Condizione necessaria di convergenza e serie armonica: perché diverge ed esercizi

Davanti a una serie la prima domanda da farsi è semplicissima: i termini tendono a zero? Se la risposta è no, hai già finito, perché la serie non converge. È la condizione necessaria di convergenza, il primo controllo di ogni esercizio sulle serie, e a volte chiude l’esercizio in una riga. Ma attenzione al verso: termini che tendono a zero non bastano. L’esempio più famoso è la serie armonica $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$, che diverge anche se i suoi termini diventano piccolissimi. In questa pagina vediamo l’enunciato con la dimostrazione, la logica di «necessario» e «sufficiente», come si usa quando i termini tendono a un numero diverso da zero, all’infinito o non hanno limite, quando invece non dice niente, due dimostrazioni che la serie armonica diverge, quanto lentamente cresce, cosa succede togliendo dei termini, la torre di libri che sporge dal tavolo, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: i pezzi devono diventare piccoli

Immagina di riempire un secchio a mestoli. Se ogni mestolo porta almeno un decilitro, prima o poi il secchio trabocca, per quanto sia grande. Perché il totale si fermi, i mestoli devono diventare quasi niente. Nelle serie i mestoli sono i termini $a_n$, il totale è la somma parziale $s_n$.

La condizione necessaria di convergenza

Dimostrazione

Come abbiamo visto nell’introduzione alle serie, ogni termine dopo il primo è la differenza tra due somme parziali consecutive: $a_n = s_n - s_{n - 1}$. Se la serie converge alla somma $s$, allora $s_n \to s$, e anche $s_{n - 1} \to s$, perché è la stessa successione spostata di un posto. Per il limite della differenza:

$$a_n = s_n - s_{n - 1} \longrightarrow s - s = 0$$

Serve che $s$ sia un numero: se $s_n \to +\infty$, la differenza è una forma $+\infty - \infty$ e non si conclude niente.

Necessaria, non sufficiente: la logica

Chiamiamo $P$ l’affermazione «la serie converge» e $Q$ l’affermazione «$a_n \to 0$». Il teorema dice che $P \Longrightarrow Q$.

Un esempio: per laurearti in ingegneria è necessario superare Analisi 1, ma non è sufficiente. Allo stesso modo ogni serie convergente supera l’esame «$a_n \to 0$», ma superarlo non basta.

Ogni implicazione equivale alla sua contronominale, «se non $Q$, allora non $P$». Ecco il teorema nelle due forme:

$$\begin{gathered} \sum a_n \text{ converge} \;\Longrightarrow\; a_n \to 0 \\ a_n \not\to 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ non converge} \end{gathered}$$

La seconda riga è quella che userai negli esercizi. Il viceversa, «se $a_n \to 0$ la serie converge», è falso: la serie armonica è il controesempio.

«$a_n$ non tende a 0» comprende tre casi:

1. $a_n$ tende a un numero $\ell \neq 0$;
2. $a_n$ tende a $+\infty$ oppure a $-\infty$;
3. $a_n$ non ha limite.

In tutti e tre la serie non converge, cioè diverge oppure è irregolare: la condizione non dice quale dei due. Se però i termini sono positivi, almeno da un certo indice in poi, le somme parziali crescono e la serie diverge a $+\infty$.

Come si usa: i tre modi di non tendere a zero

I termini tendono a un numero diverso da zero

Esempio 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n + 1}{n + 3}$. Dividendo per $n$ numeratore e denominatore, i termini tendono a 2.

Esempio 2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. I termini tendono al numero $e$, circa $2{,}718$.

Esempio 3. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n \sin\frac{1}{n}$. Con $t = \frac{1}{n} \to 0$ e il limite notevole $\frac{\sin t}{t} \to 1$, i termini tendono a 1.

Sono serie a termini positivi, quindi divergono a $+\infty$. Allo scritto: «Il termine generale tende a $2 \neq 0$, quindi la condizione necessaria di convergenza non è soddisfatta e la serie non converge. Essendo a termini positivi, diverge a $+\infty$.»

I termini tendono all’infinito

Esempio 4. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{\ln(n + 1)}$. Per la gerarchia degli infiniti i termini tendono a $+\infty$: la serie diverge a $+\infty$.

I termini non hanno limite

È il caso che molti dimenticano: la condizione chiede che il limite esista e valga 0.

Esempio 5: sin n e cos n. Nel limite di una successione si dimostra che $\sin n$, con $n$ in radianti, non ha limite. Neanche $\cos n$ ce l’ha: se fosse $\cos n \to \ell$, anche $\cos(n + 1) \to \ell$, e dalla formula di addizione $\cos(n + 1) = \cos n \cos 1 - \sin n \sin 1$ si avrebbe

$$\begin{gathered} \sin n = \frac{\cos n \cos 1 - \cos(n + 1)}{\sin 1} \\ {} \longrightarrow \frac{\ell \cos 1 - \ell}{\sin 1} \end{gathered}$$

cioè anche $\sin n$ avrebbe un limite, il che è falso. Quindi $\sum \sin n$ e $\sum \cos n$ non convergono. Però non divergono. Per $\sum \sin n$ si usa una formula di Werner

$$\begin{gathered} 2\sin\frac{1}{2}\,\sin k \\ {} = \cos\left(k - \frac{1}{2}\right) - \cos\left(k + \frac{1}{2}\right) \end{gathered}$$

e sommando da $k = 1$ a $n$ tutto si cancella a catena, come in una serie telescopica:

$$s_n = \frac{\cos\frac{1}{2} - \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)}{2\sin\frac{1}{2}}$$

Le somme parziali restano tra circa $-0{,}13$ e $1{,}96$: la serie è irregolare, e con un conto simile lo è anche $\sum \cos n$.

Le serie con (−1)ⁿ. Siccome $\lvert (-1)^n a_n \rvert = \lvert a_n \rvert$,

$$(-1)^n a_n \to 0 \iff a_n \to 0$$

Con i segni alterni, quindi, si guarda il termine senza segno. Se $a_n \to \ell \neq 0$, i termini $(-1)^n a_n$ si avvicinano alternativamente a $\ell$ e a $-\ell$: non hanno limite e la serie non converge.

Esempio 6. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \cos\frac{1}{n}$. Siccome $\cos\frac{1}{n} \to 1$, i termini saltano vicino a $1$ e a $-1$: la serie non converge. Se invece il termine senza segno tende a 0, si passa al criterio di Leibniz.

Quando la condizione non dice niente

Se $a_n \to 0$ il teorema tace: la serie può convergere oppure divergere. Cinque serie con i termini che tendono a 0:

Termine	Serie	Perché
${\frac{1}{2^n}}$	converge	geometrica
${\frac{1}{n^2}}$	converge	confronto
${\frac{1}{n}}$	diverge	armonica
${\frac{1}{\sqrt{n}}}$	diverge	confronto
${\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}$	diverge	telescopica

Non conta che i termini vadano a 0, ma quanto in fretta: con $n = 1000$, $\frac{1}{n}$ vale un millesimo e $\frac{1}{n^2}$ un milionesimo. Allo scritto: «Il termine generale tende a 0: la condizione necessaria è soddisfatta ma non permette di concludere.» Gli strumenti sono il confronto, il criterio del rapporto e della radice, il criterio dell’integrale e, con i segni alterni, Leibniz.

La serie armonica

La serie armonica è la somma dei reciproci dei numeri naturali:

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

Il nome viene dalla musica: gli armonici di una corda che vibra hanno lunghezze d’onda pari a $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ di quella della nota fondamentale. I termini scendono verso 0 e la serie sembra fatta apposta per convergere. Invece:

Prima dimostrazione: i blocchi di Oresme

Verso il 1350 il filosofo francese Nicola d’Oresme trovò una dimostrazione semplicissima. Dopo il primo termine, raggruppiamo gli altri in blocchi lunghi 1, 2, 4, 8, …:

$$\begin{gathered} 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) \\ {} + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) \\ {} + \left(\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16}\right) + \dots \end{gathered}$$

In ogni blocco l’ultimo termine è il più piccolo; sostituendo ogni termine con l’ultimo del suo blocco, la somma diminuisce:

$$\begin{gathered} \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} > 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Nella figura la parte piena di ogni barra è alta quanto l’ultimo termine del suo blocco: in ogni blocco le parti piene valgono insieme esattamente $\frac{1}{2}$.

In generale il blocco numero $j$ va da $\frac{1}{2^{j - 1} + 1}$ a $\frac{1}{2^j}$: ha $2^{j - 1}$ termini, ognuno almeno $\frac{1}{2^j}$, quindi vale almeno $\frac{1}{2}$. Il primo termine e i primi $k$ blocchi formano la somma parziale $s_{2^k}$:

$$s_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$$

Dato un numero $M$ qualunque, scegli $k$ con $1 + \frac{k}{2} > M$. I termini sono positivi, quindi le somme parziali crescono: per ogni $n \geq 2^k$ si ha $s_n \geq s_{2^k} > M$. Le somme parziali superano qualunque numero: la serie diverge a $+\infty$. La stima è pessimista (per superare 10 garantisce che bastano $2^{19} = 524\,288$ termini, mentre ne bastano 12 367), ma per la divergenza è più che sufficiente.

Seconda dimostrazione: il confronto con il logaritmo

Perché è vero. La funzione $f(x) = x - \ln(1 + x)$ è continua per $x \geq 0$, vale $f(0) = 0$ e ha derivata

$$\begin{gathered} f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} \\ f'(x) > 0 \quad \text{per } x > 0 \end{gathered}$$

Quindi $f$ è strettamente crescente su $[0, +\infty)$ e $f(x) > f(0) = 0$ per $x > 0$. La stessa disuguaglianza si ricava anche con il teorema di Lagrange.

Ora poniamo $x = \frac{1}{k}$ e usiamo le proprietà dei logaritmi:

$$\frac{1}{k} > \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \ln(k + 1) - \ln k$$

Sommando da $k = 1$ a $k = n$, a destra tutto si cancella tranne il primo e l’ultimo pezzo:

$$\begin{gathered} H_n > (\ln 2 - \ln 1) + (\ln 3 - \ln 2) \\ {} + \dots + \bigl(\ln(n + 1) - \ln n\bigr) \\ {} = \ln(n + 1) \end{gathered}$$

dove $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$. Siccome $\ln(n + 1) \to +\infty$, anche $H_n \to +\infty$. È il criterio del confronto: la serie armonica sta sopra la serie telescopica di $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$, che diverge. In più sappiamo che $H_n$ cresce almeno come un logaritmo.

Altre dimostrazioni

Con il criterio di Cauchy si mostra che $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ per ogni $n$: la trovi in sottosuccessioni, Bolzano-Weierstrass e Cauchy. Con il criterio dell’integrale si confronta la serie con l’area sotto il grafico di $\frac{1}{x}$, e si ottiene anche la stima dall’alto $H_n \leq 1 + \ln n$.

Quanto lentamente diverge

Le somme parziali $H_n$ si chiamano numeri armonici. Crescono senza fine, ma lentissimamente:

$n$	$H_n$	$\ln n + \gamma$
10	${2{,}9290}$	${2{,}8798}$
100	${5{,}1874}$	${5{,}1824}$
1000	${7{,}4855}$	${7{,}4850}$
${10^6}$	${14{,}3927}$	${14{,}3927}$

Le due colonne si avvicinano sempre di più (la differenza è circa $\frac{1}{2n}$). Vale infatti questo teorema, dimostrato con i rettangoli nel criterio dell’integrale:

Moltiplicare $n$ per 10 aggiunge a $H_n$ circa $\ln 10 \approx 2{,}30$; per aggiungere 1 bisogna moltiplicare i termini per circa $e \approx 2{,}72$. Per superare un valore $N$ servono circa $e^{N - \gamma}$ termini:

Per superare	servono	a un termine al secondo
5	83	1 minuto e 23 secondi
10	12 367	3 ore e 26 minuti
20	272 400 600	più di 8 anni e mezzo
100	${1{,}5 \cdot 10^{43}}$	oltre ${10^{25}}$ volte l’età dell’universo

I primi tre numeri sono esatti, calcolati al computer ($H_{12\,366} < 10 < H_{12\,367}$); il quarto ha 44 cifre. Sommando un miliardo di termini al secondo dal Big Bang a oggi si arriverebbe appena a circa 62.

Eppure Oresme garantisce che prima o poi si supera qualunque numero. La lezione: sommando al computer non si distingue una serie convergente da una divergente. Servono i teoremi.

Togliere termini: quando smette di divergere?

La serie armonica sta sul confine tra convergenza e divergenza. Che succede togliendo termini?

• Solo i pari. $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots$ è metà della serie armonica: diverge. Anche i dispari divergono (esercizio 3).
• Solo i primi. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \dots$ diverge ancora: lo dimostrò Eulero nel 1737, con una dimostrazione più difficile che non vediamo. Cresce come $\ln(\ln n)$: con tutti i primi fino a un milione si arriva appena a $2{,}89$.
• Senza la cifra 9. Togliendo tutti i numeri che contengono un 9 (9, 19, …, 90, 91, …) si ottiene la serie di Kempner, che converge!

Il motivo è semplice. I numeri di $d$ cifre senza il 9 sono $8 \cdot 9^{d - 1}$ (prima cifra da 1 a 8, le altre da 0 a 8) e ognuno è almeno $10^{d - 1}$: i loro reciproci sommano al massimo $8 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{d - 1}$. Sommando su $d$ si ha una serie geometrica che vale 80: le somme parziali sono limitate, e una serie a termini positivi con somme parziali limitate converge. La somma vera, calcolata da Robert Baillie nel 1979, è circa $22{,}92$. Sembra di togliere poco, ma tra i numeri con 20 cifre solo il 12% circa non contiene un 9.

Ecco la serie armonica con i suoi parenti più stretti:

Serie	Carattere	Dove
${\sum \frac{1}{n}}$	diverge	qui
${\sum \frac{1}{n^2}}$	converge a ${\frac{\pi^2}{6}}$	confronto
${\sum \frac{1}{n^\alpha}}$	converge se e solo se ${\alpha > 1}$	confronto
${\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}}$	converge a ${\ln 2}$	Leibniz

Il valore $\frac{\pi^2}{6}$ lo trovò Eulero risolvendo il problema di Basilea. Nell’articolo sul confronto trovi anche le serie con i logaritmi, come $\sum \frac{1}{n \ln n}$, che diverge ancora. La serie a segni alterni converge per il criterio di Leibniz: bastano le compensazioni tra i segni.

Una torre di libri che sporge dal tavolo

Prendi dei libri tutti uguali, lunghi 1, e impilali sul bordo di un tavolo, uno per piano, facendoli sporgere il più possibile. Quanto può sporgere il libro in cima?

La pila sta in equilibrio se, per ogni libro, il centro di massa suo e dei libri sopra di lui sta sopra il libro sottostante (o sopra il tavolo). Si costruisce dall’alto, mettendo ogni volta il centro di massa proprio sul bordo. Il libro in cima ha il centro a metà: sporge di $\frac{1}{2}$ dal secondo. Se i primi $k$ libri hanno il centro di massa sul bordo del libro $k + 1$, il centro di quel libro sta $\frac{1}{2}$ più a sinistra, e il centro di massa dei $k + 1$ libri sta a sinistra del bordo di

$$\frac{k \cdot 0 + 1 \cdot \frac{1}{2}}{k + 1} = \frac{1}{2(k + 1)}$$

È questo il punto da mettere sul bordo del libro sotto: il libro $k + 1$ sporge di $\frac{1}{2(k + 1)}$. Con $n$ libri la sporgenza totale è

$$\begin{gathered} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2n} \\ {} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}\right) \\ {} = \frac{H_n}{2} \end{gathered}$$

Con 4 libri la sporgenza è già $\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{12} = \frac{25}{24}$, più di 1: il libro in cima è completamente fuori dal tavolo! E siccome la serie armonica diverge, la sporgenza può superare qualunque lunghezza. Per sporgere di 2 libri ne bastano 31, di 3 ne servono 227, di 5 ne servono 12 367: con libri spessi 3 cm, una torre più alta della Torre Eiffel. Prova con un mazzo di carte, lasciando un po’ di margine: così costruita, la pila è in equilibrio al limite.

Un po’ di storia

La storia generale delle serie è nell’introduzione alle serie. Della serie armonica colpisce una cosa: la dimostrazione di Oresme, di metà Trecento, andò dimenticata, e la divergenza fu ritrovata più volte in modi diversi, da Mengoli nel Seicento e poi dai fratelli Bernoulli.

In un lavoro degli anni Trenta del Settecento Eulero mostrò che $H_n - \ln n$ si avvicina a un numero, che calcolò con sei decimali, l’ultimo impreciso: $0{,}577218$. Nel 1790 Lorenzo Mascheroni lo calcolò con 32 decimali, alcuni sbagliati: per questo oggi si parla di costante di Eulero-Mascheroni. La serie senza il 9 fu studiata da Aubrey J. Kempner nel 1914.

Gli errori più comuni

• Concludere che la serie converge perché $a_n \to 0$. La condizione è solo necessaria: la serie armonica diverge.
• Scrivere «diverge» quando la condizione non è soddisfatta. Si può dire solo «non converge»: con i segni variabili la serie può essere irregolare, come $\sum (-1)^n$ o $\sum \sin n$.
• Pensare che, se $a_n$ non ha limite, il teorema non si applichi. Al contrario: la serie non converge.
• Dimenticare il valore assoluto con $(-1)^n$. Nell’esercizio 1(c) i termini non tendono a 3: saltano vicino a $3$ e a $-3$.
• Credere che termini positivi e decrescenti bastino. Con i segni alterni bastano (è Leibniz), con i termini positivi no: pensa a $\frac{1}{n}$.
• Fidarsi delle somme al computer. Con un miliardo di termini la serie armonica vale appena $21{,}3$ e sembra ferma.

Esercizi svolti

1. Quando la condizione decide

Testo. Dimostra che le serie non convergono e di’ se divergono o sono irregolari: (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^2 + n}$; (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n \ln\left(1 + \frac{3}{n}\right)$; (c) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\,\frac{3n - 1}{n + 2}$.

(a) Dividendo numeratore e denominatore per $n^2$:

$$\frac{2n^2 + 1}{n^2 + n} = \frac{2 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} \longrightarrow 2$$

I termini tendono a $2 \neq 0$ e sono positivi: la serie diverge a $+\infty$.

(b) Con $t = \frac{3}{n} \to 0$ e il limite notevole $\frac{\ln(1 + t)}{t} \to 1$:

$$n \ln\left(1 + \frac{3}{n}\right) = 3 \cdot \frac{\ln\left(1 + \frac{3}{n}\right)}{\frac{3}{n}} \longrightarrow 3$$

I termini tendono a $3 \neq 0$ e sono positivi: la serie diverge a $+\infty$.

