Potenze con base ed esponente variabili: x elevato x, dominio ed esercizi svolti

Nelle funzioni che conosci la variabile sta in un posto solo: nella base, come in $x^2$, oppure nell’esponente, come in $2^x$. In Analisi capitano però funzioni in cui la $x$ sta in entrambi i posti: $x^x$, $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$, $(x - 2)^{\ln x}$. Sono le potenze con base ed esponente variabili, le funzioni del tipo $f(x)^{g(x)}$. All’esame le incontri nei domini, nelle equazioni, nei limiti con le forme indeterminate e nelle derivate, e si trattano tutte con un’unica idea: scrivere la potenza in base $e$. In questa pagina vediamo l’identità $a^b = e^{b \ln a}$ con la dimostrazione, perché la base deve essere positiva, ogni esponenziale come $e^{kx}$ con i tempi di raddoppio e di dimezzamento, il dominio di $f(x)^{g(x)}$ con la scaletta, gli esempi di $x^x$ e di $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$, il confronto con 1, equazioni e disequazioni con l’incognita nella base e nell’esponente, un confronto a sorpresa, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’identità chiave

Il logaritmo naturale è l’inverso dell’esponenziale in base $e$. Le proprietà dei logaritmi partono da due identità, che in base $e$ diventano:

$$\begin{gathered} e^{\ln y} = y \quad \text{per ogni } y > 0 \\ \ln\left(e^t\right) = t \quad \text{per ogni } t \in \mathbb{R} \end{gathered}$$

La prima dice una cosa semplice ma potentissima: ogni numero positivo è una potenza di $e$. Per esempio $2 = e^{\ln 2} \approx e^{0{,}693}$ e $10 = e^{\ln 10} \approx e^{2{,}303}$.

Perché è vero. Il numero $a^b$ è positivo, perché ha la base positiva. Possiamo quindi applicargli la prima identità, con $y = a^b$, e poi la proprietà della potenza dei logaritmi, $\ln\left(a^b\right) = b \ln a$:

$$a^b = e^{\ln\left(a^b\right)} = e^{\,b \ln a}$$

Si arriva allo stesso risultato con la potenza di potenza, $a^b = \left(e^{\ln a}\right)^b = e^{b \ln a}$, che vale per basi positive ed esponenti reali, come abbiamo visto nelle potenze con esponente reale.

In parole: una potenza con base positiva è un esponenziale in base $e$, con esponente «esponente per logaritmo della base». Un controllo con i numeri: $2^3 = e^{3 \ln 2} \approx e^{2{,}0794} \approx 8{,}000$.

Perché la base deve essere positiva

Nell’identità compare $\ln a$, che esiste solo per $a > 0$. Ma il problema non è la formula: con una base negativa sono le potenze stesse a non funzionare.

• $(-2)^3 = -8$ e $(-2)^{-1} = -\frac{1}{2}$ esistono: con un esponente intero la potenza è una moltiplicazione ripetuta, o il suo reciproco.
• $(-2)^{1/2}$ dovrebbe essere $\sqrt{-2}$, che nei reali non esiste; per $(-2)^{\sqrt{2}}$ non c’è nemmeno una definizione sensata.
• $(-8)^{1/3}$ sembra $\sqrt[3]{-8} = -2$, ma scrivendo $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ verrebbe $\sqrt[6]{(-8)^2} = 2$: la stessa potenza avrebbe due valori. Per questo, sul sito, la radice cubica di $-8$ esiste e la potenza $(-8)^{1/3}$ no.

Quindi, con la convenzione del sito, $(-2)^x$ esiste solo per gli $x$ interi, e su nessun intervallo: con una funzione così non si fanno limiti né derivate. Ecco perché una potenza con esponente variabile ha senso solo con la base positiva.

E la base zero? Per $b > 0$ si pone $0^b = 0$; per $b < 0$ la potenza non esiste, perché sarebbe $\frac{1}{0}$; e $0^0$, in Analisi, di solito non si definisce (vedi il caso di zero alla zero). In ogni caso l’identità non si può usare, perché $\ln 0$ non esiste: $a^b = e^{b \ln a}$ vale solo per $a > 0$ stretto.

Con l’esponente intero, attenzione. $x^2$ e $x^{-3}$ sono definite anche per $x < 0$ (la seconda per $x \neq 0$), perché l’esponente è un intero fisso. Però la scrittura in base $e$ vale solo per $x > 0$: $x^2 = e^{2 \ln x}$ perde tutta la metà sinistra della parabola. Se serve, con gli esponenti pari si usa il valore assoluto: $x^2 = e^{2 \ln \lvert x \rvert}$ per ogni $x \neq 0$.

Ogni esponenziale è un e elevato a kx

Con l’identità, ogni funzione esponenziale diventa un esponenziale in base $e$:

$$\begin{gathered} a^x = e^{x \ln a} = e^{kx} \\ \text{con } k = \ln a \end{gathered}$$

Base $a$	$k = \ln a$	Andamento
$10$	$2{,}3026$	cresce in fretta
$2$	$0{,}6931$	cresce
$1$	$0$	costante
$0{,}9$	$-0{,}1054$	cala piano
$\frac{1}{2}$	$-0{,}6931$	cala

Il segno di $k$ dice tutto: $k > 0$ per $a > 1$, crescita; $k < 0$ per $0 < a < 1$, decadimento. Le basi $a$ e $\frac{1}{a}$ danno $k$ opposti, perché $\ln \frac{1}{a} = -\ln a$: ecco perché i grafici di $2^x$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ sono simmetrici rispetto all’asse $y$. Al contrario, $e^{kx} = \left(e^k\right)^x$ ha base $e^k$: per esempio $e^{-0{,}1x} \approx 0{,}905^x$.

Per questo in Analisi e in Fisica basta studiare $e^x$: $2^x \approx e^{0{,}693x}$ è $e^x$ «al rallentatore», con il grafico dilatato in orizzontale di un fattore $\frac{1}{\ln 2} \approx 1{,}443$. La stessa idea, letta con le pendenze, è nel numero di Nepero.

Tempo di raddoppio e costante di crescita

Una grandezza che cresce secondo $N(t) = N_0\, e^{kt}$, con la costante di crescita $k > 0$, raddoppia nel tempo $T_2$ per cui $e^{kT_2} = 2$. Prendendo il logaritmo naturale:

$$\begin{gathered} k\,T_2 = \ln 2 \\ T_2 = \frac{\ln 2}{k} \approx \frac{0{,}693}{k} \end{gathered}$$

Il risultato non dipende da $N_0$: conta solo $k$. Con $k = 0{,}05$ all’anno il raddoppio arriva dopo $\frac{0{,}693}{0{,}05} \approx 13{,}9$ anni. Al contrario, se conosci il tempo di raddoppio, $2^{t/T_2} = e^{\frac{\ln 2}{T_2}\, t}$, quindi $k = \frac{\ln 2}{T_2}$. Con lo stesso conto la grandezza triplica in $T_3 = \frac{\ln 3}{k}$.

Il legame tra dimezzamento e costante di decadimento

Nella crescita e nel decadimento esponenziale il decadimento radioattivo si scrive in due modi: con il tempo di dimezzamento $T$, come $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$, e con la costante di decadimento $\lambda > 0$, come $N_0\, e^{-\lambda t}$. Il legame arriva scrivendo la prima forma in base $e$:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = e^{\frac{t}{T} \ln \frac{1}{2}} = e^{-\frac{\ln 2}{T}\, t} \\ \text{quindi}\;\; \lambda = \frac{\ln 2}{T} \end{gathered}$$

La costante di tempo è $\tau = \frac{1}{\lambda}$: in un tempo $\tau$ la grandezza viene divisa per $e$, cioè ne resta il 36,8%. Dalla formula di $\lambda$:

$$\begin{gathered} T = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau \ln 2 \\ T \approx 0{,}693\, \tau \end{gathered}$$

Il tempo di dimezzamento è più corto della costante di tempo, ed è giusto: dividere per 2 richiede meno tempo che dividere per $e \approx 2{,}718$. Per lo iodio 131, usato in medicina, con $T \approx 8{,}02$ giorni:

$$\begin{gathered} \lambda = \frac{\ln 2}{8{,}02} \approx 0{,}0864 \ \text{al giorno} \\ \tau = \frac{8{,}02}{\ln 2} \approx 11{,}6 \ \text{giorni} \end{gathered}$$

Costante	Tempo caratteristico	Che cosa misura
$k$, crescita	$T_2 = \frac{\ln 2}{k}$	il raddoppio
$\lambda$, decadimento	$T = \frac{\ln 2}{\lambda}$	il dimezzamento
$\lambda$, decadimento	$\tau = \frac{1}{\lambda}$	la divisione per $e$

Le funzioni del tipo f(x) elevato g(x)

Ora possiamo dare un significato preciso a $x^x$. L’identità vale per ogni potenza con base positiva: applicandola punto per punto si ottiene la definizione.

In ogni punto del dominio è la solita potenza $a^b$, con $a = f(x) > 0$ e $b = g(x)$; ma a destra la variabile sta solo nell’esponente di $e$, una funzione che conosciamo benissimo. Due conseguenze immediate:

• $f(x)^{g(x)} > 0$ in tutto il dominio, perché un esponenziale è sempre positivo;
• $\ln\left(f^g\right) = g \ln f$, sempre, perché la base è positiva per definizione.

I punti con l’esponente intero non si aggiungono. In $(x - 1)^x$, per $x = 0$ si ottiene $(-1)^0 = 1$ e per $x = -1$ si ottiene $(-2)^{-1} = -\frac{1}{2}$: numeri che esistono. Eppure questi punti non stanno nel dominio: accanto a $x = -1$ c’è $x = -0{,}9$, dove servirebbe $(-1{,}9)^{-0{,}9}$, che non esiste, e una funzione fatta di punti sparsi è inutile per limiti e derivate. Il dominio di $(x - 1)^x$ è semplicemente $x > 1$.

Come si trova il dominio: la scaletta

1. Base positiva. Imponi $f(x) > 0$, con il maggiore stretto.
2. Base ed esponente devono esistere. Aggiungi le condizioni di esistenza di $f$ e di $g$: denominatori diversi da zero, radicandi di indice pari non negativi, argomenti dei logaritmi positivi, come nel dominio di una funzione.
3. Metti a sistema tutte le condizioni e risolvi.
4. Controlla con la base $e$. La scrittura $e^{g \ln f}$ deve esistere esattamente nei punti che hai trovato.

Esempio 1: x elevato x

$$x^x = e^{x \ln x}$$

Base $x$ ed esponente $x$: l’unica condizione è $x > 0$. Qualche valore:

$x$	$x \ln x$	$x^x$
0,01	−0,046	0,955
0,1	−0,230	0,794
0,37	−0,368	0,692
0,5	−0,347	0,707
1	0	1
2	1,386	4
3	3,296	27

Dalla tabella e dal grafico si leggono tre cose.

• Per $0 < x < 1$ l’esponente $x \ln x$ è negativo, quindi $x^x < 1$; per $x > 1$ è positivo e $x^x > 1$.
• Vicino a 0 i valori risalgono verso 1: $0{,}001^{0{,}001} \approx 0{,}993$. Il motivo è che $x \ln x$ tende a 0 per $x \to 0^+$, un limite che calcolerai con le forme indeterminate. Il punto $(0, 1)$, però, è escluso.
• Il valore più piccolo della tabella è vicino a $x = 0{,}37$. Con le regole di derivazione si dimostra che il minimo è esattamente in $x = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$, dove $x^x = e^{-1/e} \approx 0{,}692$.

Esempio 2: (1 + 1/x) elevato x

$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e^{x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}$$

La base deve esistere, quindi $x \neq 0$, ed essere positiva:

$$1 + \frac{1}{x} > 0 \iff \frac{x + 1}{x} > 0$$

Numeratore e denominatore devono avere lo stesso segno: $x < -1$ oppure $x > 0$. Tra $-1$ e $0$ la base è negativa o nulla, e la funzione non esiste. È una vecchia conoscenza: per $x = n$ intero positivo è la successione che definisce il numero di Nepero.

$x$	$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$	Rispetto a $e$
5	2,4883	sotto
50	2,6916	sotto
500	2,7156	sotto
−500	2,7210	sopra
−50	2,7460	sopra
−5	3,0518	sopra

Da destra i valori salgono verso $e \approx 2{,}718$ restando sotto; da sinistra scendono verso $e$ restando sopra. Che il limite per $x \to \pm\infty$ sia proprio $e$ lo vedrai nei limiti notevoli. Vicino ai bordi del dominio: per $x = 0{,}01$ la funzione vale circa 1,047, accanto al punto escluso $(0, 1)$, mentre per $x = -1{,}1$ vale già circa 13,98, e avvicinandosi a $-1$ cresce senza limiti.

Il grafico ha due rami crescenti (lo dimostrerai con le derivate), l’asintoto orizzontale $y = e$ da entrambe le parti e l’asintoto verticale $x = -1$.

Esempio 3: un dominio con più condizioni

$$f(x) = \left(4 - x^2\right)^{1/\ln(x + 1)}$$

Seguiamo la scaletta. La base deve essere positiva; l’esponente richiede l’argomento del logaritmo positivo e il denominatore diverso da zero:

$$\begin{cases} 4 - x^2 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ \ln(x + 1) \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} -2 < x < 2 \\ x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases}$$

L’ultima condizione viene da $\ln(x + 1) = 0 \iff x + 1 = 1 \iff x = 0$. Mettendo insieme, il dominio è $(-1, 0) \cup (0, 2)$. In base $e$ la funzione è

$$f(x) = e^{\ln\left(4 - x^2\right) / \ln(x + 1)}$$

e infatti esiste negli stessi punti. Con la convenzione che ammette la base nulla si aggiungerebbe $x = 2$, dove la base vale 0 e l’esponente $\frac{1}{\ln 3}$ è positivo; non $x = -2$, dove $\ln(x + 1)$ non esiste.

Il segno e il confronto con 1

Chiedersi il segno di $f^g$ non serve: nel dominio è sempre positiva. La domanda utile, in equazioni, disequazioni e studi di funzione, è un’altra: $f^g$ è maggiore o minore di 1? Siccome $e^t$ è strettamente crescente ed $e^0 = 1$, si ha $e^t > 1$ esattamente quando $t > 0$. Quindi, nel dominio:

$$\begin{gathered} f^g > 1 \iff g \ln f > 0 \\ f^g = 1 \iff g = 0 \ \text{oppure}\ f = 1 \\ f^g < 1 \iff g \ln f < 0 \end{gathered}$$

E siccome $\ln f$ ha lo stesso segno di $f - 1$ (positivo per $f > 1$, negativo per $0 < f < 1$), basta studiare il prodotto $g \cdot (f - 1)$, che spesso è un polinomio.

In pratica: base maggiore di 1 con esponente positivo, come $2^3 = 8$, oppure base tra 0 e 1 con esponente negativo, come $0{,}5^{-2} = 4$. Nella figura, le quattro zone.

Una disequazione con la regola del segno

Esempio 4. Risolvi $x^{x - 1} > 1$.

C.E.: $x > 0$. Serve $(x - 1)\ln x > 0$, e i due fattori cambiano segno nello stesso punto, $x = 1$:

Intervallo	$x - 1$ e $\ln x$	$x^{x - 1}$
$0 < x < 1$	entrambi negativi	$> 1$
$x = 1$	entrambi nulli	$= 1$
$x > 1$	entrambi positivi	$> 1$

Il prodotto è positivo ovunque tranne in $x = 1$: le soluzioni sono $0 < x < 1$ e $x > 1$. Controllo: $0{,}5^{-0{,}5} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ e $3^2 = 9$. Con la regola del segno è ancora più rapido: $g \cdot (f - 1) = (x - 1)^2$, positivo per ogni $x \neq 1$.

Equazioni con l’incognita nella base e nell’esponente

Quando la $x$ sta nella base e nell’esponente, nessuna proprietà delle potenze la libera. Conviene prendere il logaritmo naturale dei due membri, che fa scendere l’esponente:

1. Condizioni di esistenza: base positiva, più le condizioni di base ed esponente.
2. Logaritmo dei due membri, lecito dove sono entrambi positivi (dove il secondo membro è $\leq 0$ non ci sono soluzioni): $g(x) \ln f(x) = \ln(\text{secondo membro})$.
3. Risolvi, spesso raccogliendo un fattore o con una sostituzione.
4. Controlla le soluzioni con le condizioni e, se puoi, sostituendo.

Esempio 5. Risolvi $(e\,x)^{\ln x} = e^6$.

Il primo membro richiede $e\,x > 0$ e $x > 0$, cioè $x > 0$. Applicando $\ln$ a entrambi i membri, con $\ln(e\,x) = 1 + \ln x$:

$$\begin{gathered} \ln x \cdot \ln(e\,x) = \ln e^6 \\ {} \iff \ln x \cdot (1 + \ln x) = 6 \\ {} \iff t^2 + t - 6 = 0 \end{gathered}$$

con $t = \ln x$. Le soluzioni sono $t = 2$ e $t = -3$, quindi $x = e^2 \approx 7{,}389$ oppure $x = e^{-3} \approx 0{,}0498$, entrambe positive. Controllo: $\left(e^3\right)^{2} = e^6$ e $\left(e^{-2}\right)^{-3} = e^6$.

Esempio 6. Risolvi $x^x = x^2$.

C.E.: $x > 0$, per il primo membro. La tentazione è «uguagliare gli esponenti» e scrivere $x = 2$. Ma due potenze con la stessa base possono essere uguali anche con esponenti diversi, se la base vale 1. Con il logaritmo non si perde niente:

$$\begin{gathered} x \ln x = 2 \ln x \\ {} \iff (x - 2) \ln x = 0 \end{gathered}$$

Un prodotto è nullo quando lo è un fattore: $x = 2$ oppure $\ln x = 0$, cioè $x = 1$. Entrambe sono accettabili: $2^2 = 2^2$ e $1^1 = 1^2$. La soluzione $x = 1$, con la base uguale a 1, è proprio quella che si perde uguagliando gli esponenti.

Esempio 7. Risolvi $\left(x^2 - 3\right)^{x + 1} = 1$.

C.E.: $x^2 - 3 > 0$, cioè $x < -\sqrt{3}$ oppure $x > \sqrt{3}$. Per quanto visto sopra, la potenza vale 1 quando la base è 1 oppure l’esponente è zero:

• base uguale a 1: $x^2 - 3 = 1 \iff x = \pm 2$, entrambe nel dominio, perché $2 > \sqrt{3} \approx 1{,}732$;
• esponente nullo: $x + 1 = 0 \iff x = -1$, ma $(-1)^2 - 3 = -2$: la base è negativa, quindi $x = -1$ è fuori dal dominio.

Le soluzioni sono $x = -2$ e $x = 2$. Il valore scartato è una trappola: come numero $(-2)^0 = 1$, ma lì la base è negativa.

Non tutte le equazioni di questo tipo si risolvono con l’algebra: $x^x = 2$, per esempio, ha una soluzione (circa 1,56) che si trova solo per via numerica o grafica. Il logaritmo dà $x \ln x = \ln 2$, con la $x$ ancora dentro e fuori dal logaritmo. La soluzione è una sola: per $0 < x < 1$ si ha $x^x < 1$, e per $x \geq 1$ l’esponente $x \ln x$ è prodotto di due funzioni strettamente crescenti e non negative, quindi $x^x$ è strettamente crescente. Con la bisezione, come nella risoluzione grafica delle equazioni esponenziali, si trova $x \approx 1{,}5596$.

Un confronto a sorpresa

Chi è più grande tra $2^{\ln 3}$ e $3^{\ln 2}$? Scrivendo tutto in base $e$:

$$\begin{gathered} 2^{\ln 3} = e^{\ln 3 \cdot \ln 2} \\ 3^{\ln 2} = e^{\ln 2 \cdot \ln 3} \end{gathered}$$

Gli esponenti sono lo stesso prodotto, quindi i due numeri sono uguali: valgono $e^{0{,}7615\ldots} \approx 2{,}14$. Lo stesso conto, per $a > 0$ e $c > 0$, dà

$$a^{\ln c} = e^{\ln a \cdot \ln c} = c^{\ln a}$$

È il caso con base $e$ dell’identità $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ che abbiamo visto nel cambiamento di base.

Un confronto vero. Chi è più grande tra $99^{100}$ e $100^{99}$? Sono numeri di circa 200 cifre, ma in base $e$ basta confrontare gli esponenti:

$$\begin{gathered} 99^{100} = e^{100 \ln 99} \approx e^{459{,}51} \\ 100^{99} = e^{99 \ln 100} \approx e^{455{,}91} \end{gathered}$$

Siccome $e^t$ è strettamente crescente, vince $99^{100}$, circa $e^{3{,}60} \approx 36{,}6$ volte più grande. In generale, per $a, b > 0$, confrontare $a^b$ e $b^a$ equivale a confrontare $b \ln a$ e $a \ln b$, cioè, dividendo per $ab$, $\frac{\ln a}{a}$ e $\frac{\ln b}{b}$. Nello studio di funzione logaritmica vedrai che $\frac{\ln x}{x}$ ha il massimo in $x = e$ e poi è strettamente decrescente: per questo, con $e \leq a < b$, vince sempre $a^b$, e da lì viene il famoso $e^\pi > \pi^e$.

Perché ti servirà

La scrittura $f^g = e^{g \ln f}$ sembra un cambio di vestito, ma è il primo passo in tre capitoli di Analisi 1.

• Limiti. Siccome $e^t$ è continua, il limite di $f^g$ si ricava dal limite dell’esponente $g \ln f$. Le forme indeterminate $1^\infty$, $0^0$ e $\infty^0$ diventano tutte una forma $0 \cdot \infty$ nell’esponente: le tratterai nelle forme indeterminate e, per $1^\infty$, nei limiti notevoli.
• Derivate. $x^x$ non è una potenza con esponente fisso né un esponenziale con base fissa, e le due regole darebbero risultati sbagliati. Scritta come $e^{x \ln x}$ è una funzione composta, che si deriva con la regola della catena, come vedrai nelle regole di derivazione.
• Studio di funzione. Dominio con $f > 0$, segno sempre positivo, confronto con 1 dal segno di $g \ln f$, limiti dall’esponente: è la scaletta che userai nello studio di funzione quando la $x$ sta nella base e nell’esponente.

Gli errori più comuni

• Usare una base negativa con l’esponente variabile. $(-2)^x$ non è una funzione su un intervallo, e $(x - 3)^x$ esiste solo per $x > 3$: con l’esponente variabile la base deve essere positiva.
• Scrivere $f(x) \geq 0$ nel dominio. Serve $f(x) > 0$ stretto, perché $\ln 0$ non esiste (salvo la convenzione di alcuni testi su $f = 0$ con $g > 0$).
• Leggere $x^x$ come $x \cdot x$. $x \cdot x = x^2$, che coincide con $x^x$ solo per $x = 1$ e $x = 2$ (esempio 6): per esempio $3^3 = 27$, non 9.
• Calcolare una torre dal basso. $x^{x^x}$ si legge dall’alto, come $x^{\left(x^x\right)}$, mentre $\left(x^x\right)^x = x^{x^2}$. Per $x = 3$ la torre vale $3^{27} \approx 7{,}6 \cdot 10^{12}$, la potenza di potenza $3^9 = 19\,683$. Le regole sono nelle torri di esponenti.
• Uguagliare gli esponenti dimenticando la base 1. In $x^x = x^2$ si perde $x = 1$: prendi il logaritmo dei due membri e raccogli.
• Accettare un esponente nullo fuori dal dominio. In $\left(x^2 - 3\right)^{x + 1} = 1$ il valore $x = -1$ annulla l’esponente ma rende negativa la base: va scartato.
• Usare $\ln\left(f^g\right) = g \ln f$ con una base che può essere negativa. Con un esponente intero fisso la base può essere negativa: $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln x$ vale solo per $x > 0$, mentre in generale $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln \lvert x \rvert$.
• Confondere le costanti del decadimento. $T = \tau \ln 2$, non $\frac{\tau}{\ln 2}$: il tempo di dimezzamento è più corto della costante di tempo.

Esercizi svolti

1. Tutto in base e

Testo. Scrivi in base $e$: a) $5^x$; b) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}$; c) $\left(x^2 + 1\right)^x$, dicendo dove vale la scrittura. Poi d) scrivi $e^{0{,}5x}$ ed $e^{-3x}$ nella forma $a^x$.

a) Con $a^x = e^{x \ln a}$: $5^x = e^{x \ln 5} \approx e^{1{,}609x}$. Il coefficiente è positivo, perché $5 > 1$.

b) L’esponente è $2x$ e $\ln \frac{1}{3} = -\ln 3$:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} = e^{-2x \ln 3} \approx e^{-2{,}197x}$$

Torna: $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{1}{9}\right)^x$, e $\ln \frac{1}{9} = -2 \ln 3$.

c) La base vale $x^2 + 1 \geq 1$, quindi è positiva per ogni $x$:

$$\left(x^2 + 1\right)^x = e^{x \ln\left(x^2 + 1\right)} \quad \text{per ogni } x$$

Il dominio è tutto $\mathbb{R}$: base ed esponente variabili non vogliono dire dominio ristretto, se la base è sempre positiva.

d) Si legge l’identità al contrario, $e^{kx} = \left(e^k\right)^x$:

$$\begin{gathered} e^{0{,}5x} = \left(\sqrt{e}\right)^x \approx 1{,}6487^x \\ e^{-3x} = \left(e^{-3}\right)^x \approx 0{,}0498^x \end{gathered}$$

Le basi sono $\sqrt{e}$, maggiore di 1, ed $e^{-3}$, minore di 1: crescita e decadimento, come dice il segno di $k$.

2. Due domini

Testo. Trova il dominio di a) $\left(x^2 - 5x + 6\right)^{\sqrt{4 - x}}$ e b) $\left(2 - e^x\right)^{1/x}$.

a) La base è $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, positiva per $x < 2$ e per $x > 3$; l’esponente è una radice quadrata, che richiede il radicando non negativo:

$$\begin{cases} x < 2 \ \text{oppure} \ x > 3 \\ x \leq 4 \end{cases}$$

Il dominio è $(-\infty, 2) \cup (3, 4]$. In $x = 4$ l’esponente vale 0 e la base 2: $2^0 = 1$, tutto regolare. Con la convenzione che ammette la base nulla si aggiungerebbero $x = 2$ e $x = 3$, dove gli esponenti $\sqrt{2}$ e 1 sono positivi.

b) La base deve essere positiva, e siccome $e^x$ è strettamente crescente:

$$2 - e^x > 0 \iff e^x < 2 \iff x < \ln 2$$

L’esponente $\frac{1}{x}$ richiede $x \neq 0$. Il dominio è $(-\infty, 0) \cup (0, \ln 2)$, con $\ln 2 \approx 0{,}693$, e in base $e$ la funzione è $e^{\ln(2 - e^x)/x}$.

3. Un’equazione con le radici

Testo. Risolvi $x^{\sqrt{x}} = \left(\sqrt{x}\right)^x$.

C.E.: le due basi, $x$ e $\sqrt{x}$, devono essere positive: $x > 0$. Prendiamo il logaritmo dei due membri, con $\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2}\ln x$:

$$\begin{gathered} \sqrt{x} \ln x = \frac{x}{2} \ln x \\ \ln x \left(\sqrt{x} - \frac{x}{2}\right) = 0 \end{gathered}$$

Primo fattore: $\ln x = 0$, cioè $x = 1$. Secondo fattore: $\sqrt{x} = \frac{x}{2}$, cioè $2\sqrt{x} = x$. Siccome $x = \left(\sqrt{x}\right)^2$:

$$\begin{gathered} \sqrt{x}\left(\sqrt{x} - 2\right) = 0 \\ \sqrt{x} = 0 \ \text{oppure} \ \sqrt{x} = 2 \end{gathered}$$

Il primo dà $x = 0$, escluso dalle C.E.; il secondo dà $x = 4$. Verifica: $4^{\sqrt{4}} = 4^2 = 16$ e $\left(\sqrt{4}\right)^4 = 2^4 = 16$. Le soluzioni sono $x = 1$ e $x = 4$; anche qui $x = 1$ è il caso della base uguale a 1.

4. Una disequazione con la regola del segno

Testo. Risolvi $\left(x^2 - 3\right)^{4 - x} > 1$.

C.E.: $x^2 - 3 > 0$, cioè $x < -\sqrt{3}$ oppure $x > \sqrt{3}$. Per la regola del segno serve che l’esponente e la base meno 1 abbiano lo stesso segno:

$$(4 - x)\left(x^2 - 4\right) > 0$$

I fattori si annullano in $x = 4$ e in $x = \pm 2$. Studiamo il segno negli intervalli del dominio:

Intervallo	$4 - x$ e $x^2 - 4$	Prodotto
$x < -2$	$+$ e $+$	$+$
$-2 < x < -\sqrt{3}$	$+$ e $-$	$-$
$\sqrt{3} < x < 2$	$+$ e $-$	$-$
$2 < x < 4$	$+$ e $+$	$+$
$x > 4$	$-$ e $+$	$-$

In $x = \pm 2$ e in $x = 4$ la potenza vale esattamente 1: non sono soluzioni. Controllo: $6^1 = 6$ per $x = 3$, $22^{-1} = \frac{1}{22}$ per $x = 5$. Le soluzioni sono $x < -2$ oppure $2 < x < 4$.

5. Raddoppio, dimezzamento e costante di tempo

Testo. a) Una coltura di batteri cresce secondo $N(t) = N_0\, e^{0{,}4\,t}$, con $t$ in ore: in quanto tempo raddoppia? E in quanto triplica? b) Un isotopo decade secondo $N(t) = N_0\, e^{-0{,}02\,t}$, con $t$ in giorni: trova la costante di tempo, il tempo di dimezzamento e la percentuale rimasta dopo 100 giorni, poi riscrivi la legge con il tempo di dimezzamento.

a) Con $T_2 = \frac{\ln 2}{k}$ e $T_3 = \frac{\ln 3}{k}$:

$$\begin{gathered} T_2 = \frac{\ln 2}{0{,}4} \approx 1{,}733 \ \text{ore} \\ T_3 = \frac{\ln 3}{0{,}4} \approx 2{,}747 \ \text{ore} \end{gathered}$$

cioè circa 1 h 44 min e 2 h 45 min. Il rapporto $\frac{T_3}{T_2} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}585$ non dipende da $k$, come nel cambiamento di base.

b) Qui $\lambda = 0{,}02$ al giorno, quindi $\tau = \frac{1}{0{,}02} = 50$ giorni e

$$T = \tau \ln 2 = 50 \ln 2 \approx 34{,}66 \ \text{giorni}$$

Dopo 100 giorni, cioè due costanti di tempo, resta $e^{-0{,}02 \cdot 100} = e^{-2} \approx 0{,}135$: il 13,5%. La legge con il tempo di dimezzamento è $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/34{,}66}$. Controllo: 100 giorni sono circa 2,885 dimezzamenti, e $2^{-2{,}885} \approx 0{,}135$.

6. Da esame: dominio, confronto con 1 ed equazione

Testo. Data $f(x) = (x - 2)^{\ln x}$: a) trova il dominio e scrivi $f$ in base $e$; b) stabilisci dove $f(x)$ è maggiore, uguale o minore di 1; c) risolvi $f(x) = x - 2$; d) dimostra che nel dominio $f(x) = x^{\ln(x - 2)}$.

a) La base richiede $x - 2 > 0$, cioè $x > 2$; l’esponente $\ln x$ richiede $x > 0$, già compreso. Il dominio è $(2, +\infty)$ e

$$f(x) = e^{\ln x \cdot \ln(x - 2)}$$

b) Conta il segno di $\ln x \cdot \ln(x - 2)$. Per $x > 2$ si ha $\ln x > \ln 2 > 0$, quindi decide $\ln(x - 2)$, positivo quando $x - 2 > 1$:

• per $2 < x < 3$, $f(x) < 1$; per esempio $f(2{,}5) = 0{,}5^{\ln 2{,}5} \approx 0{,}530$;
• in $x = 3$, $f(3) = 1^{\ln 3} = 1$;
• per $x > 3$, $f(x) > 1$; per esempio $f(4) = 2^{\ln 4} \approx 2{,}614$.

c) Nel dominio entrambi i membri sono positivi, quindi prendiamo il logaritmo:

$$\begin{gathered} \ln x \cdot \ln(x - 2) = \ln(x - 2) \\ \ln(x - 2)\,(\ln x - 1) = 0 \end{gathered}$$

Da $\ln(x - 2) = 0$ si ha $x = 3$; da $\ln x = 1$ si ha $x = e \approx 2{,}718$. Entrambe sono maggiori di 2, quindi accettabili. Verifica: $f(3) = 1 = 3 - 2$ e $f(e) = (e - 2)^{\ln e} = e - 2$.

d) È il confronto a sorpresa: con $a^{\ln c} = c^{\ln a}$, per $a = x - 2 > 0$ e $c = x > 0$, si ha $(x - 2)^{\ln x} = x^{\ln(x - 2)}$; entrambe valgono $e^{\ln x \cdot \ln(x - 2)}$. In breve: dominio $x > 2$, $f < 1$ prima di 3 e $f > 1$ dopo, soluzioni $x = e$ e $x = 3$. Altri esercizi sono negli esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi.

In sintesi

• Per $a > 0$: $a = e^{\ln a}$ e $a^b = e^{b \ln a}$; con base negativa o nulla l’identità non vale.
• Ogni esponenziale è $a^x = e^{kx}$, con $k = \ln a$. