Errori comuni con i logaritmi: controesempi, regole corrette ed esercizi svolti

Gli errori con i logaritmi sono tra i più frequenti nei compiti di Analisi 1, e quasi sempre nascono da una regola che sembra giusta: il logaritmo di una somma spezzato in due, $\ln\left(x^2\right)$ scritto come $2 \ln x$, un verso dimenticato in una disequazione. Costano punti nelle espressioni, nei domini, nelle equazioni e disequazioni e, più avanti, nei limiti e negli studi di funzione. In questa pagina vediamo un’abitudine per smascherare da solo una regola falsa e sedici errori in quattro gruppi (di calcolo, di dominio, nelle equazioni e disequazioni, di scrittura e di calcolatrice), ognuno con la regola sbagliata, un controesempio con i numeri, la regola corretta con le sue condizioni e il punto dell’esame in cui fa danni, con i grafici dei casi in cui cambia il dominio; poi gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Le regole giuste, con le dimostrazioni, sono nelle proprietà dei logaritmi: qui guardiamo il rovescio della medaglia.

Prima di tutto: prova con i numeri

Una regola falsa si smonta con un solo esempio in cui non funziona. Per questo, prima di fidarti di un passaggio, provalo con numeri semplici.

1. Scegli valori comodi: $x = 1$, perché $\ln 1 = 0$; $x = e$ e $x = e^2$, perché $\ln e = 1$ e $\ln e^2 = 2$. Con il logaritmo decimale, 10 e 100.
2. Calcola i due membri separatamente. Se anche una sola volta vengono diversi, la regola è falsa.
3. Prova un numero negativo, per esempio $x = -1$: se un membro esiste e l’altro no, il passaggio ha cambiato il dominio.

Attento al contrario: se i due membri coincidono per un valore, non hai dimostrato niente. Le regole false a volte funzionano per caso:

$$\begin{gathered} \ln(2 + 2) = \ln 4 = \ln 2 + \ln 2 \\ \left(\log_{10} 100\right)^2 = 4 = 2 \log_{10} 100 \end{gathered}$$

Nel primo caso $2 + 2 = 2 \cdot 2$, nel secondo il logaritmo vale proprio 2. Anche $x = 1$ inganna spesso: tutti i logaritmi valgono 0, e $0 = 0$ non dice nulla. Per questo conviene provare almeno due valori diversi.

Errori di calcolo

Quasi tutti nascono dal trattare $\ln$ come un numero da distribuire o da semplificare. Ma $\ln$ è una funzione: $\ln(A + B)$ è «il logaritmo di $A + B$», non «$\ln$ per $A + B$».

Il logaritmo di una somma

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad \ln(A + B) = \ln A + \ln B$$

Controesempio. $\ln(1 + 1) = \ln 2 \approx 0{,}69$, mentre $\ln 1 + \ln 1 = 0$. Lo stesso per la differenza: $\ln(3 - 1) = \ln 2 \approx 0{,}69$, mentre $\ln 3 - \ln 1 = \ln 3 \approx 1{,}10$.

Corretto. Per $A, B > 0$ è la somma dei logaritmi a diventare il logaritmo di un prodotto, e la differenza quello di un quoziente:

$$\begin{gathered} \ln A + \ln B = \ln(AB) \\ \ln A - \ln B = \ln \frac{A}{B} \end{gathered}$$

Per il logaritmo di una somma non esiste nessuna formula. Quello che si può fare è raccogliere: siccome $A + B = A\left(1 + \frac{B}{A}\right)$, per $A, B > 0$

$$\ln(A + B) = \ln A + \ln\left(1 + \frac{B}{A}\right)$$

All’esame. Nelle equazioni esponenziali con i logaritmi, $\ln\left(2^x + 3\right)$ non è $x \ln 2 + \ln 3$: un’equazione come $\ln\left(2^x + 3\right) = \ln 7$ si risolve togliendo il logaritmo, $2^x + 3 = 7$, cioè $x = 2$. Nei limiti, invece, raccogliere serve a isolare la parte che cresce: $\ln\left(e^x + 1\right) = x + \ln\left(1 + e^{-x}\right)$, e siccome $e^{-x}$ diventa piccolissimo, per $x$ grande $\ln\left(e^x + 1\right)$ è quasi uguale a $x$. Per $x = 10$ la differenza è circa $0{,}000045$.

Il prodotto di due logaritmi

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad \ln A \cdot \ln B = \ln(AB)$$

Controesempio. $\log_{10} 10 \cdot \log_{10} 10 = 1 \cdot 1 = 1$, mentre $\log_{10} 100 = 2$.

Corretto. Il prodotto di due logaritmi non si semplifica, salvo casi particolari come le catene $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ del cambiamento di base, dove l’argomento di uno è la base dell’altro. Si semplifica invece un numero per un logaritmo: $k \ln A = \ln\left(A^k\right)$ per $A > 0$.

All’esame. Un prodotto uguale a zero si spezza con la legge di annullamento del prodotto. L’equazione $\ln x \cdot \ln(x - 1) = 0$ richiede $x > 1$ e dà $\ln x = 0$, cioè $x = 1$, che è fuori dal dominio, oppure $\ln(x - 1) = 0$, cioè $x = 2$: l’unica soluzione è $x = 2$. Chi scrive $\ln\big(x(x - 1)\big) = 0$ arriva invece a $x^2 - x - 1 = 0$, con due radici che non risolvono l’equazione di partenza.

Il quoziente di due logaritmi

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad \frac{\ln A}{\ln B} = \ln \frac{A}{B}$$

Controesempio. $\dfrac{\log_{10} 25}{\log_{10} 5} = 2$, perché $\log_{10} 25 = 2 \log_{10} 5$. Invece $\log_{10} \dfrac{25}{5} = \log_{10} 5 \approx 0{,}70$. E il logaritmo non si «semplifica» nemmeno: il risultato non è $\frac{25}{5} = 5$, perché $\log$ non è un fattore.

Corretto. Il quoziente di due logaritmi nella stessa base è un cambiamento di base: per $x > 0$, $y > 0$ e $y \neq 1$

$$\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x$$

Nel controesempio, $\log_5 25 = 2$. A diventare il logaritmo di un quoziente è la differenza: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$.

All’esame. $\frac{\ln x}{\ln 2} = 3$ significa $\log_2 x = 3$, cioè $x = 8$. Leggendolo come $\ln \frac{x}{2} = 3$ si trova $x = 2e^3 \approx 40{,}2$, e la verifica lo smentisce subito: $\frac{\ln 40{,}2}{\ln 2} \approx 5{,}3$.

Il quadrato di un logaritmo

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad (\ln x)^2 = \ln\left(x^2\right)$$

Controesempio. Per $x = \frac{1}{e}$: $\left(\ln \frac{1}{e}\right)^2 = (-1)^2 = 1$, mentre $\ln \frac{1}{e^2} = -2$. Il primo è un quadrato, quindi non è mai negativo; il secondo sì.

Corretto. L’esponente scende davanti solo se è l’esponente dell’argomento: $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln x$ per $x > 0$. Se è l’esponente del logaritmo, resta dov’è. Le scritture da riconoscere sono tre:

Scrittura	Significato	Esiste per
$\ln^2 x$	$(\ln x)^2$	$x > 0$
$\ln x^2$	$\ln\left(x^2\right)$	$x \neq 0$
$\ln (x + 1)^2$	$\ln\left((x + 1)^2\right)$	$x \neq -1$

È il motivo per cui si scrive $\ln^2 x$ per $(\ln x)^2$, come abbiamo visto nella definizione di logaritmo: così non si confonde con $\ln\left(x^2\right)$. Nel dubbio, metti le parentesi.

All’esame. $\ln^2 x = 1$ dà $\ln x = \pm 1$, cioè $x = e$ oppure $x = \frac{1}{e}$. Chi la legge come $2 \ln x = 1$ trova $x = \sqrt{e}$, che non è soluzione perché $\ln^2 \sqrt{e} = \frac{1}{4}$, non 1.

Esponenziali di somme di logaritmi

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad e^{\ln a + \ln b} = a + b$$

Controesempio. $e^{\ln 2 + \ln 3} = e^{\ln 6} = 6$, non 5.

Corretto. All’esponente una somma diventa un prodotto di potenze, e un coefficiente davanti al logaritmo diventa un esponente. Per $a$ e $b$ positivi:

$$\begin{gathered} e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \cdot e^{\ln b} = ab \\ e^{k \ln a} = a^k \end{gathered}$$

Per esempio $e^{2 \ln 5} = 25$, non 10. La somma $a + b$ viene invece da $e^{\ln a} + e^{\ln b}$: due esponenziali separati.

All’esame. Quando semplifichi una funzione: $e^{1 + \ln x} = e \cdot x$ per $x > 0$, non $e + x$. Controllo con $x = 1$: $e^{1 + 0} = e$, mentre $e + 1 \approx 3{,}72$. Serve nelle potenze con base ed esponente variabili, dove $f(x)^{g(x)}$ si scrive $e^{g(x) \ln f(x)}$.

