Successioni numeriche: definizione, esempi, limitatezza, monotonia ed esercizi

Pensa a una lista di numeri che non finisce mai: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$, oppure i quadrati $0, 1, 4, 9, \dots$, o i numeri primi $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ Liste così si chiamano successioni numeriche, e sono ovunque: il saldo di un conto anno dopo anno, una popolazione generazione dopo generazione, le approssimazioni sempre più precise di $\sqrt{2}$. Sono il modo più semplice di guardare a un limite, e all’esame tornano nelle serie e nelle successioni per ricorrenza. In questa pagina vediamo la definizione, la differenza tra una successione e l’insieme dei suoi valori, i tre modi per assegnarla (con esempi presi da problemi reali), il grafico nel piano e sulla retta, le successioni limitate con sup e inf, le successioni monotone e tre metodi per riconoscerle, il significato di «definitivamente», le operazioni, un po’ di storia, la mappa del capitolo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La definizione

Una successione è una lista infinita e ordinata: c’è un primo termine, un secondo, un terzo, e così via, senza fine. Per dirlo in modo preciso basta il concetto di funzione.

Rispetto alle funzioni che conosci (rivedi dominio, codominio e immagine) cambia solo il dominio: al posto di un intervallo ci sono i numeri naturali. Per tradizione si scrive $a_n$, con l’indice in basso, invece di $a(n)$.

Da dove parte l’indice. In questo sito lo zero è un numero naturale, quindi di solito si parte da $a_0$. Se la formula non ha senso per i primi indici, si parte più avanti: $\frac{1}{n}$ da $n = 1$, $\sqrt{n - 3}$ da $n = 3$. L’indice iniziale va sempre dichiarato, perché può cambiare il minimo della successione.

Le notazioni. La successione intera si indica con $(a_n)$, con $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ o, se parte da 1, con $(a_n)_{n \geq 1}$; molti libri scrivono anche $\{a_n\}$.

Successione e insieme dei valori

Una successione non è l’insieme dei numeri che assume. Prendi $a_n = (-1)^n$:

$$1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ \dots$$

I termini sono infiniti, uno per ogni $n$, ma l’insieme dei valori è $\{-1, 1\}$. In una successione contano l’ordine e le ripetizioni: $1, -1, 1, \dots$ e $-1, 1, -1, \dots$ hanno gli stessi valori, ma sono successioni diverse. Due successioni sono uguali solo se $a_n = b_n$ per ogni $n$. L’insieme dei valori $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ è l’immagine della funzione $a$.

Tre modi per assegnare una successione

1. Con una formula esplicita

Il termine generale è dato in funzione di $n$, e ogni termine si calcola subito, anche $a_{1000}$:

• $a_n = \frac{1}{n}$, per $n \geq 1$: $\ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$
• $a_n = \frac{n}{n + 1}$: $\ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots$
• $a_n = 2^n$: $\ 1, 2, 4, 8, 16, \dots$

2. Per ricorrenza

Si danno il primo termine e una regola che ricava ogni termine dai precedenti. Le potenze di 2 si ottengono anche partendo da 1 e raddoppiando:

$$\begin{gathered} a_0 = 1 \\ a_{n + 1} = 2\,a_n \end{gathered}$$

I numeri di Fibonacci usano i due termini precedenti: $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ e

$$\begin{gathered} F_{n + 1} = F_n + F_{n - 1} \\ 0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ \dots \end{gathered}$$

Con $a_0 = 0$ e $a_{n + 1} = \sqrt{2 + a_n}$, invece, si ottiene

$$0;\ \ 1{,}414;\ \ 1{,}848;\ \ 1{,}962;\ \ 1{,}990;\ \dots$$

e i termini sembrano avvicinarsi a 2: come si dimostra lo vedi nelle successioni definite per ricorrenza. Il principio di induzione garantisce che una definizione così individua una sola successione. Il prezzo: per conoscere $a_{100}$ devi calcolare tutti i termini prima.

3. Con una descrizione

A volte la successione è definita da una proprietà, senza una formula comoda:

• $p_n$ è l’$n$-esimo numero primo ($n \geq 1$): $2, 3, 5, 7, 11, \dots$
• $c_n$ è l’$n$-esima cifra decimale di $\pi = 3{,}14159\ldots$: $1, 4, 1, 5, 9, \dots$
• $d_n$ è l’approssimazione per difetto di $\sqrt{2}$ con $n$ decimali: $1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\ \dots$

Non esiste una formula pratica per $p_n$, eppure ogni termine è determinato senza ambiguità.

Successioni nei problemi reali

Ogni volta che qualcosa cambia a passi nasce una successione.

• Interesse composto. 1000 euro al 3% annuo, con gli interessi che si aggiungono al capitale: $C_{n + 1} = 1{,}03\,C_n$, cioè $C_n = 1000 \cdot 1{,}03^n$. Dopo due anni hai 1060,90 euro, dopo dieci circa 1343,92.
• Popolazioni. Una colonia di $B_0$ batteri che raddoppia ogni 20 minuti, dopo $n$ intervalli conta $B_n = B_0 \cdot 2^n$. I modelli più realistici aggiungono morti e nuovi arrivi, come il lago dell’esercizio 6.
• La pallina che rimbalza. Cade da 2 m e a ogni rimbalzo risale ai $\frac{3}{4}$ dell’altezza precedente: $h_n = 2 \cdot 0{,}75^n$ metri, cioè $2;\ 1{,}5;\ 1{,}125;\ \dots$

Sono tutte progressioni geometriche, il primo argomento del capitolo: progressioni aritmetiche e geometriche.

Il grafico di una successione

Il grafico è l’insieme dei punti $(n, a_n)$: punti isolati, uno sopra ogni naturale, non una curva. Tra un indice e il successivo la successione non esiste: non ha senso chiedersi quanto vale $a_{2{,}5}$.

Spesso però una successione è la «traccia» di una funzione sui naturali: $a_n = \frac{1}{n}$ è $f(x) = \frac{1}{x}$ calcolata solo in $x = 1, 2, 3, \dots$ Questo legame servirà per la monotonia e per i limiti.

Sulla retta o nel piano

Si possono anche segnare i valori su una retta, come se si guardasse il grafico di lato. Prendi $a_n = \frac{n^2}{2^n}$:

$$0,\ \ \frac{1}{2},\ \ 1,\ \ \frac{9}{8},\ \ 1,\ \ \frac{25}{32},\ \ \frac{9}{16},\ \ \dots$$

Sulla retta vedi dove stanno i valori: tra 0 e $\frac{9}{8}$, sempre più fitti vicino a 0. Ma l’ordine si perde: $a_2$ e $a_4$ valgono entrambi 1 e finiscono nello stesso punto. Nel piano ogni termine ha la sua colonna e si legge l’andamento: la successione sale fino a $n = 3$, poi scende. La retta è comoda per sup e inf, il piano per la monotonia.

Successioni limitate

L’idea: tutti i termini stanno dentro una striscia orizzontale.

Equivalentemente, $(a_n)$ è limitata se esiste $K$ con $\lvert a_n \rvert \leq K$ per ogni $n$: se $m \leq a_n \leq M$, basta prendere come $K$ il più grande tra $\lvert m \rvert$ e $\lvert M \rvert$.

Attenzione a come si nega: $(a_n)$ non è limitata superiormente se per ogni $M$ esiste un indice $n$ con $a_n > M$. Per $n^2$, dato $M > 0$, va bene ogni $n > \sqrt{M}$.

Sup e inf di una successione

L’estremo superiore di una successione è il sup dell’insieme dei suoi valori, il più piccolo dei maggioranti. Se è uno dei termini è il massimo, altrimenti il massimo non esiste. Lo stesso vale per inf e minimo.

Successione	inf	sup
$\frac{n}{n + 1}$, $n \geq 0$	$0$, minimo	$1$, non raggiunto
$\frac{(-1)^n}{n}$, $n \geq 1$	$-1$, minimo	$\frac{1}{2}$, massimo
$n^2$	$0$, minimo	$+\infty$
$\frac{n^2}{2^n}$	$0$, minimo	$\frac{9}{8}$, massimo

Prima riga. $\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$: si toglie a 1 una quantità sempre più piccola, quindi i termini crescono e il minimo è $a_0 = 0$. Tutti i termini sono minori di 1, ma $1 - \frac{1}{n + 1} > 1 - \varepsilon$ appena $n + 1 > \frac{1}{\varepsilon}$: il sup è 1, e nessun termine lo raggiunge. Se la formula partisse da $n = 1$, il minimo sarebbe $\frac{1}{2}$.

Seconda riga. I termini sono $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ Con $n$ pari, $n \geq 2$ e $a_n \leq \frac{1}{2}$; con $n$ dispari, $a_n = -\frac{1}{n} \geq -1$. I due valori sono raggiunti da $a_2$ e da $a_1$.

Come si dimostra che una successione è limitata

1. Riscrivere e stimare: $\frac{2n + 3}{n + 1} = 2 + \frac{1}{n + 1}$ sta in $(2, 3]$, perché $0 < \frac{1}{n + 1} \leq 1$.
2. Disuguaglianze note: $\lvert \sin n \rvert \leq 1$; oppure $(n - 1)^2 \geq 0$, cioè $n^2 + 1 \geq 2n$, che dà $\frac{n}{n^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$.
3. La monotonia: una successione crescente è limitata inferiormente dal primo termine, una decrescente superiormente.
4. L’induzione, per la ricorrenza: con $a_0 = 0$ e $a_{n + 1} = \sqrt{2 + a_n}$, se $a_n < 2$ allora $a_{n + 1} < \sqrt{4} = 2$; e $a_0 < 2$, quindi $a_n < 2$ per ogni $n$.

Successioni monotone

Basta confrontare termini consecutivi: da $a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \dots$ segue, a catena, $a_m \geq a_n$ per ogni $m \geq n$. Una successione costante è sia crescente sia decrescente.

$(-1)^n$ e $\frac{(-1)^n}{n}$ non sono monotone; $\frac{n^2}{2^n}$ lo diventa da un certo punto in poi. Il teorema delle successioni monotone dice che una successione monotona ha sempre limite, finito se è limitata: lo trovi, con la dimostrazione, nelle successioni monotone e il numero di Nepero.

Tre metodi per studiare la monotonia

1. Il segno della differenza $a_{n + 1} - a_n$: se è sempre $\geq 0$ la successione cresce, se è sempre $\leq 0$ decresce. Per $a_n = \frac{n}{n + 1}$:

$$\begin{gathered} a_{n + 1} - a_n = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} \\ {} = \frac{(n + 1)^2 - n(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} \\ {} = \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} > 0 \end{gathered}$$

La successione è strettamente crescente.

2. Il rapporto con 1, per termini positivi. Se $a_n > 0$, si confronta $\frac{a_{n + 1}}{a_n}$ con 1: se è sempre $\geq 1$ la successione cresce, se è sempre $\leq 1$ decresce. È il metodo giusto con potenze e fattoriali. Per $c_n = \frac{n!}{n^n}$, con $n \geq 1$, usando $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$:

$$\begin{gathered} \frac{c_{n + 1}}{c_n} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \\ {} = \frac{n^n}{(n + 1)^n} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} \end{gathered}$$

Con il binomio di Newton, i primi due addendi di $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ danno $1 + n \cdot \frac{1}{n} = 2$ e gli altri sono positivi: il rapporto è al massimo $\frac{1}{2}$, e $c_n$ è strettamente decrescente. La successione $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ è crescente e tende al numero di Nepero $e \approx 2{,}718$.

Con termini negativi il confronto si rovescia: $-2^n$ ha rapporto 2, ma $-1, -2, -4, \dots$ decresce.

3. La funzione associata. Se $a_n = f(n)$, con $f$ derivabile e $f'(x) \leq 0$ per ogni $x \geq n_0$, allora $f$ decresce su $[n_0, +\infty)$ per il test di monotonia, quindi $f(n + 1) \leq f(n)$: la successione decresce da $n_0$ in poi. Con $f'(x) \geq 0$ cresce. Il viceversa non vale, perché $f$ «vede» anche i numeri tra un intero e l’altro: $f(x) = x + \sin(2\pi x)$ non è monotona, visto che $f'(x) = 1 + 2\pi\cos(2\pi x)$ cambia segno, ma sugli interi $\sin(2\pi n) = 0$ e $a_n = n$ è crescente.

Un esempio: una successione che sale e poi scende

I termini di $a_n = \frac{n^2}{2^n}$ salgono e poi scendono: la successione non è monotona. Da dove decresce?

Con il rapporto. I termini sono positivi da $n = 1$ ($a_0 = 0$ non si può mettere al denominatore). Per $n \geq 1$:

$$\begin{gathered} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{(n + 1)^2}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} \\ {} = \frac{(n + 1)^2}{2n^2} \end{gathered}$$

È minore di 1 se e solo se $(n + 1)^2 < 2n^2$, cioè, estraendo la radice di numeri positivi, $n + 1 < \sqrt{2}\,n$:

$$n > \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1 \approx 2{,}41$$

Per $n = 1$ e $n = 2$ il rapporto vale $2$ e $\frac{9}{8}$; da $n = 3$ è minore di 1. La successione cresce fino ad $a_3 = \frac{9}{8}$, poi è strettamente decrescente.

Con la funzione. $f(x) = x^2\,2^{-x}$ ha derivata

$$f'(x) = \frac{x\,(2 - x\ln 2)}{2^x}$$

negativa per $x > \frac{2}{\ln 2} \approx 2{,}89$: $f$ decresce su $[3, +\infty)$, stesso risultato. Il massimo di $f$ cade in $x \approx 2{,}89$, che non è intero: per la successione si confrontano i due interi vicini, e $a_3 = \frac{9}{8}$ batte $a_2 = 1$.

Trovato il massimo, la successione è limitata: $0 \leq a_n \leq \frac{9}{8}$.

Definitivamente

Con le successioni interessa quasi sempre il comportamento alla lunga: i primi termini, anche se fossero mille, non contano.

• $\frac{n^2}{2^n}$ è definitivamente decrescente, con $n_0 = 3$.
• $n^2 - 10n = n(n - 10) > 0$ definitivamente, con $n_0 = 11$.
• $\frac{1}{n} < 0{,}01$ definitivamente, per $n > 100$, cioè con $n_0 = 101$.

Non serve il più piccolo $n_0$: basta che ne esista uno. Ma non basta che la proprietà sia vera infinite volte: $(-1)^n > 0$ vale per ogni $n$ pari, ma non definitivamente, perché dopo ogni pari arriva un dispari. E $(-1)^n$ non è nemmeno definitivamente negativa.

Due proprietà definitive valgono insieme definitivamente: se $P(n)$ vale per $n \geq n_1$ e $Q(n)$ per $n \geq n_2$, entrambe valgono per $n \geq \max\{n_1, n_2\}$. È un passaggio di quasi tutte le dimostrazioni sui limiti.

Perché conta. Nella definizione di limite di una successione, $a_n \to \ell$ vuol dire che, per ogni $\varepsilon > 0$, si ha $\lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon$ definitivamente. Quindi cambiare un numero finito di termini non cambia né l’esistenza né il valore del limite.

Operazioni con le successioni

Le operazioni si fanno termine a termine: somma $(a_n + b_n)$, prodotto $(a_n b_n)$, multiplo $(c\,a_n)$, quoziente $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ se $b_n \neq 0$.

• Somma e prodotto di successioni limitate sono limitate: da $\lvert a_n \rvert \leq K$ e $\lvert b_n \rvert \leq H$ segue $\lvert a_n + b_n \rvert \leq K + H$ e $\lvert a_n b_n \rvert \leq KH$.
• La somma di due successioni crescenti è crescente, sommando le due disuguaglianze.
• Il prodotto no: $n - 5$ è crescente, ma $(n - 5)^2$ vale $25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, \dots$ Con termini positivi, invece, sì: $a_{n + 1} b_{n + 1} \geq a_n b_{n + 1} \geq a_n b_n$, dove il primo passaggio usa $b_{n + 1} > 0$ e il secondo $a_n > 0$.

Da una successione ne nascono altre due.

• Le sottosuccessioni, che tengono solo alcuni termini, nell’ordine: per $(-1)^n$ i termini di indice pari, $a_{2n}$, valgono tutti 1, quelli di indice dispari tutti $-1$. Servono a dimostrare che un limite non esiste: le trovi in sottosuccessioni, Bolzano-Weierstrass e Cauchy.
• Le somme parziali $s_n = a_0 + a_1 + \dots + a_n$, l’idea delle serie numeriche. La strada percorsa dalla pallina che rimbalza è una somma di questo tipo: la calcoliamo nelle progressioni aritmetiche e geometriche.

Un po’ di storia

Nel 1202 Leonardo Pisano, detto Fibonacci, pubblicò il Liber Abaci, che diffuse in Europa le cifre indo-arabiche. Tra i suoi problemi c’è quello dei conigli: una coppia già adulta viene chiusa in un recinto, e ogni coppia, dal secondo mese di vita, genera una nuova coppia al mese. Quante coppie ci saranno dopo un anno? Ogni mese le coppie sono quelle del mese prima più le nuove nate, tante quante le coppie di due mesi prima: è la regola $F_{n + 1} = F_n + F_{n - 1}$. Le coppie diventano $1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$, e dopo dodici mesi sono 377. La successione era nota secoli prima ai matematici indiani, che contavano i ritmi della poesia sanscrita; il nome «successione di Fibonacci» si deve a Édouard Lucas, nell’Ottocento.

Il capitolo, passo dopo passo

1. Progressioni aritmetiche e geometriche: termine generale e somme.
2. Il limite di una successione: convergenza, divergenza e primi teoremi.
3. Il calcolo dei limiti di successioni: forme indeterminate e teorema ponte.
4. Il criterio del rapporto: fattoriali e gerarchia degli infiniti.
5. Successioni monotone e numero e: il teorema che garantisce il limite.
6. Successioni definite per ricorrenza: induzione e punti fissi.
7. Sottosuccessioni, Bolzano-Weierstrass e Cauchy: gli strumenti più teorici.
8. Gli esercizi svolti sulle successioni, su tutto il capitolo.

Gli errori più comuni

• Confondere la successione con l’insieme dei suoi valori. $(-1)^n$ ha infiniti termini, ma due soli valori.
• Dimenticare da quale indice si parte. $\frac{n}{n + 1}$ ha minimo 0 da $n = 0$, ma $\frac{1}{2}$ da $n = 1$.
• Unire i punti del grafico. La curva è quella della funzione associata.
• Dare per certa una regola indovinata da pochi termini. Un numero finito di termini non determina la successione (esercizio 1).
• Usare il rapporto con termini negativi o nulli. $-2^n$ ha rapporto 2, ma decresce.
• Decidere la monotonia dai primi termini. $\frac{n^2}{2^n}$ sale per tre passi, poi scende per sempre.
• Rovesciare il metodo della funzione. Se $f$ non è monotona, $f(n)$ può esserlo lo stesso.
• Confondere «definitivamente» con «infinite volte». $(-1)^n$ è positiva infinite volte, ma non definitivamente.

Esercizi svolti

1. Dai primi termini alla formula

Testo. Trova una formula per il termine generale, con $n \geq 0$, delle successioni che iniziano così: (a) $2, 4, 6, 8, \dots$; (b) $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \dots$; (c) $0, 3, 8, 15, 24, \dots$

(a) Sono i pari positivi: $a_n = 2(n + 1)$. Controllo: $a_0 = 2$, $a_3 = 8$.

(b) I segni si alternano partendo da $+$: serve $(-1)^n$, che vale 1 per $n = 0$. I denominatori sono $n + 1$, quindi $b_n = \frac{(-1)^n}{n + 1}$.

(c) Aggiungendo 1 si ottengono $1, 4, 9, 16, 25$, i quadrati di $n + 1$: $c_n = (n + 1)^2 - 1 = n(n + 2)$.

Attenzione: pochi termini non individuano una successione. Anche

$$\begin{gathered} d_n = n(n + 2) \\ {} + n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) \end{gathered}$$

comincia con $0, 3, 8, 15, 24$, perché il prodotto aggiunto si annulla per $n = 0, 1, 2, 3, 4$; ma $d_5 = 35 + 120 = 155$, mentre $c_5 = 35$. Le formule trovate sono le più semplici, non le uniche.

2. Limitata o no

Testo. Dimostra che $b_n = \frac{2n^2 + \sin n}{n^2 + 1}$, con $n \in \mathbb{N}$, è limitata, e che $c_n = \frac{n^2}{n + 1}$ non è limitata superiormente.

La successione b. Il seno è al massimo 1, quindi

$$\begin{gathered} b_n \leq \frac{2n^2 + 1}{n^2 + 1} = \frac{2(n^2 + 1) - 1}{n^2 + 1} \\ {} = 2 - \frac{1}{n^2 + 1} < 2 \end{gathered}$$

Dal basso: per $n \geq 1$ il numeratore è almeno $2n^2 - 1 \geq 1$, quindi $b_n > 0$; e $b_0 = 0$. Dunque $0 \leq b_n < 2$ per ogni $n$.

La successione c. Per $n \geq 1$ si ha $n + 1 \leq 2n$, e ingrandendo il denominatore la frazione diminuisce:

$$c_n = \frac{n^2}{n + 1} \geq \frac{n^2}{2n} = \frac{n}{2}$$

Dato un qualunque $M$, ogni $n \geq 1$ con $n > 2M$ dà $c_n > M$: nessun numero fa da tetto, e $\sup c_n = +\infty$. È invece limitata inferiormente, perché $c_n \geq 0$.

3. La monotonia in tre modi

Testo. Studia la monotonia di $a_n = \frac{n}{n^2 + 4}$, con $n \geq 1$, con la differenza, con il rapporto e con la funzione associata. Qual è il termine più grande?

I primi termini sono $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{3}{13}, \frac{1}{5}, \dots$: salgono e poi scendono.

Con la differenza. Con $(n + 1)^2 + 4 = n^2 + 2n + 5$, la differenza $a_{n + 1} - a_n$ ha denominatore positivo $(n^2 + 2n + 5)(n^2 + 4)$ e numeratore

$$\begin{gathered} (n + 1)(n^2 + 4) - n(n^2 + 2n + 5) \\ {} = n^3 + n^2 + 4n + 4 \\ {} - n^3 - 2n^2 - 5n \\ {} = 4 - n^2 - n \end{gathered}$$

Per $n = 1$ vale $2 > 0$; per $n \geq 2$ si ha $n^2 + n \geq 6$, quindi è negativo. Dunque $a_2 > a_1$, e poi $a_{n + 1} < a_n$ per ogni $n \geq 2$.

Con il rapporto. I termini sono positivi e

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{(n + 1)(n^2 + 4)}{n\,(n^2 + 2n + 5)}$$

è minore di 1 se il numeratore è minore del denominatore: sviluppando, $n^2 + n - 4 > 0$, la stessa condizione di prima.

Con la funzione. Per $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$:

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 4) - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}$$

negativa per $x > 2$: $f$ decresce su $[2, +\infty)$.

I tre metodi concordano: la successione cresce da $a_1$ ad $a_2$, poi decresce strettamente. Il termine più grande è $a_2 = \frac{1}{4}$, e $0 < a_n \leq \frac{1}{4}$ per ogni $n$.

4. Sup, inf, massimo e minimo

Testo. Trova sup e inf di $a_n = (-1)^n \frac{n}{n^2 + 1}$, con $n \in \mathbb{N}$, e di’ se sono massimo e minimo. La successione è monotona?

I primi termini sono $0, -\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, -\frac{3}{10}, \frac{4}{17}, \dots$: scende, sale, scende, quindi non è monotona. Il segno dipende dalla parità di $n$, la «grandezza» è $\lvert a_n \rvert = \frac{n}{n^2 + 1}$.

Limitata. Da $(n - 1)^2 \geq 0$ segue $n^2 + 1 \geq 2n$, quindi $\lvert a_n \rvert \leq \frac{1}{2}$.

La grandezza decresce. $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ ha derivata $g'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$, negativa per $x > 1$: $\lvert a_n \rvert$ è strettamente decrescente da $n = 1$.

Minimo. I termini negativi hanno $n$ dispari, e il più lontano da 0 è il primo, $a_1 = -\frac{1}{2}$. Quindi $\min a_n = \inf a_n = -\frac{1}{2}$.

Massimo. I termini positivi hanno $n$ pari e $n \geq 2$, e il più grande è $a_2 = \frac{2}{5}$. Quindi $\max a_n = \sup a_n = \frac{2}{5}$.

Nota: la stima $\lvert a_n \rvert \leq \frac{1}{2}$ era giusta, ma non dava il sup: in valore assoluto $\frac{1}{2}$ lo raggiunge solo $a_1$, che è negativo. Una stima dà un maggiorante, non per forza il più piccolo.

5. Definitivamente

Testo. Dimostra che queste proprietà valgono definitivamente e trova il più piccolo $n_0$ da cui valgono per sempre: (a) $n^2 - 10n - 11 > 0$; (b) $2^n > n^3$; (c) $\frac{1}{n} < 0{,}01$, con $n \geq 1$.

(a) $n^2 - 10n - 11 = (n - 11)(n + 1)$, e $n + 1 > 0$: il prodotto è positivo se e solo se $n > 11$, quindi $n_0 = 12$.

(b) Qualche valore:

$n$	$2^n$	$n^3$
$1$	$2$	$1$
$2$	$4$	$8$
$9$	$512$	$729$
$10$	$1024$	$1000$

La disuguaglianza vale per $n = 0, 1$, è falsa da 2 a 9 e torna vera per $n = 10$. Da lì resta vera, per induzione. Passo base: $1024 > 1000$. Passo induttivo: se $2^n > n^3$ con $n \geq 10$, allora $2^{n + 1} > 2n^3$, e basta che $2n^3 \geq (n + 1)^3$, cioè

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \leq 2$$

Per $n \geq 10$ il primo membro è al massimo $1{,}1^3 = 1{,}331$: vero. Quindi $2^{n + 1} > (n + 1)^3$, e $n_0 = 10$.

(c) $\frac{1}{n} < 0{,}01$ se e solo se $n > 100$: $n_0 = 101$. Con un qualunque $\varepsilon > 0$ al posto di $0{,}01$ vale ancora definitivamente, per $n > \frac{1}{\varepsilon}$: è proprio ciò che vuol dire $\frac{1}{n} \to 0$.

6. Il lago dei pesci: ricorrenza e induzione

Testo. In un lago ci sono 500 pesci. Ogni anno il 10% muore o viene pescato, poi se ne immettono 100. Con $a_n$ pesci dopo $n$ anni, $a_0 = 500$ e $a_{n + 1} = 0{,}9\,a_n + 100$. Dimostra che: (a) $a_n < 1000$ per ogni $n$; (b) la successione è strettamente crescente; (c) $a_n = 1000 - 500 \cdot 0{,}9^n$.

I primi termini sono $500;\ 550;\ 595;\ 635{,}5;\ \dots$ (il modello è una stima: i pesci non sono frazionari).

(a) Per induzione. Passo base: $a_0 = 500 < 1000$. Passo induttivo: se $a_n < 1000$, allora $a_{n + 1} = 0{,}9\,a_n + 100 < 900 + 100 = 1000$.

(b) Con la differenza.

$$\begin{gathered} a_{n + 1} - a_n = 100 - 0{,}1\,a_n \\ {} = 0{,}1\,(1000 - a_n) > 0 \end{gathered}$$

per il punto (a).

(c) Per induzione. Passo base: $1000 - 500 \cdot 0{,}9^0 = 500$. Passo induttivo: se la formula vale per $a_n$,

$$\begin{gathered} a_{n + 1} = 0{,}9\left(1000 - 500 \cdot 0{,}9^n\right) + 100 \\ {} = 1000 - 500 \cdot 0{,}9^{n + 1} \end{gathered}$$

I pesci aumentano ogni anno senza mai arrivare a 1000, l’equilibrio del lago: con 1000 pesci ne sparirebbero 100 e ne arriverebbero 100. La distanza da 1000, $500 \cdot 0{,}9^n$, cala del 10% all’anno, e con i limiti vedrai che tende a 0: $\sup a_n = 1000$, mai raggiunto. Altri esercizi negli esercizi svolti sulle successioni.

In sintesi

• Una successione è una funzione $a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ (o definita per $n \geq n_0$): una lista infinita e ordinata, diversa dall’insieme dei suoi valori.
• Si assegna con una formula, per ricorrenza o con una descrizione.
• Il grafico è fatto di punti isolati $(n, a_n)$; sulla retta si vedono i valori, ma si perde l’ordine.
• Limitata: $\lvert a_n \rvert \leq K$ per ogni $n$. Sup e inf sono quelli dei valori; sono massimo e minimo solo se raggiunti.
• Monotonia: segno di $a_{n + 1} - a_n$, rapporto confrontato con 1 (termini positivi), derivata della funzione associata.
• «Definitivamente» vuol dire «per ogni $n \geq n_0$, per un certo $n_0$»: il linguaggio dei limiti.

Si comincia dalle successioni più semplici e più usate: le progressioni aritmetiche e geometriche.