Esercizi svolti sulle serie numeriche: somme, criteri di convergenza e parametri

Perché questo metodo. Le somme esatte si sanno calcolare quasi solo per le serie geometriche e telescopiche: il lavoro è riscrivere il termine in una di queste due forme.

1. Siccome $2^{2n - 1} = \frac{4^n}{2}$, il termine è $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}\right)^n$: geometrica di ragione $\frac{4}{5}$, compresa tra $-1$ e 1, quindi convergente. Il primo termine, con $n = 1$, è $\frac{2}{5}$, e la somma è primo termine fratto $1 -$ ragione:

2. Per $n$ dispari il numeratore è 0, per $n$ pari vale 2. Restano solo i termini pari: ponendo $n = 2k$, con $3^{2k} = 9^k$,

Controllo: spezzando, $\sum \frac{1}{3^n} = \frac{1}{2}$ e $\sum \left(-\frac{1}{3}\right)^n = -\frac{1}{4}$, due geometriche convergenti, e $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

3. Il numeratore è la differenza dei due quadrati al denominatore, $(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$. Quindi

e ogni $-\frac{1}{(k + 1)^2}$ si cancella con il $+\frac{1}{(k + 1)^2}$ del termine dopo. Restano il primo pezzo e l’ultimo: $s_n = 1 - \frac{1}{(n + 1)^2} \to 1$. La somma è 1.

4. Facendo il denominatore comune si controlla che

(al numeratore resta $(n + 2) - n = 2$). È la forma $\frac{1}{2}(b_n - b_{n + 1})$ con $b_n = \frac{1}{n(n + 1)}$, quindi

La somma è $\frac{1}{4}$.

Perché questo metodo. È il controllo più veloce: se $a_n$ non tende a 0, la serie non converge; se $a_n \to 0$, non dice niente.

1. Con il limite notevole $1 - \cos t \sim \frac{t^2}{2}$ per $t \to 0$, con $t = \frac{1}{n}$:

I termini tendono a $\frac{1}{2} \neq 0$ e sono positivi: le somme parziali crescono e la serie diverge a $+\infty$.

2. È una forma $1^\infty$. Si scrive la potenza come esponenziale e si usa $\ln(1 + t) \sim t$, con $t = -\frac{3}{n + 3} \to 0$:

Quindi $a_n \to e^{-6} \neq 0$: termini positivi, la serie diverge a $+\infty$.

3. I valori assoluti tendono a 1, quindi i termini si avvicinano alternativamente a 1 e a $-1$ e non hanno limite: la serie non converge. Di più: siccome $\frac{n^2}{n^2 + 1} = 1 - \frac{1}{n^2 + 1}$,

La serie di $\frac{(-1)^n}{n^2 + 1}$ converge (assolutamente: il valore assoluto è minore di $\frac{1}{n^2}$ da $n = 1$ in poi), mentre le somme parziali di $(-1)^n$ saltano tra 1 e 0. Quindi le somme parziali della serie data si avvicinano alternativamente a due valori diversi: la serie è irregolare.

4. Per la gerarchia degli infiniti $\frac{\ln n}{n} \to 0$: la condizione necessaria non decide. Ma per $n \geq 3$ si ha $\ln n > 1$, quindi $\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}$: per confronto con la serie armonica, la serie diverge.

Perché questo metodo. Con potenze, radici e funzioni di $\frac{1}{n}$ si cerca la parte principale, una potenza $\frac{c}{n^p}$ asintotica al termine. Per il confronto asintotico, una serie a termini positivi si comporta come $\sum \frac{1}{n^p}$, che converge se e solo se $p > 1$.

Tutti i termini sono positivi: nel punto 2 perché $\sqrt{n^2 + 1} > n$, nel 3 perché $0 < \frac{1}{n} \leq 1 < \pi$, nel 5 perché $2 + \cos n \geq 1$.

1. Tenendo le potenze più alte, $\frac{2n^2 + 3}{n^4 + n} \sim \frac{2n^2}{n^4} = \frac{2}{n^2}$. Con $p = 2 > 1$ la serie converge.

2. È una forma $\infty - \infty$: si razionalizza.

Si comporta come la serie armonica: diverge.

3. Con $\sin t \sim t$ e $t = \frac{1}{n}$: $\frac{1}{\sqrt{n}}\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{\sqrt{n} \cdot n} = \frac{1}{n^{3/2}}$. Con $p = \frac{3}{2} > 1$ la serie converge.

4. Con $\ln(1 + t) \sim t$ e $t = \frac{1}{n^2}$: $n \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$. La serie diverge: senza il fattore $n$ sarebbe convergente.

5. Il rapporto con $\frac{1}{n}$ è $2 + \cos n$, che non ha limite: il confronto asintotico non si può usare. Funziona il confronto semplice, dal basso:

e la serie armonica diverge. Quindi la serie diverge.

Perché questo metodo. In ogni termine c’è una differenza in cui le parti principali si cancellano: con $e^{1/n} - 1 \sim \frac{1}{n}$ o $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$ si otterrebbe 0. Serve il primo termine che non si cancella, e lo dà la formula di Taylor per $t \to 0$:

Sostituiamo $t = \frac{1}{n}$.

1. $e^{1/n} - 1 - \frac{1}{n} = \frac{1}{2n^2} + o\!\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{2n^2}$. I termini sono positivi, perché $e^t > 1 + t$ per $t \neq 0$: la serie converge.

2. $\frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n} = \frac{1}{6n^3} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right)$, quindi

I termini sono positivi, perché $\sin t < t$ per $t > 0$: la serie diverge.

3. $\frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2n^2} + o\!\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{2n^2}$, con termini positivi perché $\ln(1 + t) < t$ per $t > 0$: la serie converge.

Una sorpresa: siccome $\ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \ln(k + 1) - \ln k$, i logaritmi si cancellano a catena e

Quindi la differenza tra la serie armonica e il logaritmo ha limite finito: è la costante di Eulero-Mascheroni, $\gamma \approx 0{,}5772$.

Perché questo metodo. Fattoriali e potenze come $2^n$ o $n^n$ si semplificano nel rapporto $\frac{a_{n + 1}}{a_n}$. Per una serie a termini positivi, se il rapporto tende a $\ell < 1$ la serie converge, se $\ell > 1$ diverge, se $\ell = 1$ il criterio non decide. Ti servono $(n + 1)! = (n + 1)\,n!$ e $(2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)\,(2n)!$.

1. Dividendo i fattoriali restano $(n + 1)^2$ sopra e $(2n + 2)(2n + 1)$ sotto:

Siccome $\frac{1}{4} < 1$, la serie converge.

2. Semplificando $(n + 1)! = (n + 1)\,n!$ e $(n + 1)^{n + 1} = (n + 1)\,(n + 1)^n$:

Siccome $\frac{e}{2} \approx 1{,}36 > 1$, la serie diverge.

3. Ora i fattoriali danno $\frac{(2n + 2)(2n + 1)}{n + 1} = 2(2n + 1)$, e resta il rapporto delle potenze:

Siccome $\frac{4}{e} \approx 1{,}47 > 1$, la serie diverge.

Perché questo metodo. Quando l’esponente dipende da $n$, la radice $n$-esima lo semplifica. Per una serie a termini positivi, se $\sqrt[n]{a_n} \to \ell < 1$ la serie converge, se $\ell > 1$ diverge, se $\ell = 1$ il criterio non decide.

1. Siccome $\sqrt[n]{3^{n^2}} = 3^n$, la radice è $\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{3^n} \to 0$, perché l’esponenziale batte la potenza. Siccome $0 < 1$, la serie converge.

2. Con il limite notevole $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e$:

La radice non decide, e neanche il rapporto, che tende anche lui a 1. Torniamo al primo passo della scaletta, la condizione necessaria. Scriviamo $a_n = e^{c_n}$ con $c_n = n^2 \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) - n$, e usiamo Taylor al secondo ordine:

Quindi $a_n \to e^{-1/2} \approx 0{,}61 \neq 0$: la serie diverge a $+\infty$. Con i numeri, $a_{10} \approx 0{,}626$ e $a_{1000} \approx 0{,}607$.

Perché questo metodo. Il confronto con le potenze qui non decide: $\frac{1}{n \ln n}$ è più piccolo di $\frac{1}{n}$, ma definitivamente più grande di $\frac{1}{n^p}$ per ogni $p > 1$. Però $\frac{1}{x \ln x}$ si integra facilmente. Criterio dell’integrale: se $f$ è continua, positiva e decrescente su $[2, +\infty)$, la serie $\sum f(n)$ e l’integrale improprio $\int_2^{+\infty} f(x)\,dx$ hanno lo stesso carattere.

Ipotesi. Per $x \geq 2$ si ha $\ln x > 0$: le funzioni $\frac{1}{x \ln x}$ e $\frac{1}{x \ln^2 x}$ sono continue e positive. Sono decrescenti, perché i denominatori sono prodotti di funzioni positive e crescenti.

Prima serie. Con la sostituzione $u = \ln x$, $du = \frac{dx}{x}$:

L’integrale diverge, quindi la serie diverge.

Seconda serie. Con la stessa sostituzione:

L’integrale converge, quindi la serie converge. La sua somma è circa $2{,}11$, non $\frac{1}{\ln 2} \approx 1{,}44$: serie e integrale hanno lo stesso carattere, non lo stesso valore.

I numeri. Al computer le due serie si somigliano: dopo un milione di termini la prima vale $3{,}42$, la seconda $2{,}04$, ed entrambe sembrano ferme. La prima cresce come $\ln(\ln n)$: per arrivare a 10 servirebbe un numero di termini con più di quattromila cifre.

Perché questo metodo. I segni si alternano: la serie è $\sum (-1)^n\,b_n$ con $b_n = \frac{1}{n \ln n}$. Per il criterio di Leibniz, se $b_n$ è positiva, decrescente e tende a 0, la serie converge, e il resto $R_n = s - s_n$ soddisfa $\lvert R_n \rvert \leq b_{n + 1}$: l’errore è al massimo il primo termine trascurato.

Convergenza. $b_n > 0$ e $b_n \to 0$. Decresce perché $n \ln n$ cresce: la derivata di $x \ln x$ è $\ln x + 1 > 0$ per $x \geq 2$. Per Leibniz la serie converge.

Assoluta? I valori assoluti sono $\frac{1}{n \ln n}$, la serie dell’esercizio 7, che diverge. La serie converge semplicemente, non assolutamente.

L’errore. Serve $b_{n + 1} < \frac{1}{100}$, cioè $(n + 1)\ln(n + 1) > 100$. Proviamo: $29 \ln 29 \approx 97{,}7$ e $30 \ln 30 \approx 102{,}0$. Quindi $n + 1 = 30$: bisogna sommare fino a $n = 29$, e

Il primo termine trascurato, con $n = 30$, è positivo: la somma vera è più grande di $s_{29}$, e l’approssimazione è per difetto. Infatti, calcolata al computer, $s \approx 0{,}5264$: l’errore vero è $0{,}005$, dentro la stima.

Perché questo metodo. Con i segni variabili si studia prima $\sum \lvert a_n \rvert$, che è a termini positivi: se converge, la serie converge assolutamente, e quindi converge. Solo se $\sum \lvert a_n \rvert$ diverge e i segni si alternano si prova Leibniz.

1. I valori assoluti sono $\frac{n}{n^2 + 1} \sim \frac{1}{n}$: la loro serie diverge, quindi non c’è convergenza assoluta. Leibniz con $b_n = \frac{n}{n^2 + 1}$: è positivo e tende a 0. Per la monotonia deriviamo $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$:

che è negativa o nulla per $x \geq 1$: $b_n$ decresce. La serie converge semplicemente.

2. Siccome $\cos(n\pi) = (-1)^n$, è la serie a segni alterni $\sum \frac{(-1)^n}{\ln n}$. Siccome $\ln n < n$, i valori assoluti $\frac{1}{\ln n}$ sono maggiori di $\frac{1}{n}$, e la loro serie diverge per confronto. Ma $\frac{1}{\ln n}$ è positivo, decrescente e tende a 0: per Leibniz la serie converge semplicemente.

3. I segni cambiano in modo irregolare: $\cos 1$ è positivo, $\cos 2$, $\cos 3$ e $\cos 4$ sono negativi, poi tornano positivi. Leibniz non si applica, ma la convergenza assoluta sì:

e $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge. Per confronto la serie converge assolutamente, e quindi converge.

Perché questo metodo. Si cerca la parte principale in funzione di $\alpha$ e la si confronta con $\sum \frac{1}{n^p}$: la condizione $p > 1$ diventa una disequazione in $\alpha$. Poi si guardano a parte i valori di confine.

1. I termini sono positivi, perché $0 < \frac{1}{n^2} \leq 1 < \pi$. Con $\sin t \sim t$:

Per il confronto asintotico la serie converge se e solo se $2 - \alpha > 1$, cioè per $\alpha < 1$. Per $\alpha \geq 1$ diverge, ma per due motivi diversi: per $1 \leq \alpha < 2$ i termini tendono a 0 e la serie si comporta come una serie armonica generalizzata con esponente al massimo 1; per $\alpha = 2$ i termini tendono a 1, per $\alpha > 2$ a $+\infty$, e basta la condizione necessaria.

2. I termini sono positivi. Ci sono tre casi.

Se α > 1. Per $n \geq 3$ si ha $\ln n > 1$, quindi $\frac{1}{n^\alpha \ln n} < \frac{1}{n^\alpha}$, e $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge: per confronto la serie converge.

Se α = 1. È la serie $\sum \frac{1}{n \ln n}$ dell’esercizio 7: diverge.

Se 0 < α < 1. Confrontiamo con la serie armonica:

perché la potenza $n^{1 - \alpha}$, con esponente positivo, batte il logaritmo. Il rapporto tende a $+\infty$ e la serie armonica diverge: per il confronto asintotico la serie diverge.

Quindi converge se e solo se $\alpha > 1$, come $\sum \frac{1}{n^\alpha}$: il logaritmo non sposta il confine.

Perché questo metodo. È una serie di potenze: il segno dei termini dipende da $x$, quindi si usa il rapporto sui valori assoluti, e gli estremi dell’intervallo si studiano a parte.

Il rapporto. Per $x \neq 0$:

Se $\lvert x \rvert < 2$ il limite è minore di 1 e la serie converge assolutamente. Se $\lvert x \rvert > 2$ è maggiore di 1: i valori assoluti dei termini definitivamente crescono, non tendono a 0, e la serie non converge. In $x = 0$ tutti i termini sono 0. Il raggio di convergenza è $R = 2$.

Gli estremi.

• In $x = 2$ il termine è $\frac{2^n}{n\,2^n} = \frac{1}{n}$: la serie armonica, che diverge.
• In $x = -2$ il termine è $\frac{(-2)^n}{n\,2^n} = \frac{(-1)^n}{n}$: la serie armonica a segni alterni, che converge semplicemente (per Leibniz, ma non assolutamente).

L’insieme di convergenza è $[-2, 2)$: convergenza assoluta in $(-2, 2)$, solo semplice in $-2$.

La somma in −2. Dallo sviluppo $\ln(1 + x) = \sum (-1)^{n + 1}\frac{x^n}{n}$, con $x = 1$, si ha $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots = \ln 2$. La nostra serie è la stessa cambiata di segno:

Perché questo metodo. Lo stesso mattone, $b_n = \sqrt[n]{n} - 1$, in quattro serie diverse: il lavoro è riconoscere il criterio giusto. Prima si studia $b_n$, poi si segue la scaletta.

Il mattone. Si ha $\sqrt[n]{n} = e^{\frac{\ln n}{n}} \geq 1$, quindi $b_n \geq 0$. Siccome $\frac{\ln n}{n} \to 0$, con $e^t - 1 \sim t$:

La condizione necessaria è soddisfatta da tutte e quattro: non decide.

1. Termini positivi, forma con logaritmi e potenze: confronto asintotico. $b_n \sim \frac{\ln n}{n}$, e $\sum \frac{\ln n}{n}$ diverge (esercizio 2): la serie diverge.

2. $b_n^2 \sim \frac{\ln^2 n}{n^2}$. Confrontiamo con $\frac{1}{n^{3/2}}$: il rapporto è $\frac{\ln^2 n}{\sqrt{n}} \to 0$, e $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge. Per il confronto asintotico la serie converge.

3. Segni alterni. I valori assoluti sono $b_n$, e la loro serie diverge (punto 1): niente convergenza assoluta. Leibniz: $b_n \geq 0$ e $b_n \to 0$. Per la monotonia, $\frac{\ln x}{x}$ ha derivata $\frac{1 - \ln x}{x^2}$, negativa per $x > e$, e l’esponenziale è crescente: $b_n$ decresce da $n = 3$ in poi. Infatti $b_2 \approx 0{,}414$, $b_3 \approx 0{,}442$, $b_4 \approx 0{,}414$. Basta definitivamente: la serie converge semplicemente.

4. L’esponente è $n$: criterio della radice. $\sqrt[n]{a_n} = b_n \to 0 < 1$: la serie converge.