Il logaritmo come divisione

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad \log_3 27 = \frac{27}{3} = 9$$

Controesempio. Se fosse $\log_3 27 = 9$, dovrebbe essere $3^9 = 27$; invece $3^9 = 19\,683$.

Corretto. $\log_3 27 = 3$, perché il logaritmo è un esponente: quello da dare a 3 per ottenere 27, e $3^3 = 27$. Nel dubbio riscrivi il logaritmo come potenza: $\log_a b = c$ significa $a^c = b$. Attento ai casi in cui la divisione funziona per caso, come $\log_2 4 = 2 = \frac{4}{2}$: è una coincidenza.

Errori di dominio

Qui il problema è dove le espressioni esistono. Una regola giusta per i numeri positivi, applicata alle lettere senza guardarne il segno, cambia il dominio; e a volte si scarta un’espressione che invece esiste.

Scrivere ln(x²) come 2 ln x

$${\color{#d94a38} \begin{gathered} \text{Sbagliato:} \quad \ln\left(x^2\right) = 2 \ln x \\ \text{per ogni}\;\; x \neq 0 \end{gathered}}$$

Controesempio. Per $x = -3$, $\ln\left((-3)^2\right) = \ln 9 \approx 2{,}20$ esiste, mentre $2 \ln(-3)$ non esiste.

Corretto.

$$\begin{gathered} \ln\left(x^2\right) = 2 \ln |x| \\ \text{per ogni } x \neq 0 \end{gathered}$$

Perché è vero. Per ogni $x$ si ha $x^2 = |x|^2$, e per $x \neq 0$ la base $|x|$ è positiva: la proprietà della potenza si applica a lei. Per $x > 0$ il valore assoluto si può togliere; per $x < 0$ no. Lo stesso vale per ogni esponente pari e per le potenze di una somma: $\ln\left(x^4\right) = 4 \ln|x|$ e $\ln\left((x + 1)^2\right) = 2 \ln|x + 1|$ per $x \neq -1$.

La figura mostra le tre funzioni. $\ln\left(x^2\right)$ e $2 \ln|x|$ sono la stessa funzione, con due rami simmetrici rispetto all’asse $y$; $2 \ln x$ ha solo il ramo di destra.

All’esame. Nelle equazioni, scrivere $2 \ln x$ al posto di $\ln\left(x^2\right)$ fa perdere tutte le soluzioni negative. Per esempio $\ln\left((x + 1)^2\right) = \ln 4$ dà $(x + 1)^2 = 4$, cioè $x = 1$ oppure $x = -3$, e sono buone entrambe. Chi scrive $2 \ln(x + 1) = \ln 4$ arriva a $\ln(x + 1) = \ln 2$ e trova solo $x = 1$. Negli studi di funzione si perde invece la simmetria: $\ln\left(x^2\right)$ è pari, $2 \ln x$ no.

Spezzare un logaritmo cambiando il dominio

Lo stesso problema compare con prodotti e quozienti.

$${\color{#d94a38} \begin{gathered} \text{Sbagliato:} \quad \ln\big((x - 1)(x - 2)\big) \\ {} = \ln(x - 1) + \ln(x - 2) \quad \text{ovunque} \end{gathered}}$$

Controesempio. Per $x = 0$, $\ln\big((-1)(-2)\big) = \ln 2$ esiste, mentre $\ln(-1)$ e $\ln(-2)$ no.

Corretto. Il primo membro esiste dove il prodotto è positivo, cioè per $x < 1$ oppure $x > 2$; il secondo solo dove sono positivi entrambi i fattori, cioè per $x > 2$. Dove il primo membro esiste, la formula giusta è

$$\begin{gathered} \ln\big((x - 1)(x - 2)\big) \\ {} = \ln|x - 1| + \ln|x - 2| \end{gathered}$$

In generale, se $AB > 0$ allora $\ln(AB) = \ln|A| + \ln|B|$, e se $\frac{A}{B} > 0$ allora $\ln \frac{A}{B} = \ln|A| - \ln|B|$. La regola pratica, che abbiamo incontrato in dominio e segno delle funzioni logaritmiche: il dominio si calcola sempre sulla funzione così come è scritta, prima di applicare qualsiasi proprietà.

