Successioni monotone e numero di Nepero: teorema, dimostrazioni ed esercizi svolti

Per sapere se una successione converge non sempre serve calcolare il limite: a volte basta guardare come si muove. Una successione che sale sempre ma non può superare un tetto deve per forza fermarsi da qualche parte. È l’idea del teorema delle successioni monotone, uno dei risultati più usati del capitolo sulle successioni: all’esame serve per le successioni per ricorrenza e, soprattutto, per dimostrare che il numero di Nepero esiste davvero. In questa pagina vediamo l’enunciato completo, la dimostrazione con l’estremo superiore, perché nei razionali il teorema è falso, i metodi per dimostrare monotonia e limitatezza, la prova che $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ converge a $e$, la tenaglia che stringe $e$ da sopra e da sotto, il limite di $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: salire senza superare un tetto

Prendi un bicchiere vuoto e versa ogni volta metà dell’acqua che manca per arrivare all’orlo. Il livello sale: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$, e così via, cioè $a_n = 1 - \frac{1}{2^n}$. Non trabocca mai e non torna indietro: si avvicina per forza a un valore preciso, l’orlo, cioè 1.

Il valore a cui si avvicina non è un tetto qualsiasi, ma il tetto più basso. Anche 2 è un tetto, perché nessun termine supera 2, ma il limite è 1. Il più piccolo dei maggioranti si chiama estremo superiore: è lui il protagonista del teorema.

Il teorema delle successioni monotone

Ricorda che una successione è crescente se $a_{n + 1} \geq a_n$ per ogni $n$, decrescente se $a_{n + 1} \leq a_n$ per ogni $n$; in entrambi i casi si dice monotona.

Tre conseguenze da tenere a mente:

• Una successione monotona non è mai irregolare: o converge o diverge.
• Per una successione monotona, convergere equivale a essere limitata.
• Basta la monotonia definitiva. Se la successione è crescente solo da un indice $n_0$ in poi, il limite esiste lo stesso, perché i primi termini non contano; però è l’estremo superiore dei termini da $n_0$ in poi, non per forza di tutti.

Il teorema garantisce che il limite esiste anche quando non sai calcolarlo: così si può dare un nome a un numero, come $e$, prima ancora di saperlo calcolare.

La dimostrazione

Crescente e limitata superiormente

L’insieme dei termini $\{a_n\}$ non è vuoto ed è limitato superiormente, quindi per l’assioma di completezza ha un estremo superiore reale $L$. Dobbiamo dimostrare che $a_n \to L$ con la definizione di limite: per ogni $\varepsilon > 0$, da un certo indice in poi $\lvert a_n - L \rvert < \varepsilon$. Fissa $\varepsilon > 0$ e usa le due proprietà del sup:

1. $L$ è un maggiorante: $a_n \leq L$ per ogni $n$.
2. $L - \varepsilon$ non è un maggiorante: c’è almeno un termine $a_{n_\varepsilon} > L - \varepsilon$.

Ora entra in gioco la monotonia: i termini che vengono dopo $a_{n_\varepsilon}$ non sono più piccoli di lui. Quindi:

$$\begin{gathered} L - \varepsilon < a_{n_\varepsilon} \leq a_n \leq L \\ \text{per ogni } n > n_\varepsilon \end{gathered}$$

Da $n_\varepsilon$ in poi tutti i termini distano da $L$ meno di $\varepsilon$: quindi $a_n \to L$.

Nella figura nessun termine supera $L$, e appena uno entra nella fascia tra $L - \varepsilon$ e $L$ tutti i successivi restano lì, perché la successione non può scendere. Se restringi la fascia, $n_\varepsilon$ si sposta a destra, ma esiste sempre.

Crescente e non limitata

Se la successione non è limitata superiormente, nessun numero $M$ è un maggiorante: per ogni $M$ c’è un termine $a_{n_M} > M$, e per la monotonia anche tutti i termini successivi sono maggiori di $M$. È la definizione di $a_n \to +\infty$.

Decrescente

Se $(a_n)$ è decrescente, la successione $(-a_n)$ è crescente: basta applicare i casi precedenti a $-a_n$, ricordando che $\sup\{-a_n\} = -\inf\{a_n\}$.

È la versione per le successioni di un risultato che hai visto per le funzioni: anche le funzioni monotone hanno sempre limite.

Perché serve la completezza dei reali

La dimostrazione si regge sull’esistenza del sup. Nei numeri razionali questa manca, e il teorema è falso. Prendi le approssimazioni decimali di $\sqrt{2}$:

$$1;\ \ 1{,}4;\ \ 1{,}41;\ \ 1{,}414;\ \ 1{,}4142;\ \ \dots$$

Sono tutti numeri razionali, la successione è crescente e nessun termine supera 2. Ma il numero a cui si avvicina, $\sqrt{2}$, non è razionale: un limite razionale $q$ sarebbe anche il limite nei reali, e per l’unicità sarebbe $q = \sqrt{2}$, impossibile. Dentro $\mathbb{Q}$ questa successione monotona e limitata non ha limite.

Lo stesso succede alla successione più importante di questa pagina: ogni termine $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{(n + 1)^n}{n^n}$ è una frazione, ma il limite $e$ è irrazionale. I reali sono i razionali «senza buchi», ed è questo che fa funzionare il teorema.

Come si dimostra che una successione è monotona

Il teorema chiede due ipotesi, monotonia e limitatezza. Ecco gli strumenti per verificarle.

1. Il segno della differenza. Se $a_{n + 1} - a_n \geq 0$ per ogni $n$ la successione è crescente, se è $\leq 0$ è decrescente. Per $a_n = \frac{n - 1}{n + 1}$:

$$\begin{gathered} a_{n + 1} - a_n = \frac{n}{n + 2} - \frac{n - 1}{n + 1} \\ {} = \frac{n(n + 1) - (n - 1)(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} \\ {} = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)} > 0 \end{gathered}$$

È la successione della figura qui sopra: strettamente crescente.

2. Il rapporto con 1, per termini positivi. Se $a_n > 0$, si confronta $\frac{a_{n + 1}}{a_n}$ con 1: se è $\geq 1$ la successione cresce, se è $\leq 1$ decresce. È comodo con potenze e fattoriali. Per $a_n = \frac{n}{2^n}$:

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n + 1}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n + 1}{2n}$$

che è $\leq 1$ perché $n + 1 \leq 2n$ per $n \geq 1$: la successione è decrescente. Con termini negativi il confronto si rovescia.

3. La funzione associata. Se $a_n = f(n)$, con $f$ derivabile e $f'(x) \geq 0$ per ogni $x \geq n_0$, allora $f$ è crescente su $[n_0, +\infty)$, quindi $f(n + 1) \geq f(n)$: la successione è crescente da $n_0$ in poi. Per $a_n = \frac{\ln n}{n}$ si usa $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, con

$$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

che è negativa per $x > e$: la successione è decrescente da $n = 3$ in poi. Il viceversa non vale: $\sin(\pi n)$ vale sempre 0, quindi è costante, anche se la funzione $\sin(\pi x)$ oscilla.

4. L’induzione. Per le successioni definite da una regola $a_{n + 1} = f(a_n)$ non c’è una formula da derivare: monotonia e limitatezza si dimostrano per induzione, come nell’esercizio 6 e nelle successioni definite per ricorrenza.

E per la limitatezza

• Una stima diretta: $\frac{n - 1}{n + 1} < 1$, perché il numeratore è minore del denominatore.
• La monotonia regala metà del lavoro: una successione crescente è limitata inferiormente dal primo termine, una decrescente superiormente. Basta trovare il tetto se cresce, il pavimento se decresce.
• Il confronto con qualcosa di noto, come una somma geometrica: è il trucco che useremo per $e$.
• L’induzione, per le successioni per ricorrenza.

La scaletta

1. Calcola i primi termini: ti dicono se la successione sale o scende, e verso dove.
2. Dimostra la monotonia, anche solo da un certo indice in poi.
3. Dimostra la limitatezza dalla parte giusta: dall’alto se cresce, dal basso se decresce.
4. Applica il teorema: la successione converge (se non è limitata, diverge).
5. Trova il valore del limite a parte: con il calcolo dei limiti, oppure passando al limite in una relazione tra $a_{n + 1}$ e $a_n$.

La successione che definisce e

Ora la parte più bella. Studiamo

$$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \quad n \geq 1$$

I primi valori sono $a_1 = 2$, $a_2 = 2{,}25$, $a_3 \approx 2{,}370$: sembra crescere. Attenzione all’intuizione «la base tende a 1, quindi tutto tende a 1»: è una forma indeterminata $1^\infty$, e il limite non è 1. Per dimostrare che esiste serve il binomio di Newton.

Lo strumento: il binomio di Newton

$$\begin{gathered} (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,a^{n - k}\,b^k \\ \text{con} \quad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!} \end{gathered}$$

Per esempio $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: i coefficienti $1, 3, 3, 1$ sono una riga del triangolo di Tartaglia.

L’addendo k-esimo, riscritto

Con $a = 1$ e $b = \frac{1}{n}$:

$$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k}$$

Semplificando i fattoriali, $\binom{n}{k} = \frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{k!}$: al numeratore ci sono $k$ fattori, tanti quanti gli $n$ di $n^k$. Abbinandoli uno a uno:

$$\begin{gathered} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \\ {} = \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdots \frac{n - k + 1}{n} \\ {} = \frac{1}{k!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) \\ \cdots\left(1 - \frac{k - 1}{n}\right) \end{gathered}$$

Per $k = 0$ e $k = 1$ l’addendo vale 1, perché non ci sono parentesi. Quindi

$$\begin{gathered} a_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) \\ {} + \frac{1}{3!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) + \dots \end{gathered}$$

fino all’addendo con $k = n$. Controllo con $n = 3$: la somma è $1 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{27} = \frac{64}{27}$, proprio $\left(\frac{4}{3}\right)^3$.

È crescente

Passa da $n$ a $n + 1$ e confronta le due somme addendo per addendo.

• Ogni fattore $\left(1 - \frac{j}{n}\right)$ diventa $\left(1 - \frac{j}{n + 1}\right)$, che è più grande, perché a 1 si toglie una quantità più piccola. Tutti i fattori sono positivi (perché $j < n$), quindi anche il loro prodotto cresce: ogni addendo di $a_{n + 1}$ è maggiore o uguale al corrispondente di $a_n$.
• La somma di $a_{n + 1}$ ha un addendo in più, quello con $k = n + 1$, che è positivo.

Quindi $a_{n + 1} > a_n$: la successione è strettamente crescente.

È limitata da 3

Ogni parentesi è compresa tra 0 e 1, quindi l’addendo $k$-esimo è al massimo $\frac{1}{k!}$:

$$a_n \leq 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!}$$

Poi si confronta il fattoriale con le potenze di 2: nel prodotto $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k$ ci sono $k - 1$ fattori, da 2 a $k$, tutti maggiori o uguali a 2, quindi $k! \geq 2^{k - 1}$. Sostituendo e usando la somma geometrica di ragione $\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} a_n \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} \\ {} = 1 + 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) \\ {} < 3 \end{gathered}$$

Conclusione: il numero e

La successione è crescente e limitata superiormente: per il teorema delle successioni monotone converge, e il limite è il suo estremo superiore. Questo numero si chiama, per definizione, numero di Nepero.

Sappiamo già che $2{,}25 = a_2 < e \leq 3$: il limite supera ogni termine, perché la successione cresce strettamente, e non supera 3, perché nessun termine lo supera.

Un po’ di storia

È lo stesso ragionamento di Jacob Bernoulli, che nel 1683, studiando l’interesse composto, si chiese a cosa tendesse $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ e con il binomio di Newton dimostrò che il limite sta tra 2 e 3. La lettera $e$ si deve a Eulero, che la usa già in una lettera a Christian Goldbach del 1731; nel 1748, nell’Introductio in analysin infinitorum, Eulero mostrò che il limite coincide con la somma dei reciproci dei fattoriali e calcolò $e$ con 23 decimali. La storia completa è nella pagina sul numero di Nepero.

Un’altra strada: la disuguaglianza di Bernoulli

C’è una dimostrazione più corta della crescita, che serve anche nella prossima sezione.

Nel limite di una successione l’abbiamo vista per $h > 0$; qui serve anche con $h$ negativo. Perché è vera. Per induzione: con $n = 1$ è un’uguaglianza; se vale per $n$, moltiplichi per $1 + h \geq 0$, che non cambia il verso:

$$\begin{gathered} (1 + h)^{n + 1} \geq (1 + nh)(1 + h) \\ {} = 1 + (n + 1)h + nh^2 \\ {} \geq 1 + (n + 1)h \end{gathered}$$

e l’ultimo passaggio è stretto se $h \neq 0$.

Ora il rapporto tra due termini consecutivi di $a_n$, per $n \geq 2$. Scrivendo $\left(\frac{n - 1}{n}\right)^{n - 1} = \left(\frac{n - 1}{n}\right)^n \cdot \frac{n}{n - 1}$, le due potenze hanno lo stesso esponente:

$$\begin{gathered} \frac{a_n}{a_{n - 1}} = \left(\frac{n + 1}{n}\right)^n \left(\frac{n - 1}{n}\right)^{n - 1} \\ {} = \left(\frac{n^2 - 1}{n^2}\right)^n \cdot \frac{n}{n - 1} \\ {} = \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n \cdot \frac{n}{n - 1} \end{gathered}$$

Con Bernoulli e $h = -\frac{1}{n^2}$:

$$\begin{gathered} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n > 1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n} \\ \text{quindi} \quad \frac{a_n}{a_{n - 1}} > \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n}{n - 1} = 1 \end{gathered}$$

La crescita è dimostrata; la limitatezza arriva dalla prossima successione.

Stringere il numero e da sopra e da sotto

Aggiungi 1 all’esponente: $b_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$. Questa successione è decrescente. Con lo stesso trucco, per $n \geq 2$:

$$\begin{gathered} \frac{b_{n - 1}}{b_n} = \left(\frac{n}{n - 1}\right)^n \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n + 1} \\ {} = \left(\frac{n^2}{n^2 - 1}\right)^n \cdot \frac{n}{n + 1} \\ {} = \left(1 + \frac{1}{n^2 - 1}\right)^n \cdot \frac{n}{n + 1} \end{gathered}$$

e con Bernoulli, questa volta con $h = \frac{1}{n^2 - 1} > 0$:

$$\begin{gathered} \left(1 + \frac{1}{n^2 - 1}\right)^n > 1 + \frac{n}{n^2 - 1} \\ {} > 1 + \frac{n}{n^2} = \frac{n + 1}{n} \end{gathered}$$

Quindi $\frac{b_{n - 1}}{b_n} > \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n}{n + 1} = 1$, cioè $b_n < b_{n - 1}$.

Siccome $b_n = a_n\left(1 + \frac{1}{n}\right)$, si ha $a_n < b_n$ e $b_n \to e \cdot 1 = e$. Una sale, l’altra scende, verso lo stesso numero: $e$ è stretto in mezzo, per ogni $n$:

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$$

Questo dà la limitatezza di $a_n$ senza binomio, $a_n < b_n \leq b_1 = 4$, e con $n = 5$ mostra che $e < b_5 \approx 2{,}986$, quindi $e < 3$. Ecco alcuni valori calcolati al computer:

$n$	$a_n$ (da sotto)	$b_n$ (da sopra)
$1$	$2$	$4$
$10$	$2{,}5937$	$2{,}8531$
$100$	$2{,}7048$	$2{,}7319$
$1000$	$2{,}7169$	$2{,}7196$
$10^6$	$2{,}718\,280$	$2{,}718\,283$

La tenaglia si chiude, ma lentamente: la sua larghezza è $b_n - a_n = \frac{a_n}{n} < \frac{3}{n}$, e l’errore $e - a_n$ è circa la metà, intorno a $\frac{e}{2n}$. Con $n = 1000$ si hanno solo due decimali giusti, con un milione appena cinque. Questa successione serve a definire $e$, non a calcolarlo.

Il numero e come somma dei reciproci dei fattoriali

Nella dimostrazione con il binomio è comparsa la somma

$$s_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!}$$

Anche $s_n$ è crescente, perché a ogni passo si aggiunge un numero positivo, ed è minore di 3, come abbiamo visto con le potenze di 2. Quindi converge, e proprio a $e$.

Perché è vero. Da $a_n \leq s_n$ segue, passando al limite, $e \leq \lim s_n$. Per l’altra disuguaglianza fissa un intero $m$ e prendi $n > m$: nello sviluppo di $a_n$ tieni solo gli addendi fino a $k = m$; quelli scartati sono positivi, quindi

$$\begin{gathered} a_n \geq 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \dots \\ {} + \frac{1}{m!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{m - 1}{n}\right) \end{gathered}$$

Con $m$ fisso e $n \to +\infty$ ogni parentesi tende a 1, e la somma, che ha un numero fisso di addendi, tende a $s_m$. Quindi $e \geq s_m$ per ogni $m$, e anche $e \geq \lim s_m$. In conclusione:

$$e = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots$$

È una serie, una somma di infiniti addendi, come quelle che studierai nelle serie numeriche. Al contrario di $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, converge velocissima: con gli 11 addendi fino a $\frac{1}{10!}$ si ottiene $2{,}718\,281\,8$, con sette decimali giusti. È anche lo sviluppo di Taylor di $e^x$ calcolato in $x = 1$.

Le generalizzazioni

Al posto di n, qualunque successione che va all’infinito

Nota che $c_n$ può non essere intero, per esempio $c_n = \sqrt{n}$.

Perché è vero. Da un certo indice in poi $c_n \geq 1$. Sia $k_n$ la parte intera di $c_n$: $k_n \leq c_n < k_n + 1$, e anche $k_n \to +\infty$. Le basi sono maggiori di 1, quindi rimpicciolendo base ed esponente la potenza diminuisce, ingrandendoli aumenta:

$$\begin{gathered} \left(1 + \frac{1}{k_n + 1}\right)^{k_n} \\ {} \leq \left(1 + \frac{1}{c_n}\right)^{c_n} \\ {} \leq \left(1 + \frac{1}{k_n}\right)^{k_n + 1} \end{gathered}$$

A destra c’è $b_{k_n}$, a sinistra $a_{k_n + 1}$ diviso per $1 + \frac{1}{k_n + 1}$: gli indici $k_n$ sono interi che vanno all’infinito, quindi entrambi tendono a $e$. Per i carabinieri anche la potenza in mezzo tende a $e$.

Il limite di (1 + x/n) alla n

Con $x > 0$ e $c_n = \frac{n}{x} \to +\infty$:

$$\begin{gathered} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \left[\left(1 + \frac{1}{c_n}\right)^{c_n}\right]^x \\ {} \to e^x \end{gathered}$$

perché la parentesi quadra tende a $e$ e la potenza $t^x$ è continua in $t$. Per $x = 0$ entrambi i membri valgono 1; per $x < 0$ il risultato è lo stesso, e lo ottieni dal limite notevole $\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x \to e^a$ con il teorema ponte. Quindi, per ogni $x$ reale:

$$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$$

Al crescere di $n$ le curve si avvicinano al grafico di $e^x$ senza mai superarlo, almeno per $x \geq -n$ (quindi in tutta la figura). È la formula dell’interesse composto: un capitale al tasso annuo $x$, capitalizzato $n$ volte all’anno, in un anno si moltiplica per $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$; con capitalizzazione continua, per $e^x$ (vedi il numero di Nepero).

La regola pratica. Se $c_n \to +\infty$ e $\frac{d_n}{c_n} \to \ell$, con $\ell$ numero reale, allora

$$\begin{gathered} \left(1 + \frac{1}{c_n}\right)^{d_n} = \left[\left(1 + \frac{1}{c_n}\right)^{c_n}\right]^{\frac{d_n}{c_n}} \\ {} \to e^\ell \end{gathered}$$

È la versione per le successioni della forma $1^\infty$ che trovi nei limiti notevoli.

Gli errori più comuni

• Dire che il limite è il tetto trovato. Se dimostri $a_n < 3$, il limite non è 3: è l’estremo superiore, che può essere più piccolo, come $e \approx 2{,}718$.
• Pensare che una successione limitata converga sempre. $(-1)^n$ è limitata e non ha limite. Senza monotonia, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, è garantita solo l’esistenza di una sottosuccessione convergente.
• Pensare che una successione convergente sia monotona. $\frac{(-1)^n}{n}$ tende a 0 saltando da una parte all’altra: il teorema non si inverte.
• Calcolare il limite prima di sapere che esiste. Passare al limite in $a_{n + 1} = f(a_n)$ dà solo i candidati: se la successione non converge, quel numero non vuol dire niente.
• Usare il rapporto con termini negativi. Il confronto di $\frac{a_{n + 1}}{a_n}$ con 1 funziona solo per termini positivi.
• Dire che $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ tende a 1 perché la base tende a 1. È una forma $1^\infty$: l’esponente va all’infinito, e il risultato è $e$.
• Usare $e$ quando l’esponente non sta al passo. Il limite è $e$ solo se l’esponente si comporta come il denominatore: $\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^n \to 1$, mentre $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} \to +\infty$.

Esercizi svolti

1. Una frazione che sale verso 1

Testo. Dimostra che $a_n = \frac{n^2}{n^2 + 1}$, con $n \geq 0$, è crescente e limitata, e trova il limite e l’estremo superiore.

Conviene riscrivere la frazione aggiungendo e togliendo 1 al numeratore:

$$a_n = \frac{n^2 + 1 - 1}{n^2 + 1} = 1 - \frac{1}{n^2 + 1}$$

Ora la differenza è semplice:

$$\begin{gathered} a_{n + 1} - a_n = \frac{1}{n^2 + 1} - \frac{1}{(n + 1)^2 + 1} \\ {} = \frac{2n + 1}{(n^2 + 1)\left[(n + 1)^2 + 1\right]} > 0 \end{gathered}$$

perché $\left[(n + 1)^2 + 1\right] - (n^2 + 1) = 2n + 1$. La successione è strettamente crescente, ed è limitata: $0 = a_0 \leq a_n < 1$. Per il teorema converge, e siccome $\frac{1}{n^2 + 1} \to 0$, il limite è 1. Essendo crescente, il limite è anche l’estremo superiore: $\sup\{a_n\} = 1$, mai raggiunto, quindi non c’è massimo.

2. Limiti del tipo (1 + k/n) alla n

Testo. Calcola, per $n \to +\infty$, il limite di: (a) $\left(1 + \frac{3}{n}\right)^n$; (b) $\left(1 - \frac{2}{n}\right)^n$; (c) $\left(\frac{n}{n + 1}\right)^n$; (d) $\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{3n}$.

(a) È la formula $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x$ con $x = 3$: il limite è $e^3 \approx 20{,}1$.

(b) Stessa formula con $x = -2$: il limite è $e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx 0{,}135$.

(c) La base non è scritta come $1 + \frac{x}{n}$, ma basta capovolgerla:

$$\left(\frac{n}{n + 1}\right)^n = \frac{1}{\left(\frac{n + 1}{n}\right)^n} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}$$

Il denominatore tende a $e$, quindi il limite è $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$.

(d) Per le proprietà delle potenze:

$$\begin{gathered} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{3n} = \left[\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n\right]^3 \\ {} \to \left(e^2\right)^3 = e^6 \end{gathered}$$

Il numero al numeratore finisce all’esponente di $e$, e una costante davanti a $n$ nell’esponente lo moltiplica.

3. Fattoriale contro potenza

Testo. Dimostra che $c_n = \frac{n!}{n^n}$, con $n \geq 1$, è decrescente e trova il suo limite.

I termini sono positivi, quindi usiamo il rapporto. Ricordando che $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$:

$$\begin{gathered} \frac{c_{n + 1}}{c_n} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \\ {} = \frac{(n + 1)\,n^n}{(n + 1)^{n + 1}} = \frac{n^n}{(n + 1)^n} \\ {} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} \end{gathered}$$

Al denominatore c’è proprio la successione che definisce $e$, che è crescente e parte da 2: il rapporto è al massimo $\frac{1}{2}$, e la successione è strettamente decrescente. È positiva, quindi limitata inferiormente da 0: per il teorema converge a un numero $\ell \geq 0$.

Per trovare $\ell$ passa al limite nella relazione $c_{n + 1} = c_n \cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}$. A sinistra c’è la stessa successione spostata di un passo, che tende a $\ell$; a destra il prodotto tende a $\frac{\ell}{e}$. Quindi $\ell = \frac{\ell}{e}$, cioè $\ell\left(1 - \frac{1}{e}\right) = 0$, e $\ell = 0$. È il criterio del rapporto in azione: il rapporto tende a $\frac{1}{e} < 1$.

4. La radice n-esima di n

Testo. Studia la monotonia di $a_n = \sqrt[n]{n}$, con $n \geq 1$, dimostra che converge e trova il limite.

I primi termini sono $1;\ 1{,}414;\ 1{,}442;\ 1{,}414;\ 1{,}380;\ 1{,}348$: la successione cresce fino a $n = 3$, poi scende. Usiamo la funzione associata, riscritta come esponenziale:

$$f(x) = x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}$$

L’esponenziale è crescente, quindi $f$ cresce e decresce dove lo fa $\frac{\ln x}{x}$, che nel metodo 3 abbiamo visto decrescere per $x > e$. Quindi $a_n$ è strettamente decrescente da $n = 3$ in poi. È limitata inferiormente da 1, perché la radice di un numero $n \geq 1$ è almeno 1. Per il teorema, applicato alla coda, converge.

Il valore: $\frac{\ln n}{n} \to 0$, perché il logaritmo è un infinito più lento di $n$, quindi $a_n = e^{\frac{\ln n}{n}} \to e^0 = 1$. Il massimo è $a_3 = \sqrt[3]{3} \approx 1{,}442$, ma il limite è l’estremo inferiore dei termini da $n = 3$ in poi, cioè 1.

5. Una forma 1 all’infinito da esame

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n + 3}{n + 1}\right)^{2n + 1}$.

La base tende a 1 e l’esponente a $+\infty$: è una forma $1^\infty$. Scriviamo la base come 1 più qualcosa:

$$\begin{gathered} \frac{n + 3}{n + 1} = 1 + \frac{2}{n + 1} = 1 + \frac{1}{c_n} \\ \text{con} \quad c_n = \frac{n + 1}{2} \end{gathered}$$

Qui $c_n \to +\infty$, ma per $n$ pari non è intero: serve proprio la generalizzazione. Facciamo comparire l’esponente $c_n$:

$$\left(1 + \frac{1}{c_n}\right)^{2n + 1} = \left[\left(1 + \frac{1}{c_n}\right)^{c_n}\right]^{\frac{2n + 1}{c_n}}$$

La parentesi quadra tende a $e$. Il nuovo esponente è

$$\frac{2n + 1}{c_n} = \frac{2(2n + 1)}{n + 1} \to 4$$

Il limite è $e^4 \approx 54{,}6$. È la regola pratica con $d_n = 2n + 1$.

6. Una successione per ricorrenza

Testo. Considera la successione definita da $a_1 = 2$ e $a_{n + 1} = 4 - \frac{3}{a_n}$. Dimostra che è crescente e limitata e trova il limite.

I primi termini sono $2;\ 2{,}5;\ 2{,}8;\ 2{,}929;\ 2{,}976$: sembrano salire verso 3.

Candidati. Se $a_n \to \ell \neq 0$, passando al limite nella regola si ha $\ell = 4 - \frac{3}{\ell}$, cioè $\ell^2 - 4\ell + 3 = 0$: $\ell = 1$ oppure $\ell = 3$.

Limitata: $2 \leq a_n < 3$ per ogni $n$. Per induzione. Passo base: $a_1 = 2$. Passo induttivo: se $2 \leq a_n < 3$, allora $1 < \frac{3}{a_n} \leq \frac{3}{2}$, quindi

$$\begin{gathered} 4 - \frac{3}{2} \leq a_{n + 1} < 4 - 1 \\ 2{,}5 \leq a_{n + 1} < 3 \end{gathered}$$

e in particolare $2 \leq a_{n + 1} < 3$.

Crescente. La differenza è

$$\begin{gathered} a_{n + 1} - a_n = 4 - \frac{3}{a_n} - a_n \\ {} = \frac{-a_n^2 + 4a_n - 3}{a_n} \\ {} = -\frac{(a_n - 1)(a_n - 3)}{a_n} \end{gathered}$$

Con $2 \leq a_n < 3$ il fattore $a_n - 1$ è positivo, $a_n - 3$ è negativo e $a_n$ è positivo: la frazione è negativa e, con il meno davanti, la differenza è positiva.

Conclusione. Crescente e limitata: converge a un $\ell$ con $2 \leq \ell \leq 3$, perché $a_1 = 2$ e i termini sono minori di 3. Tra i candidati 1 e 3, l’unico compatibile è $\ell = 3$. Altri esercizi li trovi negli esercizi svolti sulle successioni.

In sintesi

• Ogni successione monotona ha limite: crescente tende al sup, decrescente all’inf; il limite è finito se e solo se la successione è limitata dalla parte giusta.
• La dimostrazione usa l’estremo superiore e la completezza di $\mathbb{R}$: in $\mathbb{Q}$ il teorema è falso.
• Monotonia: segno di $a_{n + 1} - a_n$, rapporto $\frac{a_{n + 1}}{a_n}$ confrontato con 1 (termini positivi), derivata della funzione associata, induzione.
• $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ è crescente e minore di 3: converge, e il suo limite è, per definizione, $e$.
• $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$: la tenaglia è larga meno di $\frac{3}{n}$, e si chiude lentamente.
• $e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots$, una serie molto più veloce.
• $\left(1 + \frac{1}{c_n}\right)^{c_n} \to e$ se $c_n \to +\infty$, e $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x$ per ogni $x$ reale.

Il teorema delle successioni monotone è lo strumento principale per un tipo di successioni molto frequente all’esame: le successioni definite per ricorrenza.