Logaritmo: definizione, condizioni di esistenza, come si calcola ed esercizi svolti

Il logaritmo ti accompagnerà per tutta Analisi 1: ci è già servito nelle equazioni esponenziali con i logaritmi per risolvere $2^x = 5$, e tornerà nelle equazioni logaritmiche, nei domini, nei limiti e negli studi di funzione, dove $\ln$ compare quasi a ogni esercizio. In questo capitolo lo studiamo per bene, partendo dalla domanda più semplice: che cos’è un logaritmo? In questa pagina vediamo la definizione con base e argomento, come leggere un logaritmo sul grafico, perché esiste ed è unico, le condizioni di esistenza e il loro motivo, come si calcola un logaritmo a mente, i valori notevoli e le identità con l’esponenziale, il segno, le stime, il logaritmo naturale e quello decimale, la calcolatrice, la notazione, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La risposta sta in una riga: un logaritmo è un esponente.

La definizione

Prendi la domanda: «a quale esponente devo elevare 2 per ottenere 8?». La risposta è 3, perché $2^3 = 8$. Il logaritmo è il nome che diamo a questa risposta:

$$\log_2 8 = 3 \iff 2^3 = 8$$

Il numero $a$ si chiama base, il numero $b$ si chiama argomento, e il risultato $c$ è il logaritmo. Che questo numero esista e sia uno solo lo vediamo tra poco.

Logaritmo e potenza dicono la stessa cosa in due modi diversi: la base resta la base, il logaritmo diventa l’esponente, l’argomento diventa il risultato. Se hai un dubbio su un logaritmo, riscrivilo come potenza: è il trucco che risolve quasi tutto.

Dalla potenza al logaritmo, e ritorno

Ogni potenza con una base ammessa si può riscrivere come logaritmo, e viceversa. Leggi la tabella nelle due direzioni:

Potenza	Logaritmo
$5^2 = 25$	$\log_5 25 = 2$
$10^{-2} = 0{,}01$	$\log_{10} 0{,}01 = -2$
$4^{1/2} = 2$	$\log_4 2 = \frac{1}{2}$
$27^{1/3} = 3$	$\log_{27} 3 = \frac{1}{3}$
$6^0 = 1$	$\log_6 1 = 0$
$e^1 = e$	$\ln e = 1$

Stai attento all’ordine: in $\log_2 8 = 3$ la base 2 resta la base anche nella potenza, $2^3 = 8$; scrivere $3^2 = 8$ o $8^3 = 2$ è l’errore più frequente all’inizio. Allo stesso modo, se $\log_3 x = 4$, allora $x = 3^4 = 81$.

Il logaritmo letto sul grafico

Disegna $y = 2^x$. Per trovare $\log_2 b$ parti dal valore $b$ sull’asse $y$, vai in orizzontale fino alla curva e scendi in verticale sull’asse $x$: il punto in cui arrivi è l’esponente che dà $b$, cioè $\log_2 b$.

• Con $b = 8$ arrivi a $x = 3$: $\log_2 8 = 3$.
• Con $b = \frac{1}{4}$, un numero tra 0 e 1, arrivi a sinistra dell’origine, in $x = -2$ (nel riquadro in basso, ingrandito): $\log_2 \frac{1}{4} = -2$.
• Con $b = 5$ arrivi tra 2 e 3, circa in $2{,}32$. Il numero esiste anche se non è «bello»: si chiama $\log_2 5$.

E se $b$ è zero o negativo? La retta orizzontale $y = b$ sta sull’asse $x$ o sotto, e la curva non la incontra mai: $\log_2 b$ non esiste.

Perché il logaritmo esiste ed è uno solo

La definizione parla dell’«unico» numero $c$ con $a^c = b$. Il grafico lo suggerisce; ecco il perché.

Teorema. Siano $a > 0$ con $a \neq 1$ e $b > 0$. Allora esiste uno e un solo numero reale $c$ tale che $a^c = b$.