All’esame. Le due direzioni fanno danni opposti: spezzare restringe il dominio e fa perdere soluzioni, comprimere lo allarga e ne fa comparire di false. Guarda queste due equazioni:

$$\begin{gathered} \ln\big((x - 1)(x - 2)\big) = \ln 2 \\ \ln(x - 1) + \ln(x - 2) = \ln 2 \end{gathered}$$

In entrambe, togliendo il logaritmo, si arriva a $(x - 1)(x - 2) = 2$, cioè $x^2 - 3x = 0$, quindi $x = 0$ oppure $x = 3$. La prima equazione ha due soluzioni. La seconda ne ha una, $x = 3$, perché $\ln 2 + \ln 1 = \ln 2$; $x = 0$ cade sul ramo che la somma non ha ed è una soluzione estranea. La figura lo mostra: la retta $y = \ln 2$ incontra due volte il primo grafico e una volta sola il secondo.

Credere che ln(−x) non esista mai

$${\color{#d94a38} \begin{gathered} \text{Sbagliato:} \quad \ln(-x) \text{ non esiste,} \\ \text{perché l'argomento è negativo} \end{gathered}}$$

Controesempio. Per $x = -5$, $\ln(-x) = \ln 5 \approx 1{,}61$, che esiste benissimo.

Corretto. Il segno meno davanti a una lettera non significa che il numero sia negativo. $-x$ è positivo quando $x$ è negativo, quindi $\ln(-x)$ ha dominio $x < 0$. È il simmetrico di $\ln x$ rispetto all’asse $y$, come abbiamo visto nei grafici di funzioni logaritmiche. Non esiste mai, invece, $\ln\left(-x^2\right)$: $-x^2$ è negativo o nullo per ogni $x$.

All’esame. $\ln(-x)$ compare ogni volta che togli un valore assoluto: per $x < 0$, $\ln|x| = \ln(-x)$. E il dominio di $\ln(5 - x)$, cioè $x < 5$, nasce dallo stesso ragionamento.

Semplificare l’esponenziale di un logaritmo senza condizioni

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad e^{\ln x} = x \;\; \text{per ogni } x$$

Controesempio. Per $x = -2$ il secondo membro vale $-2$, mentre $e^{\ln(-2)}$ non esiste, perché non esiste $\ln(-2)$.

Corretto. Per $a > 0$ con $a \neq 1$:

$$\begin{gathered} a^{\log_a x} = x \quad \text{solo per } x > 0 \\ \log_a\left(a^x\right) = x \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R} \end{gathered}$$

La seconda vale ovunque perché $a^x$ è sempre positivo. Quindi la funzione $f(x) = e^{\ln x}$ non è $y = x$: il suo grafico è solo la metà della bisettrice con $x > 0$.

All’esame. Succede semplificando: $e^{2 \ln x}$ vale $x^2$ solo per $x > 0$, e $10^{\log_{10}(x - 3)}$ vale $x - 3$ solo per $x > 3$. Nell’esercizio 3 vediamo che cosa succede in un’equazione.

Errori nelle equazioni e nelle disequazioni

Dimenticare il controllo finale

Nelle equazioni logaritmiche si usano spesso le proprietà per compattare i logaritmi, e in questo passaggio il dominio può allargarsi. Il risultato: soluzioni che soddisfano l’equazione trasformata ma non quella di partenza.

$${\color{#d94a38} \begin{gathered} \text{Sbagliato: scrivere le condizioni} \\ \text{sull'equazione già trasformata} \end{gathered}}$$

Controesempio. È quello della figura: $x = 0$ risolve $\ln\big((x - 1)(x - 2)\big) = \ln 2$, ma non $\ln(x - 1) + \ln(x - 2) = \ln 2$, da cui eravamo partiti.

Corretto.

1. Scrivi le condizioni di esistenza (C.E.) sull’equazione di partenza, prima di usare le proprietà.
2. Risolvi.
3. Per ogni soluzione controlla le C.E. e, se puoi, sostituiscila nell’equazione di partenza.

La sostituzione costa un minuto e scova anche gli errori di calcolo, che le condizioni di esistenza non vedono: lo vediamo nell’esercizio 6. Altri esempi sono nelle equazioni logaritmiche con le proprietà.

Dividere o moltiplicare per un logaritmo che può valere zero

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad x \ln x = 3 \ln x \;\Rightarrow\; x = 3$$

Controesempio. Anche $x = 1$ è soluzione: $1 \cdot \ln 1 = 0 = 3 \ln 1$. Dividendo per $\ln x$ si è perso proprio il valore in cui $\ln x = 0$.

Corretto. Non si divide per un’espressione che può essere zero: si porta tutto da una parte e si raccoglie.

$$\begin{gathered} x \ln x - 3 \ln x = 0 \\ (x - 3) \ln x = 0 \end{gathered}$$

Quindi $x = 3$ oppure $\ln x = 0$, cioè $x = 1$: due soluzioni, entrambe con $x > 0$. Ricorda che $\ln x$ si annulla per $x = 1$, non per $x = 0$.

All’esame. Moltiplicare fa il danno opposto: aggiunge soluzioni. L’equazione $\frac{x^2 + x - 2}{\ln x} = 0$ richiede $x > 0$ e $x \neq 1$. Moltiplicando per $\ln x$ si ottiene $x^2 + x - 2 = 0$, cioè $x = 1$ oppure $x = -2$, ma $x = -2$ è fuori dal dominio e $x = 1$ annulla il denominatore: l’equazione non ha soluzioni.

Dividere una disequazione per un logaritmo senza guardarne il segno

$$\color{#d94a38} \text{Sbagliato:} \quad x \ln 0{,}5 > 1 \;\Rightarrow\; x > \frac{1}{\ln 0{,}5}$$

Controesempio. $\frac{1}{\ln 0{,}5} \approx -1{,}44$, quindi $x = 0$ dovrebbe andare bene. Ma $0 \cdot \ln 0{,}5 = 0$, che non è maggiore di 1.

Corretto. Il logaritmo naturale di un numero tra 0 e 1 è negativo: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}69$. Dividendo per un numero negativo il verso si inverte:

$$x < \frac{1}{\ln 0{,}5} \approx -1{,}44$$

Controllo con $x = -2$: $-2 \cdot \ln 0{,}5 \approx 1{,}39$, che è maggiore di 1.

Se il logaritmo contiene la $x$, il suo segno cambia con $x$ e non si può dividere né moltiplicare a occhi chiusi. $\frac{2}{\ln x} < 1$ non equivale a $2 < \ln x$: per $0 < x < 1$ il primo membro è negativo, quindi la disequazione è vera. Portando tutto da una parte si ottiene $\frac{2 - \ln x}{\ln x} < 0$, e lo studio del segno dà $0 < x < 1$ oppure $x > e^2$.

All’esame. Succede nelle disequazioni esponenziali con basi diverse e nei problemi di decadimento, come nell’esercizio 4.

Sbagliare il verso con una base minore di 1

$${\color{#d94a38} \begin{gathered} \text{Sbagliato:} \quad \log_{0{,}2}(x - 1) < 1 \\ {} \Rightarrow\; x - 1 < 0{,}2 \end{gathered}}$$

Controesempio. $x = 1{,}1$ rispetta $x - 1 < 0{,}2$, ma $\log_{0{,}2} 0{,}1 \approx 1{,}43$, che non è minore di 1.

Corretto. Con base tra 0 e 1 il logaritmo è strettamente decrescente: argomenti più grandi danno logaritmi più piccoli. Togliendo il logaritmo, quindi, il verso si inverte. Con la C.E. $x > 1$:

$$\begin{gathered} \log_{0{,}2}(x - 1) < \log_{0{,}2} 0{,}2 \\ {} \iff x - 1 > 0{,}2 \iff x > 1{,}2 \end{gathered}$$

La condizione $x > 1$ è già compresa. Con base maggiore di 1, invece, il verso resta: invertirlo per sicurezza è l’errore opposto. Il motivo è lo stesso dell’errore precedente: $\log_{0{,}2} A = \frac{\ln A}{\ln 0{,}2}$, e $\ln 0{,}2 < 0$. Il metodo completo è nelle disequazioni logaritmiche.

Errori di scrittura e di calcolatrice

Confondere ln e log

$${\color{#d94a38} \begin{gathered} \text{Sbagliato: } \log \text{ vuol dire sempre} \\ \text{logaritmo in base 10} \end{gathered}}$$

Controesempio. In Python math.log(100) restituisce circa 4,605, cioè $\ln 100$, non $\log_{10} 100 = 2$.

Corretto. Sulla calcolatrice $\log$ è il logaritmo in base 10 e $\ln$ quello naturale. In molti libri di Analisi e in molti linguaggi di programmazione, invece, $\log$ senza base è il logaritmo naturale. Le due basi danno risultati ben diversi: $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10} \approx 0{,}434 \ln x$. Controlla la convenzione del tuo corso e, quando scrivi tu, specifica la base: $\ln$ per il logaritmo naturale, $\log_{10}$ per quello decimale.

All’esame. Se nel testo di un limite o di uno studio di funzione compare $\log x$ senza base, di solito è $\ln x$; nel dubbio, chiedi.

La calcolatrice: modalità, tasti e parentesi

$${\color{#d94a38} \begin{gathered} \text{Sbagliato: «il logaritmo viene strano,} \\ \text{metto la calcolatrice in RAD»} \end{gathered}}$$

Controesempio. $\ln 2 \approx 0{,}693$ e $\log_{10} 2 \approx 0{,}301$ in qualsiasi modalità: gradi (DEG) e radianti (RAD) cambiano solo le funzioni goniometriche.

Corretto. Se il risultato non torna, controlla tre cose.

• Il tasto: $\log$ è in base 10, $\ln$ in base $e$.
• Le parentesi: $(\ln 2)^2 \approx 0{,}480$ e $\ln\left(2^2\right) \approx 1{,}386$ sono numeri diversi, come $\frac{\ln 8}{2} \approx 1{,}040$ e $\ln \frac{8}{2} \approx 1{,}386$. Digita le parentesi che intendi.
• La base: se la calcolatrice non ha un tasto per le altre basi, per $\log_5 12$ usa il cambiamento di base, $\frac{\ln 12}{\ln 5} \approx 1{,}544$.

Un messaggio di errore con $\ln(-4)$ o $\ln 0$ non è un guasto: è il dominio.

All’esame. Scrivi sempre prima il risultato esatto, come $\frac{\ln 12}{\ln 5}$, e solo dopo il valore approssimato: se sbagli un tasto, il ragionamento resta giusto.

Gli errori più comuni

Se hai poco tempo, ripassa questi otto: sono quelli che costano più punti.

• Spezzare il logaritmo di una somma. Per $\ln(A + B)$ non c’è formula.
• Scrivere $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln x$ per ogni $x$. Si perdono le soluzioni negative: la formula giusta è $2 \ln|x|$.
• Calcolare il dominio dopo aver usato le proprietà. Va calcolato sull’espressione di partenza.
• Accettare le soluzioni senza controllo. Comprimere allarga il dominio e crea soluzioni estranee.
• Dividere per un logaritmo che può valere zero. Si perdono le soluzioni in cui l’argomento vale 1.
• Dimenticare che il logaritmo di un numero tra 0 e 1 è negativo. Dividendo una disequazione per lui, il verso si inverte.
• Non invertire il verso con una base minore di 1. Quel logaritmo è strettamente decrescente: per $A, B > 0$, $\log_{0{,}2} A < \log_{0{,}2} B$ equivale ad $A > B$.
• Confondere $(\ln x)^2$ con $\ln\left(x^2\right)$, o $\ln$ con $\log$. Metti le parentesi e scrivi la base.

Esercizi svolti

In ogni esercizio c’è una soluzione sbagliata, come quelle che si trovano nei compiti: trova l’errore, poi correggi. Prova da solo prima di leggere.

1. Una somma e un quoziente

Testo. Uno studente scrive:

a) $\ln\left(e^3 + e^2\right) - \ln(e + 1) = 3 + 2 - 1 - 0 = 4$;

b) $\dfrac{\log_3 32}{\log_3 2} = \log_3 16 \approx 2{,}52$.

Trova gli errori e calcola i valori giusti.

a) Lo studente ha spezzato due logaritmi di somme: $\ln\left(e^3 + e^2\right)$ non è $\ln e^3 + \ln e^2$, e $\ln(e + 1)$ non è $\ln e + \ln 1$. Si raccoglie invece $e^2$:

$$\begin{gathered} e^3 + e^2 = e^2(e + 1) \\ \ln\left(e^2(e + 1)\right) = 2 + \ln(e + 1) \end{gathered}$$

Quindi l’espressione vale $2 + \ln(e + 1) - \ln(e + 1) = 2$. Controllo con la calcolatrice: $\ln 27{,}47 - \ln 3{,}718 \approx 3{,}313 - 1{,}313 = 2$.

b) Il quoziente di due logaritmi nella stessa base è un cambiamento di base, non il logaritmo del quoziente:

$$\frac{\log_3 32}{\log_3 2} = \log_2 32 = 5$$

perché $2^5 = 32$. Controllo: $\log_3 32 \approx 3{,}155$ e $\log_3 2 \approx 0{,}631$, e il loro rapporto è 5. I valori giusti sono 2 e 5.

2. Un dominio sbagliato

Testo. Per trovare il dominio di $f(x) = \sqrt{\ln\left((x - 1)^2\right)}$ uno studente scrive $\ln\left((x - 1)^2\right) = 2 \ln(x - 1)$ e impone $2 \ln(x - 1) \geq 0$, cioè $x \geq 2$. Dov’è l’errore? Qual è il dominio giusto?

