Limite di una successione: definizione, successioni convergenti, teoremi ed esercizi

Le successioni sono liste infinite di numeri, e la domanda più importante su una lista infinita è: dove va a finire? I termini di $\frac{1}{n}$ si avvicinano a 0, quelli di $n^2$ crescono senza fermarsi, quelli di $(-1)^n$ saltano avanti e indietro per sempre. Il limite di una successione rende precise queste idee: è la base del capitolo, del numero $e$ e delle serie, e all’esame compare sia nella domanda di teoria sia negli esercizi di verifica. In questa pagina vediamo la definizione con $\varepsilon$ letta a parole, tre verifiche passo passo, le successioni divergenti e irregolari, i teoremi principali con le dimostrazioni, il limite di $q^n$, le radici $n$-esime, il legame con i limiti di funzioni, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: conta solo la coda

Prendiamo $a_n = \frac{n + 1}{n}$, con $n \geq 1$. I termini valgono 2, poi 1,5, poi circa 1,33; per $n = 100$ si arriva a 1,01, per $n = 1000$ a 1,001. La distanza da 1 è $\frac{1}{n}$: nessun termine vale 1, ma da un certo punto in poi tutti i termini sono vicini a 1 quanto vogliamo. I primi termini, anche se fossero un milione, non contano: conta solo la coda della successione.

Successioni convergenti

In simboli:

$$\begin{gathered} \forall \varepsilon > 0\ \ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \\ \forall n > n_\varepsilon,\ \ \lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon \end{gathered}$$

A parole: per ogni tolleranza c’è un indice dopo il quale tutti i termini stanno entro la tolleranza. Siccome

$$\lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon \iff \ell - \varepsilon < a_n < \ell + \varepsilon$$

i termini stanno definitivamente nella striscia orizzontale di semiampiezza $\varepsilon$ attorno a $\ell$. Nella figura, con $\varepsilon = 0{,}1$, i termini di $\frac{n + 1}{n}$ entrano nella striscia dopo $n = 10$ e non ne escono più.

Tre osservazioni chiariscono la definizione.

• Prima viene $\varepsilon$, poi $n_\varepsilon$. L’indice dipende da $\varepsilon$, mai da $n$: più la striscia è sottile, più in là bisogna andare.
• Non serve il miglior $n_\varepsilon$. Se un indice va bene, va bene anche ogni indice più grande: nelle verifiche puoi maggiorare senza paura.
• I primi termini non contano. Cambiando un numero finito di termini il limite non cambia.

È la stessa definizione dei limiti all’infinito delle funzioni, con $x$ che salta da un naturale al successivo.

Come si verifica un limite con la definizione

«Verificare» vuol dire che il valore $\ell$ è già dato. La scaletta:

1. Scrivi la distanza $\lvert a_n - \ell \rvert$ e semplificala.
2. Risolvi $\lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon$ rispetto a $n$; se è difficile, prima maggiora la distanza con qualcosa di più semplice.
3. Scegli $n_\varepsilon$: un naturale da cui in poi la disuguaglianza vale.
4. Controlla con un $\varepsilon$ concreto.

Tre verifiche passo passo

1/n tende a 0. Con $n \geq 1$, la distanza da 0 è $\frac{1}{n}$, e

$$\frac{1}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}$$

Basta un naturale $n_\varepsilon \geq \frac{1}{\varepsilon}$, che esiste per la proprietà di Archimede degli insiemi numerici: per $n > n_\varepsilon$ si ha $\frac{1}{n} < \varepsilon$. Con $\varepsilon = 0{,}1$ va bene $n_\varepsilon = 10$. Anche $\frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$ dista da 1 proprio $\frac{1}{n}$: è il caso della figura.

(2n + 1)/(n + 3) tende a 2. La distanza è

$$\begin{gathered} \left\lvert \frac{2n + 1}{n + 3} - 2 \right\rvert = \left\lvert \frac{2n + 1 - 2n - 6}{n + 3} \right\rvert \\ {} = \frac{5}{n + 3} \end{gathered}$$

e quindi

$$\begin{gathered} \frac{5}{n + 3} < \varepsilon \iff n + 3 > \frac{5}{\varepsilon} \\ {} \iff n > \frac{5}{\varepsilon} - 3 \end{gathered}$$

Va bene qualunque naturale $n_\varepsilon \geq \frac{5}{\varepsilon} - 3$. Con i numeri:

$\varepsilon$	$n_\varepsilon$	primo termine dentro
0,1	47	$a_{48} \approx 1{,}902$
0,01	497	$a_{498} \approx 1{,}990\,02$

Il termine $a_{47} = \frac{95}{50} = 1{,}9$ dista da 2 esattamente $0{,}1$: sta sul bordo, e la disuguaglianza stretta lo esclude. Con $\varepsilon$ dieci volte più piccolo, l’indice diventa circa dieci volte più grande.

(−1)ⁿ/n tende a 0. I termini $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ cambiano segno a ogni passo, ma la distanza da 0 è

$$\left\lvert \frac{(-1)^n}{n} - 0 \right\rvert = \frac{1}{n}$$

e si conclude come per $\frac{1}{n}$. Una successione può convergere saltando da una parte all’altra del limite: la definizione guarda solo la distanza.

Come si dimostra che un numero non è il limite

Negando la definizione, $a_n$ non tende a $\ell$ se

$$\begin{gathered} \exists \varepsilon > 0 : \forall n_\varepsilon\ \ \exists n > n_\varepsilon \\ \text{con } \lvert a_n - \ell \rvert \geq \varepsilon \end{gathered}$$

A parole: per una certa tolleranza, comunque vai avanti, trovi sempre un termine fuori dalla striscia; cioè fuori dalla striscia ci sono infiniti termini. Trovarne uno, o mille, non basta. Per esempio $\frac{1}{n}$ non tende a $0{,}1$: con $\varepsilon = 0{,}05$, per $n > 20$ i termini sono minori di $0{,}05$, quindi distano da $0{,}1$ più di $\varepsilon$.

Successioni divergenti

La soglia $M$ è alta quanto vuoi: da un certo indice in poi tutti i termini la superano. Basta controllare le soglie $M > 0$; e $a_n \to -\infty$ equivale a $-a_n \to +\infty$.

• $n^2 \to +\infty$. $n^2 > M$ appena $n > \sqrt{M}$: per superare un milione basta $n > 1000$.
• $\sqrt{n} \to +\infty$. $\sqrt{n} > M$ se e solo se $n > M^2$, quindi va bene ogni $n_M \geq M^2$. Con $M = 3$ si ha $n_M = 9$, come nella figura.
• $\ln n \to +\infty$. $\ln n > M$ se e solo se $n > e^M$. Ma diverge lentissimamente: per superare 10 serve $n \geq 22\,027$.

Successioni irregolari

Una successione che non converge e non diverge si dice irregolare, o oscillante: il limite non esiste. Convergenti e divergenti, che il limite ce l’hanno, si dicono regolari.

(−1)ⁿ non ha limite. Usiamo la negazione con $\varepsilon = 1$. Qualunque sia $\ell$, per la disuguaglianza triangolare

$$\begin{gathered} 2 = \lvert 1 - (-1) \rvert \\ {} \leq \lvert 1 - \ell \rvert + \lvert \ell - (-1) \rvert \end{gathered}$$

quindi almeno uno tra $1$ e $-1$ dista da $\ell$ almeno 1. Entrambi i valori ricompaiono all’infinito: dopo ogni indice c’è un termine fuori dalla striscia. E non diverge, perché resta sempre tra $-1$ e $1$.

sin n non ha limite, con $n$ in radianti. Qui i valori non si ripetono con uno schema fisso. Se fosse $\sin n \to \ell$ (finito, perché $\sin n$ è limitata), anche $\sin(n + 2) \to \ell$, e con le formule di addizione

$$\begin{gathered} \sin(n + 2) - \sin n = 2\sin 1 \cos(n + 1) \\ {} \to 0 \end{gathered}$$

cioè $\cos n \to 0$, perché $\sin 1 \neq 0$. Allora $\sin(n + 1) = \sin n \cos 1 + \cos n \sin 1 \to \ell \cos 1$, e dovendo essere $\ell \cos 1 = \ell$, con $\cos 1 \neq 1$, viene $\ell = 0$. Ma $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ per ogni $n$, mentre il primo membro tenderebbe a 0: assurdo. Che i valori $\sin n$ passino vicino a ogni numero tra $-1$ e $1$ è vero, ma la dimostrazione, basata sull’irrazionalità di $\pi$, non è elementare.

n(−1)ⁿ è illimitata ma non divergente. I termini $0, -1, 2, -3, 4, \dots$ hanno valore assoluto $n$: la successione è illimitata, quindi non converge. Ma i termini di indice dispari sono negativi e quelli di indice pari positivi: non stanno definitivamente né sopra la soglia 0 né sotto. Non diverge: è irregolare.

Ogni successione è quindi una e una sola di queste tre cose: convergente, divergente oppure irregolare. I casi non si sovrappongono, perché una successione convergente è limitata e una divergente no.

Una sola definizione con gli intorni

I casi diventano uno solo con gli intorni della retta reale estesa $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$, visti negli insiemi numerici. Un intorno di $\ell$ è $(\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon)$, uno di $+\infty$ è $(M, +\infty)$, uno di $-\infty$ è $(-\infty, M)$.

Anche la condizione $n > n_V$ descrive un intorno, quello di $+\infty$: per questo si scrive $n \to +\infty$, l’unico punto verso cui i naturali si accumulano.

I teoremi principali

Valgono gli stessi teoremi sui limiti delle funzioni, con dimostrazioni anche più semplici: se una proprietà vale per $n > n_1$ e un’altra per $n > n_2$, valgono entrambe per $n > \max\{n_1, n_2\}$, il più grande dei due indici.

Unicità del limite

Dimostrazione. Per assurdo sia $\ell_1 < \ell_2$, e prendiamo $\varepsilon = \frac{\ell_2 - \ell_1}{2}$, metà della distanza: le due strisce si toccano solo nel punto medio $m = \frac{\ell_1 + \ell_2}{2}$, escluso da entrambe. Per $n > n_1$ vale $a_n < \ell_1 + \varepsilon = m$, per $n > n_2$ vale $a_n > \ell_2 - \varepsilon = m$: per $n > \max\{n_1, n_2\}$ servirebbe $a_n < m$ e $a_n > m$ insieme, impossibile. Con i limiti infiniti si ragiona allo stesso modo, con intorni disgiunti.

Le successioni convergenti sono limitate

Dimostrazione. Sia $a_n \to \ell$. Con $\varepsilon = 1$ esiste $n_1$ tale che, per $n > n_1$, $\ell - 1 < a_n < \ell + 1$, e quindi $\lvert a_n \rvert < \lvert \ell \rvert + 1$. I termini $a_0, \dots, a_{n_1}$ sono in numero finito, quindi tra i loro valori assoluti c’è un massimo. Con

$$K = \max\bigl\{\lvert a_0 \rvert, \dots, \lvert a_{n_1} \rvert, \lvert \ell \rvert + 1\bigr\}$$

tutti i termini stanno tra $-K$ e $K$.

Il viceversa è falso: $(-1)^n$ è limitata e non converge. Il teorema si usa spesso al contrario: una successione illimitata non converge.

Permanenza del segno

Dimostrazione. Con $\ell$ finito usiamo $\varepsilon = \frac{\ell}{2}$: da un certo indice in poi $a_n > \ell - \frac{\ell}{2} = \frac{\ell}{2} > 0$. Se $a_n \to +\infty$ basta la soglia $M = 0$.

Al contrario, se $a_n \geq 0$ definitivamente e $a_n \to \ell$, allora $\ell \geq 0$: se fosse negativo, i termini lo sarebbero definitivamente. Ma passando al limite $>$ diventa $\geq$: $\frac{1}{n} > 0$, eppure tende a 0. Applicando il risultato a $b_n - a_n$: se $a_n \leq b_n$ definitivamente, $a_n \to \ell$ e $b_n \to m$, allora $\ell \leq m$.

Il teorema del confronto, o dei carabinieri

Un arrestato tra due carabinieri che vanno nello stesso posto ci arriva anche lui. Nota che l’esistenza del limite di $a_n$ è la conclusione del teorema, non un’ipotesi.

Dimostrazione. Fissato $\varepsilon > 0$, la disuguaglianza vale per $n > n_0$, $b_n > \ell - \varepsilon$ per $n > n_1$ e $c_n < \ell + \varepsilon$ per $n > n_2$. Per $n > \max\{n_0, n_1, n_2\}$ vale tutto insieme:

$$\ell - \varepsilon < b_n \leq a_n \leq c_n < \ell + \varepsilon$$

cioè $\lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon$.

Esempio: sin n/n tende a 0. Il limite di $\sin n$ non esiste, quindi la regola del prodotto non si può usare. Ma $-1 \leq \sin n \leq 1$, e dividendo per $n \geq 1$:

$$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$$

I due carabinieri tendono a 0, quindi anche $\frac{\sin n}{n} \to 0$.

Per i limiti infiniti basta un carabiniere solo: se $a_n \geq b_n$ definitivamente e $b_n \to +\infty$, allora $a_n \to +\infty$, perché $b_n > M$ implica $a_n > M$. Per esempio $n + \sin n \geq n - 1$, quindi $n + \sin n \to +\infty$.

Limitata per infinitesima, e il valore assoluto

Una successione che tende a 0 si dice infinitesima. L’esempio di $\frac{\sin n}{n}$ è un caso di una regola generale.

Dimostrazione. Sia $\lvert a_n \rvert \leq K$ per ogni $n$, con $K > 0$. Fissato $\varepsilon$, definitivamente $\lvert b_n \rvert < \frac{\varepsilon}{K}$, quindi $\lvert a_n b_n \rvert \leq K\lvert b_n \rvert < \varepsilon$. Così $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \to 0$ e $\frac{\cos(n^2)}{n + 1} \to 0$, senza fare conti.

Collegato c’è un criterio comodissimo:

$$a_n \to 0 \iff \lvert a_n \rvert \to 0$$

Perché è vero. Le due definizioni chiedono la stessa disuguaglianza, perché $\bigl\lvert \lvert a_n \rvert - 0 \bigr\rvert = \lvert a_n - 0 \rvert$. Ma funziona solo con il limite 0: se $a_n \to \ell$ allora $\lvert a_n \rvert \to \lvert \ell \rvert$, perché $\bigl\lvert \lvert a_n \rvert - \lvert \ell \rvert \bigr\rvert \leq \lvert a_n - \ell \rvert$, mentre il viceversa è falso, perché $\lvert (-1)^n \rvert$ tende a 1 e $(-1)^n$ non ha limite.

Il teorema delle successioni monotone

C’è un caso in cui il limite esiste sempre, anche quando non lo sai calcolare.

In particolare monotona e limitata implica convergente. La dimostrazione, che usa la completezza dei reali, è nelle successioni monotone e il numero di Nepero.

Il limite di qⁿ

Le progressioni geometriche hanno termine generale $a_0 q^n$: tutto dipende da come si comporta $q^n$. Serve una disuguaglianza utilissima.

Perché è vera. Per $n = 0$ e $n = 1$ è un’uguaglianza. Per $n \geq 2$, con il binomio di Newton,

$$\begin{gathered} (1 + h)^n = 1 + nh \\ {} + \frac{n(n - 1)}{2}h^2 + \dots + h^n \\ {} \geq 1 + nh \end{gathered}$$

perché gli addendi dopo i primi due sono tutti $\geq 0$. Vale anche per $-1 \leq h < 0$, come si dimostra per induzione nelle successioni monotone.

Dimostrazione, caso per caso.

• Se $q > 1$, scriviamo $q = 1 + h$ con $h > 0$. Per Bernoulli $q^n \geq 1 + nh$, che supera la soglia $M$ per $n > \frac{M - 1}{h}$: per il confronto, $q^n \to +\infty$. Con $q = 1{,}1$ la stima garantisce $q^n > 1000$ per $n > 9990$, mentre basta $n = 73$: l’indice non è il migliore, ma esiste.
• Se $q = 1$, la successione vale sempre 1.
• Se $0 < \lvert q \rvert < 1$, il numero $p = \frac{1}{\lvert q \rvert}$ è maggiore di 1, quindi $p^n \to +\infty$. Fissato $\varepsilon$, definitivamente $p^n > \frac{1}{\varepsilon}$, cioè $\lvert q^n - 0 \rvert = \lvert q \rvert^n < \varepsilon$. Per $q = 0$ i termini valgono 0 da $n = 1$ in poi.
• Se $q = -1$ è $(-1)^n$, irregolare.
• Se $q < -1$, $\lvert q \rvert^n \to +\infty$: la successione è illimitata, quindi non converge; e il segno si alterna, quindi, come $n(-1)^n$, non diverge. È irregolare.

Anche una base vicina a 1 alla fine crolla: $0{,}9^n < 0{,}01$ da $n = 44$ in poi. In breve: una potenza con base minore di 1 in valore assoluto tende a zero. Lo userai nella serie geometrica e nel criterio del rapporto.

Le radici n-esime tendono a 1

Due risultati che userai spesso, con lo stesso trucco: si scrive la radice come $1 + h_n$ e si dimostra che $h_n \to 0$.

La radice n-esima di un numero fisso

Dimostrazione. Per $a = 1$ è ovvio. Se $a > 1$, anche $\sqrt[n]{a} > 1$: scriviamo $\sqrt[n]{a} = 1 + h_n$, con $h_n > 0$. Per Bernoulli

$$\begin{gathered} a = (1 + h_n)^n \geq 1 + n h_n \\ 0 < h_n \leq \frac{a - 1}{n} \end{gathered}$$

e per i carabinieri $h_n \to 0$. Se $0 < a < 1$, si scrive $\sqrt[n]{a} = \frac{1}{\sqrt[n]{1/a}}$, e il denominatore tende a 1 perché $\frac{1}{a} > 1$. Con $a = 2$, per esempio, $\sqrt[100]{2} \approx 1{,}006\,96$, sotto la stima $1 + \frac{1}{100}$.

La radice n-esima di n

Qui la base cresce con l’indice: $n$ spinge in su, la radice schiaccia verso 1. Vince la radice.

Dimostrazione. Per $n \geq 2$ scriviamo $\sqrt[n]{n} = 1 + h_n$, con $h_n > 0$. Bernoulli non basta, perché darebbe solo $h_n \leq \frac{n - 1}{n}$; teniamo allora il terzo addendo del binomio e tralasciamo gli altri, tutti positivi:

$$\begin{gathered} n = (1 + h_n)^n \geq \frac{n(n - 1)}{2}\,h_n^2 \\ h_n^2 \leq \frac{2}{n - 1} \end{gathered}$$

Quindi $0 < h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n - 1}}$, e per i carabinieri $h_n \to 0$. I numeri, con la stima dall’alto $1 + \sqrt{\frac{2}{n - 1}}$:

$n$	$\sqrt[n]{n}$	stima dall’alto
10	1,2589	1,4714
100	1,0471	1,1421
1000	1,0069	1,0447
1 000 000	1,000 014	1,0014

L’avvicinamento è lento, e all’inizio la successione sale: vale $1$, poi $\sqrt{2} \approx 1{,}414$, poi $\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442$, il massimo, e da lì scende verso 1.

