Progressioni aritmetiche e geometriche: formule, somme, dimostrazioni ed esercizi

Le progressioni aritmetiche e geometriche sono le successioni più semplici: nelle prime si aggiunge sempre lo stesso numero, nelle seconde si moltiplica sempre per lo stesso numero. Aprono il capitolo sulle successioni e tornano in tutto il corso di Analisi 1: $q^n$ è uno dei limiti più usati, la somma geometrica è il punto di partenza delle serie, la formula di Gauss serve negli integrali. E fuori dall’aula descrivono interessi, rate e decadimento radioattivo. In questa pagina vediamo il termine generale, la media aritmetica e quella geometrica, la somma dei primi $n$ termini con il trucco di Gauss, la somma geometrica con due dimostrazioni, come si comporta $q^n$, le applicazioni più famose, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Le progressioni aritmetiche

Una palestra chiede 50 euro di iscrizione e 30 euro al mese. Dopo 0, 1, 2, 3 mesi hai speso 50, 80, 110, 140 euro: a ogni passo si aggiunge sempre 30. È una progressione aritmetica.

Da $a_0$ ad $a_n$ si aggiunge $d$ esattamente $n$ volte: ecco il termine generale, che dà ogni termine senza calcolare i precedenti:

$$a_n = a_0 + n\,d$$

Esempi. $3, 7, 11, 15, \dots$ ha $a_0 = 3$, $d = 4$ e termine generale $a_n = 3 + 4n$. I numeri dispari $1, 3, 5, 7, \dots$ hanno $d = 2$ e $a_n = 1 + 2n$. Con $d < 0$ la progressione scende: $10, 7, 4, 1, -2, \dots$ Con $d = 0$ è costante.

Da dove si comincia a contare

Su questo sito i naturali partono da 0 e il primo termine è $a_0$. Molti libri partono invece da $a_1$: allora per arrivare ad $a_n$ si aggiunge $d$ solo $n - 1$ volte, e $a_n = a_1 + (n - 1)\,d$. La versione che non dipende dalla convenzione: da $a_k$ ad $a_n$ si aggiunge $d$ esattamente $n - k$ volte.

$$a_n = a_k + (n - k)\,d$$

Se $d > 0$ la progressione è strettamente crescente, se $d < 0$ strettamente decrescente. I punti $(n, a_n)$ stanno su una retta di pendenza $d$: è la funzione lineare $a_0 + d\,x$ guardata sui naturali.

La proprietà caratteristica: la media aritmetica

Perché è vero. In una progressione aritmetica $a_{n - 1} = a_n - d$ e $a_{n + 1} = a_n + d$: sommando, i $d$ si cancellano e resta $2a_n$. Viceversa, $2a_n = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ si riscrive $a_{n + 1} - a_n = a_n - a_{n - 1}$: la differenza tra termini consecutivi non cambia mai. In pratica, tre numeri $x, y, z$ sono in progressione aritmetica se e solo se $2y = x + z$.

Trovare una progressione da due termini

Se conosci due termini $a_k$ e $a_m$, tra l’uno e l’altro ci sono $m - k$ passi uguali:

$$d = \frac{a_m - a_k}{m - k}$$

Esempio. $a_4 = 17$ e $a_9 = 32$. Allora $d = \frac{32 - 17}{5} = 3$ e $a_0 = a_4 - 4d = 5$, quindi $a_n = 5 + 3n$. Controllo: $a_9 = 5 + 27 = 32$.

Lo stesso conto serve per inserire medie aritmetiche, cioè $m$ numeri tra $a$ e $b$ che formino con loro una progressione. I termini sono $m + 2$, i passi $m + 1$, quindi $d = \frac{b - a}{m + 1}$. Tra 3 e 18 inseriamo quattro numeri: $d = \frac{15}{5} = 3$, e la progressione è $3, 6, 9, 12, 15, 18$.

La somma: il trucco di Gauss

Si racconta che Carl Friedrich Gauss, alle elementari, dovesse sommare in classe i numeri da 1 a 100, e che desse la risposta giusta, 5050, dopo pochi istanti. Prendila come una bella storia: la fonte più antica, una biografia del 1856 scritta dall’amico Sartorius von Waltershausen, parla solo della somma di una progressione aritmetica, senza i numeri da 1 a 100. Il trucco però è vero: scrivi la somma due volte, la seconda al contrario.

$$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + \dots + 99 + 100 \\ S &= 100 + 99 + \dots + 2 + 1 \end{aligned}$$

Ogni colonna vale 101 e le colonne sono 100: $2S = 100 \cdot 101$, quindi $S = 5050$. Lo stesso ragionamento funziona per ogni progressione aritmetica.

Perché è vero. Prendi i termini $a_0, a_1, \dots, a_{N - 1}$. Due termini alla stessa distanza dagli estremi hanno sempre la stessa somma, perché uno guadagna tanti $d$ quanti l’altro ne perde:

$$a_j + a_{N - 1 - j} = 2a_0 + (N - 1)\,d$$

e il secondo membro è proprio primo più ultimo, $a_0 + a_{N - 1}$. Scrivendo la somma due volte, una al contrario, ogni colonna vale primo più ultimo e le colonne sono $N$. Sostituendo $a_{N - 1} = a_0 + (N - 1)\,d$ si ottiene la formula con primo termine e ragione:

$$\begin{gathered} a_0 + a_1 + \dots + a_{N - 1} \\ {} = \frac{N\,\big(2a_0 + (N - 1)\,d\big)}{2} \end{gathered}$$

Nella figura, in alto, la versione geometrica: due «scale» uguali, una dritta e una capovolta, formano un rettangolo di $n$ per $n + 1$ quadratini.

Dimostrazione per induzione

Il principio di induzione dà un’altra dimostrazione, utile all’esame. Vogliamo $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ per ogni $n \geq 1$.

• Passo base, $n = 1$: a sinistra c’è 1, a destra $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1$.
• Passo induttivo. Supponiamo la formula vera per $n$ e aggiungiamo il termine $n + 1$:

$$\frac{n(n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$$

che è la formula scritta per $n + 1$. Quindi vale per ogni $n$. Ne segue il caso generale: $a_0 + \dots + a_{N - 1} = N a_0 + d\,(0 + 1 + \dots + (N - 1))$, e l’ultima parentesi vale $\frac{(N - 1)N}{2}$.

La somma dei quadrati $1 + 4 + 9 + \dots$ invece non è aritmetica: la sua formula, con la dimostrazione, è nell’integrale definito.

La somma dei primi n numeri dispari

I dispari $1, 3, 5, \dots, 2n - 1$ sono $n$ termini di una progressione aritmetica con primo 1 e ultimo $2n - 1$:

$$\begin{gathered} 1 + 3 + \dots + (2n - 1) \\ {} = n \cdot \frac{1 + (2n - 1)}{2} = n^2 \end{gathered}$$

La somma dei primi $n$ dispari è sempre un quadrato: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. La figura mostra perché: per passare da un quadrato di lato $k - 1$ a uno di lato $k$ si aggiunge una «squadra» a forma di L con $k + (k - 1) = 2k - 1$ punti, proprio il dispari successivo.

Le progressioni geometriche

Un’automobile perde ogni anno il 15% del suo valore, cioè il valore viene moltiplicato per $0{,}85$: 20 000 euro oggi, 17 000 tra un anno, 14 450 tra due. È una progressione geometrica.

Moltiplicando $n$ volte per $q$ si ottiene il termine generale; da $a_1$ le moltiplicazioni sono $n - 1$, da $a_k$ sono $n - k$:

$$\begin{gathered} a_n = a_0\,q^n \\ a_n = a_1\,q^{n - 1} \\ a_n = a_k\,q^{n - k} \end{gathered}$$

Esempi. $3, 6, 12, 24, \dots$ ha ragione 2; $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ ha ragione $\frac{1}{2}$; $5, -10, 20, -40, \dots$ ha ragione $-2$. La ragione si trova dividendo un termine per il precedente.

Con $a_0 > 0$: se $q > 1$ la progressione è strettamente crescente, se $0 < q < 1$ strettamente decrescente, se $q < 0$ i segni si alternano. Per $q > 0$ e $q \neq 1$ i punti $(n, a_n)$ stanno sul grafico della funzione esponenziale $a_0\,q^x$.

La proprietà caratteristica: la media geometrica

Perché è vero. In una progressione geometrica $a_{n - 1} = \frac{a_n}{q}$ e $a_{n + 1} = a_n\,q$, quindi il prodotto è $a_n^2$. Viceversa, dividendo $a_n^2 = a_{n - 1}a_{n + 1}$ per $a_n\,a_{n - 1}$ si ottiene $\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{a_n}{a_{n - 1}}$: il rapporto tra termini consecutivi è sempre lo stesso. Per esempio $6 = \sqrt{3 \cdot 12}$.

Trovare la ragione da due termini

Tra $a_k$ e $a_m$ si moltiplica $m - k$ volte per $q$: $\frac{a_m}{a_k} = q^{m - k}$, e si estrae una radice. Se $m - k$ è dispari la ragione è una sola. Se è pari e il rapporto è positivo ce ne sono due, opposte (se è negativo, nessuna): da $a_2 = 12$ e $a_4 = 48$ viene $q^2 = 4$, cioè $q = 2$ oppure $q = -2$, e le progressioni $3, 6, 12, 24, 48$ e $3, -6, 12, -24, 48$ vanno bene entrambe.

Come per le medie aritmetiche, si possono inserire medie geometriche. Tra 2 e 486 inseriamo quattro numeri: i passi sono 5, quindi $q^5 = \frac{486}{2} = 243$ e $q = 3$. La progressione è $2, 6, 18, 54, 162, 486$.

Il prodotto dei termini

Moltiplicando $N$ termini consecutivi $a_0, a_0 q, \dots, a_0 q^{N - 1}$, gli esponenti di $q$ si sommano, e la loro somma $0 + 1 + \dots + (N - 1)$ si calcola con Gauss:

$$a_0\,a_1 \cdots a_{N - 1} = a_0^N\,q^{\frac{N(N - 1)}{2}}$$

Per esempio $1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 16 = 2^{0 + 1 + 2 + 3 + 4} = 2^{10} = 1024$. C’è anche un gemello del trucco di Gauss: due termini alla stessa distanza dagli estremi hanno sempre prodotto uguale a primo per ultimo, quindi con termini positivi il prodotto vale $\sqrt{(\text{primo} \cdot \text{ultimo})^N}$. Qui $\sqrt{16^5} = 1024$.

La somma di una progressione geometrica

Una regola per non sbagliare: all’esponente del numeratore va il numero dei termini. La somma da $q^0$ a $q^{n - 1}$ ha $n$ termini; quella da $q^0$ a $q^n$ ne ha $n + 1$ e vale $\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$. Se il primo termine è $a$ invece di 1, si raccoglie $a$:

$$a + aq + \dots + aq^{n - 1} = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

Con $q > 1$ è più comoda la forma equivalente $\frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Perché è vero: moltiplica e sottrai

Chiama $S$ la somma e moltiplicala per $q$: ogni termine diventa il successivo.

$$\begin{aligned} S &= 1 + q + q^2 + \dots + q^{n - 1} \\ qS &= q + q^2 + \dots + q^{n - 1} + q^n \end{aligned}$$

Sottraendo, i termini in mezzo si cancellano e restano solo il primo e l’ultimo: $S - qS = 1 - q^n$, cioè $S\,(1 - q) = 1 - q^n$. Siccome $q \neq 1$, si può dividere per $1 - q$. Letta al contrario, la formula è una scomposizione che conosci già nei casi piccoli: $1 - q^2 = (1 - q)(1 + q)$ e $1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2)$.

Dimostrazione per induzione

• Passo base, $n = 1$: a sinistra c’è solo 1, a destra $\frac{1 - q}{1 - q} = 1$.
• Passo induttivo. Se la formula vale per $n$, aggiungiamo il termine successivo $q^n$:

$$\begin{gathered} \frac{1 - q^n}{1 - q} + q^n = \frac{1 - q^n + q^n - q^{n + 1}}{1 - q} \\ {} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \end{gathered}$$

che è la formula per $n + 1$.

Esempio. Con $q = \frac{1}{2}$ e cinque termini:

$$\begin{gathered} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{1 - \frac{1}{32}}{1 - \frac{1}{2}} \\ {} = 2 - \frac{1}{16} = \frac{31}{16} \end{gathered}$$

Nella parte bassa della prima figura lo vedi con le aree: ogni pezzo riempie metà dello spazio rimasto, e al rettangolo di area 2 manca un pezzo uguale all’ultimo, $\frac{1}{16}$. In generale $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} = 2 - \frac{1}{2^{n - 1}}$.

Come si comporta qⁿ quando n cresce

Le potenze $q^n$ mostrano già tutti i comportamenti possibili di una successione:

Ragione	Primi termini	Comportamento
${q > 1}$	${2^n}$: 1, 2, 4, 8, …	diverge a ${+\infty}$
${q = 1}$	1, 1, 1, 1, …	costante, limite 1
${-1 < q < 1}$	${\left(\frac{1}{2}\right)^n}$: ${1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots}$	tende a 0
${q = -1}$	1, −1, 1, −1, …	oscilla tra 1 e −1
${q < -1}$	${(-2)^n}$: 1, −2, 4, −8, …	oscilla sempre più ampia

Nel linguaggio dei limiti: per $q > 1$ la successione diverge a $+\infty$, per $\lvert q \rvert < 1$ converge a 0, per $q \leq -1$ è irregolare. La dimostrazione, con la disuguaglianza di Bernoulli, è nel limite di una successione.

Progressioni e serie: la differenza

Una progressione è una lista di numeri, e la somma di un numero finito di suoi termini si calcola sempre. Una serie prova a sommare infiniti termini: è il limite delle somme finite. Per $\lvert q \rvert < 1$ il termine $q^n$ sparisce e le somme geometriche si avvicinano a $\frac{1}{1 - q}$; per $q \geq 1$ crescono senza limite. Il teorema completo, i numeri periodici e Achille li trovi nella serie geometrica.

Le applicazioni

Interesse composto e regola del 72

Con un capitale $C$ al tasso annuo $r$, se ritiri ogni anno gli interessi guadagni sempre $C\,r$: dopo $n$ anni hai $C\,(1 + n r)$, una progressione aritmetica (interesse semplice). Se li reinvesti, il capitale viene moltiplicato ogni anno per $1 + r$: dopo $n$ anni hai $C\,(1 + r)^n$, una progressione geometrica (interesse composto). Con 10 000 euro al 5% per 10 anni: 15 000 euro nel primo caso, circa 16 288,95 nel secondo.

Quando raddoppia il capitale? Da $(1 + r)^n = 2$ viene $n = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$. Per $r$ piccolo $\ln(1 + r) \approx r$ e $\ln 2 \approx 0{,}693$, quindi $n \approx \frac{69{,}3}{\text{tasso in \%}}$. In pratica si usa 72: compensa il fatto che $\ln(1 + r)$ è un po’ minore di $r$, e si divide per 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12.

Tasso	72 diviso il tasso	Con i logaritmi
2%	36 anni	35,0 anni
4%	18 anni	17,7 anni
6%	12 anni	11,9 anni
8%	9 anni	9,0 anni
12%	6 anni	6,1 anni

La enuncia già, senza spiegarla, la Summa de arithmetica di Luca Pacioli (Venezia, 1494), il riferimento più antico che si conosce. Altri esempi li trovi in crescita e decadimento esponenziale.

La rata di un prestito

Prendi in prestito un capitale $C$ al tasso mensile $i$ e lo restituisci in $n$ rate mensili uguali $R$ (l’ammortamento «alla francese» dei mutui). Ogni mese il debito $D$ cresce degli interessi e cala della rata:

$$\begin{gathered} D_1 = C\,(1 + i) - R \\ D_2 = C\,(1 + i)^2 - R\,(1 + i) - R \end{gathered}$$

e dopo $n$ mesi, ripetendo,

$$\begin{gathered} D_n = C\,(1 + i)^n \\ {} - R\left[1 + (1 + i) + \dots + (1 + i)^{n - 1}\right] \end{gathered}$$

Tra parentesi c’è una somma geometrica di $n$ termini e ragione $1 + i$, che vale $\frac{(1 + i)^n - 1}{i}$. Il prestito è restituito quando $D_n = 0$:

$$R = \frac{C\,i\,(1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}$$

Esempio. 20 000 euro in 5 anni, cioè 60 rate, con un tasso annuo nominale del 6%, cioè $i = 0{,}005$ al mese:

$$\begin{gathered} R = \frac{20\,000 \cdot 0{,}005 \cdot 1{,}005^{60}}{1{,}005^{60} - 1} \\ {} \approx \frac{100 \cdot 1{,}34885}{0{,}34885} \approx 386{,}66 \end{gathered}$$

La rata è di circa 386,66 euro. In tutto restituisci $60 \cdot 386{,}66 \approx 23\,200$ euro: circa 3200 euro di interessi.

La leggenda della scacchiera

Secondo la leggenda (la trovi nell’articolo sulle potenze), l’inventore degli scacchi chiese un chicco di grano sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza, e così via fino alla sessantaquattresima. Il totale è una somma geometrica di 64 termini e ragione 2:

$$\begin{gathered} 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{63} = \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} \\ {} = 2^{64} - 1 \approx 1{,}8 \cdot 10^{19} \end{gathered}$$

Un chicco pesa tra 0,03 e 0,05 grammi, quindi sono tra 550 e 920 miliardi di tonnellate: circa 700-1200 volte la produzione mondiale di grano del 2023, che la FAO stimava intorno ai 790 milioni di tonnellate.

Il dimezzamento

Una sostanza radioattiva si dimezza a ogni tempo di dimezzamento: dopo $n$ di questi intervalli ne resta la frazione $\left(\frac{1}{2}\right)^n$, che tende a 0 senza mai arrivarci. Quando ne resta meno dell’1%? Serve $2^n > 100$, e siccome $2^6 = 64$ e $2^7 = 128$, bastano 7 tempi di dimezzamento: per lo iodio 131, che si dimezza in circa 8 giorni, 56 giorni.

La palla che rimbalza

Una palla cade da 2 m e a ogni rimbalzo risale ai $\frac{3}{4}$ dell’altezza precedente: 1,5 m, poi 1,125 m, e così via. Quanta strada ha fatto quando tocca terra per la quinta volta? La prima caduta conta una volta, i quattro rimbalzi due (salita e discesa):

$$\begin{gathered} 2 + 2\,(1{,}5 + 1{,}5 \cdot 0{,}75 + \dots + 1{,}5 \cdot 0{,}75^3) \\ {} = 2 + 3 \cdot \frac{1 - 0{,}75^4}{1 - 0{,}75} \\ {} = 2 + 12\,(1 - 0{,}75^4) \approx 10{,}2 \text{ m} \end{gathered}$$

Con sempre più rimbalzi la strada si avvicina a $2 + 12 = 14$ m senza superarli: è una serie, e un esempio simile, con il tempo totale, è nella serie geometrica. In Fisica il rapporto tra due altezze successive è il quadrato del coefficiente di restituzione.

Il fiocco di neve di Koch

Parti da un triangolo equilatero di lato 1. A ogni passo dividi ogni lato in tre parti e sostituisci quella centrale con due lati di un triangolino sporgente: ogni lato diventa 4 lati lunghi un terzo, e il perimetro si moltiplica per $\frac{4}{3}$. Dopo $n$ passi vale $3\left(\frac{4}{3}\right)^n$: circa 53 dopo 10 passi, 946 dopo 20. L’area aggiunta a ogni passo forma invece una progressione di ragione $\frac{4}{9}$, e il totale non supera mai $\frac{8}{5}$ dell’area del triangolo: perimetro infinito, area finita. La curva è dello svedese Helge von Koch, che la presentò nel 1904.

Un po’ di storia

Il più antico problema su una progressione geometrica che conosciamo è il problema 79 del papiro di Rhind, copiato dallo scriba Ahmes intorno al 1550 a.C. da un testo più antico. Elenca 7 case, 49 gatti, 343 topi, 2401 spighe di farro e 16 807 hekat di grano (una misura di capacità): ogni termine è il precedente per 7. Il totale è 19 607, e Ahmes lo calcola anche come $2801 \cdot 7$, con $2801 = 1 + 7 + 49 + 343 + 2401$: la nostra regola «raccogli il primo termine».

Intorno al 300 a.C. Euclide, nel libro IX degli Elementi, dimostra la somma geometrica (proposizione 35) con il linguaggio delle proporzioni. Nella proposizione successiva la usa per i numeri perfetti, uguali alla somma dei loro divisori, escluso il numero stesso: se $1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^n - 1$ è primo, allora $2^{n - 1}(2^n - 1)$ è perfetto, come $6 = 1 + 2 + 3$ e $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$.

Gli errori più comuni

• Sbagliare il numero dei termini. Da $a_k$ ad $a_m$ i termini sono $m - k + 1$: da $a_3$ ad $a_{10}$ sono 8, non 7.
• Confondere le convenzioni. Se il primo termine è $a_1$, il termine generale è $a_1 + (n - 1)\,d$, non $a_1 + n\,d$. Nel dubbio usa $a_k + (n - k)\,d$.
• Sbagliare l’esponente nella somma geometrica. All’esponente va il numero dei termini: $1 + q + \dots + q^{10}$ ha 11 termini e vale $\frac{1 - q^{11}}{1 - q}$.
• Usare la formula con ragione 1. Per $q = 1$ il denominatore si annulla: la somma è il numero dei termini per il primo termine.
• Dimenticare le parentesi con la ragione negativa. I termini di $2, -6, 18, \dots$ sono $2 \cdot (-3)^k$, non $2 \cdot (-3^k)$: con esponente pari $(-3)^6 = 729$, mentre $-3^6 = -729$.
• Trovare una sola ragione da una potenza pari. Da $q^2 = 4$ seguono $q = 2$ e $q = -2$: controlla entrambe.
• Confondere somma finita e serie. La formula $\frac{1}{1 - q}$ vale solo per infiniti termini e solo con $\lvert q \rvert < 1$; una somma di $n$ termini si calcola per ogni $q \neq 1$.

Esercizi svolti

1. Una progressione da due termini

Testo. In una progressione aritmetica, con i termini numerati da $a_1$, si ha $a_3 = 11$ e $a_8 = 31$. Trova la ragione, il primo termine e la somma dei primi 15 termini.

Da $a_3$ ad $a_8$ si aggiunge la ragione $8 - 3 = 5$ volte:

$$5d = 31 - 11 = 20 \quad \Longrightarrow \quad d = 4$$

Da $a_1$ ad $a_3$ si aggiunge $d$ due volte, quindi $a_1 = 11 - 2 \cdot 4 = 3$. Il quindicesimo termine è $a_{15} = a_1 + 14d = 3 + 56 = 59$, e la somma dei primi 15 termini è

$$S = 15 \cdot \frac{3 + 59}{2} = 15 \cdot 31 = 465$$

Controllo: $a_8 = 3 + 7 \cdot 4 = 31$. La somma richiesta vale 465.

2. I multipli di 7 con tre cifre

Testo. Calcola la somma di tutti i numeri di tre cifre multipli di 7.

Il primo multiplo di 7 con tre cifre è $105 = 7 \cdot 15$, perché $7 \cdot 14 = 98$ ne ha due. L’ultimo è $994 = 7 \cdot 142$, perché $7 \cdot 143 = 1001$ ne ha quattro. I numeri sono $7k$ con $k$ da 15 a 142: una progressione aritmetica di ragione 7 con $142 - 15 + 1 = 128$ termini. Quindi

$$\begin{gathered} S = 128 \cdot \frac{105 + 994}{2} \\ {} = 64 \cdot 1099 = 70\,336 \end{gathered}$$

La somma è 70 336. Contare i termini come $142 - 15 = 127$ è l’errore classico.

3. Una progressione geometrica a segni alterni

Testo. In una progressione geometrica, con i termini numerati da $a_1$, si ha $a_2 = -6$ e $a_5 = 162$. Trova la ragione e il primo termine, poi calcola la somma dei primi 7 termini.

Da $a_2$ ad $a_5$ si moltiplica 3 volte per $q$:

$$q^3 = \frac{162}{-6} = -27 \quad \Longrightarrow \quad q = -3$$

L’esponente 3 è dispari, quindi la ragione è una sola. Il primo termine è $a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{-6}{-3} = 2$, e i primi sette termini sono $2, -6, 18, -54, 162, -486, 1458$. Con la formula, sette termini e primo termine 2:

$$\begin{gathered} S = 2 \cdot \frac{1 - (-3)^7}{1 - (-3)} = 2 \cdot \frac{1 + 2187}{4} \\ {} = \frac{2 \cdot 2188}{4} = 1094 \end{gathered}$$

Sommando a mano i sette termini si ottiene lo stesso numero: la somma è 1094.

4. Quanti termini per superare un milione

Testo. Quanti termini della somma $1 + 3 + 9 + 27 + \dots$ servono perché il risultato superi un milione?

È una somma geometrica di ragione 3. Con $n$ termini vale

$$S_n = \frac{3^n - 1}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$$

Imponiamo $S_n > 10^6$ e moltiplichiamo per 2:

$$\begin{gathered} 3^n - 1 > 2\,000\,000 \\ 3^n > 2\,000\,001 \end{gathered}$$

È una disequazione esponenziale: siccome il logaritmo è crescente,

$$\begin{gathered} n > \frac{\ln 2\,000\,001}{\ln 3} \approx \frac{14{,}509}{1{,}099} \\ {} \approx 13{,}2 \end{gathered}$$

Il primo intero che va bene è $n = 14$. Controllo: $S_{13} = \frac{3^{13} - 1}{2} = 797\,161$ è ancora sotto il milione, mentre $S_{14} = 2\,391\,484$ lo supera. Servono 14 termini.

5. Da aritmetica a geometrica

Testo. Tre numeri sono in progressione aritmetica e la loro somma è 15. Se si aggiungono 1 al primo, 4 al secondo e 19 al terzo, si ottengono tre numeri in progressione geometrica. Trova i numeri.

Il trucco è chiamare $x$ il numero centrale: i tre numeri sono $x - d$, $x$, $x + d$, e la somma è $3x = 15$, quindi $x = 5$. Dopo le aggiunte i numeri diventano

$$6 - d, \qquad 9, \qquad 24 + d$$

Per la proprietà della media geometrica, il quadrato del termine centrale è il prodotto degli altri due:

$$\begin{gathered} 81 = (6 - d)(24 + d) \\ 81 = 144 - 18d - d^2 \\ d^2 + 18d - 63 = 0 \end{gathered}$$

Il trinomio si scompone come $(d - 3)(d + 21)$, quindi $d = 3$ oppure $d = -21$.

• Con $d = 3$ i numeri sono $2, 5, 8$, che diventano $3, 9, 27$: ragione 3.
• Con $d = -21$ i numeri sono $26, 5, -16$, che diventano $27, 9, 3$: ragione $\frac{1}{3}$.

Le soluzioni sono due, e vanno bene entrambe: i termini dopo le aggiunte non sono nulli.

6. Una somma aritmetico-geometrica

Testo. Calcola $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^n$ e usa il risultato per $n = 10$.

Ogni termine è il prodotto di un termine aritmetico, $k$, e di uno geometrico, $2^k$: la formula geometrica non basta, ma la sua idea, moltiplica e sottrai, funziona ancora:

$$\begin{gathered} S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^n \\ 2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots \\ {} + (n - 1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n + 1} \end{gathered}$$

Sottraiamo la seconda riga dalla prima, potenza per potenza. La potenza $2^k$, con $2 \leq k \leq n$, ha coefficiente $k$ in $S$ e $k - 1$ in $2S$: nella differenza resta con coefficiente 1. Restano poi il primo termine di $S$ e l’ultimo di $2S$:

$$S - 2S = 2 + 2^2 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n + 1}$$

Ora $2 + 2^2 + \dots + 2^n$ è una somma geometrica di $n$ termini con primo termine 2 e ragione 2, quindi vale $2\,(2^n - 1) = 2^{n + 1} - 2$:

$$\begin{gathered} -S = 2^{n + 1} - 2 - n \cdot 2^{n + 1} \\ S = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 \end{gathered}$$

Controllo con $n = 3$: $2 + 8 + 24 = 34$ e $2 \cdot 16 + 2 = 34$. Per $n = 10$:

$$S = 9 \cdot 2^{11} + 2 = 9 \cdot 2048 + 2 = 18\,434$$

Per induzione: aggiungendo $(n + 1)\,2^{n + 1}$ a $(n - 1)\,2^{n + 1} + 2$ si ottiene $2n \cdot 2^{n + 1} + 2 = n \cdot 2^{n + 2} + 2$, la formula per $n + 1$. Altri esercizi li trovi negli esercizi svolti sulle successioni.

In sintesi

• Progressione aritmetica: $a_{n + 1} = a_n + d$, $a_n = a_0 + n\,d$ (in generale $a_k + (n - k)\,d$). Ogni termine è la media aritmetica dei vicini.
• Somma aritmetica: numero dei termini per la media tra primo e ultimo; $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ e $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.
• Progressione geometrica: $a_{n + 1} = q\,a_n$, $a_n = a_0\,q^n$. Con termini positivi ogni termine è la media geometrica dei vicini.
• Somma geometrica: $1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q^n}{1 - q}$ per $q \neq 1$, con il numero dei termini all’esponente; per $q = 1$ vale $n$.
• $q^n$ diverge a $+\infty$ per $q > 1$, tende a 0 per $\lvert q \rvert < 1$, non ha limite per $q \leq -1$.
• Interesse composto, rate, dimezzamenti e rimbalzi sono progressioni geometriche; il tempo di raddoppio si stima con la regola del 72.

Abbiamo parlato di «avvicinarsi» e di «crescere senza limiti». Ora lo rendiamo preciso: il limite di una successione.