Perché è vero. La funzione esponenziale $a^x$ è strettamente crescente se $a > 1$ e strettamente decrescente se $0 < a < 1$.

• Al massimo un esponente. Una funzione strettamente monotona è iniettiva: esponenti diversi danno potenze diverse.
• Almeno un esponente. L’immagine di $a^x$ è tutto l’intervallo $(0, +\infty)$: ogni numero positivo viene raggiunto. Si dimostra con il teorema dei valori intermedi: $a^x$ è continua e assume valori grandi quanto vuoi e valori positivi vicini a 0 quanto vuoi, quindi non salta nessun valore in mezzo.

In una frase: $a^x$ è una funzione biiettiva da $\mathbb{R}$ a $(0, +\infty)$, e $\log_a b$ è l’unica soluzione dell’equazione $a^x = b$. È lo stesso teorema di quante soluzioni ha aˣ = b, letto dall’altra parte.

Spesso questo numero è irrazionale: $\log_2 3 \approx 1{,}585$ non è una frazione, come dimostriamo negli esercizi sugli insiemi numerici. La forma esatta è $\log_2 3$; i decimali sono solo un’approssimazione.

Perché ci sono quelle condizioni

Le tre condizioni non sono un capriccio: servono a garantire che l’esponente $c$ esista e sia uno solo. Vediamole con dei controesempi.

• La base è positiva. Le potenze con esponente reale qualsiasi si definiscono solo per basi positive, come abbiamo visto nelle potenze con esponente reale. Con la base $-2$ si potrebbe dire $\log_{-2} 4 = 2$, perché $(-2)^2 = 4$. Ma le potenze di $-2$ cambiano segno a ogni passo, $(-2)^3 = -8$, e $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ non esiste: già $\log_{-2} 8$ non avrebbe valore, e un logaritmo così funzionerebbe solo per pochi numeri sparsi. Anche la base 0 è esclusa: $0^c$ vale 0 per ogni $c > 0$ e altrimenti non è definita.
• La base è diversa da 1. Le potenze di 1 valgono sempre 1: $1^c = 1$ per ogni $c$. Quindi $\log_1 5$ non esiste, perché nessun esponente dà 5, e $\log_1 1$ potrebbe valere qualsiasi numero. Nel primo caso manca l’esistenza, nel secondo l’unicità.
• L’argomento è positivo. Una potenza con base positiva è sempre positiva: non esiste nessun $c$ con $2^c = -8$ o $2^c = 0$. Quindi $\log_2(-8)$ e $\log_2 0$ non esistono. Per lo zero c’è una sottigliezza: con esponenti molto negativi $2^c$ si avvicina a 0 quanto vuoi, ma non lo raggiunge mai.

Le condizioni di esistenza quando c’è la x

Quando base o argomento contengono una variabile, le tre condizioni diventano le condizioni di esistenza del logaritmo. Per $\log_{2x}(1 - x)$, per esempio, servono

$$\begin{cases} 2x > 0 \\ 2x \neq 1 \\ 1 - x > 0 \end{cases}$$

cioè $0 < x < 1$ con $x \neq \frac{1}{2}$. Come si risolvono questi sistemi anche con argomenti più complicati, e come si trova il dominio di una funzione con i logaritmi, lo vediamo in dominio e segno delle funzioni logaritmiche.

Come si calcola un logaritmo a mente

Il metodo è sempre lo stesso: si scrive l’argomento come potenza della base, e l’esponente che compare è il logaritmo. Con gli esponenti negativi e frazionari arrivano logaritmi negativi e non interi. La scaletta:

1. Controlla le condizioni: se mancano, il logaritmo non esiste e hai finito.
2. Scrivi l’argomento come potenza della base: i reciproci danno esponenti negativi, le radici esponenti frazionari.
3. Se non ci riesci, scrivi base e argomento come potenze dello stesso numero, come nel prossimo paragrafo.
4. Se neanche questo funziona, stima il logaritmo tra due interi e usa la calcolatrice.

Dal caso più facile al più difficile:

Logaritmo	Argomento	Valore
$\log_3 243$	$3^5$	$5$
$\log_{10} 0{,}001$	$\frac{1}{1000} = 10^{-3}$	$-3$
$\log_5 \frac{1}{25}$	$5^{-2}$	$-2$
$\log_2 \sqrt{2}$	$2^{1/2}$	$\frac{1}{2}$
$\log_7 \frac{1}{\sqrt{7}}$	$7^{-1/2}$	$-\frac{1}{2}$
$\log_3 \sqrt[3]{9}$	$\left(3^2\right)^{1/3} = 3^{2/3}$	$\frac{2}{3}$
$\ln\left(e\sqrt{e}\right)$	$e^1 \cdot e^{1/2} = e^{3/2}$	$\frac{3}{2}$
$\log_2 \frac{1}{4\sqrt{2}}$	$2^{-2} \cdot 2^{-1/2} = 2^{-5/2}$	$-\frac{5}{2}$

Nelle ultime righe si usano le proprietà delle potenze: moltiplicando potenze della stessa base, gli esponenti si sommano.

Quando base e argomento sono potenze dello stesso numero

A volte l’argomento non è una potenza intera della base, ma entrambi sono potenze di uno stesso numero. Prendi $\log_{16} 8$: 8 non è una potenza intera di 16, ma $16 = 2^4$ e $8 = 2^3$. Chiamiamo $c$ il logaritmo e riscriviamo tutto come potenza:

$$\begin{gathered} 16^c = 8 \\ {} \iff \left(2^4\right)^c = 2^3 \\ {} \iff 2^{4c} = 2^3 \\ {} \iff 4c = 3 \\ {} \iff c = \frac{3}{4} \end{gathered}$$

Quindi $\log_{16} 8 = \frac{3}{4}$. È esattamente come risolvere un’equazione esponenziale riportando alla stessa base. Con lo stesso ragionamento:

Logaritmo	Riscritto come potenza	Risultato
$\log_9 27$	$\left(3^2\right)^c = 3^3$	$\frac{3}{2}$
$\log_8 4$	$\left(2^3\right)^c = 2^2$	$\frac{2}{3}$
$\log_{\sqrt{3}} 9$	$\left(3^{1/2}\right)^c = 3^2$	$4$
$\log_{1/8} 4$	$\left(2^{-3}\right)^c = 2^2$	$-\frac{2}{3}$
$\log_{1/3} 9$	$\left(3^{-1}\right)^c = 3^2$	$-2$

Nota le ultime due righe: con una base minore di 1 e un argomento maggiore di 1 il logaritmo è negativo. Tra poco vediamo la regola generale, e ci torneremo quando studieremo il segno della funzione logaritmica.

I valori notevoli

Dalla definizione seguono subito alcuni risultati che userai di continuo. Per ogni base $a$ ammessa:

$$\begin{gathered} \log_a 1 = 0 \quad \text{perché } a^0 = 1 \\ \log_a a = 1 \quad \text{perché } a^1 = a \\ \log_a \frac{1}{a} = -1 \quad \text{perché } a^{-1} = \frac{1}{a} \end{gathered}$$

Per esempio $\log_{11} 1 = 0$, $\log_{12} 12 = 1$ e $\log_9 \frac{1}{9} = -1$. Il primo è il motivo per cui il grafico di ogni logaritmo passa per il punto $(1, 0)$.

Le due identità che legano logaritmo ed esponenziale

Due formule riassumono tutta la definizione.