L’errore è usare la proprietà della potenza prima di calcolare il dominio: $(x - 1)^2$ è positivo anche per $x < 1$, mentre $x - 1$ no. Lavoriamo sulla funzione così com’è: servono l’argomento del logaritmo positivo e il radicando non negativo.

$$\begin{cases} (x - 1)^2 > 0 \\ \ln\left((x - 1)^2\right) \geq 0 \end{cases}$$

La prima vale per $x \neq 1$. Per la seconda, $\ln A \geq 0$ quando $A \geq 1$, quindi serve $(x - 1)^2 \geq 1$, cioè $|x - 1| \geq 1$:

$$x - 1 \leq -1 \quad \text{oppure} \quad x - 1 \geq 1$$

Il dominio è $x \leq 0$ oppure $x \geq 2$ (la prima condizione è già compresa). Lo studente ha perso tutta la semiretta $x \leq 0$. Controllo con $x = -1$: $f(-1) = \sqrt{\ln 4} \approx 1{,}18$, che esiste. Con $x = \frac{1}{2}$, invece, $\ln \frac{1}{4} < 0$ e la radice non esiste.

3. Una soluzione in più

Testo. Risolvi $e^{2 \ln x} = x + 20$. Uno studente scrive $e^{2 \ln x} = x^2$, risolve $x^2 - x - 20 = 0$ e conclude: $x = 5$ oppure $x = -4$. Che cosa non va?

Il primo membro contiene $\ln x$, quindi esiste solo per $x > 0$: è la condizione di esistenza, da scrivere prima di semplificare. Per $x > 0$ la semplificazione è lecita:

$$e^{2 \ln x} = \left(e^{\ln x}\right)^2 = x^2$$

e l’equazione diventa

$$\begin{gathered} x^2 = x + 20 \\ x^2 - x - 20 = 0 \\ (x - 5)(x + 4) = 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $x = 5$ e $x = -4$, ma solo $x = 5$ rispetta $x > 0$. Verifica: $e^{2 \ln 5} = 5^2 = 25$ e $5 + 20 = 25$. Per $x = -4$, invece, il primo membro conterrebbe $\ln(-4)$: quella soluzione l’ha creata lo studente, usando $e^{2 \ln x} = x^2$ anche dove il primo membro non esiste. L’unica soluzione è $x = 5$.

4. Lo smartphone che perde valore

Testo. Uno smartphone perde ogni anno il 25% del suo valore. Dopo quanti anni varrà meno del 20% del prezzo iniziale? Uno studente scrive

$$\begin{gathered} 0{,}75^n < 0{,}2 \\ n \ln 0{,}75 < \ln 0{,}2 \\ n < \frac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}75} \approx 5{,}59 \end{gathered}$$

e conclude: «nei primi 5 anni». Trova l’errore.

Dopo $n$ anni il valore è il prezzo iniziale moltiplicato per $0{,}75^n$, quindi la disequazione $0{,}75^n < 0{,}2$ è giusta. È giusto anche applicare $\ln$ ai due membri: sono positivi e $\ln$ è strettamente crescente, quindi il verso resta. L’errore è nell’ultimo passaggio: $\ln 0{,}75 \approx -0{,}288$ è negativo, e dividendo il verso si inverte.

$$n > \frac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}75} \approx 5{,}59$$

Il valore scende sotto il 20% dal sesto anno: $0{,}75^5 \approx 0{,}237$, mentre $0{,}75^6 \approx 0{,}178$. Il risultato dello studente non poteva essere giusto: appena comprato, con $n = 0$, il telefono vale il 100% del prezzo. Bastava un controllo di buon senso.

5. Uno studio di funzione con ln(x²)

Testo. Studia dominio, simmetrie, zeri e segno di $f(x) = \ln\left(x^2\right) - 2$, e il suo comportamento vicino a $x = 0$. Uno studente riscrive $f(x) = 2 \ln x - 2$ e risponde: dominio $x > 0$, nessuna simmetria, uno zero in $x = e$, asintoto verticale $x = 0$ solo da destra. Correggi.

L’errore è il solito: $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln|x|$, non $2 \ln x$. Rifacciamo lo studio sulla funzione così com’è.

• Dominio. $x^2 > 0$, cioè $x \neq 0$.
• Simmetria. $f(-x) = \ln\left((-x)^2\right) - 2 = f(x)$: $f$ è pari e il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$.
• Zeri. $\ln\left(x^2\right) = 2 \iff x^2 = e^2 \iff x = \pm e$.
• Segno. $f(x) > 0 \iff x^2 > e^2$, cioè $x < -e$ oppure $x > e$; $f$ è negativa per $-e < x < 0$ e per $0 < x < e$.
• Vicino a 0. Quando $x$ si avvicina a 0, da destra e da sinistra, $x^2$ si avvicina a 0 restando positivo, quindi $\ln\left(x^2\right)$ scende verso $-\infty$: $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$ e la retta $x = 0$ è un asintoto verticale da entrambi i lati.

Il grafico è quello di $y = \ln\left(x^2\right)$ della prima figura, abbassato di 2. Lo studente aveva trovato metà grafico: quella con $x > 0$, dove le due scritture coincidono.

6. Un’equazione da esame, corretta riga per riga

Testo. Risolvi $\log_2\left(x^2\right) + \log_2(x + 3) = 2$. Ecco la soluzione di uno studente:

$$\begin{gathered} \text{C.E.: } x > 0 \\ 2 \log_2 x + \log_2(x + 3) = 2 \\ \log_2\big(2x(x + 3)\big) = 2 \\ 2x(x + 3) = 4 \\ x^2 + 3x - 2 = 0 \end{gathered}$$

Lo studente conclude $x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0{,}56$, perché l’altra radice è negativa. Trova gli errori e risolvi correttamente.

Gli errori sono tre.

1. Le condizioni di esistenza. Vanno scritte sull’equazione di partenza: $x^2 > 0$ e $x + 3 > 0$, cioè $x > -3$ con $x \neq 0$. Lo studente le ha scritte dopo aver trasformato $\log_2\left(x^2\right)$ in $2 \log_2 x$, che vale solo per $x > 0$, e ha buttato via le $x$ negative.
2. Il coefficiente. $2 \log_2 x + \log_2(x + 3)$ è $\log_2\left(x^2 (x + 3)\right)$, non $\log_2\big(2x(x + 3)\big)$: il 2 sale come esponente, non entra come fattore.
3. Il controllo finale. Sostituendo $x \approx 0{,}56$ nell’equazione di partenza, il primo membro vale circa $0{,}17$, non 2: bastava questo per accorgersi che qualcosa non andava.

La soluzione corretta. Con le C.E. $x > -3$ e $x \neq 0$ entrambi gli argomenti sono positivi, quindi possiamo comprimere senza toccare $x^2$:

$$\begin{gathered} \log_2\big(x^2(x + 3)\big) = 2 \\ x^2(x + 3) = 4 \\ x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \end{gathered}$$

$x = 1$ è una radice, perché $1 + 3 - 4 = 0$. Dividendo per $x - 1$, con Ruffini, si ottiene

$$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2$$

Le soluzioni sono $x = 1$ e $x = -2$, ed entrambe rispettano le C.E. Verifica:

$$\begin{gathered} x = 1\!: \ \log_2 1 + \log_2 4 = 0 + 2 = 2 \\ x = -2\!: \ \log_2 4 + \log_2 1 = 2 + 0 = 2 \end{gathered}$$

Lo studente ha perso entrambe le soluzioni: $x = -2$ per il dominio sbagliato, $x = 1$ per il coefficiente.

In sintesi

• Una regola falsa si smonta con un controesempio: prova almeno due valori, più uno negativo per il dominio.
• Per $A, B > 0$: $\ln A + \ln B = \ln(AB)$ e $\ln A - \ln B = \ln \frac{A}{B}$. Per $\ln(A + B)$ non c’è formula: si può solo raccogliere, $\ln A + \ln\left(1 + \frac{B}{A}\right)$.
• Prodotto, quoziente e quadrato di logaritmi non si semplificano come si vorrebbe: $\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x$, $(\ln x)^2 \neq \ln\left(x^2\right)$, $e^{\ln a + \ln b} = ab$.
• $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln|x|$ per $x \neq 0$; $\ln(AB) = \ln|A| + \ln|B|$ dove $AB > 0$; $a^{\log_a x} = x$ solo per $x > 0$.
• Il dominio si calcola sull’espressione di partenza: comprimere crea soluzioni estranee, spezzare ne fa perdere.
• Non si divide per un logaritmo che può valere zero. Il verso di una disequazione si inverte dividendo per un logaritmo negativo o togliendo un logaritmo con base minore di 1.
• Sulla calcolatrice $\log$ è in base 10, in molti libri di Analisi è $\ln$: scrivi sempre la base.

Ora tocca a te: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi.