Esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi: calcoli, cambiamento di base e domini

La strategia: compattare tutto in un solo logaritmo e riconoscere una potenza della base.

1. La somma diventa un prodotto:

perché $6^2 = 36$.

2. La differenza diventa un quoziente:

3. Prima il coefficiente sale come esponente, $2\log_5 10 = \log_5 100$; poi

4. I coefficienti salgono come esponenti: $2\log_2 6 = \log_2 36$ e $3\log_2 3 = \log_2 27$. Il 36 va al numeratore, il 27 al denominatore:

Il conto: $24 \cdot 36 = 864$ e $864 : 27 = 32 = 2^5$.

5. Scriviamo l’argomento come potenza di $e$ e leggiamo l’esponente:

Sviluppando si arriva allo stesso punto: $\ln e^2 + \ln e^{1/3} = 2 + \frac{1}{3}$.

I risultati sono 2, 3, 2, 5 e $\frac{7}{3}$. Controllo con la calcolatrice sul primo: $\log_6 4 \approx 0{,}774$ e $\log_6 9 \approx 1{,}226$, e la somma è proprio 2. Nessuno dei due logaritmi è «bello», la loro somma sì.

1. I prodotti diventano somme, i quozienti differenze, e gli esponenti scendono davanti; la radice quadrata è l’esponente $\frac{1}{2}$:

Nel secondo $16 = 2^4$, quindi $\log_2 16 = 4$:

Tutti i logaritmi esistono perché le lettere sono positive.

2. Prima i coefficienti salgono come esponenti, poi si compatta; il segno meno manda $b$ al denominatore:

3. Prima il dominio: servono $x > 0$ e $x + 1 > 0$, cioè $x > 0$. Il 2 è un numero da solo: lo scriviamo come logaritmo in base 3, $2 = \log_3 9$. Poi compattiamo:

La forma compatta esiste quando $\frac{9x}{x + 1} > 0$, cioè per $x < -1$ oppure $x > 0$: ha un dominio più grande. L’uguaglianza vale solo per $x > 0$, dove esiste l’espressione di partenza. Controllo con $x = 2$: a sinistra $\log_3 2 + 2 - 1 = 1 + \log_3 2$, a destra $\log_3 6 = \log_3 3 + \log_3 2$, lo stesso numero.

1. $3^4 = 81$ e $3^5 = 243$, e 100 sta in mezzo. Siccome $\log_3$ è strettamente crescente, $4 < \log_3 100 < 5$, più vicino a 4. Con il cambiamento di base in base $e$:

In base 10 è ancora più comodo, perché $\log_{10} 100 = 2$:

Le due strade danno lo stesso numero, e la stima è rispettata.

2. Ogni fattore si calcola da solo. Nel primo $25 = 5^2$ e $\frac{1}{5} = 5^{-1}$; l’esponente della base esce come reciproco:

Nel secondo la base reciproca cambia il segno: $\log_{1/2} 16 = -\log_2 16 = -4$. Quindi

I segni tornano: in entrambi i fattori base e argomento stanno da parti opposte rispetto a 1, quindi sono negativi, e il prodotto è positivo.

3. In $\log_x 4$ la $x$ è la base: servono $x > 0$ e $x \neq 1$. $\log_2 x$ chiede $x > 0$. Quindi il prodotto ha senso per $x > 0$ con $x \neq 1$. Portiamo tutto in base 2:

Semplificare è lecito perché $\log_2 x \neq 0$ per $x \neq 1$. Il prodotto vale 2 per ogni $x$ del dominio: è una catena, perché l’argomento di $\log_2 x$ è la base di $\log_x 4$.

1. Nel primo l’argomento del primo logaritmo è la base del secondo: è una catena, $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.

perché $9^{1/2} = 3$. Nel secondo la catena è nascosta: mettiamo vicini $\log_4 5$ e $\log_5 27$, poi portiamo le basi potenza a 2 e a 3.

Ora $\log_2 3$ e $\log_3 2$ sono uno il reciproco dell’altro, quindi il loro prodotto è 1:

2. Con il cambiamento di base in base $e$, ogni fattore è un quoziente, $\log_k (k + 1) = \frac{\ln(k + 1)}{\ln k}$:

Ogni numeratore si semplifica con il denominatore del fattore successivo: è un prodotto telescopico. Restano solo il primo denominatore e l’ultimo numeratore:

I fattori vanno da $\log_2 3$ a $\log_{63} 64$: sono $63 - 2 + 1 = 62$. Con $n$ fattori l’ultimo è $\log_{n+1}(n + 2)$, e lo stesso ragionamento dà

Con $n = 62$ si ritrova $\log_2 64 = 6$. Il prodotto vale 10 quando $n + 2 = 2^{10} = 1024$, cioè con $n = 1022$ fattori.

3. Nel primo la potenza ha base 3 e il logaritmo base 9: portiamo l’esponente in base 3.

In $E$, il primo termine ha $4 = 2^2$, e nella potenza di una potenza gli esponenti si possono scambiare:

Nel secondo l’esponente è una differenza, quindi la potenza diventa un quoziente:

Quindi $E = 9 + \frac{4}{3} = \frac{31}{3}$. I risultati sono $\frac{1}{2}$, $\frac{9}{4}$, $P = 6$ (e 1022 fattori per arrivare a 10), 4 e $\frac{31}{3}$.

Il metodo: si scompone ogni numero in fattori 2 e 3, si porta tutto in base 2 con il cambiamento di base, poi si sostituiscono $\log_2 2 = 1$ e $\log_2 3 = a$.

1. $\frac{27}{4} = \frac{3^3}{2^2}$, quindi

2. La vecchia base 3 va al denominatore:

3. $24 = 2^3 \cdot 3$ e $6 = 2 \cdot 3$:

4. $54 = 2 \cdot 3^3$ e $12 = 2^2 \cdot 3$:

Controllo con la calcolatrice sull’ultimo, con $a \approx 1{,}585$:

Anche i segni tornano: $3a - 2 \approx 2{,}75$ è positivo, come deve essere, perché $\frac{27}{4} > 1$.

Tutto si basa sulla monotonia: con una base maggiore di 1 il logaritmo è strettamente crescente, quindi un numero più grande ha un logaritmo più grande.

1. Stanno entrambi tra 1 e 2, perché $2 < 3 < 4$ e $3 < 5 < 9$. Cerchiamo un numero in mezzo e proviamo con $\frac{3}{2}$. Il logaritmo conserva il verso, poi eleviamo al quadrato numeri positivi:

Entrambe vere, quindi $\log_2 3 > \frac{3}{2} > \log_3 5$. Con la calcolatrice: circa 1,585 contro 1,465.

2. Sono uguali, per l’identità $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ del cambiamento di base. Per verificarlo calcoliamo il logaritmo in base 3 dei due numeri, con la proprietà della potenza:

Due numeri positivi con lo stesso logaritmo sono uguali, perché il logaritmo è iniettivo. Valgono entrambi circa 2,76.

3. Portiamo tutto a basi maggiori di 1, con $\log_{1/a} b = -\log_a b$:

Ora $\log_2 3 > 1$, perché $3 > 2$, e $\log_3 2 < 1$, perché $2 < 3$. Cambiando segno il verso si rovescia:

Il più grande è $\log_{1/3} 2$: circa $-0{,}631$ contro $-1{,}585$.

1. Per $f$ serve $(x - 2)(x + 1) > 0$. Il prodotto è positivo quando i due fattori hanno lo stesso segno, cioè all’esterno delle radici:

Per $g$ devono esistere entrambi i logaritmi: $x > 2$ e $x > -1$, cioè $x > 2$.

Le due funzioni coincidono su $(2, +\infty)$, dove i due fattori sono positivi e vale la proprietà del prodotto. Su $(-\infty, -1)$ esiste solo $f$: lì i fattori sono entrambi negativi. Su tutto il dominio di $f$ la scrittura corretta usa i valori assoluti, perché un prodotto positivo è uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori:

Controllo con $x = -3$: $f(-3) = \ln[(-5)(-2)] = \ln 10$, e $\ln 5 + \ln 2 = \ln 10$. Nella figura il ramo di sinistra è solo di $f$, quello di destra è di tutte e due.