Perché sono vere. La prima: $\log_a b$ è l’esponente che, dato ad $a$, produce $b$. La seconda: l’esponente da dare ad $a$ per ottenere $a^c$ è $c$, e per l’unicità non ce n’è un altro. Per esempio:

$$\begin{gathered} 3^{\log_3 7} = 7 \\ e^{\ln 5} = 5 \\ \log_5\left(5^{-3}\right) = -3 \\ \ln\left(e^{0{,}4}\right) = 0{,}4 \end{gathered}$$

Guarda i domini. Nella prima $b$ deve essere positivo: $2^{\log_2(-4)}$ non vale $-4$, semplicemente non esiste. Nella seconda $c$ può essere qualsiasi, perché $a^c$ è sempre positivo. Con le variabili la differenza conta: $\ln\left(e^x\right) = x$ per ogni $x$ reale, mentre $e^{\ln x} = x$ solo per $x > 0$.

Messe insieme, le due identità dicono che logaritmo ed esponenziale si annullano a vicenda, come fanno l’elevamento al quadrato e la radice quadrata per i numeri positivi. Per questo, come vedremo, la funzione logaritmica è l’inversa dell’esponenziale. La prima identità dice anche che ogni numero positivo è una potenza della base: $5 = 2^{\log_2 5}$.

Combinandole con le proprietà delle potenze si fanno calcoli che sembrano difficili:

$$2^{1 + \log_2 3} = 2^1 \cdot 2^{\log_2 3} = 2 \cdot 3 = 6$$

Il segno di un logaritmo

Senza calcolare niente, la definizione dice subito se un logaritmo è positivo o negativo. Se $a > 1$, la potenza $a^c$ supera 1 solo per esponenti positivi, perché $a^x$ è strettamente crescente e $a^0 = 1$. Se $0 < a < 1$ succede il contrario, perché $a^x$ è strettamente decrescente. Quindi basta confrontare con 1 la base e l’argomento:

	$0 < b < 1$	$b > 1$
$a > 1$	negativo	positivo
$0 < a < 1$	positivo	negativo

Inoltre $\log_a 1 = 0$ in ogni base. In parole: se base e argomento stanno dalla stessa parte di 1 il logaritmo è positivo, se stanno da parti opposte è negativo. Per esempio $\log_3 0{,}5$ e $\log_{1/2} 7$ sono negativi, mentre $\log_{0{,}2} 0{,}3$ e $\log_5 7$ sono positivi. Lo studio completo, letto sul grafico di $\log_a x$, è nel segno della funzione logaritmica; la regola la userai per il segno delle funzioni in dominio e segno delle funzioni logaritmiche.

Stimare un logaritmo tra due interi

Quando l’argomento non è una potenza comoda della base, puoi comunque dire tra quali interi cade il logaritmo. Con $a > 1$: se $a^n < b < a^{n+1}$, allora $n < \log_a b < n + 1$, perché $a^x$ è strettamente crescente. Per esempio $2^9 = 512$ e $2^{10} = 1024$: 1000 sta in mezzo, molto vicino a 1024, quindi $\log_2 1000$ è tra 9 e 10, poco meno di 10. Infatti $\log_2 1000 \approx 9{,}966$. Con una base tra 0 e 1 l’ordine delle potenze si rovescia: lo vediamo nell’esercizio 4.

Con la base 10 la stima è immediata, perché il logaritmo decimale legge l’esponente: ogni volta che moltiplichi un numero per 10, il suo logaritmo aumenta di 1.

Così 30, tra 10 e 100, ha logaritmo decimale tra 1 e 2 (circa 1,48), e 0,03, tra 0,01 e 0,1, ha logaritmo tra $-2$ e $-1$ (circa $-1{,}52$). È l’idea della notazione scientifica e delle scale logaritmiche, come il pH e i decibel.

Le basi più usate: ln e log

Le basi che incontrerai quasi sempre sono tre.

• Base $e$, il numero di Nepero $e \approx 2{,}718$. È il logaritmo naturale, si scrive $\ln$ ed è il logaritmo dell’Analisi: limiti, derivate e integrali si scrivono quasi sempre con lui. Per esempio $\ln 10 \approx 2{,}303$.
• Base 10. È il logaritmo decimale, si scrive $\log_{10}$ e legge l’esponente delle potenze di 10, come nella figura.
• Base 2. Si usa in informatica, perché i computer lavorano con i bit: $\log_2 1024 = 10$.

Come si usa la calcolatrice

La calcolatrice ha di solito solo i tasti $\ln$ e $\log$, in base 10. Per le altre basi si usa la formula del cambiamento di base, che dimostreremo in cambiamento di base dei logaritmi:

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$

Per esempio, quanto vale $\log_3 20$? Prima di calcolare, stima: $3^2 = 9$ e $3^3 = 27$, e 20 sta in mezzo, quindi il risultato è tra 2 e 3. Poi calcola:

$$\log_3 20 = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx \frac{2{,}9957}{1{,}0986} \approx 2{,}727$$

Il risultato è tra 2 e 3, come previsto. La stima preventiva è un’ottima abitudine: ti accorgi subito di un tasto sbagliato o di una frazione invertita ($\frac{\ln 3}{\ln 20} \approx 0{,}37$ non può essere giusto). E se chiedi alla calcolatrice $\ln(-3)$ o $\ln 0$, ti risponderà con un errore: il logaritmo di un numero negativo o nullo non esiste.

Un po’ di notazione

Due scritture che si confondono facilmente:

$$\begin{gathered} \ln^2 x = (\ln x)^2 \\ \ln x^2 = \ln\left(x^2\right) \end{gathered}$$

Nella prima si eleva al quadrato il logaritmo, nella seconda l’argomento, e in generale $(\ln x)^2 \neq \ln\left(x^2\right)$: per $x = e$ la prima vale $1^2 = 1$, la seconda $\ln e^2 = 2$. Allo stesso modo $\ln 2x$ si legge $\ln(2x)$, mentre $\ln x + 1$ è $(\ln x) + 1$, non $\ln(x + 1)$. Quando c’è il rischio di confondersi, metti le parentesi.

Un po’ di storia

I logaritmi furono inventati all’inizio del Seicento dallo scozzese John Napier (Nepero), che nel 1614 pubblicò le prime tavole nella Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Anche la parola è sua: dal greco lógos, «rapporto», e arithmós, «numero». Negli stessi anni, in modo indipendente, lo svizzero Jost Bürgi costruì tavole simili, pubblicate a Praga nel 1620. I logaritmi di Napier non erano ancora i nostri: non avevano una vera base, e il logaritmo di 1 non era zero. L’inglese Henry Briggs, che lo andò a trovare a Edimburgo nel 1615, costruì d’accordo con lui le tavole in base 10, con il logaritmo di 1 uguale a zero: le prime uscirono nel 1617.

A cosa servivano? A trasformare le moltiplicazioni in addizioni, molto più semplici: lo vediamo nelle proprietà dei logaritmi, con le tavole e il regolo calcolatore. E la definizione di questa pagina? Il legame tra logaritmi ed esponenti era già stato notato da altri, ma la sistemazione che usiamo ancora oggi è quella di Eulero: nel sesto capitolo dell’Introductio in analysin infinitorum, del 1748, chiama logaritmo di $y$ l’esponente $z$ tale che $a^z = y$.

Gli errori più comuni

• Scambiare i ruoli nel passaggio alla potenza. $\log_2 8 = 3$ significa $2^3 = 8$: la base resta la base. Non è $3^2 = 8$ e non è $8^3 = 2$.
• Calcolare il logaritmo di un numero negativo o nullo. $\log_2(-8)$ e $\ln 0$ non esistono, e la calcolatrice dà errore.
• Pensare che il logaritmo debba essere positivo. È l’argomento a dover essere positivo; $\log_6 \frac{1}{36} = -2$ va benissimo.
• Usare una base uguale a 1, nulla o negativa. $\log_1 4$, $\log_0 4$ e $\log_{-2} 4$ non hanno senso.
• Confondere il logaritmo con una divisione. $\log_2 8$ non è $\frac{8}{2} = 4$: è 3.
• Scambiare base e argomento. $\log_2 8 = 3$, ma $\log_8 2 = \frac{1}{3}$: sono uno il reciproco dell’altro, come vedremo nel cambiamento di base.
• Usare $a^{\log_a x} = x$ senza condizioni. Con le variabili vale solo per $x > 0$: per $x \leq 0$ il primo membro non esiste.
• Leggere «log» con la base sbagliata. Sulla calcolatrice è in base 10, in molti libri di Analisi è il logaritmo naturale: controlla la convenzione prima di fare i conti.

Esercizi svolti

1. Logaritmi a mente

Testo. Calcola senza calcolatrice: a) $\log_6 216$; b) $\log_2 0{,}125$; c) $\log_{10} \sqrt[4]{1000}$; d) $\log_{0{,}1} 100$; e) $\ln \sqrt[3]{e^2}$.

In ogni caso scriviamo l’argomento come potenza della base.

a) $216 = 6 \cdot 36 = 6^3$, quindi $\log_6 216 = 3$.

b) $0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$, quindi $\log_2 0{,}125 = -3$. Il segno torna: base maggiore di 1, argomento minore di 1.

c) $\sqrt[4]{1000} = \left(10^3\right)^{1/4} = 10^{3/4}$, quindi $\log_{10} \sqrt[4]{1000} = \frac{3}{4}$.

d) La base è $0{,}1 = 10^{-1}$. Chiamiamo $c$ il logaritmo:

$$\begin{gathered} \left(10^{-1}\right)^c = 100 \\ 10^{-c} = 10^2 \\ c = -2 \end{gathered}$$

Controllo: $0{,}1^{-2} = \frac{1}{0{,}01} = 100$. Il risultato è negativo, come prevede la regola del segno: base minore di 1, argomento maggiore di 1.

e) $\sqrt[3]{e^2} = e^{2/3}$, quindi $\ln \sqrt[3]{e^2} = \frac{2}{3}$.

I risultati sono $3$, $-3$, $\frac{3}{4}$, $-2$ e $\frac{2}{3}$.

2. Base e argomento con radici e frazioni

Testo. Calcola: a) $\log_{27} 9$; b) $\log_{1/4} 32$; c) $\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{125}$; d) $\log_{\sqrt[3]{4}} \left(8\sqrt{2}\right)$.

Base e argomento sono sempre potenze dello stesso numero: chiamiamo $c$ il logaritmo, riscriviamo tutto come potenza e uguagliamo gli esponenti.

a) $27 = 3^3$ e $9 = 3^2$:

$$\begin{gathered} \left(3^3\right)^c = 3^2 \\ {} \iff 3c = 2 \iff c = \frac{2}{3} \end{gathered}$$

b) $\frac{1}{4} = 2^{-2}$ e $32 = 2^5$:

$$\begin{gathered} \left(2^{-2}\right)^c = 2^5 \\ {} \iff -2c = 5 \iff c = -\frac{5}{2} \end{gathered}$$

c) $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ e $\frac{1}{125} = 5^{-3}$:

$$\begin{gathered} \left(5^{1/2}\right)^c = 5^{-3} \\ {} \iff \frac{c}{2} = -3 \iff c = -6 \end{gathered}$$

d) Tutto in base 2: $\sqrt[3]{4} = \left(2^2\right)^{1/3} = 2^{2/3}$ e $8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$. Quindi:

$$\begin{gathered} \left(2^{2/3}\right)^c = 2^{7/2} \\ \frac{2c}{3} = \frac{7}{2} \\ c = \frac{21}{4} \end{gathered}$$

Controllo: $\frac{2}{3} \cdot \frac{21}{4} = \frac{7}{2}$. I risultati sono $\frac{2}{3}$, $-\frac{5}{2}$, $-6$ e $\frac{21}{4}$; i due negativi hanno base e argomento da parti opposte rispetto a 1, come deve essere.

3. Trovare la base o l’argomento

Testo. Trova il numero $x$: a) $\log_x 64 = \frac{3}{2}$; b) $\log_x 9 = -2$; c) $\log_4 x = -\frac{3}{2}$; d) $\log_x 7 = 0$; e) $\log_x 1 = 0$.

Si passa alla potenza con la definizione, ricordando che la base deve essere positiva e diversa da 1 e l’argomento positivo.

a) $x^{3/2} = 64$, con $x > 0$ e $x \neq 1$. Eleviamo entrambi i membri alla $\frac{2}{3}$:

$$x = 64^{2/3} = \left(\sqrt[3]{64}\right)^2 = 4^2 = 16$$

Controllo: $16^{3/2} = \left(\sqrt{16}\right)^3 = 4^3 = 64$.

b) $x^{-2} = 9$, cioè $\frac{1}{x^2} = 9$ e $x^2 = \frac{1}{9}$. L’equazione dà $x = \pm \frac{1}{3}$, ma la base deve essere positiva: resta $x = \frac{1}{3}$. Controllo: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$.

c) Qui l’incognita è l’argomento: $x = 4^{-3/2} = \left(2^2\right)^{-3/2} = 2^{-3}$, cioè $x = \frac{1}{8}$, positivo come deve essere.

d) Servirebbe $x^0 = 7$, ma $x^0 = 1$ per ogni base: nessuna soluzione.

e) $x^0 = 1$ vale per ogni base ammessa: le soluzioni sono tutti gli $x > 0$ con $x \neq 1$. Non è un caso strano: è il valore notevole del logaritmo di 1, che vale 0 in ogni base.

I risultati sono $16$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{8}$, nessuna soluzione e ogni base ammessa.

4. Stimare tra due interi

Testo. Senza calcolatrice, trova tra quali interi consecutivi cadono $\log_2 50$, $\log_5 0{,}03$, $\log_{1/3} 10$ e $\ln 20$. Poi controlla con la calcolatrice.

Cerchiamo le due potenze intere della base che racchiudono l’argomento.

• $2^5 = 32 < 50 < 64 = 2^6$, e la base è maggiore di 1: $5 < \log_2 50 < 6$.
• $5^{-3} = 0{,}008 < 0{,}03 < 0{,}04 = 5^{-2}$: $-3 < \log_5 0{,}03 < -2$. È negativo, perché l’argomento è minore di 1.
• Con la base $\frac{1}{3}$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$ e $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 27$. Siccome 10 sta tra 9 e 27 e $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ è decrescente, l’esponente sta tra $-3$ e $-2$: $-3 < \log_{1/3} 10 < -2$.
• $e^2 \approx 7{,}39$ e $e^3 \approx 20{,}09$: $2 < \ln 20 < 3$, molto vicino a 3.

Con la calcolatrice e il cambiamento di base:

$$\begin{gathered} \log_2 50 = \frac{\ln 50}{\ln 2} \approx 5{,}644 \\ \log_5 0{,}03 = \frac{\ln 0{,}03}{\ln 5} \approx -2{,}179 \\ \log_{1/3} 10 = \frac{\ln 10}{\ln \frac{1}{3}} \approx -2{,}096 \\ \ln 20 \approx 2{,}996 \end{gathered}$$

Tutte le stime sono confermate. Nota il terzo caso: la base minore di 1 rovescia l’ordine delle potenze, e chi ragiona come con la base 3 sbaglia il segno.

5. Semplificare con le due identità

Testo. Semplifica: a) $3^{2 + \log_3 5}$; b) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 7}$; c) $\log_5\left(25^x\right)$; d) $10^{\log_{10}\left(x^2 + 1\right)}$. Infine: le funzioni $f(x) = 2^{3\log_2 x}$ e $g(x) = x^3$ sono uguali?

a) Con le proprietà delle potenze si separa l’esponente, poi si usa $a^{\log_a b} = b$:

$$3^{2 + \log_3 5} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 5} = 9 \cdot 5 = 45$$

b) $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, e nella potenza di una potenza gli esponenti si possono scambiare:

$$\begin{gathered} \left(2^{-1}\right)^{\log_2 7} = \left(2^{\log_2 7}\right)^{-1} \\ {} = 7^{-1} = \frac{1}{7} \end{gathered}$$

c) $25^x = \left(5^2\right)^x = 5^{2x}$, quindi $\log_5\left(25^x\right) = 2x$ per ogni $x$ reale: $25^x$ è sempre positivo.

d) L’argomento $x^2 + 1$ è positivo per ogni $x$, quindi il logaritmo esiste sempre e $10^{\log_{10}\left(x^2 + 1\right)} = x^2 + 1$ per ogni $x$ reale.