(c) Il termine senza segno tende a 3, quindi i termini si avvicinano a $3$ con $n$ pari e a $-3$ con $n$ dispari: non hanno limite e la serie non converge. Siccome $\frac{3n - 1}{n + 2} = 3 - \frac{7}{n + 2}$,

$$a_n = 3\,(-1)^n - \frac{7\,(-1)^n}{n + 2}$$

La serie di $\frac{7\,(-1)^n}{n + 2}$ converge per Leibniz, mentre le somme parziali di $3\,(-1)^n$ valgono $-3, 0, -3, 0, \dots$ Quindi le somme parziali della serie data si avvicinano a circa $1{,}35$ con $n$ pari e a $-1{,}65$ con $n$ dispari: la serie è irregolare.

2. Quando la condizione non decide

Testo. Verifica che in (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \sin^2\frac{1}{\sqrt{n}}$ e (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n + 3}{2n^3 - 1}$ i termini tendono a 0, poi stabilisci il carattere.

(a) $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$, quindi $\sin^2\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$: la condizione è soddisfatta e non dice niente. Serve il confronto asintotico. Con $t = \frac{1}{\sqrt{n}}$ si ha $\sin t \sim t$, quindi

$$\sin^2\frac{1}{\sqrt{n}} \sim \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2 = \frac{1}{n}$$

I termini sono positivi e si comportano come quelli della serie armonica: la serie diverge.

(b) Il denominatore ha grado maggiore, quindi i termini tendono a 0 e la condizione non decide. Per $n \geq 1$ si ha $2n^3 - 1 \geq 1$: i termini sono positivi, e

$$\frac{n + 3}{2n^3 - 1} \sim \frac{n}{2n^3} = \frac{1}{2n^2}$$

La serie di $\frac{1}{n^2}$ converge, quindi la serie data converge. Stesso punto di partenza, $a_n \to 0$, e conclusioni opposte.

3. Una serie armonica travestita

Testo. Dimostra che $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{3n + 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \dots$ diverge. Vale lo stesso per $\sum \frac{1}{an + b}$, con $a > 0$?

I termini tendono a 0, quindi la condizione non decide. Per ogni $n \geq 0$ si ha $3n + 2 < 3n + 3$, quindi

$$\frac{1}{3n + 2} > \frac{1}{3(n + 1)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n + 1}$$

Per $n$ da 0 a $+\infty$, $\frac{1}{n + 1}$ percorre $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$: è la serie armonica, che diverge anche moltiplicata per $\frac{1}{3}$. Per il criterio del confronto la serie diverge a $+\infty$.

Con $a > 0$ e $an + b > 0$ per tutti gli indici vale lo stesso, perché $\frac{1}{an + b} \sim \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{n}$: per esempio diverge $\sum \frac{1}{2n + 1}$, la somma dei reciproci dei dispari. La crescita è ancora più lenta: con un milione di termini la somma di $\frac{1}{3n + 2}$ vale appena $5{,}04$.

4. Quanti termini per superare 7

Testo. Usando $\ln(n + 1) < H_n \leq 1 + \ln n$, trova un intervallo sicuro per il numero di termini che servono a superare 7, poi stimalo con $H_n \approx \ln n + \gamma$. Quanti libri servono per una torre che sporga di 3 libri e mezzo?

Sicuramente bastano gli $n$ con $\ln(n + 1) \geq 7$, cioè $n + 1 \geq e^7 \approx 1096{,}6$: da $n = 1096$ in poi, $H_n > 7$. Sicuramente non bastano gli $n$ con $1 + \ln n \leq 7$, cioè $n \leq e^6 \approx 403{,}4$: fino a $n = 403$, $H_n \leq 7$. Il numero cercato sta tra 404 e 1096.

Con la costante di Eulero-Mascheroni:

$$\begin{gathered} \ln n + \gamma > 7 \iff n > e^{7 - \gamma} \\ e^{7 - 0{,}5772} \approx 615{,}7 \end{gathered}$$

La stima dice 616 termini, e il calcolo al computer lo conferma: $H_{615} \approx 6{,}9997$ e $H_{616} \approx 7{,}0013$. La torre di $n$ libri sporge di $\frac{H_n}{2}$, che supera $3{,}5$ quando $H_n > 7$: servono 616 libri.

5. Una serie con un parametro

Testo. Al variare di $x \geq 0$, studia $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1 + x^n}$.

I termini non sono negativi. Condizione necessaria. Con $x = 1$ valgono tutti $\frac{1}{2}$. Con $x > 1$ si divide per $x^n$:

$$\frac{x^n}{1 + x^n} = \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^n + 1} \longrightarrow 1$$

perché $0 < \frac{1}{x} < 1$. I termini non tendono a 0 e sono positivi: per $x \geq 1$ la serie diverge a $+\infty$.

Per $0 \leq x < 1$ si ha $x^n \to 0$: i termini tendono a 0 e la condizione non decide. Ma $1 + x^n \geq 1$, quindi

$$0 \leq \frac{x^n}{1 + x^n} \leq x^n$$

e la serie geometrica di ragione $x$ converge: per il criterio del confronto converge anche la serie data. In conclusione la serie converge se e solo se $0 \leq x < 1$. Qui la condizione necessaria trova da sola il confine; con $\sum \frac{x^n}{n}$, invece, in $x = 1$ i termini tendono a 0 e la serie diverge lo stesso.

6. Vero o falso

Testo. Di’ se le affermazioni sono vere o false, motivando: (a) se $a_n \to 0$, allora $\sum a_n$ converge; (b) se $a_n$ non tende a 0, allora $\sum a_n$ diverge; (c) se $\sum a_n$ converge, allora $\sum \left(a_n + \frac{1}{n}\right)$ diverge; (d) se $\sum a_n$ converge, allora $\sum a_n^2$ converge; (e) se $a_n > 0$ è decrescente e tende a 0, allora $\sum a_n$ converge.

(a) Falso. È il viceversa della condizione necessaria: la serie armonica è un controesempio.

(b) Falso. La serie non converge, ma può essere irregolare: in $\sum (-1)^n$ le somme parziali saltano tra 1 e 0. Diventa vera se i termini sono positivi.

(c) Vero. Le somme parziali sono $s_n + H_n$, con $s_n \to s$ e $H_n \to +\infty$: tendono a $+\infty$.

(d) Falso. Con $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ la serie converge per Leibniz, ma $a_n^2 = \frac{1}{n}$. È vera se $a_n \geq 0$: siccome $a_n \to 0$, da un certo indice in poi $0 \leq a_n \leq 1$, quindi $a_n^2 \leq a_n$ e basta il confronto.

(e) Falso. $\frac{1}{n}$ è positivo, decrescente e tende a 0, ma la serie diverge. Con i segni alterni le stesse ipotesi bastano: è il criterio di Leibniz.

Altri esercizi su tutti i criteri del capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle serie.

In sintesi

• Condizione necessaria: se $\sum a_n$ converge, allora $a_n \to 0$. Si dimostra con $a_n = s_n - s_{n - 1}$.
• Se $a_n$ tende a $\ell \neq 0$, a $\pm\infty$ o non ha limite, la serie non converge (diverge, se i termini sono positivi). Per $(-1)^n a_n$ si guarda $\lvert a_n \rvert$.
• Se $a_n \to 0$ la condizione non dice niente: servono gli altri criteri.
• La serie armonica diverge: con i blocchi di Oresme $s_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$, con il logaritmo $H_n > \ln(n + 1)$.
• Diverge lentissimamente: $H_n \approx \ln n + \gamma$, con $\gamma \approx 0{,}5772$; per superare 10 servono 12 367 termini.
• Senza i numeri con la cifra 9 converge (circa $22{,}92$); con i soli primi diverge ancora.
• Una torre di $n$ libri può sporgere di $\frac{H_n}{2}$: con 4 libri, più di un libro intero.

Per capire quando una serie converge serve un metodo per confrontarla con serie di cui si conosce già il comportamento. È il tema delle serie a termini positivi e dei criteri del confronto.