 0, $e^t - 1 \sim t$, cioè $e^{\sin 3x} - 1 \sim \sin 3x \sim 3x$. Con $s = \tan 2x$, che tende a 0, $\ln(1 + s) \sim s$, cioè $\ln(1 + \tan 2x) \sim \tan 2x \sim 2x$. Per la proprietà transitiva e il principio di sostituzione:

$$\frac{e^{\sin 3x} - 1}{\ln(1 + \tan 2x)} \sim \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$

Il limite vale $\frac{3}{2}$.

3. Un limite all’infinito

Testo. Calcola

$$\lim_{x \to +\infty} (x^3 + \ln x)\sin\frac{1}{x}\left(e^{2/x^2} - 1\right)$$

È una forma $\infty \cdot 0 \cdot 0$, fatta di tre fattori. Studiamoli uno alla volta.

• $x^3 + \ln x \sim x^3$, perché per la gerarchia $\ln x = o(x^3)$.
• $\frac{1}{x} \to 0$, quindi $\sin\frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}$.
• $\frac{2}{x^2} \to 0$, quindi $e^{2/x^2} - 1 \sim \frac{2}{x^2}$.

Per il principio di sostituzione:

$$x^3 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{x^2} = 2$$

Il limite vale 2: l’infinito di ordine 3 e i due infinitesimi di ordine 1 e 2 si bilanciano esattamente.

4. La trappola della differenza

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2\sin x}{x^3}$.

La strada sbagliata. $\sin 2x \sim 2x$ e $2\sin x \sim 2x$, quindi «il numeratore è $2x - 2x = 0$» e il limite sarebbe 0. È sbagliato: le due parti principali hanno coefficienti $2$ e $-2$, che si cancellano, e la regola della somma non si applica.

La strada giusta. Trasformiamo la differenza in un prodotto con la formula di duplicazione $\sin 2x = 2\sin x\cos x$:

$$\begin{gathered} \sin 2x - 2\sin x = 2\sin x\cos x - 2\sin x \\ {} = -2\sin x\,(1 - \cos x) \end{gathered}$$

Ora è un prodotto, e si sostituisce:

$$-2\sin x\,(1 - \cos x) \sim -2 \cdot x \cdot \frac{x^2}{2} = -x^3$$

Il limite vale $-1$. Controllo con gli sviluppi di Taylor: $\sin 2x = 2x - \frac{4}{3}x^3 + o(x^3)$ e $2\sin x = 2x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$, la cui differenza è $-x^3 + o(x^3)$. Il numeratore non è «zero»: è un infinitesimo di ordine 3.

5. Mettere in fila gli infiniti

Testo. Ordina dal più lento al più veloce, per $x \to +\infty$, gli infiniti $e^x$, $x^{10}$, $(\ln x)^3$, $2^x$, $x^x$, $\sqrt{x}$ e $x\ln x$. Poi calcola

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x + x^{10}}{e^x - x\ln x}$$

La gerarchia mette i logaritmi prima delle potenze, le potenze prima degli esponenziali e $x^x$ in fondo. Restano da ordinare i membri dello stesso gruppo.

• $\sqrt{x} \ll x\ln x$, perché $\frac{\sqrt{x}}{x\ln x} = \frac{1}{\sqrt{x}\ln x} \to 0$.
• $x\ln x \ll x^{10}$, perché $\frac{x\ln x}{x^{10}} = \frac{\ln x}{x^9} \to 0$.
• $2^x \ll e^x$, perché $\frac{2^x}{e^x} = \left(\frac{2}{e}\right)^x \to 0$, essendo $\frac{2}{e} < 1$.

La classifica completa è

$$\begin{gathered} (\ln x)^3 \ll \sqrt{x} \ll x\ln x \ll x^{10} \\ {} \ll 2^x \ll e^x \ll x^x \end{gathered}$$

Nel limite eliminiamo i termini trascurabili: $x^{10} = o(e^x)$ e $x\ln x = o(e^x)$, quindi il numeratore è asintotico a $3e^x$ e il denominatore a $e^x$. Il limite vale $\frac{3e^x}{e^x} = 3$.

6. Un ordine con un parametro

Testo. Sia $f(x) = \ln(\cos x) + e^{x^2} - 1$. Trova ordine e parte principale di $f$ per $x \to 0$ e calcola, al variare di $\alpha > 0$, il limite

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x^\alpha}$$

Il logaritmo. Il trucco è scrivere $\cos x = 1 + t$, con $t = \cos x - 1$, che tende a 0 e non si annulla per $x \neq 0$ vicino a 0. Quindi $\ln(1 + t) \sim t$:

$$\ln(\cos x) \sim \cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$$

L’esponenziale. Con $t = x^2$: $e^{x^2} - 1 \sim x^2$.

La somma. Sono due infinitesimi di ordine 2, con coefficienti $-\frac{1}{2}$ e 1, che sommati danno $\frac{1}{2} \neq 0$. Per la regola della somma delle parti principali

$$f(x) \sim -\frac{x^2}{2} + x^2 = \frac{x^2}{2}$$

$f$ ha ordine 2 e parte principale $\frac{x^2}{2}$. La formula di Taylor lo conferma: $f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{12}x^4 + o(x^4)$.

Il limite. Per il principio di sostituzione

$$\frac{f(x)}{x^\alpha} \sim \frac{x^2}{2x^\alpha} = \frac{x^{2 - \alpha}}{2}$$

Il limite vale 0 se $0 < \alpha < 2$, vale $\frac{1}{2}$ se $\alpha = 2$ e vale $+\infty$ se $\alpha > 2$: solo con l’esponente uguale all’ordine il rapporto ha un limite finito e diverso da 0.

In sintesi

• Infinitesimi e infiniti si confrontano con il limite del rapporto: $\frac{f}{g} \to 0$ vuol dire $f = o(g)$, cioè $f$ trascurabile rispetto a $g$.
• $f$ ha ordine $\alpha$ se $\frac{f(x)}{(x - x_0)^\alpha} \to \ell$, finito e diverso da 0; $\ell\,(x - x_0)^\alpha$ è la parte principale e $f$ è asintotica a lei. All’infinito il campione è $\frac{1}{x}$.
• $f \sim g$ se $\frac{f}{g} \to 1$, cioè $f = g + o(g)$. Per $x \to 0$: $\sin x \sim x$, $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, $e^x - 1 \sim x$, $\ln(1 + x) \sim x$, $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$.
• In prodotti e quozienti ogni fattore si sostituisce con un asintotico.
• Nelle somme si eliminano i termini trascurabili, e le parti principali si sommano solo se non si cancellano: $\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$, non 0.
• Gerarchia per $x \to +\infty$: $(\ln x)^a \ll x^b \ll c^x \ll x^x$; vicino a $0^+$, $x^b|\ln x|^a \to 0$.
• o piccolo: $o(x^n) \pm o(x^n) = o(x^n)$, $x^m \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$, e $o - o$ non fa 0.

Nell’ultimo articolo di teoria del capitolo usiamo i limiti per disegnare: gli asintoti di una funzione.