Ultima domanda. Per $x > 0$ si ha $2^{3\log_2 x} = \left(2^{\log_2 x}\right)^3 = x^3$. Ma per $x \leq 0$ il logaritmo $\log_2 x$ non esiste, e quindi nemmeno $f(x)$, mentre $g(x) = x^3$ esiste per ogni $x$: per esempio $g(-1) = -1$, mentre $f(-1)$ non è definito. Le due funzioni coincidono su $(0, +\infty)$ ma non sono uguali, perché hanno domini diversi.

6. Da esame: ordinare senza calcolatrice

Testo. Senza calcolatrice, metti in ordine crescente i numeri

$$\begin{gathered} A = \log_3 30, \quad B = \log_{1/2} 5, \\ C = \log_8 16, \quad D = \log_{16} \frac{1}{4}, \\ E = 2^{\log_2 3 - 1} \end{gathered}$$

Prima il segno: $B$ ha base minore di 1 e argomento maggiore di 1, $D$ il contrario, quindi sono negativi. $A$ e $C$ sono positivi, ed $E$ è una potenza con base positiva, quindi è positivo.

Poi i valori esatti: in $C$ e $D$ base e argomento sono potenze di 2, ed $E$ si semplifica con la prima identità.

$$\begin{gathered} C:\ \left(2^3\right)^c = 2^4 \iff c = \frac{4}{3} \\ D:\ \left(2^4\right)^c = 2^{-2} \iff c = -\frac{1}{2} \\ E = \frac{2^{\log_2 3}}{2^1} = \frac{3}{2} \end{gathered}$$

Infine le stime per gli altri due:

• $3^3 = 27 < 30 < 81 = 3^4$, quindi $3 < A < 4$;
• $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8$; siccome 5 sta tra 4 e 8 e $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ è decrescente, $-3 < B < -2$.

Tra i negativi, $B < -2 < -\frac{1}{2} = D$. Tra i positivi, $C = \frac{4}{3} < \frac{3}{2} = E$, e $A$, maggiore di 3, è il più grande. L’ordine è:

$$B < D < C < E < A$$

Controllo con la calcolatrice: $B \approx -2{,}32$, $D = -0{,}5$, $C \approx 1{,}33$, $E = 1{,}5$ e $A \approx 3{,}10$. Altri esercizi sul logaritmo e sulla sua funzione li trovi negli esercizi svolti sulla funzione logaritmica.

In sintesi

• $\log_a b = c \iff a^c = b$: il logaritmo è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento.
• Condizioni di esistenza: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$. Il risultato, invece, può essere qualsiasi numero reale.
• Esiste ed è unico perché $a^x$ è una biiezione strettamente monotona da $\mathbb{R}$ a $(0, +\infty)$.
• A mente: si scrive l’argomento come potenza della base, oppure base e argomento come potenze dello stesso numero.
• $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\log_a \frac{1}{a} = -1$; $a^{\log_a b} = b$ per $b > 0$ e $\log_a\left(a^c\right) = c$ per ogni $c$ reale.
• Segno: positivo se base e argomento stanno dalla stessa parte di 1, negativo se stanno da parti opposte.
• $\ln$ è il logaritmo in base $e$; con la calcolatrice $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$, dopo una stima.

Ora che sappiamo cos’è un logaritmo, facciamo variare l’argomento e guardiamo cosa succede: è la funzione logaritmica.