Valore assoluto: proprietà, equazioni, disequazioni ed esercizi svolti

Il valore assoluto, o modulo, è uno degli strumenti che userai di più in Analisi 1. Misura le distanze sulla retta, scrive gli intorni e le definizioni di limite, dà l’area sotto un grafico come integrale definito di $|f(x)|$ e la convergenza assoluta delle serie. Le equazioni e le disequazioni con il modulo, poi, sono un classico dei compiti, da sole o dentro il calcolo di un dominio. In questa pagina vediamo la definizione, il significato di distanza, il grafico e la funzione segno, le proprietà con le dimostrazioni, la disuguaglianza triangolare, tutti i tipi di equazioni e disequazioni con il valore assoluto, i metodi per più moduli, la risoluzione grafica con un parametro, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è il valore assoluto

Il valore assoluto di un numero è il numero senza il suo segno: $|5| = 5$, $\lvert -5 \rvert = 5$, $|0| = 0$. Se due amici fanno 5 metri dallo stesso punto, uno verso destra e uno verso sinistra, entrambi sono a 5 metri dalla partenza: il valore assoluto conserva la «quantità» e dimentica la direzione.

La riga $-x$ spaventa sempre un po’: sembra negativa, e invece è positiva, perché si usa proprio quando $x$ è negativo. Se $x = -3$, allora $-x = 3$: il meno vuol dire «l’opposto di $x$», non «negativo».

Dei due numeri $x$ e $-x$ uno è positivo o nullo, e $|x|$ è proprio quello, cioè il più grande dei due:

$$|x| = \max\{x, -x\}$$

La funzione segno

Il valore assoluto dice quanto è grande un numero; il segno lo dice la funzione segno:

$$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x > 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \\ -1 & \text{se } x < 0 \end{cases}$$

Mettendo insieme le due informazioni si ritrova il numero:

$$x = \operatorname{sgn}(x) \cdot |x|$$

Per esempio $-7 = (-1) \cdot 7$; allo stesso modo $|x| = \operatorname{sgn}(x) \cdot x$. Sia $|x|$ sia $\operatorname{sgn}(x)$ sono funzioni definite a tratti: una formula diversa in ogni pezzo del dominio.

Il significato geometrico: una distanza

Sulla retta reale, $|x|$ è la distanza del punto $x$ dall’origine: $-5$ e $5$ stanno tutti e due a 5 passi da 0. Più in generale:

Per esempio la distanza tra $-2$ e $5$ è $\lvert -2 - 5 \rvert = 7$: contando i passi da $-2$ a $5$ se ne fanno proprio 7. Attenzione quando c’è un più: $|x + 3| = |x - (-3)|$ è la distanza di $x$ da $-3$, non da 3.

Gli intorni: il linguaggio dei limiti

Con le distanze molte disequazioni diventano immediate. Con $r > 0$:

$$\begin{gathered} |x - c| < r \\ {} \iff c - r < x < c + r \end{gathered}$$

cioè i punti che distano da $c$ meno di $r$. Formano l’intervallo $(c - r,\ c + r)$, l’intorno di $c$ di raggio $r$. Viceversa ogni intervallo aperto limitato si scrive così, con il centro nel punto medio: $1 < x < 7$ equivale a $|x - 4| < 3$.

È il linguaggio dei limiti, dove le lettere greche $\delta$ («delta») ed $\varepsilon$ («epsilon») indicano numeri positivi piccoli: $|x - x_0| < \delta$ dice che $x$ dista da $x_0$ meno di $\delta$, $|f(x) - \ell| < \varepsilon$ che $f(x)$ dista da $\ell$ meno di $\varepsilon$. Per le successioni, $|a_n - \ell|$ è la distanza dal limite. Infine $0 < |x - x_0| < \delta$ esclude $x_0$: è l’intorno «bucato».

Il grafico del valore assoluto

Il grafico di $y = |x|$ è fatto da due semirette, $y = x$ per $x \geq 0$ e $y = -x$ per $x < 0$: una V con il vertice nell’origine. Il dominio è $\mathbb{R}$, l’immagine $[0, +\infty)$, il minimo è 0 in $x = 0$. La funzione è pari, perché $\lvert -x \rvert = |x|$, ed è continua; nell’origine però ha uno spigolo, il primo esempio di punto angoloso: lì la funzione non è derivabile.

Il grafico mostra come si risolve $|x| < 3$: la V sta sotto la retta $y = 3$ per $-3 < x < 3$. Sta sopra, cioè $|x| > 3$, per $x < -3$ oppure $x > 3$.

Le proprietà del valore assoluto

Perché sono vere. Le prime due seguono dalla definizione, o dalla distanza: una distanza non è mai negativa, e $a$ e $-a$ sono alla stessa distanza da 0.

• 3. Se $a \geq 0$ è ovvio; se $a < 0$, $|a|^2 = (-a)^2 = a^2$.
• 4. $\sqrt{a^2}$ è, per definizione, il numero non negativo il cui quadrato è $a^2$. Il numero $|a|$ non è negativo e, per la 3, ha quadrato $a^2$: quindi è lui.
• 5. $|ab|$ e $|a|\,|b|$ sono non negativi e hanno lo stesso quadrato, $a^2 b^2$. Due numeri $u, v \geq 0$ con lo stesso quadrato sono uguali, perché per la 4 $u = \sqrt{u^2} = \sqrt{v^2} = v$. Per il quoziente è lo stesso.
• 6. $a$ è uguale a $|a|$ oppure a $-|a|$, e in entrambi i casi sta tra $-|a|$ e $|a|$.

La radice di x al quadrato

La proprietà 4 è quella che fa sbagliare di più.

La radice quadrata non dà mai risultati negativi, mentre $x$ può esserlo. Lo stesso vale per qualsiasi espressione: $\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$, e $\sqrt{x^2 y} = |x|\sqrt{y}$ per $y \geq 0$, come nelle potenze con esponente frazionario. Il modulo si toglie solo quando conosci il segno: nei limiti per $x \to -\infty$, per esempio, $\sqrt{x^2} = -x$.

La disuguaglianza triangolare

Con il prodotto il valore assoluto si comporta bene, con la somma no: $|3 + (-5)| = 2$, mentre $|3| + \lvert -5 \rvert = 8$. Con segni opposti i due numeri in parte si cancellano, e resta vera solo una disuguaglianza.

Dimostrazione

Ci serve un fatto che useremo anche nelle disequazioni: tra numeri non negativi, confrontare i numeri o i loro quadrati è la stessa cosa. Se $u, v \geq 0$:

$$u \leq v \iff u^2 \leq v^2$$

Infatti $v^2 - u^2 = (v - u)(v + u)$: se $u$ e $v$ non sono entrambi nulli, $v + u > 0$ e $v^2 - u^2$ ha lo stesso segno di $v - u$ (se sono nulli non c’è niente da dimostrare). Lo stesso vale con il minore stretto.

I due membri della tesi non sono negativi, quindi confrontiamo i quadrati. Per le proprietà 3 e 5:

$$\begin{gathered} |a + b|^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ (|a| + |b|)^2 = a^2 + 2|ab| + b^2 \end{gathered}$$

Per la proprietà 6, $ab \leq |ab|$: il primo quadrato non supera il secondo, quindi $|a + b| \leq |a| + |b|$. I quadrati sono uguali esattamente quando $ab = |ab|$, cioè quando $ab \geq 0$.

Perché si chiama triangolare

Applichiamo la disuguaglianza ai numeri $a - b$ e $b - c$, che sommati danno $a - c$:

$$|a - c| \leq |a - b| + |b - c|$$

Con le distanze: andare da $a$ a $c$ passando per $b$ non è mai più corto che andarci direttamente, e costa lo stesso solo se $b$ sta tra $a$ e $c$. Nel piano, con i vettori, la stessa disuguaglianza dice che in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due: da qui il nome. È la forma usata nei limiti: due valori che distano entrambi meno di $\frac{1}{2}$ da $\ell$ distano tra loro meno di 1.

La disuguaglianza triangolare inversa

Perché è vera. Scriviamo $a = (a - b) + b$ e usiamo la disuguaglianza triangolare:

$$\begin{gathered} |a| \leq |a - b| + |b| \\ |a| - |b| \leq |a - b| \end{gathered}$$

Scambiando $a$ e $b$ si ottiene $|b| - |a| \leq |a - b|$. Il primo membro della tesi è il più grande tra $|a| - |b|$ e il suo opposto (ricorda $|X| = \max\{X, -X\}$), e nessuno dei due supera $|a - b|$.

Il significato. Le distanze da 0 di due punti differiscono al massimo della distanza tra i punti: se $a$ e $b$ sono vicini, lo sono anche $|a|$ e $|b|$. Così, se $a_n \to \ell$, allora $|a_n| \to |\ell|$. Il viceversa è falso: $(-1)^n$ non ha limite, mentre $|(-1)^n| = 1$ sì.

Le equazioni con il valore assoluto

Il caso |f(x)| = k

Con $k$ numero, pensa alle distanze: se $k > 0$, i numeri che distano $k$ da 0 sono $k$ e $-k$. Quindi:

• se $k < 0$ l’equazione è impossibile, perché un valore assoluto non è mai negativo;
• se $k = 0$ equivale a $f(x) = 0$;
• se $k > 0$ equivale a $f(x) = k$ oppure $f(x) = -k$.

Esempio. $|2x - 1| = 5$ dà $2x - 1 = 5$, cioè $x = 3$, oppure $2x - 1 = -5$, cioè $x = -2$.

Il caso |f(x)| = g(x)

Ora il secondo membro dipende da $x$ e può essere negativo. Ci sono due metodi equivalenti.

Metodo 1: la condizione. Il primo membro non è mai negativo, quindi può essere uguale a $g(x)$ solo dove $g(x) \geq 0$. Lì vale il caso precedente:

$$\begin{gathered} |f(x)| = g(x) \\ {} \iff \begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) = \pm g(x) \end{cases} \end{gathered}$$

Metodo 2: per casi. Si toglie il modulo con la definizione, distinguendo il segno di $f(x)$:

$$\begin{gathered} \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases} \\ \text{oppure} \\ \begin{cases} f(x) < 0 \\ -f(x) = g(x) \end{cases} \end{gathered}$$

Esempio. $|x - 3| = 2x$. Con il metodo 1 la condizione è $x \geq 0$. Poi:

• $x - 3 = 2x$ dà $x = -3$, da scartare perché non rispetta $x \geq 0$;
• $x - 3 = -2x$ dà $3x = 3$, cioè $x = 1$, accettabile.

Con il metodo 2: per $x \geq 3$ si ha $x - 3 = 2x$, cioè $x = -3$, fuori dall’intervallo; per $x < 3$ si ha $3 - x = 2x$, cioè $x = 1$, dentro. La soluzione è solo $x = 1$: infatti $|1 - 3| = 2 = 2 \cdot 1$.

Il caso |f(x)| = |g(x)|

Due numeri hanno lo stesso valore assoluto quando sono uguali od opposti: basta risolvere $f(x) = g(x)$ e $f(x) = -g(x)$, senza condizioni, perché entrambi i membri sono non negativi.

Esempio. $|x - 1| = |2x + 4|$. Da $x - 1 = 2x + 4$ si ha $x = -5$; da $x - 1 = -2x - 4$ si ha $3x = -3$, cioè $x = -1$. Verifica: per $x = -5$ entrambi i membri valgono 6, per $x = -1$ valgono 2.

Le disequazioni con il valore assoluto

|f(x)| < k e |f(x)| > k, con k positivo

Il valore assoluto è piccolo quando $f(x)$ sta vicino allo zero, ed è grande quando se ne allontana, da una parte o dall’altra.

Perché è vero. Se $X \geq 0$, la disuguaglianza $|X| < k$ diventa $X < k$; se $X < 0$ diventa $-X < k$, cioè $X > -k$. In entrambi i casi $X$ deve stare tra $-k$ e $k$: un numero non negativo è già maggiore di $-k$, uno negativo è già minore di $k$. La seconda è la negazione della prima con $\leq$: $|X| > k$ è vera quando $X$ non sta in $[-k, k]$.

Esempio 1. $|x - 1| < 2$ diventa $-2 < x - 1 < 2$, cioè $-1 < x < 3$: i punti che distano da 1 meno di 2.

Esempio 2. $|2x + 1| \geq 3$ diventa $2x + 1 \leq -3$ oppure $2x + 1 \geq 3$, cioè $x \leq -2$ oppure $x \geq 1$.

Quando k è zero o negativo

Un valore assoluto non è mai negativo, quindi:

• $|f(x)| < k$ con $k \leq 0$: nessuna soluzione;
• $|f(x)| \leq 0$: solo dove $f(x) = 0$;
• $|f(x)| > 0$: ovunque tranne negli zeri di $f$;
• $|f(x)| \geq k$ con $k \leq 0$: sempre vera, in tutto il dominio di $f$.

|f(x)| < g(x) e |f(x)| > g(x)

Le regole sono le stesse, con $g(x)$ al posto di $k$, e senza condizioni su $g(x)$:

$$\begin{gathered} |f(x)| < g(x) \\ {} \iff -g(x) < f(x) < g(x) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} |f(x)| > g(x) \\ {} \iff f(x) < -g(x) \\ \text{oppure}\;\; f(x) > g(x) \end{gathered}$$

La prima è un sistema: le due disuguaglianze valgono insieme. La seconda è un’unione: basta che ne valga una. La condizione non serve perché le regole la contengono già: dove $g(x) \leq 0$ il sistema è impossibile, visto che $-g(x) \geq g(x)$; dove $g(x) < 0$ l’unione è sempre vera, visto che $g(x) < -g(x)$.

Esempio (sistema). $|x^2 - 4| < 3x$ diventa

$$\begin{gathered} \begin{cases} x^2 - 4 < 3x \\ x^2 - 4 > -3x \end{cases} \\ {} \iff \begin{cases} x^2 - 3x - 4 < 0 \\ x^2 + 3x - 4 > 0 \end{cases} \\ {} \iff \begin{cases} (x - 4)(x + 1) < 0 \\ (x + 4)(x - 1) > 0 \end{cases} \end{gathered}$$

La prima vale per $-1 < x < 4$, la seconda per $x < -4$ oppure $x > 1$. L’intersezione è $1 < x < 4$. Controllo: per $x = 4$ si ha $12 < 12$, falso, e infatti 4 è escluso.

Esempio (unione). $|2x - 1| > x + 1$ diventa

$$\begin{gathered} 2x - 1 < -(x + 1) \iff x < 0 \\ \text{oppure} \\ 2x - 1 > x + 1 \iff x > 2 \end{gathered}$$

La soluzione è $x < 0$ oppure $x > 2$. Per $x < -1$ il secondo membro è negativo e la disuguaglianza è vera senza conti: infatti quei punti sono tra le soluzioni.

|f(x)| < |g(x)|: si può elevare al quadrato

Qui entrambi i membri sono non negativi, quindi possiamo confrontare i quadrati, come nella dimostrazione della disuguaglianza triangolare:

$$\begin{gathered} |f(x)| < |g(x)| \iff f(x)^2 < g(x)^2 \\ {} \iff \big(f(x) - g(x)\big)\big(f(x) + g(x)\big) < 0 \end{gathered}$$

L’ultima forma, la differenza di quadrati, evita di sviluppare i conti. Con $>$, $\leq$ e $\geq$ si fa allo stesso modo.

Esempio. $|x - 1| < |x + 3|$. Elevando al quadrato:

$$\begin{gathered} x^2 - 2x + 1 < x^2 + 6x + 9 \\ -8x < 8 \iff x > -1 \end{gathered}$$

Con le distanze si vede senza conti: cerchiamo i punti più vicini a 1 che a $-3$, cioè quelli a destra del punto medio, $-1$.

Più valori assoluti: il metodo per casi

Con due o più moduli, il metodo sicuro è toglierli intervallo per intervallo.

1. Trova gli zeri degli argomenti dei moduli.
2. Mettili in ordine: dividono la retta in intervalli, in ognuno dei quali ogni argomento ha segno costante.
3. In ogni intervallo togli i moduli: un argomento positivo resta com’è, uno negativo cambia segno.
4. Risolvi e tieni solo le soluzioni che cadono dentro l’intervallo.
5. Unisci i risultati.

Ogni zero va assegnato a uno solo dei due intervalli vicini: lì il modulo vale 0, le due formule coincidono e la scelta non conta.

Esempio. $2|x - 1| - |x + 2| < 4$. Gli argomenti si annullano in $-2$ e in 1. Ecco i segni nei tre intervalli (il $+$ comprende lo zero):

Intervallo	$x + 2$	$x - 1$
$x < -2$	$-$	$-$
$-2 \leq x < 1$	$+$	$-$
$x \geq 1$	$+$	$+$

• Per $x < -2$: $2(1 - x) - (-x - 2) = 4 - x$, e $4 - x < 4$ dà $x > 0$: nessuna soluzione qui.
• Per $-2 \leq x < 1$: $2(1 - x) - (x + 2) = -3x$, e $-3x < 4$ dà $x > -\frac{4}{3}$: soluzioni $-\frac{4}{3} < x < 1$.
• Per $x \geq 1$: $2(x - 1) - (x + 2) = x - 4$, e $x - 4 < 4$ dà $x < 8$: soluzioni $1 \leq x < 8$.

Unendo: $-\frac{4}{3} < x < 8$. Agli estremi il primo membro vale esattamente 4, quindi sono esclusi.

La somma di due distanze

Per $|x - a| + |x - b|$, con $a < b$, c’è una scorciatoia geometrica: è la somma delle distanze di $x$ da $a$ e da $b$.

• Se $x$ sta tra $a$ e $b$, le due distanze si completano e la somma è sempre la lunghezza del segmento, $b - a$.
• Se $x$ sta fuori, ogni passo che ti allontani aumenta entrambe le distanze: la somma cresce di 2 per ogni passo.

Il grafico ha la forma di una vasca: due semirette di pendenza $-2$ e $2$ e un tratto orizzontale in mezzo.

Esempio. $|x - 1| + |x + 2| = 5$. Tra $-2$ e 1 la somma delle distanze vale sempre 3: troppo poco. Mancano 2, e ogni passo fuori dal segmento aggiunge 2, quindi basta uscire di un passo: da una parte si arriva a $x = 2$, dall’altra a $x = -3$.

Dal grafico si leggono anche le disequazioni: $|x - 1| + |x + 2| \leq 5$ vale per $-3 \leq x \leq 2$. Con 3 al secondo membro l’equazione ha infinite soluzioni, tutto $[-2, 1]$; con un numero minore di 3 nessuna. Il metodo per casi conferma: nei tre intervalli l’equazione diventa $-2x - 1 = 5$, poi $3 = 5$, poi $2x + 1 = 5$.

Grafici e soluzioni grafiche

I grafici di |f(x)| e di f(|x|)

Sono due trasformazioni da non confondere, spiegate nelle trasformazioni dei grafici:

• $y = |f(x)|$: le parti del grafico di $f$ sotto l’asse $x$ si ribaltano sopra;
• $y = f(|x|)$: si tiene la parte con $x \geq 0$ e la si specchia a sinistra, ottenendo una funzione pari.

Gli spigoli che compaiono e lo studio completo con le derivate sono nello studio di funzione con valore assoluto.

Equazioni con un parametro

Per contare le soluzioni di $f(x) = k$ quando $k$ è un parametro, cioè un numero che può cambiare, conviene il grafico: le soluzioni sono le intersezioni con la retta orizzontale $y = k$. Si fa salire la retta dal basso e si contano.

Esempio. Quante soluzioni ha $|x^2 - 2x| = k$ al variare di $k$? La parabola $x^2 - 2x = x(x - 2)$ ha zeri 0 e 2 e vertice in $(1, -1)$. Nel modulo l’arco tra 0 e 2 si ribalta e diventa una gobba con il massimo 1 in $x = 1$.

Valori di $k$	Soluzioni	Quali
$k < 0$	nessuna	la retta passa sotto
$k = 0$	2	$x = 0$ e $x = 2$
$0 < k < 1$	4	due sulla gobba, due fuori
$k = 1$	3	$x = 1$ e $x = 1 \pm \sqrt{2}$
$k > 1$	2	una per ramo esterno

Il numero cambia nei minimi sull’asse e nella cima della gobba. Per $k = 1$ i conti confermano: $x^2 - 2x = -1$ dà $(x - 1)^2 = 0$, e $x^2 - 2x = 1$ dà $x = 1 \pm \sqrt{2}$.

Un po’ di storia

Il valore assoluto si usava ben prima di avere un simbolo: Gauss nel 1801 parlava di magnitudo absoluta, e il francese valeur absolue compare già all’inizio dell’Ottocento. Il nome modulo viene dai numeri complessi: in quegli anni Jean-Robert Argand chiamò module la lunghezza del segmento che rappresenta un numero complesso nel piano. Le due barre verticali sono di Karl Weierstrass: compaiono in un suo scritto del 1841, rimasto però inedito per decenni, e nel 1876 le dichiarò esplicitamente in una nota, per i numeri complessi.

Gli errori più comuni

• Scrivere $\sqrt{x^2} = x$. È vero solo per $x \geq 0$; in generale $\sqrt{x^2} = |x|$.
• Pensare che $-x$ sia sempre negativo. Nella definizione la riga $|x| = -x$ si usa quando $x < 0$, e lì $-x$ è positivo.
• Spezzare il modulo di una somma. In generale $|a + b|$ non è $|a| + |b|$: vale solo la disuguaglianza triangolare. Con il prodotto invece sì.
• Dimenticare la condizione in $|f(x)| = g(x)$. Le soluzioni di $f(x) = \pm g(x)$ in cui $g(x) < 0$ vanno scartate.
• Elevare al quadrato quando un membro può essere negativo. Il quadrato conserva uguaglianze e disuguaglianze solo tra numeri non negativi: va bene in $|f(x)| < |g(x)|$, non in $|f(x)| = g(x)$ senza la condizione $g(x) \geq 0$.
• Scambiare sistema e unione. $|f(x)| < k$ dà un sistema, $|f(x)| > k$ un’unione. Scrivere $-k > f(x) > k$ non ha senso: nessun numero è insieme minore di $-k$ e maggiore di $k$.
• Con più moduli, accettare soluzioni fuori dall’intervallo. Ogni soluzione va confrontata con il suo intervallo.

Esercizi svolti

Altri esercizi, su tutto il capitolo, sono negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

1. Un modulo uguale a un numero

Testo. Risolvi l’equazione $|x^2 - 5x| = 6$.

Il secondo membro è un numero positivo, quindi l’argomento vale 6 oppure $-6$, senza altre condizioni:

$$\begin{gathered} x^2 - 5x = 6 \iff x^2 - 5x - 6 = 0 \\ {} \iff (x - 6)(x + 1) = 0 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x^2 - 5x = -6 \iff x^2 - 5x + 6 = 0 \\ {} \iff (x - 2)(x - 3) = 0 \end{gathered}$$

La prima dà $x = 6$ oppure $x = -1$, la seconda $x = 2$ oppure $x = 3$. Verifica: $|36 - 30| = 6$, $|1 + 5| = 6$, $|4 - 10| = 6$, $|9 - 15| = 6$. L’equazione ha quattro soluzioni: $-1$, $2$, $3$ e $6$.

2. Un modulo uguale a un’espressione

Testo. Risolvi l’equazione $|x^2 - 3| = 2x$.

Con il metodo della condizione: deve essere $2x \geq 0$, cioè $x \geq 0$. Poi l’argomento deve valere $2x$ oppure $-2x$:

$$\begin{gathered} x^2 - 3 = 2x \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \\ {} \iff (x - 3)(x + 1) = 0 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x^2 - 3 = -2x \iff x^2 + 2x - 3 = 0 \\ {} \iff (x + 3)(x - 1) = 0 \end{gathered}$$

I candidati sono $3$ e $-1$ dalla prima, $-3$ e $1$ dalla seconda; la condizione scarta $-1$ e $-3$ (per $x = -1$ il primo membro vale 2, il secondo $-2$). Verifica: $|1 - 3| = 2 = 2 \cdot 1$ e $|9 - 3| = 6 = 2 \cdot 3$. Le soluzioni sono $x = 1$ e $x = 3$.

3. Un modulo minore di un’espressione

Testo. Risolvi la disequazione $|x^2 - 1| < x + 1$.

È del tipo $|f(x)| < g(x)$, quindi equivale al sistema $-g(x) < f(x) < g(x)$:

$$\begin{gathered} \begin{cases} x^2 - 1 < x + 1 \\ x^2 - 1 > -(x + 1) \end{cases} \\ {} \iff \begin{cases} x^2 - x - 2 < 0 \\ x^2 + x > 0 \end{cases} \\ {} \iff \begin{cases} (x - 2)(x + 1) < 0 \\ x(x + 1) > 0 \end{cases} \end{gathered}$$

Il primo trinomio è negativo tra le radici, $-1 < x < 2$; il secondo è positivo fuori, $x < -1$ oppure $x > 0$. L’intersezione è $0 < x < 2$.

Non serve imporre a parte $x + 1 > 0$: in $x = -1$ entrambi i membri valgono 0, e il sistema lo esclude da solo. Verifica: per $x = 1$ si ha $0 < 2$, vero; per $x = -\frac{1}{2}$ si ha $\frac{3}{4} < \frac{1}{2}$, falso; per $x = 2$ si ha $3 < 3$, falso. La soluzione è l’intervallo $(0, 2)$.

4. Due valori assoluti

Testo. Risolvi l’equazione $|2x - 1| + |x + 1| = 6$.

Con il coefficiente 2 le distanze sono scomode: usiamo il metodo per casi. Gli argomenti si annullano in $-1$ e $\frac{1}{2}$:

Intervallo	$x + 1$	$2x - 1$
$x < -1$	$-$	$-$
$-1 \leq x < \frac{1}{2}$	$+$	$-$
$x \geq \frac{1}{2}$	$+$	$+$

• Per $x < -1$: $-(2x - 1) - (x + 1) = 6$, cioè $-3x = 6$: $x = -2$, accettabile.
• Per $-1 \leq x < \frac{1}{2}$: $-(2x - 1) + (x + 1) = 6$, cioè $-x + 2 = 6$: $x = -4$, fuori dall’intervallo, da scartare.
• Per $x \geq \frac{1}{2}$: $(2x - 1) + (x + 1) = 6$, cioè $3x = 6$: $x = 2$, accettabile.

Verifica: $\lvert -5 \rvert + \lvert -1 \rvert = 6$ e $|3| + |3| = 6$. Le soluzioni sono $x = -2$ e $x = 2$.

5. Due moduli a confronto

Testo. Risolvi la disequazione $|x^2 - 2| < |x|$.

Entrambi i membri sono non negativi: eleviamo al quadrato e usiamo la differenza di quadrati.

$$\begin{gathered} (x^2 - 2)^2 < x^2 \\ (x^2 - 2)^2 - x^2 < 0 \\ (x^2 - x - 2)(x^2 + x - 2) < 0 \\ (x - 2)(x + 1)(x + 2)(x - 1) < 0 \end{gathered}$$

Le radici $-2$, $-1$, $1$, $2$ sono semplici, quindi il prodotto cambia segno a ognuna. Per $x > 2$ è positivo, e andando verso sinistra i segni si alternano: è negativo tra 1 e 2 e tra $-2$ e $-1$. La soluzione è

$$(-2, -1) \cup (1, 2)$$

Verifica: per $x = \frac{3}{2}$ si ha $\frac{1}{4} < \frac{3}{2}$, vero; per $x = 0$ si ha $2 < 0$, falso. La simmetria del risultato non è un caso: cambiando $x$ in $-x$ i due membri non cambiano.

6. Quante soluzioni al variare di k

Testo. Al variare del parametro reale $k$, quante soluzioni ha l’equazione $|x^2 - 1| = x + k$? Per quali $k$ sono quattro?

Il grafico. La parabola $x^2 - 1$ ha zeri $\pm 1$ e vertice in $(0, -1)$. Nel grafico di $y = |x^2 - 1|$ l’arco tra $-1$ e 1 si ribalta nella gobba $y = 1 - x^2$, con il massimo 1 in $x = 0$; fuori resta $y = x^2 - 1$.

Le rette. Le rette $y = x + k$ sono parallele, con pendenza 1, e tagliano l’asse $y$ in $k$: aumentando $k$ la retta sale. Le posizioni speciali sono tre.

• Passa per lo spigolo $(1, 0)$ quando $0 = 1 + k$, cioè $k = -1$.
• Passa per lo spigolo $(-1, 0)$ quando $0 = -1 + k$, cioè $k = 1$.
• È tangente alla gobba quando $1 - x^2 = x + k$, cioè $x^2 + x + k - 1 = 0$, ha una sola soluzione: il discriminante $\Delta = 5 - 4k$ si annulla per $k = \frac{5}{4}$, con contatto in $x = -\frac{1}{2}$, che sta davvero sulla gobba.

Il conteggio. Facendo salire la retta: sotto $k = -1$ passa sotto il grafico; tra $-1$ e 1 taglia una volta la gobba e una volta il ramo destro; tra 1 e $\frac{5}{4}$ taglia due volte la gobba e una volta ciascun ramo; sopra $\frac{5}{4}$ scavalca la gobba.

Valori di $k$	Soluzioni
$k < -1$	0
$k = -1$	1
$-1 < k < 1$	2
$k = 1$	3
$1 < k < \frac{5}{4}$	4
$k = \frac{5}{4}$	3
$k > \frac{5}{4}$	2

Verifica. Per $k = 1$ le soluzioni sono $-1$, $0$ e $2$: ritrovi l’esercizio 3, dove il grafico sta sotto la retta $y = x + 1$ proprio tra 0 e 2 e la tocca in $-1$. Per $k = \frac{9}{8}$ la gobba dà $x^2 + x + \frac{1}{8} = 0$, cioè $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{4}$, circa $-0{,}15$ e $-0{,}85$; i rami esterni danno $x^2 - x - \frac{17}{8} = 0$, con soluzioni circa $2{,}04$ e $-1{,}04$. Sono quattro. Le soluzioni sono quattro esattamente per $1 < k < \frac{5}{4}$.

In sintesi

• $|x| = x$ se $x \geq 0$, $|x| = -x$ se $x < 0$; $x = \operatorname{sgn}(x) \cdot |x|$; $\sqrt{x^2} = |x|$, non $x$.
• $|a - b|$ è la distanza tra $a$ e $b$; $|x - c| < r$ è l’intorno $(c - r,\ c + r)$.
• $|ab| = |a|\,|b|$; per la somma vale solo $|a + b| \leq |a| + |b|$, con l’uguale se $ab \geq 0$, e $\big\lvert |a| - |b| \big\rvert \leq |a - b|$.
• $|f(x)| = k$ con $k > 0$: $f(x) = \pm k$. $|f(x)| = g(x)$: $g(x) \geq 0$ e $f(x) = \pm g(x)$. $|f(x)| = |g(x)|$: $f(x) = \pm g(x)$.
• Con $k > 0$: $|X| < k \iff -k < X < k$ (sistema), $|X| > k \iff X < -k$ oppure $X > k$ (unione). Valgono anche con $g(x)$ al posto di $k$.
• Si eleva al quadrato solo con due membri non negativi, come in $|f(x)| < |g(x)|$.
• Con più moduli: zeri, tabella dei segni, un caso per intervallo; per $|x - a| + |x - b|$ pensa alla somma delle distanze.
• Con un parametro: interseca il grafico con la retta $y = k$ e conta.

Abbiamo tutti gli strumenti sugli insiemi di numeri. Ora possiamo affrontare il concetto centrale del corso: le funzioni.