Lo stesso vale per molte altre radici. Da $n^2 \leq n^2 + 1 \leq 2n^2$ segue

$$\begin{gathered} \bigl(\sqrt[n]{n}\bigr)^2 \leq \sqrt[n]{n^2 + 1} \\ {} \leq \sqrt[n]{2}\,\bigl(\sqrt[n]{n}\bigr)^2 \end{gathered}$$

e i due carabinieri tendono a 1 per i due teoremi appena visti: anche $\sqrt[n]{n^2 + 1} \to 1$.

Dalle successioni alle funzioni

I limiti di successioni e di funzioni sono collegati dal criterio con le successioni, dimostrato nell’articolo sui limiti.

Con $x_n = n$ diventa il teorema ponte: se $f(x) \to L$ per $x \to +\infty$, allora $f(n) \to L$, e i limiti di successioni si calcolano con gli strumenti delle funzioni, come nel calcolo dei limiti di successioni. Il viceversa è falso: $\sin(\pi n) = 0$ per ogni $n$, ma $\sin(\pi x)$ non ha limite per $x \to +\infty$. E due successioni $x_n \to x_0$ su cui $f$ ha limiti diversi dimostrano che il limite di $f$ non esiste.

Un po’ di storia

Nel 1821 Augustin-Louis Cauchy, nel Cours d’analyse, definì il limite a parole, proprio con una successione di valori: quando i valori attribuiti successivamente a una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fisso, fino a differirne «poco quanto si vuole», quel valore è il loro limite. La forma con $\varepsilon$ e i quantificatori si attribuisce di solito a Karl Weierstrass, che la usava nelle lezioni a Berlino: gli appunti di un suo corso del 1861, presi da uno studente, contengono già la continuità con $\varepsilon$ e $\delta$. Weierstrass pubblicò poco, e le sue idee si diffusero con gli appunti degli allievi.

Gli errori più comuni

• Scegliere un $n_\varepsilon$ che dipende da $n$. L’indice dipende solo da $\varepsilon$, e deve andare bene per tutti gli $n$ successivi.
• Dimenticare il «definitivamente». Non basta che mille termini siano vicini al limite: devono esserlo tutti da un certo indice in poi.
• Credere che limitata voglia dire convergente. $(-1)^n$ è limitata e irregolare.
• Credere che illimitata voglia dire divergente. $n(-1)^n$ è illimitata ma irregolare: per divergere i termini devono superare definitivamente ogni soglia.
• Dedurre un limite positivo da termini positivi. Passando al limite $>$ diventa $\geq$: $\frac{1}{n} > 0$, ma tende a 0.
• Usare la regola del prodotto con un fattore senza limite. Per $\frac{\sin n}{n}$ servono i carabinieri.
• Pensare che una successione convergente sia monotona. $\frac{(-1)^n}{n}$ converge saltando, $\sqrt[n]{n}$ prima sale e poi scende.
• Sbagliare i casi di qⁿ con base negativa. Con $-1 < q < 0$ la potenza tende a 0; con $q \leq -1$ non ha limite, nemmeno infinito.

Esercizi svolti

1. Verifica con la definizione

Testo. Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 3}{n^2 + 1} = 0$ e trova un indice da cui in poi i termini sono minori di $0{,}01$.

La successione è positiva: la distanza da 0 è la successione stessa. Invece di risolvere una disequazione di secondo grado, maggioriamo: per $n \geq 1$ vale $n + 3 \leq 4n$ e $n^2 + 1 > n^2$, quindi

$$\frac{n + 3}{n^2 + 1} < \frac{4n}{n^2} = \frac{4}{n}$$

e $\frac{4}{n} < \varepsilon$ per $n > \frac{4}{\varepsilon}$. Basta un naturale $n_\varepsilon \geq \frac{4}{\varepsilon}$: per $n > n_\varepsilon$ la distanza è minore di $\frac{4}{n}$, che è minore di $\varepsilon$. Il limite è verificato.

Con $\varepsilon = 0{,}01$ si ha $n_\varepsilon = 400$: i termini sono sotto $0{,}01$ da $n = 401$ in poi. La disequazione esatta, $n^2 - 100n - 299 > 0$, darebbe già $n \geq 103$: la maggiorazione costa un indice più grande, ma la definizione ne chiede uno qualunque.

2. Una successione che non converge

Testo. Dimostra con la negazione della definizione che $a_n = (-1)^n \frac{n}{n + 1}$ non ha limite.

I primi termini sono $0, -\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$ Per $n \geq 1$, siccome $\frac{n}{n + 1}$ cresce con $n$:

• se $n$ è pari, $a_n = \frac{n}{n + 1} \geq \frac{2}{3}$;
• se $n$ è dispari, $a_n = -\frac{n}{n + 1} \leq -\frac{1}{2}$.

Quindi un termine di indice pari e uno di indice dispari distano almeno $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$. Fissiamo un qualunque $\ell$ e prendiamo $\varepsilon = \frac{1}{2}$. Comunque si scelga $n_\varepsilon$, prendiamo un indice pari $p$ e uno dispari $d$, entrambi maggiori di $n_\varepsilon$. Se stessero tutti e due nella striscia attorno a $\ell$, per la disuguaglianza triangolare

$$\begin{gathered} \lvert a_p - a_d \rvert \leq \lvert a_p - \ell \rvert + \lvert \ell - a_d \rvert \\ {} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{gathered}$$

contro $\lvert a_p - a_d \rvert \geq \frac{7}{6}$. Quindi dopo ogni indice c’è un termine fuori dalla striscia, e $a_n$ non tende a $\ell$. Siccome $\ell$ era qualunque, la successione non converge; e non diverge, perché $\lvert a_n \rvert < 1$. È irregolare. Più in fretta: le sottosuccessioni dei pari e dei dispari tendono a 1 e a $-1$.

3. I carabinieri con una somma

Testo. Calcola il limite della successione

$$\begin{gathered} a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} \\ {} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \end{gathered}$$

Gli addendi sono $n$, sempre di più: non si passa al limite addendo per addendo, anche se ognuno tende a 0. Confrontiamo ogni addendo con il più piccolo e con il più grande: il denominatore cresce con $k$, quindi per $k = 1, \dots, n$

$$\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$$

Sommando gli $n$ addendi:

$$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \leq a_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}$$

Raccogliendo $n^2$ sotto radice, $\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \to 1$ e $\frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} \to 1$. Per i carabinieri $a_n \to 1$. Con $n = 100$ la somma vale circa $0{,}997\,5$, compresa tra $0{,}995\,0$ e $0{,}999\,95$.

4. Una potenza con un parametro

Testo. Al variare di $x \neq -1$, studia il limite di $\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^n$.

È $q^n$ con $q = \frac{x - 1}{x + 1}$: basta capire dove sta $q$ rispetto a $-1$ e a 1.

• $\lvert q \rvert < 1$ significa $\lvert x - 1 \rvert < \lvert x + 1 \rvert$: $x$ è più vicino a 1 che a $-1$, cioè $x > 0$. Lì $q^n \to 0$.
• $q > 1$ significa $\frac{x - 1}{x + 1} - 1 = \frac{-2}{x + 1} > 0$, cioè $x < -1$. Lì $q^n \to +\infty$.
• $q = -1$ significa $x - 1 = -x - 1$, cioè $x = 0$: la successione è $(-1)^n$.
• $q < -1$ significa $\frac{x - 1}{x + 1} + 1 = \frac{2x}{x + 1} < 0$, cioè $-1 < x < 0$: irregolare.
• $q = 1$ non succede mai, perché $x - 1 \neq x + 1$.

Riassumendo: il limite è $0$ per $x > 0$ (con $x = 3$, per esempio, $q = \frac{1}{2}$), è $+\infty$ per $x < -1$ (con $x = -3$, $q = 2$) e non esiste per $-1 < x \leq 0$ (con $x = -\frac{1}{2}$, $q = -3$).

5. La radice n-esima di una somma

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n \cdot 3^n + 2^n}$.

Per $n \geq 1$ vale $2^n \leq 3^n \leq n \cdot 3^n$, quindi

$$n \cdot 3^n \leq n \cdot 3^n + 2^n \leq 2n \cdot 3^n$$

La radice $n$-esima è crescente, e $\sqrt[n]{n \cdot 3^n} = 3\sqrt[n]{n}$:

$$3\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n \cdot 3^n + 2^n} \leq 3\sqrt[n]{2}\,\sqrt[n]{n}$$

Per i due teoremi sulle radici, $\sqrt[n]{n} \to 1$ e $\sqrt[n]{2} \to 1$: entrambi i carabinieri tendono a 3, e il limite è 3. Il fattore $n$ non cambia il limite, ma rallenta l’avvicinamento: il termine vale circa $3{,}78$ per $n = 10$ e $3{,}021$ per $n = 1000$. Con lo stesso confronto $\sqrt[n]{a^n + b^n}$, con $a, b > 0$, tende al più grande tra $a$ e $b$, come nel calcolo dei limiti di successioni.

6. Limitata o convergente?

Testo. Vero o falso? Giustifica ogni risposta.

1. Ogni successione convergente è limitata.
2. Ogni successione limitata è convergente.
3. Ogni successione illimitata è divergente.
4. Se $a_n b_n \to 0$, allora $a_n \to 0$ oppure $b_n \to 0$.
5. Ogni successione crescente e limitata è convergente.

1. Vero. È il teorema sulla limitatezza: la coda sta tra $\ell - 1$ e $\ell + 1$, e i termini prima sono in numero finito.

2. Falso. $(-1)^n$ è limitata ma irregolare.

3. Falso. $n(-1)^n$ è illimitata, ma cambia segno a ogni passo: non diverge né a $+\infty$ né a $-\infty$.

4. Falso. Con $a_n = 1 + (-1)^n$, cioè $2, 0, 2, 0, \dots$, e $b_n = 1 - (-1)^n$, cioè $0, 2, 0, 2, \dots$, il prodotto è $1 - (-1)^{2n} = 0$ per ogni $n$, ma nessuna delle due tende a 0.

5. Vero. Per il teorema delle successioni monotone il limite è l’estremo superiore, finito perché la successione è limitata. Convergente implica limitata, ma per tornare indietro serve la monotonia.

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle successioni.

In sintesi

• $a_n \to \ell$: per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $n_\varepsilon$ tale che $\lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon$ per ogni $n > n_\varepsilon$.
• $a_n \to +\infty$: per ogni $M$, definitivamente $a_n > M$. Ogni successione è convergente, divergente oppure irregolare.
• $\ell$ non è il limite se, per un certo $\varepsilon$, infiniti termini sono fuori dalla striscia.
• Il limite è unico; convergente implica limitata, non il viceversa; valgono permanenza del segno e carabinieri; limitata per infinitesima tende a 0; una monotona ha sempre limite.
• $q^n \to +\infty$ per $q > 1$, $q^n \to 0$ per $\lvert q \rvert < 1$, nessun limite per $q \leq -1$.
• $\sqrt[n]{a} \to 1$ per ogni $a > 0$, e $\sqrt[n]{n} \to 1$.
• Criterio con le successioni: $f(x) \to L$ per $x \to x_0$ se e solo se $f(x_n) \to L$ per ogni $x_n \to x_0$ con $x_n \neq x_0$.

Verificare un limite con la definizione è istruttivo ma lento. Nel prossimo articolo vediamo come calcolarlo in fretta, riciclando tutto quello che sai sulle funzioni: il calcolo dei limiti di successioni.