Operazioni con i limiti e forme indeterminate: regole, tabelle ed esercizi svolti

Calcolare un limite partendo dalla definizione è lunghissimo. Per fortuna non serve quasi mai: un’espressione complicata si spezza nei suoi pezzi semplici, si calcolano i limiti dei pezzi e si rimettono insieme con poche regole. È l’algebra dei limiti, e la userai in ogni esercizio, dal primo limite allo studio di funzione d’esame. Le regole però hanno dei buchi: in sette casi, le forme indeterminate, sapere dove vanno i pezzi non basta per sapere dove va il tutto. In questa pagina vediamo le regole per somme, prodotti, quozienti e potenze, con la dimostrazione per la somma, l’aritmetica dell’infinito in tabelle, come si decide il segno quando si divide per zero, le sette forme indeterminate e perché lo sono, come le forme esponenziali si riducono a $0 \cdot \infty$, le forme che sembrano indeterminate ma non lo sono, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il primo passo: sostituire

Per le funzioni elementari (polinomi, potenze, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche) e per quelle che si ottengono combinandole, se $x_0$ è un punto del dominio il limite si calcola sostituendo:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 5 \\ \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \cos x}{1 + x^2} = \frac{1 + 1}{1} = 2 \end{gathered}$$

Il motivo è che queste funzioni sono continue nel loro dominio: il limite coincide con il valore nel punto. Il lavoro vero comincia quando $x_0$ non sta nel dominio, oppure quando $x \to \pm\infty$: lì bisogna ragionare sui limiti dei singoli pezzi.

L’algebra dei limiti finiti

L’idea è semplice: se $f(x)$ è vicinissimo a 3 e $g(x)$ a 5, la somma sarà vicinissima a 8 e il prodotto a 15. Il teorema lo dice in modo preciso.

Lo stesso vale per $x \to \pm\infty$ e per i limiti destro e sinistro. Nel quoziente, la condizione $m \neq 0$ garantisce anche che $g(x) \neq 0$ vicino a $x_0$, per la permanenza del segno, quindi $\frac{f}{g}$ è definita. In parole: il limite di un’operazione è l’operazione dei limiti, purché i limiti esistano, siano finiti e non si divida per zero.

Dal teorema, e dalla continuità delle funzioni elementari, seguono altre regole che userai di continuo:

Funzione	Limite	Condizione
$c \cdot f$	$c \cdot \ell$	$c$ costante
$\frac{1}{g}$	$\frac{1}{m}$	$m \neq 0$
$f^n$	$\ell^n$	$n$ naturale
$\sqrt[n]{f}$	$\sqrt[n]{\ell}$	$f \geq 0$ se $n$ è pari
$e^{f}$	$e^{\ell}$	nessuna
$\ln f$	$\ln \ell$	$\ell > 0$
$f^g$	$\ell^m$	$\ell > 0$

Perché è vero: la somma

Vogliamo che l’errore $\lvert f(x) + g(x) - (\ell + m) \rvert$ diventi piccolo quanto vogliamo. L’idea: se ciascuna delle due funzioni sbaglia di meno di metà della tolleranza, la somma sbaglia di meno della tolleranza intera.

Fissiamo $\varepsilon > 0$. Siccome $f(x) \to \ell$, esiste $\delta_1 > 0$ tale che $\lvert f(x) - \ell \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$ per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_1$. Siccome $g(x) \to m$, esiste $\delta_2 > 0$ tale che $\lvert g(x) - m \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$ per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta_2$. Prendiamo $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$: per $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$ valgono entrambe, e con la disuguaglianza triangolare $\lvert a + b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$:

$$\begin{gathered} \lvert f(x) + g(x) - (\ell + m) \rvert \\ {} \leq \lvert f(x) - \ell \rvert + \lvert g(x) - m \rvert \\ {} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{gathered}$$

È proprio la definizione di $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \big(f(x) + g(x)\big) = \ell + m$.

Per il prodotto l’idea è simile, con un trucco in più:

$$f g - \ell m = (f - \ell)\,g + \ell\,(g - m)$$

Il primo termine è piccolo perché $f - \ell \to 0$ e $g$ resta limitata vicino a $x_0$ (sta vicino a $m$); il secondo perché $g - m \to 0$. Per il quoziente si dimostra prima che $\frac{1}{g} \to \frac{1}{m}$, usando il fatto che vicino a $x_0$ la funzione $g$ si tiene lontana da zero. Non scriviamo questi due conti per intero: li trovi su qualsiasi libro di Analisi 1.

L’aritmetica dell’infinito

Ora i pezzi possono tendere a $\pm\infty$. Per scrivere i risultati in modo compatto si usano scritture come $+\infty + \infty = +\infty$ oppure $\frac{5}{\infty} = 0$. Attenzione: non sono operazioni tra numeri, perché $\infty$ non è un numero. Sono abbreviazioni di teoremi. Per esempio, $\ell + \infty = +\infty$ vuol dire:

L’insieme dei numeri reali con l’aggiunta di $+\infty$ e $-\infty$ si chiama retta reale estesa e si indica con $\overline{\mathbb{R}}$. Nelle tabelle che seguono, le prime due colonne contengono i limiti di $f$ e di $g$, non i loro valori; $\ell$ è sempre un numero reale. I limiti delle funzioni elementari ($e^x$, $\ln x$, $\frac{1}{x}$…) li ripassi nei limiti infiniti e all’infinito.

Somme e differenze

$f \to$	$g \to$	$f + g \to$
$\ell$	$+\infty$	$+\infty$
$\ell$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	indeterminata

Perché è vero (prima riga). Vicino a $x_0$ si ha $f(x) > \ell - 1$, perché $f$ si avvicina a $\ell$. Quindi $f(x) + g(x) > (\ell - 1) + g(x)$, e il secondo membro supera qualsiasi soglia, perché $g \to +\infty$. Allora la supera anche $f + g$.

Per le differenze basta ricordare che $f - g = f + (-g)$. Così $(+\infty) - (-\infty)$ è una somma di due $+\infty$ e fa $+\infty$, mentre $(+\infty) - (+\infty)$ è la forma indeterminata $\infty - \infty$. Per esempio $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 + \arctan x) = +\infty$, perché $x^2 \to +\infty$ e $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$.

Prodotti

$f \to$	$g \to$	$f \cdot g \to$
$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$\infty$, con la regola dei segni
$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\infty$, con la regola dei segni
$0$	$\pm\infty$	indeterminata

La regola dei segni è quella dei numeri: $(-3) \cdot (+\infty) = -\infty$, $(+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty$, $(-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty$. Il motivo della prima riga: se $\ell > 0$, vicino a $x_0$ si ha $f(x) > \frac{\ell}{2}$, e un numero maggiore di $\frac{\ell}{2}$ moltiplicato per un numero enorme è enorme. La condizione $\ell \neq 0$ è essenziale: con $\ell = 0$ si ottiene la forma $0 \cdot \infty$. Esempio: $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2 - x)\,e^x = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty$.

Quozienti e reciproci

$f \to$	$g \to$	$f / g \to$
$\ell$ (anche $0$)	$\pm\infty$	$0$
$\pm\infty$	$\ell \neq 0$	$\infty$, con la regola dei segni
$\ell \neq 0$	$0^+$ o $0^-$	$\infty$, con la regola dei segni
$\pm\infty$	$0^+$ o $0^-$	$\infty$, con la regola dei segni
$0$	$0$	indeterminata
$\pm\infty$	$\pm\infty$	indeterminata

Il buon senso dietro la tabella: piccolo diviso grande è piccolissimo, grande diviso piccolo è enorme. Con $f = 1$ si ottengono le regole del reciproco: $\frac{1}{\pm\infty} = 0$, $\frac{1}{0^+} = +\infty$, $\frac{1}{0^-} = -\infty$. Esempio: $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\arctan x}{x} = 0$, perché il numeratore tende a $\frac{\pi}{2}$ e il denominatore a $+\infty$.