2. No. $h$ esiste quando $\frac{x + 3}{x - 1} > 0$: numeratore e denominatore hanno lo stesso segno per $x < -3$ oppure $x > 1$. $k$ esiste solo dove esistono entrambi i logaritmi: $x > -3$ e $x > 1$, cioè $x > 1$. Per esempio

mentre $k(-5)$ contiene $\log_2(-2)$, che non esiste. Le due funzioni coincidono solo per $x > 1$; su tutto il dominio di $h$ vale

3. $(x + 2)^4 > 0$ per ogni $x \neq -2$, quindi $\ln\left((x + 2)^4\right)$ ha dominio $x \neq -2$, mentre $4\ln(x + 2)$ esiste solo per $x > -2$. Con l’esponente pari serve il valore assoluto:

In $x = -4$, per esempio, il primo vale $\ln 16 = 4\ln 2$, il secondo non esiste. Con l’esponente dispari, invece, $(x + 2)^3 > 0$ solo per $x > -2$: i due domini sono uguali, e $\ln\left((x + 2)^3\right)$ e $3\ln(x + 2)$ sono davvero la stessa funzione.

1. Condizioni: la base $a$ deve essere positiva e diversa da 1, e allora anche $a^2$ lo è. L’argomento $a^2 b$ è positivo solo se $b > 0$; l’argomento $b^2$ chiede $b \neq 0$, già compreso. Quindi $a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$.

Il primo termine, con la proprietà del prodotto, è $\log_a a^2 + \log_a b = 2 + \log_a b$. Nel secondo l’esponente della base esce come reciproco, e quello dell’argomento scende davanti, cosa lecita perché $b > 0$:

Quindi $A = 2 + \log_a b - \log_a b = 2$. Controllo con $a = 2$ e $b = 3$: $\log_2 12 - \log_4 9 = \log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 4 = 2$. Da solo, $\log_{a^2}\left(b^2\right)$ esisterebbe anche per $b < 0$ e varrebbe $\log_a|b|$: qui il valore assoluto non serve solo perché il primo termine impone $b > 0$.

2. $\log_2(4x)$ chiede $x > 0$; $\sqrt{x}$ chiede $x \geq 0$ e il suo logaritmo $\sqrt{x} > 0$. Dominio: $(0, +\infty)$. Il primo termine è $\log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x$. Nel secondo cambiamo base, con $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ e $\sqrt{x} = x^{1/2}$:

Quindi $f(x) = 2 + \log_2 x - \log_2 x = 2$ per ogni $x > 0$: è costante, e il suo grafico è la semiretta $y = 2$ con $x > 0$. Controllo: $f(16) = \log_2 64 - \log_{\sqrt{2}} 4 = 6 - 4 = 2$, perché $\left(\sqrt{2}\right)^4 = 4$.

3. Dominio: $(x - 1)^2 > 0$, cioè $x \neq 1$. Portiamo l’esponente in base 3, con $9 = 3^2$. L’esponente pari scende davanti con il valore assoluto, perché $x - 1$ può essere negativo:

Quindi

No, $g(x) = x - 1$ è falso per $x < 1$. Per esempio $g(-2) = 3^{\log_9 9} = 3$, mentre $-2 - 1 = -3$. Il grafico di $g$ è una «V» con il vertice $(1, 0)$ escluso.

Quando l’esponente contiene la $x$, la potenza si definisce in base $e$, $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$: la base deve essere positiva. Alcuni testi ammettono anche la base nulla con esponente positivo: aggiungerebbero $x = 3$ nel punto 1 e $x = e$ nel punto 2.

1. Servono la base positiva e l’esponente $\frac{1}{x}$ definito:

La frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. Entrambi positivi: $x < 3$ e $x > -2$, cioè $-2 < x < 3$. Entrambi negativi: $x > 3$ e $x < -2$, impossibile. Togliendo lo zero, il dominio è $(-2, 0) \cup (0, 3)$. In base $e$ l’esponente è $\frac{1}{x}$ per il logaritmo della base:

Controllo con $x = 1$: $f(1) = \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{2}{3}$, e infatti $e^{\ln \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$.

2. $\ln x$ chiede $x > 0$, e la base deve essere positiva: $1 - \ln x > 0$, cioè $\ln x < 1 = \ln e$. Siccome $\ln$ è strettamente crescente, questo vuol dire $x < e$. Dominio: $(0, e)$, e

In $x = e$ la base vale 0 e il suo logaritmo non esiste: il punto è escluso. Per esempio $g(1) = 1^1 = 1$.

3. Il logaritmo $\log_x 9$ chiede $x > 0$ e $x \neq 1$; allora anche la base $\sqrt{x}$ è positiva. Dominio: $(0, 1) \cup (1, +\infty)$. In base $e$, $h(x) = e^{\log_x 9 \cdot \ln \sqrt{x}}$. Calcoliamo l’esponente, con $\log_x 9 = \frac{\ln 9}{\ln x}$ e $\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2}\ln x$:

Il $\ln x$ si semplifica perché è diverso da 0 per $x \neq 1$. Quindi $h(x) = e^{\ln 3} = 3$ su tutto il dominio: il grafico è la semiretta orizzontale $y = 3$ con $x > 0$, con un buco in $x = 1$. Controllo con $x = 9$: $h(9) = 3^{\log_9 9} = 3$.

1. Il secondo membro, con la proprietà del prodotto e quella della radice, è $\frac{1}{2}\ln(ab) = \ln\sqrt{ab}$. Basta quindi dimostrare che $\frac{a + b}{3} = \sqrt{ab}$. Partiamo dal quadrato di $a + b$ e usiamo l’ipotesi:

Dividendo per 9 si ha $\left(\frac{a + b}{3}\right)^2 = ab$. Siccome $\frac{a + b}{3} > 0$, è la radice quadrata di $ab$, e quindi

Coppie così esistono davvero: con $b = 1$ l’ipotesi diventa $a^2 - 7a + 1 = 0$, che ha la soluzione positiva $a = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 6{,}854$. Con la calcolatrice i due membri valgono entrambi circa $0{,}9624$.

2. Il denominatore non si annulla: $\log_{ab} x = 0$ solo per $x = 1$, che è escluso. Passiamo in base $e$; i logaritmi naturali al denominatore sono diversi da 0, perché $a$, $ab$ e $x$ sono diversi da 1:

E $\frac{\ln b}{\ln a} = \log_a b$: è la tesi. Verifica con $a = 2$, $b = 4$ e $x = 8$: a sinistra $\frac{\log_2 8}{\log_8 8} = \frac{3}{1} = 3$, a destra $1 + \log_2 4 = 3$.

Condizioni di esistenza, scritte prima di toccare l’equazione: $x > 0$ e $x + 8 > 0$, cioè $x > 0$.

Compattiamo il primo membro e scriviamo 2 come logaritmo in base 3, $2 = \log_3 9$. Siccome il logaritmo è iniettivo, due logaritmi nella stessa base sono uguali solo se gli argomenti sono uguali:

Le soluzioni dell’equazione di secondo grado sono $x = 1$ e $x = -9$. Le confrontiamo con le condizioni:

• $x = 1$ va bene: $\log_3 1 + \log_3 9 = 0 + 2 = 2$;
• $x = -9$ non rispetta $x > 0$: è una soluzione falsa. Risolve l’equazione compattata, perché $(-9)(-1) = 9$, ma in quella di partenza darebbe $\log_3(-9)$, che non esiste.

Da dove viene? $\log_3[x(x + 8)]$ esiste per $x < -8$ oppure $x > 0$: compattando, il dominio si è allargato, e $-9$ sta proprio nel pezzo aggiunto. L’unica soluzione è $x = 1$. Il metodo completo, con molti altri casi, è nelle equazioni logaritmiche con le proprietà.

1. Chiamiamo $P_0$ la potenza iniziale, $P_1$ quella tra i due tratti e $P_2$ quella finale. Il rapporto totale è il prodotto dei due rapporti, e la proprietà del prodotto lo trasforma in una somma:

È il motivo per cui l’attenuazione si dà «al km»: in $n$ km si somma $n$ volte la stessa attenuazione.

2. In 80 km l’attenuazione è $80 \cdot 0{,}2 = 16$ dB. Chiamiamo $P$ la potenza che arriva, dividiamo per 10 e usiamo la definizione di logaritmo: