Criterio del rapporto e della radice per le serie: dimostrazioni, esempi ed esercizi

Quando nel termine generale di una serie compaiono fattoriali come $n!$, esponenziali come $3^n$ o potenze con esponente $n$, trovare a mano una serie con cui fare il confronto è difficile. C’è una strada più diretta: confrontare la serie con una serie geometrica, guardando di quanto si moltiplica un termine a ogni passo (criterio del rapporto, o di d’Alembert) o quanto vale la sua radice $n$-esima (criterio della radice, o di Cauchy). All’esame servono per le serie con fattoriali ed esponenziali e per il raggio di convergenza delle serie di potenze. In questa pagina vediamo l’idea con una figura, i due criteri con le dimostrazioni, perché con $\ell = 1$ non si conclude niente, quale dei due è più forte, le serie con segni qualunque e con un parametro $x$, la scaletta per scegliere il criterio, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Un ripasso: il rapporto per le successioni

Nel capitolo sulle successioni hai visto il criterio del rapporto per le successioni: se $a_n > 0$ e $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \to \ell < 1$, allora $a_n \to 0$. Lì trovi anche la dimostrazione, la gerarchia degli infiniti e la formula di Stirling.

Per le serie la domanda è più esigente. Che i termini tendano a 0 è solo la condizione necessaria: $\frac{1}{n} \to 0$, eppure la serie armonica diverge. Il criterio per le serie dice di più: con $\ell < 1$ i termini scendono almeno come quelli di una serie geometrica, e la loro somma è finita.

L’idea: una serie geometrica che fa da tetto

In una serie geometrica $\sum q^n$ il rapporto tra due termini consecutivi vale sempre $q$, e con $0 < q < 1$ la serie converge. Se in una serie il rapporto si avvicina a un numero $\ell < 1$, alla lunga la serie si comporta come una geometrica.

Prendi $a_n = \frac{n^3}{2^n}$. Il rapporto è

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{(n + 1)^3}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^n}{n^3} = \frac{1}{2}\left(\frac{n + 1}{n}\right)^3$$

e tende a $\frac{1}{2}$. All’inizio il rapporto è maggiore di 1 e i termini crescono, fino a $a_4 = 4$. Poi il rapporto scende, e da $n = 7$ in poi è minore di $\frac{3}{4}$: ogni termine è meno di tre quarti del precedente. Da lì i termini stanno sotto la geometrica $a_7 \left(\frac{3}{4}\right)^{n - 7}$, che ha somma finita.

I primi termini non contano: conta il tetto geometrico che si trova da un certo punto in poi. È tutta la dimostrazione del criterio.

Il criterio del rapporto

L’enunciato

Le ipotesi contano: servono termini positivi (con segni qualunque si usano i valori assoluti) e il limite deve esistere. E $\ell$ dice solo se la serie converge, non quanto vale la somma.

Dimostrazione

Caso $\ell < 1$. Scegliamo un numero $q$ con $\ell < q < 1$, per esempio il punto medio tra $\ell$ e 1. Siccome il rapporto tende a $\ell$, esiste un indice $N$ da cui in poi $a_n > 0$ e $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leq q$, cioè $a_{n + 1} \leq q\,a_n$. Concatenando i passi:

$$\begin{gathered} a_{N + 1} \leq q\,a_N \\ a_{N + 2} \leq q\,a_{N + 1} \leq q^2\,a_N \end{gathered}$$

e in generale, per induzione,

$$a_n \leq a_N\,q^{n - N} \quad \text{per ogni } n \geq N$$

A destra c’è il termine di una serie geometrica di ragione $q < 1$, che converge. Per il criterio del confronto, che basta valga definitivamente, la serie converge.

Il margine $q$ serve perché il rapporto potrebbe restare sempre un po’ sopra $\ell$: si confronta con una geometrica di ragione appena più grande.

Caso $\ell > 1$. Da un certo indice $N$ in poi il rapporto è maggiore di 1, cioè $a_{n + 1} > a_n$: i termini crescono, quindi $a_n \geq a_N > 0$ e non tendono a 0. Per la condizione necessaria la serie non converge, e siccome i termini sono positivi diverge a $+\infty$.

La versione con le disuguaglianze

La dimostrazione usa il limite solo per avere, definitivamente, una disuguaglianza. Quindi vale anche questa versione, utile quando il limite non esiste.

Il secondo punto serve proprio quando il limite è 1 ma il rapporto ci arriva dall’alto: i termini non scendono mai, e la serie diverge. Lo usiamo nell’esercizio 4.

Il caso ℓ = 1: il criterio non vede le potenze

Per la serie armonica il rapporto è $\frac{n}{n + 1} \to 1$, e la serie diverge. Per $\sum \frac{1}{n^2}$ il rapporto è $\frac{n^2}{(n + 1)^2} \to 1$, e la serie converge. Stesso limite, comportamenti opposti: con $\ell = 1$ il criterio non può decidere.

E non è un caso raro: per $\frac{1}{n^\alpha}$ il rapporto è $\left(\frac{n}{n + 1}\right)^\alpha \to 1$ qualunque sia $\alpha$, e lo stesso succede con frazioni di polinomi, radici e logaritmi. Il criterio misura la velocità geometrica dei termini, e tra $\frac{1}{n}$ e $\frac{1}{n^2}$ non vede differenza. Per tutte queste serie si usa il confronto asintotico con $\frac{1}{n^\alpha}$.

Esempi con il rapporto

Esempio 1: gli inversi dei fattoriali. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}$. Con $(n + 1)! = (n + 1)\,n!$ il rapporto è

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n!}{(n + 1)!} = \frac{1}{n + 1} \longrightarrow 0 < 1$$

La serie converge, e in fretta. La sua somma è il numero $e$: è dimostrato nelle successioni monotone, e lo ritroverai con le serie di Taylor.

Esempio 2: una somma con un trucco. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}$. Il rapporto è

$$\frac{n + 1}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n + 1}{2n} \longrightarrow \frac{1}{2} < 1$$

La serie converge, e qui si riesce anche a calcolare la somma. Chiamiamo $S$ la somma e dimezziamola: $\frac{S}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \dots$ Mettendo $S$ e $\frac{S}{2}$ in colonna, con i termini dello stesso denominatore uno sotto l’altro, e sottraendo:

$$\begin{gathered} S - \frac{S}{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 - 1}{4} + \frac{3 - 2}{8} + \dots \\ S - \frac{S}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \\ S - \frac{S}{2} = 1 \end{gathered}$$

Quindi $\frac{S}{2} = 1$ e $S = 2$. Il trucco è lecito perché le due serie convergono e la linearità permette di sottrarle termine a termine.

Esempio 3: termini piccoli che divergono. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{5^n}$. I primi termini sono piccoli e scendono: $0{,}2$, $0{,}08$, $0{,}048$, $0{,}0384$. Ma il rapporto è

$$\frac{(n + 1)!}{5^{n + 1}} \cdot \frac{5^n}{n!} = \frac{n + 1}{5} \longrightarrow +\infty$$

Siccome $\ell = +\infty > 1$, la serie diverge. Il rapporto vale 1 per $n = 4$, quindi $a_5 = a_4$, e da lì in poi supera 1: i termini crescono senza fermarsi.

Esempio 4: un prodotto. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{3^n\,n!}$. Il numeratore è il prodotto dei primi $n$ dispari: passando da $n$ a $n + 1$ si aggiunge il fattore $2n + 1$. Il rapporto è quindi

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{2n + 1}{3\,(n + 1)} \longrightarrow \frac{2}{3} < 1$$

e la serie converge. Con i prodotti che crescono di un fattore a ogni passo il rapporto è imbattibile.

Il criterio della radice

Quando il termine generale è una potenza con esponente $n$, il rapporto fa fare conti lunghi. La radice $n$-esima invece toglie l’esponente in un colpo.

Perché è vero. Se $\ell < 1$, scegliamo $q$ con $\ell < q < 1$: da un certo indice in poi $\sqrt[n]{a_n} \leq q$, cioè $a_n \leq q^n$, e si confronta direttamente con la serie geometrica $\sum q^n$, senza catena di passi. Se $\ell > 1$, da un certo indice in poi $\sqrt[n]{a_n} > 1$, cioè $a_n > 1$: i termini non tendono a 0 e la serie diverge. Con $\ell = 1$ valgono gli stessi controesempi di prima: $\sqrt[n]{\frac{1}{n}}$ e $\sqrt[n]{\frac{1}{n^2}}$ tendono entrambe a 1, perché $\sqrt[n]{n} \to 1$.

Esempio 5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{3n + 1}{4n + 5}\right)^n$. La radice $n$-esima toglie l’esponente:

$$\sqrt[n]{a_n} = \frac{3n + 1}{4n + 5} \longrightarrow \frac{3}{4} < 1$$

La serie converge. Con il rapporto si sarebbe dovuto dividere due potenze con basi ed esponenti diversi: molto più lungo.

Esempio 6: una forma uno all’infinito. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2}$. La radice $n$-esima è $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$, che tende a $e^{-1} = \frac{1}{e} < 1$ per il limite notevole della forma $1^\infty$: la serie converge. Non farti ingannare dalla base che tende a 1: conta insieme al suo esponente.

Rapporto o radice: chi vede di più

I due criteri sono parenti stretti.

L’idea della dimostrazione, per $0 < \ell < +\infty$. Fissiamo un numero piccolo $\varepsilon > 0$ (la lettera greca «epsilon»), minore di $\ell$. Da un certo $N$ in poi il rapporto sta tra $\ell - \varepsilon$ e $\ell + \varepsilon$, e concatenando i passi come nella dimostrazione del criterio:

$$a_N\,(\ell - \varepsilon)^{n - N} \leq a_n \leq a_N\,(\ell + \varepsilon)^{n - N}$$

Prendiamo la radice $n$-esima: a destra resta $\ell + \varepsilon$ per la radice $n$-esima della costante $a_N (\ell + \varepsilon)^{-N}$, che tende a 1, e a sinistra lo stesso con $\ell - \varepsilon$. Siccome $\varepsilon$ è piccolo a piacere, $\sqrt[n]{a_n} \to \ell$. I casi $\ell = 0$ e $\ell = +\infty$ sono simili.

Quindi ogni volta che il rapporto decide, la radice decide allo stesso modo: il criterio della radice è più forte. Il viceversa è falso. Prendi la serie geometrica $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ e scambia i termini a due a due:

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{1}{32} + \dots$$

Sono gli stessi termini, e la somma resta 1. In formula $a_n = \frac{2^{(-1)^n}}{2^n}$: per $n$ pari vale $\frac{2}{2^n}$, per $n$ dispari $\frac{1}{2 \cdot 2^n}$. Il rapporto salta: vale 2 passando da un indice dispari al pari successivo, $\frac{1}{8}$ passando da un pari al dispari. Non ha limite, e siccome supera 1 infinite volte non funziona neanche la versione con le disuguaglianze. La radice invece è

$$\sqrt[n]{a_n} = \frac{2^{(-1)^n / n}}{2} \longrightarrow \frac{1}{2}$$

perché l’esponente $\frac{(-1)^n}{n}$ tende a 0. Il criterio della radice decide: la serie converge.

Le versioni con il massimo limite. Se il limite non esiste si usano il massimo limite $\limsup$ e il minimo limite $\liminf$, definiti nell’articolo su sottosuccessioni e Bolzano-Weierstrass. Per la radice: se $\limsup \sqrt[n]{a_n} < 1$ la serie converge, se è maggiore di 1 i termini non tendono a 0 e la serie diverge. Per il rapporto: se $\limsup \frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1$ la serie converge, se $\liminf \frac{a_{n + 1}}{a_n} > 1$ diverge. Nella serie con i termini scambiati il rapporto ha massimo limite 2 e minimo limite $\frac{1}{8}$: neanche così decide. All’esame quasi sempre bastano le versioni con il limite.

Serie con termini di segno qualunque

Rapporto e radice valgono per termini positivi. Se i segni variano, si applicano a $\lvert a_n \rvert$: se $\frac{\lvert a_{n + 1} \rvert}{\lvert a_n \rvert}$ oppure $\sqrt[n]{\lvert a_n \rvert}$ tende a $\ell < 1$, la serie dei valori assoluti converge, cioè la serie converge assolutamente, e quindi converge. È il teorema della convergenza assoluta. Per esempio, per $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n\,n^4}{3^n}$ il rapporto dei valori assoluti è $\frac{1}{3}\left(\frac{n + 1}{n}\right)^4 \to \frac{1}{3}$: convergenza assoluta.

Con $\ell > 1$ c’è una conclusione in più, tipica di questi due criteri: i valori assoluti non tendono a 0, quindi neanche $a_n$, e la serie non converge. Non scrivere «diverge»: con i segni variabili la serie può essere irregolare, come $\sum (-2)^n$, le cui somme parziali saltano tra $1, -1, 3, -5, 11, \dots$ Con $\ell = 1$, invece, non si sa niente: per le serie a segni alterni si prova il criterio di Leibniz.

Serie con un parametro x

Quando nel termine compare una potenza $x^n$, il rapporto dei valori assoluti fa uscire $\lvert x \rvert$, e il criterio dice per quali $x$ la serie converge. Tre esempi tipici:

serie	limite del rapporto	converge per
$\sum n\,x^n$	$\lvert x \rvert$	$-1 < x < 1$
$\sum \frac{x^n}{\ln n}$	$\lvert x \rvert$	$-1 \leq x < 1$
$\sum \frac{x^n}{n!}$	$0$	ogni $x$

Nelle prime due il rapporto è $\lvert x \rvert \frac{n + 1}{n}$ oppure $\lvert x \rvert \frac{\ln n}{\ln(n + 1)}$, che tende a $\lvert x \rvert$ perché $\ln(n + 1) \sim \ln n$: convergenza assoluta per $\lvert x \rvert < 1$, nessuna convergenza per $\lvert x \rvert > 1$. Negli estremi $x = \pm 1$ il limite è 1 e il criterio tace: si sostituisce e si usano altri criteri. In $\sum n\,x^n$ con $x = \pm 1$ i termini hanno valore assoluto $n$ e non tendono a 0: niente convergenza. In $\sum \frac{x^n}{\ln n}$ con $x = 1$ c’è $\sum \frac{1}{\ln n}$, che diverge perché $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$; con $x = -1$ una serie a segni alterni, che converge per Leibniz perché $\frac{1}{\ln n}$ decresce verso 0. Stesso rapporto, estremi diversi: è il metodo del raggio di convergenza delle serie di potenze.

Nella terza il rapporto è $\frac{\lvert x \rvert}{n + 1} \to 0$ per ogni $x$, quindi la serie converge sempre. Ne segue un risultato utile: per la condizione necessaria

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{n!} = 0 \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R}$$

Vale anche con $x = 100$, dove i termini salgono fino a circa $10^{42}$ prima di crollare.

Quale criterio scegliere: la scaletta

La forma del termine generale suggerisce quasi sempre la strada:

Se nel termine c’è…	Prova con…
un termine che non tende a 0	condizione necessaria: non converge
fattoriali, prodotti, ${c^n}$, ${n^n}$	il criterio del rapporto
qualcosa elevato alla ${n}$ o alla ${n^2}$	il criterio della radice
solo potenze e radici di ${n}$, funzioni di ${\frac{1}{n}}$	il confronto asintotico con ${\frac{1}{n^\alpha}}$
logaritmi come ${\frac{1}{n \ln n}}$	il criterio dell’integrale
segni variabili	rapporto o radice su ${\lvert a_n \rvert}$, poi Leibniz

Poi si procede così:

1. Controlla il segno; se varia, passa ai valori assoluti.
2. Semplifica il termine: a volte i fattoriali spariscono.
3. Scrivi $a_{n + 1}$ con tutte le parentesi: $(n + 1)!$, $2^{n + 1}$, $(n + 1)^{n + 1}$, $(2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)\,(2n)!$.
4. Calcola $\ell$ e concludi: $\ell < 1$ converge, $\ell > 1$ diverge.
5. Se $\ell = 1$ e il rapporto è definitivamente maggiore o uguale a 1, la serie diverge; altrimenti cambia criterio.

Le trappole classiche.

• Fattoriali contro $n^n$. Per $\frac{n!}{n^n}$ il rapporto è $\left(\frac{n}{n + 1}\right)^n \to \frac{1}{e}$ (il conto è nel criterio per le successioni), quindi $\sum \frac{n!}{n^n}$ converge. Con $n!$ e $n^n$ insieme, nel limite spunta quasi sempre $e$.
• Esponenti $n^2$. La radice $n$-esima di $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}$ è $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, che tende a $e$, non a 1.
• Uguale a 1 per un pelo. In $\frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}}{e^n}$ la radice tende a $\frac{e}{e} = 1$, e serve la formula di Taylor: è l’esercizio 6 degli esercizi svolti sulle serie.
• Le radici che tendono a 1. $\sqrt[n]{n^k} \to 1$ e $\sqrt[n]{c} \to 1$ per ogni costante $c > 0$: nella radice restano solo i fattori elevati alla $n$.

Un po’ di storia

Il criterio del rapporto porta il nome di Jean le Rond d’Alembert, a cui di solito si attribuisce la prima pubblicazione, nel 1768, nel quinto volume dei suoi Opuscules mathématiques. Il criterio della radice si deve ad Augustin-Louis Cauchy, che lo pubblicò nel 1821 nel Cours d’analyse, il manuale scritto per i suoi studenti dell’École polytechnique, considerato tra i testi che hanno dato all’Analisi il rigore moderno. Non confonderlo con il criterio di Cauchy per le serie, quello sui blocchi di termini consecutivi.

Gli errori più comuni

• Concludere qualcosa con ℓ = 1. Il criterio tace: $\sum \frac{1}{n}$ e $\sum \frac{1}{n^2}$ danno entrambe 1. Con frazioni di polinomi e radici succede sempre: serve il confronto asintotico.
• Pensare che basti un rapporto minore di 1. Serve un $q < 1$ fisso con $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leq q$: la serie armonica ha rapporto sempre minore di 1 e diverge.
• Confondere ℓ con la somma. Per $\sum \frac{n}{2^n}$ il rapporto tende a $\frac{1}{2}$, ma la somma è 2: $\ell$ dice solo se la serie converge.
• Scrivere male il termine successivo. Dopo $n!$ viene $(n + 1)!$, non $n! + 1$; in $n^n$ cambiano sia la base sia l’esponente, $(n + 1)^{n + 1}$.
• Dire che $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ tende a 1. È una forma $1^\infty$ e tende a $e$: con $n^n$ e con gli esponenti $n^2$ cambia il risultato.
• Dimenticare i valori assoluti, o scrivere «diverge». Con segni variabili si lavora con $\lvert a_n \rvert$; con $\ell > 1$ la serie non converge, ma può essere irregolare.
• Dimenticare gli estremi. Con un parametro $x$, dove il limite vale 1 bisogna sostituire e studiare la serie a parte.

Esercizi svolti

1. Un fattoriale al denominatore

Testo. Studia il carattere di $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n + 1)\,3^n}{n!}$ e calcolane la somma, sapendo che $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$ per ogni $x$.

Termini positivi, fattoriale ed esponenziale: rapporto. Il termine successivo è $\frac{(n + 2)\,3^{n + 1}}{(n + 1)!}$. Moltiplichiamo per il reciproco di $a_n$ e usiamo $(n + 1)! = (n + 1)\,n!$:

$$\begin{gathered} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{(n + 2)\,3^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{(n + 1)\,3^n} \\ {} = \frac{3\,(n + 2)}{(n + 1)^2} \longrightarrow 0 \end{gathered}$$

Siccome $0 < 1$, la serie converge. Per la somma spezziamo il termine in $\frac{n\,3^n}{n!} + \frac{3^n}{n!}$: sono due serie convergenti (per il rapporto, come sopra), quindi si possono sommare a parte. La seconda vale $e^3$. Nella prima il termine con $n = 0$ è nullo, e per $n \geq 1$ si semplifica $\frac{n}{n!} = \frac{1}{(n - 1)!}$. Ponendo $m = n - 1$:

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^n}{(n - 1)!} = 3\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{3^m}{m!} = 3\,e^3$$

La somma è $3e^3 + e^3 = 4e^3 \approx 80{,}34$.

2. Un esponente n al quadrato

Testo. Studia il carattere di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2\,2^n}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}}$.

I termini sono positivi, e l’esponente $n^2$ suggerisce la radice. Siccome $\sqrt[n]{n^2} = \left(\sqrt[n]{n}\right)^2$ e la radice $n$-esima di $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}$ è $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$:

$$\sqrt[n]{a_n} = \frac{2\left(\sqrt[n]{n}\right)^2}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}$$

Al numeratore $\sqrt[n]{n} \to 1$; al denominatore $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e$, per il limite notevole. Quindi

$$\sqrt[n]{a_n} \longrightarrow \frac{2}{e} \approx 0{,}74 < 1$$

e la serie converge, con somma circa 109,3. La trappola è pensare che $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}$ tenda a 1 perché la base tende a 1: invece cresce più o meno come $e^n$, e batte $2^n$.

3. Quando rapporto e radice danno 1

Testo. Studia il carattere di (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n + 1)! - n!}{(n + 2)!}$ e (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}\;n!}{(n + 2)!}$.

Ci sono fattoriali, ma prima di usare il rapporto conviene semplificare. In (a), raccogliendo $n!$ al numeratore:

$$\begin{gathered} (n + 1)! - n! = n!\,(n + 1 - 1) = n \cdot n! \\ a_n = \frac{n \cdot n!}{(n + 2)!} = \frac{n}{(n + 1)(n + 2)} \end{gathered}$$

perché $(n + 2)! = (n + 2)(n + 1)\,n!$. I fattoriali sono spariti, e resta una frazione di polinomi. Infatti il rapporto è

$$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{(n + 1)^2}{n\,(n + 3)} \longrightarrow 1$$

e anche la radice tende a 1: il criterio tace. Si usa il confronto asintotico: $a_n \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$, e la serie armonica diverge. La serie (a) diverge.

In (b), allo stesso modo, $b_n = \frac{\sqrt{n}}{(n + 1)(n + 2)}$. Rapporto e radice tendono di nuovo a 1, ma

$$b_n \sim \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}$$

e con esponente $\frac{3}{2} > 1$ la serie (b) converge. Stessi criteri muti, risultati opposti: decide il confronto.

4. Un parametro nella base

Testo. Al variare di $a > 0$, studia il carattere di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^n\,(n!)^2}{n^{2n}}$.

I termini sono positivi, e ci sono fattoriali e $n^{2n}$: rapporto. Il rapporto di un prodotto è il prodotto dei rapporti: per $a^n$ è $a$, per $(n!)^2$ è $(n + 1)^2$, per $\frac{1}{n^{2n}}$ è $\frac{n^{2n}}{(n + 1)^{2n + 2}}$. Quindi

$$\begin{gathered} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = a\,(n + 1)^2 \cdot \frac{n^{2n}}{(n + 1)^{2n + 2}} \\ {} = a\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{2n} \\ {} = \frac{a}{\left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^2} \longrightarrow \frac{a}{e^2} \end{gathered}$$

• Se $0 < a < e^2$, allora $\ell < 1$ e la serie converge.
• Se $a > e^2$, allora $\ell > 1$ e la serie diverge.
• Se $a = e^2 \approx 7{,}39$, il limite è 1 e il criterio tace.

Nel caso di confine usiamo la versione con le disuguaglianze. La successione $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ cresce e tende a $e$ (lo hai visto nelle successioni monotone), quindi è sempre minore di $e$. Allora, con $a = e^2$, il rapporto $\frac{e^2}{\left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^2}$ è maggiore di 1 per ogni $n$: i termini crescono, partono da $a_1 = e^2$ e non tendono a 0. La serie diverge.

In conclusione la serie converge se e solo se $0 < a < e^2$: con $a = 7$ converge, con $a = 8$ diverge. Il confine è $e^2$, non $e$, perché il fattoriale è al quadrato. Controllo con la formula di Stirling: il termine si comporta come $2\pi n \left(\frac{a}{e^2}\right)^n$.

5. Un parametro x e i due estremi

Testo. Determina per quali $x \in \mathbb{R}$ converge $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x - 1)^n}{2^n\,\sqrt{n}}$, distinguendo convergenza assoluta e semplice.

Il segno dei termini dipende da $x$: si usa il rapporto sui valori assoluti. Per $x \neq 1$:

$$\begin{gathered} \frac{\lvert a_{n + 1} \rvert}{\lvert a_n \rvert} = \frac{\lvert x - 1 \rvert^{n + 1}}{2^{n + 1}\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{2^n \sqrt{n}}{\lvert x - 1 \rvert^n} \\ {} = \frac{\lvert x - 1 \rvert}{2}\sqrt{\frac{n}{n + 1}} \longrightarrow \frac{\lvert x - 1 \rvert}{2} \end{gathered}$$

• Se $\lvert x - 1 \rvert < 2$, cioè $-1 < x < 3$, il limite è minore di 1 e la serie converge assolutamente (in $x = 1$ i termini sono tutti nulli).
• Se $\lvert x - 1 \rvert > 2$ il limite è maggiore di 1: i termini non tendono a 0 e la serie non converge.

Negli estremi il limite vale 1, e si sostituisce.

• In $x = 3$ si ha $\frac{2^n}{2^n\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$: è la serie armonica generalizzata con esponente $\frac{1}{2} \leq 1$, che diverge.
• In $x = -1$ si ha $\frac{(-2)^n}{2^n\sqrt{n}} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$. I valori assoluti danno la serie di $\frac{1}{\sqrt{n}}$, che diverge: niente convergenza assoluta. Ma $\frac{1}{\sqrt{n}}$ è positivo, decrescente e tende a 0, quindi per Leibniz la serie converge semplicemente.

L’insieme di convergenza è $[-1, 3)$: convergenza assoluta in $(-1, 3)$, solo semplice in $x = -1$. Due estremi, due criteri diversi.

6. Vero o falso

Testo. Di’ se ogni affermazione è vera o falsa, motivando. Nelle prime quattro i termini sono positivi.

1. Se $\frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1$ per ogni $n$, la serie converge.
2. Se $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leq 0{,}9$ per ogni $n \geq 10$, la serie converge.
3. Se la serie converge e il limite del rapporto esiste, allora è minore di 1.
4. Se il rapporto non ha limite, la serie non converge.
5. Se $\sqrt[n]{\lvert a_n \rvert} \to 3$, la serie diverge a $+\infty$.

1. Falso. Nella serie armonica il rapporto $\frac{n}{n + 1}$ è sempre minore di 1, ma la serie diverge.

2. Vero. Per $n \geq 10$ si ha $a_n \leq a_{10} \cdot 0{,}9^{n - 10}$, termine di una geometrica convergente.

3. Falso. $\sum \frac{1}{n^2}$ converge e il limite del rapporto è 1. È vero invece che il limite, se esiste, è al massimo 1.

4. Falso. Nella geometrica con i termini scambiati il rapporto salta tra 2 e $\frac{1}{8}$, eppure la serie converge.

5. Falso. Definitivamente $\lvert a_n \rvert > 1$, quindi la serie non converge, ma non è detto che diverga: $\sum (-3)^n$ ha somme parziali $1, -2, 7, -20, \dots$ ed è irregolare.

In sintesi

• Rapporto (d’Alembert): se $a_n > 0$ e $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \to \ell$, la serie converge per $\ell < 1$, diverge per $\ell > 1$, e con $\ell = 1$ non si conclude.
• Radice (Cauchy): se $a_n \geq 0$ e $\sqrt[n]{a_n} \to \ell$, stesse conclusioni.
• Si dimostrano con una geometrica che fa da tetto, con $\ell < q < 1$. Basta $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leq q < 1$ definitivamente, ma $\frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1$ da solo non basta.
• Con $\ell = 1$ entrambi tacciono, come per tutte le potenze di $n$: serve il confronto asintotico.
• Se il rapporto ha limite, la radice ha lo stesso limite: la radice è più forte, il rapporto più comodo con i fattoriali.
• Con segni variabili si usa $\lvert a_n \rvert$: $\ell < 1$ dà convergenza assoluta, $\ell > 1$ dà non convergenza.
• Con un parametro $x$ il rapporto dà l’intervallo di convergenza; gli estremi si studiano a parte.

Quando i segni si alternano e rapporto e radice dei valori assoluti danno 1, serve un criterio nuovo: lo vediamo con le serie a segni alterni e il criterio di Leibniz.