Criterio del rapporto per le successioni: fattoriali, gerarchia ed esercizi svolti

Quando in un limite compaiono il fattoriale $n!$, gli esponenziali come $2^n$ o la potenza $n^n$, le tecniche viste nel calcolo dei limiti di successioni non bastano più: il fattoriale non viene da nessuna funzione elementare, e il teorema ponte non aiuta. Lo strumento giusto è il criterio del rapporto, che guarda di quanto si moltiplica la successione a ogni passo. È una domanda fissa negli esami di Analisi 1 e prepara il criterio omonimo per le serie. In questa pagina vediamo il fattoriale e quanto cresce, il criterio del rapporto con le ipotesi e la dimostrazione, il caso $\ell = 1$, le successioni con segno, la gerarchia completa degli infiniti, il criterio della radice, la formula di Stirling, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il fattoriale

Il fattoriale di un numero naturale $n \geq 1$ è il prodotto dei numeri da 1 a $n$ (lo abbiamo già incontrato nella formula di Taylor):

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$$

Si pone poi $0! = 1$. Non è un capriccio: serve perché la regola più importante del fattoriale valga anche per $n = 0$. La regola dice che il fattoriale si costruisce un passo alla volta:

$$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$$

Con $n = 0$ diventa $1! = 1 \cdot 0!$, e quindi $0!$ deve valere 1. Userai questa regola in quasi ogni esercizio della pagina.

Quanto cresce

Il fattoriale cresce in modo impressionante. Ecco alcuni valori, calcolati esattamente con Python:

$n$	$n!$	cifre
5	$120$	3
10	$3\,628\,800$	7
20	$\approx 2{,}43 \cdot 10^{18}$	19
52	$\approx 8{,}07 \cdot 10^{67}$	68
100	$\approx 9{,}33 \cdot 10^{157}$	158

Il numero $52!$ conta i modi di mettere in fila le 52 carte di un mazzo: ogni volta che mescoli bene un mazzo, quasi certamente ottieni un ordine che nessuno ha mai visto prima.

Perché cresce così tanto? Guarda la regola: per passare da $n!$ a $(n + 1)!$ si moltiplica per $n + 1$, un numero che cresce a ogni passo. Un esponenziale come $2^n$, invece, a ogni passo si moltiplica sempre per 2. All’inizio $2^n$ è avanti ($2^3 = 8$ contro $3! = 6$), ma già da $n = 4$ il fattoriale lo supera ($4! = 24$ contro $16$) e non lo rivede più.

L’idea: di quanto si moltiplica a ogni passo

Una progressione geometrica $q^n$ si moltiplica sempre per lo stesso numero $q$: se $q < 1$ va a zero, se $q > 1$ va all’infinito. L’idea del criterio è che una successione il cui rapporto $\frac{a_{n + 1}}{a_n}$ tende a un numero $\ell$, alla lunga, si comporta come una progressione geometrica di ragione circa $\ell$.

Prendi $a_n = \frac{n^{10}}{2^n}$. Il rapporto tra un termine e il precedente è

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{10} \cdot \frac{1}{2}$$

Per $n$ piccolo il primo fattore è grande: con $n = 1$ vale $2^{10} = 1024$, e il rapporto è 512. Finché il rapporto è maggiore di 1 la successione cresce, e lo fa fino a $n = 14$, dove supera i 17 milioni. Poi il rapporto scende sotto 1 e si avvicina a $\frac{1}{2}$: da lì in poi ogni termine è circa la metà del precedente, e la successione crolla. Da $n = 59$ in poi i termini sono già minori di 1.

La morale: i primi termini possono fare quello che vogliono. Conta solo dove va il rapporto alla fine.

Il criterio del rapporto

L’enunciato

Qualche osservazione sulle ipotesi. Il rapporto deve avere senso, quindi i termini non devono annullarsi; e siccome i rapporti sono positivi, $\ell$ non può essere negativo. Se il limite del rapporto non esiste, il criterio non si applica. Infine, il criterio dice solo se la successione va a 0 o a $+\infty$: il valore $\ell$ non è il limite della successione.

Dimostrazione

Caso ℓ < 1. Scegliamo un numero $q$ con $\ell < q < 1$, per esempio il punto medio tra $\ell$ e 1. Siccome il rapporto tende a $\ell$, per la definizione di limite (con $\varepsilon = q - \ell$, la «epsilon» della definizione) esiste un indice $n_0$ da cui in poi $a_n > 0$ e

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} < q, \quad \text{cioè} \quad a_{n + 1} < q\,a_n$$

Ogni termine è meno di $q$ volte il precedente. Concatenando i passi:

$$\begin{gathered} a_{n_0 + 1} < q\,a_{n_0} \\ a_{n_0 + 2} < q\,a_{n_0 + 1} < q^2\,a_{n_0} \\ a_{n_0 + 3} < q\,a_{n_0 + 2} < q^3\,a_{n_0} \end{gathered}$$

e in generale, per induzione, $0 < a_{n_0 + k} < a_{n_0}\,q^k$ per ogni $k \geq 1$. Il numero $a_{n_0}$ è fisso e $q^k \to 0$, perché è una potenza con base tra 0 e 1. Per il teorema dei carabinieri $a_{n_0 + k} \to 0$, cioè $a_n \to 0$.

Perché serve $q$ e non basta $\ell$? Perché il rapporto si avvicina a $\ell$ ma può restare sempre un po’ sopra: serve un margine, e $q$ sta in mezzo tra $\ell$ e 1.

Caso ℓ > 1. Se $\ell$ è finito scegliamo $q$ con $1 < q < \ell$; se $\ell = +\infty$ va bene $q = 2$. Da un certo indice $n_0$ in poi $a_{n + 1} > q\,a_n$, e con lo stesso ragionamento $a_{n_0 + k} > a_{n_0}\,q^k$. Siccome $a_{n_0} > 0$ e $q > 1$, il secondo membro tende a $+\infty$, e per confronto anche $a_n \to +\infty$.

In più, la dimostrazione dà un’informazione gratis: con $\ell < 1$ la successione è definitivamente decrescente (ogni termine è minore del precedente), con $\ell > 1$ è definitivamente crescente.

Il caso ℓ = 1: il criterio non decide

Con $\ell = 1$ può succedere di tutto. Guarda queste tre successioni:

$a_n$	rapporto	limite di $a_n$
$\frac{1}{n}$	$\frac{n}{n + 1} \to 1$	$0$
$\frac{n + 1}{n}$	$\frac{n(n + 2)}{(n + 1)^2} \to 1$	$1$
$n$	$\frac{n + 1}{n} \to 1$	$+\infty$

Stesso limite del rapporto, tre comportamenti diversi. Anzi, la successione può perfino non avere limite: $2 + \sin\sqrt{n}$ oscilla per sempre tra 1 e 3, eppure il suo rapporto tende a 1, perché $\sqrt{n + 1}$ e $\sqrt{n}$ diventano vicinissimi.

In pratica $\ell = 1$ esce sempre con polinomi, radici e logaritmi: il rapporto di $n^b$ è $\left(\frac{n + 1}{n}\right)^b \to 1$. Per queste successioni il criterio è inutile e servono le tecniche del calcolo dei limiti.

Successioni con segno

Se i termini hanno segno qualunque (ma $a_n \neq 0$ definitivamente), si applica il criterio a $\lvert a_n \rvert$. Se $\frac{\lvert a_{n + 1} \rvert}{\lvert a_n \rvert} \to \ell < 1$, allora $\lvert a_n \rvert \to 0$, e siccome $-\lvert a_n \rvert \leq a_n \leq \lvert a_n \rvert$, per i carabinieri anche $a_n \to 0$.

Come si usa: la scaletta

1. Controlla i segni. Se $a_n > 0$ definitivamente vai avanti, altrimenti lavora con $\lvert a_n \rvert$.
2. Scrivi $a_{n + 1}$ sostituendo $n$ con $n + 1$ ovunque, con le parentesi: $(n + 1)!$, $2^{n + 1}$, $(n + 1)^{n + 1}$.
3. Scrivi il rapporto come prodotto: $a_{n + 1}$ per il reciproco di $a_n$.
4. Semplifica con le regole della tabella qui sotto.
5. Calcola il limite $\ell$.
6. Concludi: $\ell < 1$ dà 0, $\ell > 1$ dà $+\infty$, con $\ell = 1$ cambia metodo.

Ecco il rapporto dei «mattoni» più comuni. Un’osservazione che fa risparmiare tempo: il rapporto di una frazione è la frazione dei rapporti, quindi basta combinare le righe.

mattone	rapporto	limite
$n^b$	$\left(\frac{n + 1}{n}\right)^b$	$1$
$a^n$	$a$	$a$
$n!$	$n + 1$	$+\infty$
$(2n)!$	$(2n + 2)(2n + 1)$	$+\infty$
$n^n$	$(n + 1)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$	$+\infty$

L’ultima riga merita un conto: $\frac{(n + 1)^{n + 1}}{n^n} = (n + 1) \cdot \frac{(n + 1)^n}{n^n}$, e $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e$ per il limite notevole del numero di Nepero. Quindi il rapporto di $n^n$ si comporta come $e\,(n + 1)$.

La gerarchia degli infiniti

La tabella dei mattoni contiene già una classifica: il rapporto di una potenza tende a 1, quello di un esponenziale a una costante, quello di $n!$ cresce come $n$, quello di $n^n$ come $e\,n$. Per renderla precisa serve un simbolo.

È lo stesso confronto che hai visto per le funzioni in infinitesimi e infiniti, dove la gerarchia arriva fino a $x^x$. Con le successioni compare un gradino in più, il fattoriale $n!$, che si inserisce tra gli esponenziali e $n^n$.

La base del logaritmo e quella dell’esponenziale non devono per forza essere uguali: vale per qualunque coppia di basi maggiori di 1. E siccome $\ll$ si può concatenare, ogni successione della catena è trascurabile rispetto a tutte quelle alla sua destra. La figura mostra la differenza di velocità: sull’asse verticale ogni tacca vale mille volte la precedente, eppure $n!$ e $n^n$ si impennano quasi subito.

Con i numeri:

successione	$n = 10$	$n = 20$
$\ln n$	$2{,}30$	$3{,}00$
$n^2$	$100$	$400$
$2^n$	$1024$	$\approx 1{,}05 \cdot 10^6$
$n!$	$\approx 3{,}63 \cdot 10^6$	$\approx 2{,}43 \cdot 10^{18}$
$n^n$	$10^{10}$	$\approx 1{,}05 \cdot 10^{26}$

Perché è vera, gradino per gradino

Potenze ≪ esponenziali. Il rapporto di $\frac{n^b}{a^n}$ è $\left(\frac{n + 1}{n}\right)^b \cdot \frac{1}{a} \to \frac{1}{a} < 1$, quindi $\frac{n^b}{a^n} \to 0$.

Esponenziali ≪ fattoriale. Il rapporto di $\frac{a^n}{n!}$ è $\frac{a}{n + 1} \to 0 < 1$, quindi $\frac{a^n}{n!} \to 0$.

Fattoriale ≪ nⁿ. Il rapporto di $\frac{n!}{n^n}$ è

$$\begin{gathered} \frac{n + 1}{(n + 1)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} \\ {} \to \frac{1}{e} < 1 \end{gathered}$$

quindi $\frac{n!}{n^n} \to 0$.

Logaritmi ≪ potenze. Qui il criterio tace: il rapporto tende a 1. Si usa un cambio di variabile. Poniamo $x = \log_a n$, cioè $n = a^x$: allora $n^b = \left(a^b\right)^x$ e

$$\frac{\log_a n}{n^b} = \frac{x}{c^x}, \quad c = a^b > 1$$

Quando $n \to +\infty$ anche $x \to +\infty$, e $\frac{x}{c^x}$ è una potenza contro un esponenziale, che tende a 0 per il gradino precedente (nella versione per le funzioni, perché $x$ non è intero). In alternativa: per il teorema ponte e de l’Hôpital, $\frac{\ln x}{x^b}$ ha lo stesso limite di $\frac{1/x}{b\,x^{b - 1}} = \frac{1}{b\,x^b} \to 0$.

Esempi svolti

Esempio 1: esponenziale contro fattoriale. $\displaystyle\frac{a^n}{n!}$ con $a > 0$. Il rapporto è

$$\frac{a^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n + 1} \to 0$$

quindi la successione tende a 0, qualunque sia la base. Con $a = 10$ il rapporto $\frac{10}{n + 1}$ è maggiore o uguale a 1 per $n \leq 9$, quindi i termini salgono fino al massimo, circa 2756, raggiunto per $n = 9$ e $n = 10$ (che sono uguali); poi la successione crolla. Il fattoriale vince sempre: deve solo aspettare.

Esempio 2: una potenza enorme. $\displaystyle\frac{n^{100}}{2^n}$. Il rapporto è $\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{100} \cdot \frac{1}{2} \to \frac{1}{2} < 1$, quindi tende a 0. Eppure i primi termini sono mostruosi: il massimo arriva per $n = 144$ ed è circa $3 \cdot 10^{172}$, e dopo il massimo i termini tornano sotto 1 solo da $n = 997$. Il criterio non si fa impressionare dai primi termini.

Esempio 3: il fattoriale contro nⁿ. $\displaystyle\frac{n!}{n^n}$. Il rapporto richiede un po’ di attenzione:

$$\begin{gathered} \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n + 1)\,n^n}{(n + 1)^{n + 1}} \\ {} = \frac{n^n}{(n + 1)^n} = \left(\frac{n}{n + 1}\right)^n \\ {} \to \frac{1}{e} \end{gathered}$$

per l’esempio 5 del calcolo dei limiti. Siccome $\frac{1}{e} < 1$, $\frac{n!}{n^n} \to 0$.

Esempio 4: quando decide il numero e. $\displaystyle\frac{b^n\,n!}{n^n}$ con $b > 0$. Il conto è quello dell’esempio 3, con un fattore $b$ in più:

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = b\left(\frac{n}{n + 1}\right)^n \to \frac{b}{e}$$

Con $b = 2$ il limite è $\frac{2}{e} \approx 0{,}74 < 1$ e la successione va a zero; con $b = 3$ è $\frac{3}{e} \approx 1{,}10 > 1$ e la successione diverge. Il confine è proprio $b = e$, dove il rapporto tende a 1 e il criterio tace: lo risolveremo con la formula di Stirling.

Esempio 5: il coefficiente binomiale centrale. $\displaystyle\frac{(2n)!}{(n!)^2}$. Attenzione: $(2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)\,(2n)!$, con due fattori nuovi. Il rapporto è

$$\begin{gathered} \frac{(2n + 2)!}{\big((n + 1)!\big)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{(2n + 2)(2n + 1)}{(n + 1)^2} \\ {} = \frac{2(2n + 1)}{n + 1} \to 4 \end{gathered}$$

Siccome $4 > 1$, la successione diverge. Questi numeri contano i percorsi più brevi da un angolo all’angolo opposto di una griglia $n \times n$.

Esempio 6: nⁿ contro il quadrato del fattoriale. $\displaystyle\frac{n^n}{(n!)^2}$. Con la tabella dei mattoni:

$$\begin{gathered} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{(n + 1)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{(n + 1)^2} \\ {} = \frac{1}{n + 1}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \\ {} \to 0 \cdot e = 0 \end{gathered}$$

Quindi tende a 0: $n!$ è trascurabile rispetto a $n^n$, ma il suo quadrato lo batte.

Il criterio della radice

Un criterio gemello è comodo quando la successione è una potenza $n$-esima.

L’idea della dimostrazione. Se $\ell < q < 1$, da un certo indice in poi $\sqrt[n]{a_n} < q$, cioè $0 \leq a_n < q^n$, e $q^n \to 0$: carabinieri. Se $\ell > q > 1$, definitivamente $a_n > q^n \to +\infty$. Il confronto con la progressione geometrica qui è ancora più diretto. Con $\ell = 1$ valgono gli stessi controesempi: $\sqrt[n]{\frac{1}{n}}$ e $\sqrt[n]{n}$ tendono entrambe a 1.

Esempio 7. $\displaystyle\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$. La radice $n$-esima toglie l’esponente: $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2} < 1$, quindi la successione tende a 0.

Esempio 8. $\displaystyle\frac{n^2}{3^n}$. La radice è $\frac{\left(\sqrt[n]{n}\right)^2}{3} \to \frac{1}{3} < 1$, perché $\sqrt[n]{n} \to 1$: tende a 0.

Rapporto o radice?

I due criteri sono legati da un teorema, che usiamo senza dimostrarlo.

Quindi ogni volta che il rapporto decide, decide anche la radice, con la stessa risposta. Il teorema serve anche a calcolare radici difficili: il rapporto di $n$ è $\frac{n + 1}{n} \to 1$, quindi $\sqrt[n]{n} \to 1$; il rapporto di $n!$ è $n + 1 \to +\infty$, quindi $\sqrt[n]{n!} \to +\infty$.

Il viceversa è falso: la radice può avere limite quando il rapporto non ce l’ha. Prendi

$$a_n = \frac{2 + (-1)^n}{2^n}$$

Per $n$ dispari $a_n = \frac{1}{2^n}$, per $n$ pari $a_n = \frac{3}{2^n}$, e il rapporto salta tra $\frac{3}{2}$ e $\frac{1}{6}$: non ha limite, e il criterio del rapporto non si applica. La radice invece è $\frac{\sqrt[n]{1}}{2}$ oppure $\frac{\sqrt[n]{3}}{2}$, e in entrambi i casi tende a $\frac{1}{2} < 1$: la successione tende a 0. In pratica scegli in base ai conti: rapporto con fattoriali e prodotti, radice con potenze $n$-esime.

La formula di Stirling

Quanto vale, circa, $n!$ per $n$ grande? La risposta è una delle formule più belle dell’Analisi.

La dimostrazione richiede strumenti come il prodotto di Wallis o gli integrali, e non la vediamo. Vediamo invece quanto è precisa:

$n$	$n!$	errore relativo
1	$1$	$7{,}8\%$
5	$120$	$1{,}65\%$
10	$3\,628\,800$	$0{,}83\%$
20	$\approx 2{,}43 \cdot 10^{18}$	$0{,}42\%$
100	$\approx 9{,}33 \cdot 10^{157}$	$0{,}083\%$

La formula sbaglia sempre per difetto, e l’errore relativo è circa $\frac{1}{12n}$: per $n = 10$ fa $\frac{1}{120} \approx 0{,}83\%$. Nella figura vedi il rapporto tra $n!$ e la formula scendere verso 1.

Stirling spiega in un colpo solo molti risultati della pagina:

• $\sqrt[n]{n!} \sim \frac{n}{e}$, perché la radice $n$-esima di $\sqrt{2\pi n}$ tende a 1;
• $\frac{b^n\,n!}{n^n} \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{b}{e}\right)^n$, che tende a 0 se $b < e$ e a $+\infty$ se $b > e$. Per $b = e$, dove il rapporto taceva, resta $\sqrt{2\pi n} \to +\infty$: la successione diverge;
• $\frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$: ecco perché il rapporto dell’esempio 5 tendeva a 4.

Se all’esame puoi usare Stirling dipende dal docente; nella maggior parte degli esercizi il criterio del rapporto basta.

Un po’ di storia

La formula nasce nel 1730. Abraham de Moivre, nella Miscellanea Analytica, trovò che $n!$ si comporta come $C\,n^{n + \frac{1}{2}}\,e^{-n}$, ma della costante $C$ sapeva dare solo un valore approssimato. Nello stesso anno James Stirling, nel Methodus Differentialis, mostrò che $C = \sqrt{2\pi}$. Lo stesso de Moivre, nella seconda edizione della Doctrine of Chances (1738), riconobbe che la costante era una scoperta del «suo degno e dotto amico Mr James Stirling». Nel 1733 de Moivre usò la formula per ricavare la curva a campana come approssimazione della distribuzione binomiale, quella che conta per esempio le teste in tanti lanci di una moneta.

Successioni e serie: stesso conto, domande diverse

Nel capitolo sulle serie ritroverai il criterio del rapporto per le serie. Il conto è identico, ma la domanda è diversa:

• qui il criterio decide il limite della successione $a_n$;
• là decide se la somma di tutti gli $a_n$ è finita.

Con $\ell < 1$ la versione per le successioni dà $a_n \to 0$, che è proprio la condizione necessaria perché una serie converga; la versione per le serie dice di più, cioè che i termini vanno a zero abbastanza in fretta da avere somma finita. Con $\ell > 1$ i termini tendono a $+\infty$, e la serie diverge proprio perché non tendono a 0. Esempio: per $\frac{n!}{n^n}$ il rapporto tende a $\frac{1}{e}$, quindi la successione tende a 0 e la serie converge. Ma attenzione al viceversa: $\frac{1}{n} \to 0$, eppure la serie armonica diverge.

Gli errori più comuni

• Confondere il limite del rapporto con il limite della successione. Per $\frac{n!}{n^n}$ il rapporto tende a $\frac{1}{e}$, ma la successione tende a 0, non a $\frac{1}{e}$. Il valore $\ell$ dice solo se si va a 0 o a $+\infty$.
• Concludere qualcosa con ℓ = 1. Con $\ell = 1$ il criterio tace, e succede sempre con polinomi, radici e logaritmi: lì usa il calcolo dei limiti.
• Dimenticare le parentesi in $a_{n + 1}$. Il termine dopo $n!$ è $(n + 1)!$, non $n! + 1$; dopo $2^n$ viene $2^{n + 1}$, non $2^n + 1$; in $n^n$ cambiano sia la base sia l’esponente: $(n + 1)^{n + 1}$.
• Semplificare male $(2n + 2)!$. Vale $(2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)\,(2n)!$: i fattori nuovi sono due, non uno.
• Dire che $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ tende a 1. È una forma $1^\infty$ e tende a $e$: è proprio il passaggio delicato con $n^n$.
• Usare il criterio su successioni con segno senza valore assoluto. Si lavora con $\lvert a_n \rvert$; e con $\ell > 1$ si conclude solo $\lvert a_n \rvert \to +\infty$, come mostra $(-2)^n$.
• Fidarsi dei primi termini. $\frac{n^{100}}{2^n}$ supera $10^{172}$ prima di crollare: conta solo la coda.
• Pensare che $a_n \to 0$ basti per la serie. Il criterio per le successioni non dice niente sulla convergenza di $\sum a_n$: serve quello per le serie.

Esercizi svolti

1. Semplificare i fattoriali

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{(n + 1)! + n!}{(n + 2)! - (n + 1)!}$.

Prima di pensare al criterio, semplifichiamo. Al numeratore $(n + 1)! = (n + 1)\,n!$, quindi si raccoglie $n!$:

$$\begin{gathered} (n + 1)! + n! = n!\,(n + 1 + 1) \\ {} = n!\,(n + 2) \end{gathered}$$

Al denominatore $(n + 2)! = (n + 2)\,(n + 1)!$, quindi si raccoglie $(n + 1)!$ e poi si usa ancora la regola:

$$\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {} = (n + 1)!\,(n + 2 - 1) \\ {} = (n + 1)!\,(n + 1) \\ {} = n!\,(n + 1)^2 \end{gathered}$$

Il fattoriale si semplifica e resta

$$\frac{n + 2}{(n + 1)^2} \to 0$$

perché il numeratore ha grado 1 e il denominatore grado 2. Il limite è 0. Non tutti i limiti con i fattoriali richiedono il criterio: a volte basta semplificare.

2. Una successione con il segno

Testo. Studia il limite di $a_n = \dfrac{(-5)^n}{n!}$ e trova il termine più grande in valore assoluto.

I termini cambiano segno, quindi lavoriamo con $\lvert a_n \rvert = \frac{5^n}{n!}$. Il rapporto è

$$\frac{5^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{5^n} = \frac{5}{n + 1} \to 0 < 1$$

Quindi $\lvert a_n \rvert \to 0$ e, per i carabinieri, $a_n \to 0$. Il rapporto è maggiore di 1 per $n + 1 < 5$, uguale a 1 per $n = 4$ e minore di 1 dopo. Quindi $\lvert a_n \rvert$ cresce fino a $n = 4$, poi $\lvert a_5 \rvert = \lvert a_4 \rvert$, poi decresce. Il massimo è

$$\lvert a_4 \rvert = \lvert a_5 \rvert = \frac{625}{24} \approx 26{,}04$$

con $a_4 \approx 26{,}04$ e $a_5 \approx -26{,}04$. Il limite è 0: i termini saltano da positivo a negativo, ma si schiacciano verso lo zero.

3. Raccogliere il termine più veloce

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{3 \cdot n! + 5^n}{2 \cdot n! + n^{50}}$.

È una forma $\frac{\infty}{\infty}$. Come con i polinomi si raccoglie il termine che cresce di più, che per la gerarchia è $n!$. Dividendo numeratore e denominatore per $n!$:

$$\frac{3 + \frac{5^n}{n!}}{2 + \frac{n^{50}}{n!}}$$

Per l’esempio 1, $\frac{5^n}{n!} \to 0$. Per $\frac{n^{50}}{n!}$ il rapporto è $\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{50} \cdot \frac{1}{n + 1} \to 1 \cdot 0 = 0$, quindi tende a 0 anche lui. Il limite è

$$\frac{3 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$$

Curiosità: per $n = 50$ la frazione vale circa $10^{-20}$, perché $50^{50}$ è molto più grande di $50!$; per $n = 100$ vale già $1{,}5$. La gerarchia vince, ma alla fine.

4. Quando decide e

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{(2n)!}{n^n \cdot n!}$.

Il termine successivo è $\frac{(2n + 2)!}{(n + 1)^{n + 1}\,(n + 1)!}$. Moltiplichiamo per il reciproco di $a_n$ e semplifichiamo $(2n)!$ e $n!$:

$$\begin{gathered} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{(2n + 2)(2n + 1)\,n^n}{(n + 1)^{n + 1}\,(n + 1)} \\ {} = \frac{(2n + 2)(2n + 1)}{(n + 1)^2} \cdot \frac{n^n}{(n + 1)^n} \end{gathered}$$

Il primo fattore è $\frac{2(2n + 1)}{n + 1} \to 4$; il secondo è $\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} \to \frac{1}{e}$. Quindi

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} \to \frac{4}{e} \approx 1{,}47 > 1$$

e la successione tende a $+\infty$. Controllo con Stirling: la successione si comporta come $\sqrt{2}\left(\frac{4}{e}\right)^n$, una progressione geometrica di ragione $\frac{4}{e}$.

5. La radice n-esima di n!

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n!}$ e $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$.

Usiamo il teorema che lega rapporto e radice. Per $b_n = n!$ il rapporto è $\frac{(n + 1)!}{n!} = n + 1 \to +\infty$, quindi

$$\sqrt[n]{n!} \to +\infty$$

Per il secondo limite scriviamo la frazione come una sola radice:

$$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$$

perché $n = \sqrt[n]{n^n}$. Per l’esempio 3 il rapporto di $c_n = \frac{n!}{n^n}$ tende a $\frac{1}{e}$, quindi anche la sua radice $n$-esima tende a $\frac{1}{e}$:

$$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \to \frac{1}{e} \approx 0{,}368$$

Con i numeri: per $n = 10$ vale circa $0{,}453$, per $n = 100$ circa $0{,}380$, per $n = 1000$ circa $0{,}369$. Il risultato: $\sqrt[n]{n!}$ tende a $+\infty$ e cresce come $\frac{n}{e}$, proprio come prevede Stirling.

6. Un limite con parametro

Testo. Al variare di $k > 0$, studia $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{(n!)^2\,k^n}{(2n)!}$.

I termini sono positivi. Il termine successivo è $\frac{\big((n + 1)!\big)^2\,k^{n + 1}}{(2n + 2)!}$, e semplificando $(n!)^2$, $k^n$ e $(2n)!$:

$$\begin{gathered} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{(n + 1)^2\,k}{(2n + 2)(2n + 1)} \\ {} = \frac{(n + 1)\,k}{2(2n + 1)} \to \frac{k}{4} \end{gathered}$$

• Se $0 < k < 4$, allora $\ell < 1$ e la successione tende a 0.
• Se $k > 4$, allora $\ell > 1$ e la successione tende a $+\infty$.
• Se $k = 4$, il rapporto tende a 1 e il criterio tace.

Nel caso $k = 4$ il rapporto vale $\frac{4(n + 1)}{2(2n + 1)} = \frac{2n + 2}{2n + 1}$, che è maggiore di 1 per ogni $n$: la successione è strettamente crescente, e parte da $a_1 = \frac{4}{2} = 2$. Quindi ha limite, ma per sapere se è finito serve Stirling. Ricordando l’esempio 5, $\frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$, quindi

$$\frac{(n!)^2\,4^n}{(2n)!} \sim \sqrt{\pi n} \to +\infty$$

Per $n = 100$ la successione vale circa $17{,}75$, contro $\sqrt{100\pi} \approx 17{,}72$. In conclusione il limite è 0 per $k < 4$ e $+\infty$ per $k \geq 4$. Altri limiti di questo tipo li trovi negli esercizi svolti sulle successioni.

In sintesi

• Fattoriale: $n! = 1 \cdot 2 \cdots n$, con $0! = 1$ e $(n + 1)! = (n + 1)\,n!$.
• Criterio del rapporto: se $a_n > 0$ definitivamente e $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \to \ell$, con $\ell < 1$ si ha $a_n \to 0$, con $\ell > 1$ (anche $+\infty$) si ha $a_n \to +\infty$; con $\ell = 1$ non si conclude.
• Si dimostra confrontando la successione con una progressione geometrica $q^n$; con termini di segno qualunque si usa $\lvert a_n \rvert$.
• Gerarchia: $\log_a n \ll n^b \ll a^n \ll n! \ll n^n$, con $a > 1$ e $b > 0$.
• Criterio della radice: stesse conclusioni con $\sqrt[n]{a_n}$; se il rapporto ha limite, la radice ha lo stesso limite, ma non viceversa.
• Stirling: $n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$, con errore relativo circa $\frac{1}{12n}$.
• Per le successioni il criterio decide il limite di $a_n$, per le serie la convergenza di $\sum a_n$.

Il numero $e$ è comparso ancora una volta. Nel prossimo articolo dimostriamo finalmente che esiste, con il teorema delle successioni monotone.