Potenze

Una potenza con l’esponente variabile ha senso solo con la base positiva, e si scrive $f^g = e^{g \ln f}$, come visto nelle potenze con base ed esponente variabili. Qui la base è sempre positiva, quindi «base che tende a 0» vuol dire $0^+$; $a$ e $b$ sono numeri reali.

base $f \to$	esponente $g \to$	$f^g \to$
$a > 1$	$+\infty$	$+\infty$
$0 \leq a < 1$	$+\infty$	$0$
$a > 1$	$-\infty$	$0$
$0 \leq a < 1$	$-\infty$	$+\infty$
$0$	$b > 0$	$0$
$0$	$b < 0$	$+\infty$
$+\infty$	$b > 0$ o $+\infty$	$+\infty$
$+\infty$	$b < 0$ o $-\infty$	$0$
$1$	$\pm\infty$	indeterminata
$0$	$0$	indeterminata
$+\infty$	$0$	indeterminata

Non serve impararla a memoria: viene tutta da $f^g = e^{g \ln f}$, dalla tabella dei prodotti e dal grafico della funzione esponenziale, per cui $e^t \to +\infty$ se $t \to +\infty$ ed $e^t \to 0$ se $t \to -\infty$. Per esempio, se $f \to a > 1$ allora $\ln f \to \ln a > 0$, e se $g \to +\infty$ l’esponente $g \ln f$ tende a $+\infty$. La regola pratica: una base più grande di 1 elevata a un esponente enorme esplode, una base più piccola di 1 si spegne.

Diviso zero: il segno conta

Se il numeratore tende a un numero $\ell \neq 0$ e il denominatore tende a 0, il quoziente diventa enorme in valore assoluto. Ma enorme positivo o enorme negativo? Dipende dal segno del denominatore vicino al punto.

Guarda $\frac{1}{x}$ vicino a 0. Con $x = 0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ vale 10, 100, 1000: da destra il denominatore è $0^+$ e la funzione sale verso $+\infty$. Con $x = -0{,}1$, $-0{,}01$, $-0{,}001$ vale $-10$, $-100$, $-1000$: da sinistra il denominatore è $0^-$ e la funzione scende verso $-\infty$.

I due limiti unilateri sono diversi, quindi $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ non esiste; la retta $x = 0$ è comunque un asintoto verticale. Invece $\frac{1}{x^2}$ ha il denominatore sempre positivo: da entrambi i lati è $\frac{1}{0^+}$, e il limite è $+\infty$.

Il procedimento, in quattro passi:

1. Calcola il limite del numeratore: deve essere un numero $\ell \neq 0$. Se è 0, hai una forma $\frac{0}{0}$, che è un’altra storia.
2. Studia il segno del denominatore vicino a $x_0$, a destra e a sinistra (spesso basta scomporlo).
3. Applica la regola dei segni da ciascun lato: $\frac{\ell}{0^+}$ ha il segno di $\ell$, $\frac{\ell}{0^-}$ il segno opposto.
4. Se i due lati danno lo stesso risultato, quello è il limite. Altrimenti il limite per $x \to x_0$ non esiste, ma esistono il limite destro e quello sinistro.

Esempio 1. $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x - 3}$. Il numeratore tende a 4. Il denominatore $x - 3$ è positivo per $x > 3$ e negativo per $x < 3$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 3^+} \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{4}{0^+} = +\infty \\ \lim_{x \to 3^-} \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{4}{0^-} = -\infty \end{gathered}$$

Esempio 2. $\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{1/x}$. Qui lo zero sta nell’esponente. Da destra $\frac{1}{x} \to +\infty$, quindi $e^{1/x} \to +\infty$; da sinistra $\frac{1}{x} \to -\infty$, quindi $e^{1/x} \to 0$. Il limite non esiste, e i due limiti unilateri sono di tipo diverso: uno infinito, l’altro finito.

Le sette forme indeterminate

Raccogliamo le caselle «indeterminata» delle tabelle.

Qui $\infty - \infty$ vuol dire due infiniti dello stesso segno sottratti, cioè $(+\infty) + (-\infty)$. «Indeterminata» non significa che il limite non esiste, né che vale 0 o 1: significa che bisogna guardare come sono fatte le funzioni. Il risultato può essere un numero qualsiasi, $+\infty$, $-\infty$, oppure il limite può non esistere.

Perché proprio queste sette? In ognuna ci sono due spinte opposte. In $\frac{0}{0}$ il numeratore piccolo spinge il quoziente verso 0, il denominatore piccolo lo spinge verso l’infinito. In $0 \cdot \infty$ un fattore rimpicciolisce, l’altro ingrandisce. In $1^\infty$ la base vicina a 1 tiene la potenza vicino a 1, ma l’esponente enorme amplifica ogni minima differenza da 1. Vince chi va più veloce, ed è proprio quello che si studia in infinitesimi e infiniti. Vediamo per ogni forma qualche esempio con risultati diversi.

Infinito meno infinito

Per $x \to +\infty$, in tutti questi casi entrambi i termini tendono a $+\infty$:

$$\begin{gathered} (x + 1) - x = 1 \to 1 \\ x^2 - x = x\,(x - 1) \to +\infty \\ x - x^2 = x\,(1 - x) \to -\infty \end{gathered}$$

E $(x + \sin x) - x = \sin x$ non ha proprio limite: oscilla tra $-1$ e 1.

Zero per infinito

Per $x \to 0^+$, il primo fattore tende a 0 e il secondo a $+\infty$:

$$\begin{gathered} x \cdot \frac{3}{x} = 3 \to 3 \\ x^2 \cdot \frac{1}{x} = x \to 0 \\ x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} \to +\infty \end{gathered}$$

Zero su zero

Per $x \to 0$, numeratore e denominatore tendono entrambi a 0:

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{x} = x \to 0 \\ \frac{2x}{x} = 2 \to 2 \\ \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2} \to +\infty \end{gathered}$$

Non succede solo con le potenze. Nella figura ci sono tre funzioni meno banali: sostituendo $x = 0$ danno tutte $\frac{0}{0}$, perché $\sin 0 = 0$ e $1 - \cos 0 = 0$. Eppure tendono a tre valori diversi: 2, 1 e 0. La seconda è il più famoso dei limiti notevoli.

Infinito su infinito

Per $x \to +\infty$, numeratore e denominatore tendono entrambi a $+\infty$:

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{x} = x \to +\infty \\ \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0 \\ \frac{3x + 1}{x} = 3 + \frac{1}{x} \to 3 \end{gathered}$$

Le tre forme esponenziali

Per la forma $0^0$, con $x \to 0^+$: $x^x \to 1$, come vediamo nella prossima sezione. Ma $x^{1/\ln x}$ ha la base che tende a $0^+$ e l’esponente $\frac{1}{\ln x}$ che tende a 0, eppure vale sempre $e$:

$$x^{1/\ln x} = e^{(1/\ln x) \cdot \ln x} = e^1 = e$$

Con $x^{k/\ln x} = e^k$ si ottiene qualsiasi numero positivo. Per la forma $\infty^0$, con $x \to +\infty$, succede lo stesso: $x^{1/x} \to 1$, mentre $x^{1/\ln x} = e$ e $\left(e^{2x}\right)^{1/x} = e^2$.

La forma $1^\infty$ è la più insidiosa, perché viene da dire «1 elevato a qualsiasi cosa fa 1». Ma la base non vale 1, si avvicina a 1. Guarda cosa succede con una base appena più grande di 1: $1{,}001^{1000} \approx 2{,}717$, mentre $1{,}001^{10\,000} \approx 21\,917$. E con una appena più piccola: $0{,}999^{1000} \approx 0{,}368$. Infatti, per $x \to +\infty$:

$$\begin{gathered} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \to e \\ \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^x \to 1 \\ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2} \to +\infty \end{gathered}$$

Le forme esponenziali diventano 0 per infinito

Le tre forme esponenziali non vanno trattate a parte: con la scrittura in base $e$ diventano tutte una forma $0 \cdot \infty$ nell’esponente.

Forma di $f^g$	Limiti di $g$ e di $\ln f$	Forma di $g \ln f$
$0^0$	$0$ e $-\infty$	$0 \cdot \infty$
$\infty^0$	$0$ e $+\infty$	$0 \cdot \infty$
$1^\infty$	$\pm\infty$ e $0$	$\infty \cdot 0$

Il metodo:

1. Riscrivi la potenza come $e^{g \ln f}$.
2. Calcola il limite $L$ dell’esponente $g \ln f$, che è una forma $0 \cdot \infty$.
3. Torna all’esponenziale: se $L$ è finito il limite è $e^L$; se $L = +\infty$ è $+\infty$; se $L = -\infty$ è 0.

Esempio 3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x$. L’esponente è $x \ln x$, e per la gerarchia degli infiniti $x \ln x \to 0$: la potenza va a zero più in fretta di quanto il logaritmo vada a $-\infty$. Quindi $x^x \to e^0 = 1$.

Esempio 4. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}$. L’esponente è $\frac{\ln x}{x}$, che tende a 0 sempre per la gerarchia (il logaritmo cresce molto più lentamente di $x$). Quindi $x^{1/x} \to e^0 = 1$.

Forme che sembrano indeterminate ma non lo sono

Riconoscere al volo ciò che non è indeterminato fa risparmiare tempo:

• $\frac{0}{\infty} = 0$: piccolo diviso grande.
• $\frac{\infty}{0^+}$ e $\frac{\infty}{0^-}$: grande diviso piccolo, è infinito con la regola dei segni.
• $\frac{\ell}{0}$ con $\ell \neq 0$: è infinito, resta solo da studiare il segno del denominatore.
• $0^{+\infty} = 0$ e $0^{-\infty} = +\infty$, con la base che tende a $0^+$.
• $(+\infty) - (-\infty) = +\infty$: è una somma di due $+\infty$.
• $(+\infty)^{+\infty} = +\infty$ e $(+\infty)^{-\infty} = 0$.
• $1^b = 1$ con $b$ finito: la base tende a 1 e l’esponente a un numero, quindi la potenza tende a $1^b = 1$.

Come si scioglie una forma indeterminata

Davanti a una forma indeterminata si trasforma l’espressione finché la forma sparisce. Lo schema per un limite qualsiasi:

1. Sostituisci, cioè calcola il limite di ogni pezzo.
2. Se la combinazione compare nelle tabelle, hai finito.
3. Se trovi $\frac{\ell}{0}$ con $\ell \neq 0$, studia il segno del denominatore.
4. Se trovi una forma indeterminata, riscrivi l’espressione con una delle tecniche qui sotto.

Le tecniche hanno ciascuna il suo articolo:

• raccogliere il termine dominante, scomporre e semplificare, razionalizzare: calcolo dei limiti;
• seno, coseno, $e^x - 1$ e $\ln(1 + x)$ vicino a 0, e le forme $1^\infty$: i limiti notevoli;
• chi va più veloce, cioè gerarchia degli infiniti e funzioni asintotiche: infinitesimi e infiniti;
• derivare numeratore e denominatore, solo per $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$: il teorema di de l’Hôpital.

Spesso conviene prima cambiare forma: un prodotto $0 \cdot \infty$ diventa il quoziente $\frac{f}{1/g}$, di forma $\frac{0}{0}$; una differenza $\infty - \infty$ si trasforma raccogliendo o con il denominatore comune; le forme esponenziali si portano in base $e$.

Gli errori più comuni

• Scrivere $1^\infty = 1$. La base tende a 1 ma non vale 1: $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ tende a $e$, non a 1.
• Trattare $\infty$ come un numero. $\infty - \infty = 0$, $\frac{\infty}{\infty} = 1$ e $0 \cdot \infty = 0$ sono tutte false: sono forme indeterminate.
• Pensare che «indeterminata» voglia dire «non esiste». Vuol dire solo che i limiti dei pezzi non bastano: spesso, dopo il lavoro, il limite si trova eccome.
• Vedere forme indeterminate dove non ci sono. $\frac{0}{\infty}$, $0^{+\infty}$, $(+\infty) - (-\infty)$ e $\frac{\ell}{0}$ con $\ell \neq 0$ hanno un risultato preciso.
• Dimenticare il segno in $\frac{\ell}{0}$. Dire solo che il limite è infinito non basta: bisogna studiare il denominatore da destra e da sinistra, e i due lati possono dare risultati opposti.
• Applicare l’algebra dei limiti quando un limite non esiste. Per $x\sin\frac{1}{x}$, con $x \to 0$, la regola del prodotto non si può usare, perché $\sin\frac{1}{x}$ non ha limite: serve il teorema dei carabinieri.

Esercizi svolti

1. Limiti finiti, un pezzo alla volta

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + \ln x) \cdot 2^x}{x + 3}$, giustificando ogni passaggio con l’algebra dei limiti.

Calcoliamo i limiti dei pezzi per $x \to 1$:

$$\begin{gathered} x^2 \to 1 \qquad \ln x \to \ln 1 = 0 \\ 2^x \to 2 \qquad x + 3 \to 4 \end{gathered}$$

Per la regola della somma $x^2 + \ln x \to 1 + 0 = 1$; per quella del prodotto il numeratore tende a $1 \cdot 2 = 2$. Il denominatore tende a $4 \neq 0$, quindi si può usare la regola del quoziente:

$$\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + \ln x) \cdot 2^x}{x + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Il limite vale $\frac{1}{2}$, senza nessuna forma indeterminata: è anche il valore della funzione in $x = 1$, come ci si aspetta da una funzione continua.

2. Indeterminata o no?

Testo. Per ciascun limite riconosci la forma e, se non è indeterminata, calcolalo subito; se lo è, risolvilo.

• a) $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \ln x\right)$
• b) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-x}}{\ln x}$
• c) $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^{1/x}$
• d) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x - \sqrt{x}\right)$

a) $\frac{1}{x} \to +\infty$ e $\ln x \to -\infty$, quindi $-\ln x \to +\infty$. È $(+\infty) - (-\infty)$, cioè una somma di due $+\infty$: il limite è $+\infty$.

b) Il numeratore tende a 0, il denominatore a $+\infty$: è $\frac{0}{\infty}$, che non è indeterminata. Il limite è 0.

c) La base tende a $0^+$ e l’esponente $\frac{1}{x}$ a $+\infty$: è $0^{+\infty}$, che fa 0. Controllo con la scrittura in base $e$: l’esponente $\frac{1}{x} \cdot \ln x$ tende a $(+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty$, e l’esponenziale di una quantità che tende a $-\infty$ tende a 0.

d) Entrambi i termini tendono a $+\infty$: è la forma indeterminata $\infty - \infty$. Raccogliamo $x$:

$$x - \sqrt{x} = x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$

La parentesi tende a $1 - 0 = 1$, quindi il prodotto è $(+\infty) \cdot 1 = +\infty$.

Tre limiti su quattro non erano indeterminati: guardare la forma prima di fare conti evita lavoro inutile.

3. Diviso zero: il segno

Testo. Data $f(x) = \dfrac{x - 5}{x^2 - 4}$, calcola i limiti destro e sinistro per $x \to 2$ e per $x \to -2$. Cosa dicono sul grafico?

Il numeratore tende a $-3$ per $x \to 2$ e a $-7$ per $x \to -2$: due numeri diversi da 0. Il denominatore tende a 0 in entrambi i punti, quindi serve il suo segno. Scomponendo, $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, che è positivo per $x < -2$ e per $x > 2$, negativo per $-2 < x < 2$.

Vicino a 2: da destra $x > 2$ e il denominatore è $0^+$; da sinistra $-2 < x < 2$ e il denominatore è $0^-$.

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{-3}{0^+} = -\infty \\ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{-3}{0^-} = +\infty \end{gathered}$$

Vicino a $-2$: da destra $-2 < x < 2$ e il denominatore è $0^-$; da sinistra $x < -2$ e il denominatore è $0^+$.

$$\begin{gathered} \lim_{x \to -2^+} f(x) = \frac{-7}{0^-} = +\infty \\ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \frac{-7}{0^+} = -\infty \end{gathered}$$

In nessuno dei due punti esiste il limite, perché i due lati danno infiniti di segno opposto. Le rette $x = 2$ e $x = -2$ sono due asintoti verticali, e il grafico va su da una parte e giù dall’altra.

4. Destra e sinistra con l’esponenziale

Testo. Calcola il limite destro e il limite sinistro per $x \to 0$ di $f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{1/x}}$.

Da destra. Per $x \to 0^+$ l’esponente $\frac{1}{x}$ tende a $+\infty$, quindi $e^{1/x} \to +\infty$ e anche $1 + e^{1/x} \to +\infty$. Il quoziente è $\frac{1}{+\infty}$:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 + e^{1/x}} = 0$$

Da sinistra. Per $x \to 0^-$ l’esponente tende a $-\infty$, quindi $e^{1/x} \to 0$ e il denominatore tende a $1 + 0 = 1$:

$$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{1 + e^{1/x}} = \frac{1}{1} = 1$$

I due limiti sono finiti ma diversi: il limite per $x \to 0$ non esiste, e il grafico fa un salto da 1 a 0 attraversando l’asse $y$.

5. Costruire una forma indeterminata

Testo. Per $x \to +\infty$, trova tre coppie di funzioni, con $f(x) \to 0$ e $g(x) \to +\infty$, tali che il prodotto $f \cdot g$ tenda a 5 nel primo caso, a $-\infty$ nel secondo, e non abbia limite nel terzo.

Primo caso. $f(x) = \frac{5}{x}$ e $g(x) = x$: il prodotto vale sempre 5, quindi tende a 5.

Secondo caso. $f(x) = -\frac{1}{x}$, che tende a 0, e $g(x) = x^2$: il prodotto vale $-x$, che tende a $-\infty$.

Terzo caso. $f(x) = \frac{2 + \sin x}{x}$ e $g(x) = x$. Siccome $1 \leq 2 + \sin x \leq 3$, per $x > 0$ si ha

$$\frac{1}{x} \leq f(x) \leq \frac{3}{x}$$

e per il teorema dei carabinieri $f(x) \to 0$. Ma il prodotto vale $2 + \sin x$, che oscilla tra 1 e 3 senza avvicinarsi a nessun valore: non ha limite.

In tutti e tre i casi i fattori hanno gli stessi limiti, 0 e $+\infty$, ma i risultati sono diversi. È esattamente il motivo per cui $0 \cdot \infty$ è una forma indeterminata.

6. Una forma infinito alla zero

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1)^{1/\ln x}$.

La base tende a $+\infty$ e l’esponente $\frac{1}{\ln x}$ tende a 0: è la forma $\infty^0$. Scriviamo la potenza in base $e$, chiamando $t(x)$ l’esponente:

$$\begin{gathered} (x^2 + 1)^{1/\ln x} = e^{t(x)} \\ t(x) = \frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln x} \end{gathered}$$

L’esponente $t(x)$ è una forma $\frac{\infty}{\infty}$. Raccogliamo $x^2$ dentro il logaritmo e usiamo le proprietà dei logaritmi (con $x > 0$):

$$\begin{gathered} \ln(x^2 + 1) = \ln\left(x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\right) \\ {} = 2\ln x + \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \end{gathered}$$

Dividendo per $\ln x$:

$$\frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln x} = 2 + \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}{\ln x}$$

L’ultima frazione ha il numeratore che tende a $\ln 1 = 0$ e il denominatore che tende a $+\infty$: è $\frac{0}{\infty} = 0$. Quindi $t(x) \to 2$, e

$$\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1)^{1/\ln x} = e^2 \approx 7{,}39$$

Per $x = 1000$ la funzione vale già circa $7{,}389$. La forma $\infty^0$ ha dato $e^2$, non 1: ecco perché è indeterminata.

Altri problemi di tutti i tipi li trovi negli esercizi svolti sui limiti.

In sintesi

• Con limiti finiti, il limite di un’operazione è l’operazione dei limiti; nel quoziente il denominatore non deve tendere a 0.
• Scritture come $+\infty + \infty = +\infty$ sono abbreviazioni di teoremi: $\infty$ non è un numero.
• Regole principali: $\ell \pm \infty = \pm\infty$, $\ell \cdot \infty = \infty$ con $\ell \neq 0$, $\frac{\ell}{\infty} = 0$, $\frac{\ell}{0^+}$ e $\frac{\ell}{0^-}$ infiniti con $\ell \neq 0$, sempre con la regola dei segni.
• Con $\frac{\ell}{0}$ conta il segno del denominatore: si studiano il limite destro e il limite sinistro.
• Le sette forme indeterminate sono $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0^0$, $\infty^0$, $1^\infty$: pezzi con gli stessi limiti possono dare risultati diversi.
• Le forme esponenziali si riducono a $0 \cdot \infty$ con $f^g = e^{g \ln f}$.
• Non sono indeterminate: $\frac{0}{\infty}$, $\frac{\infty}{0}$, $0^{+\infty}$, $(+\infty) - (-\infty)$, $(+\infty)^{+\infty}$.

Come si fa il lavoro in più che chiedono le forme indeterminate? Con poche tecniche, che vediamo nel prossimo articolo: calcolo dei limiti.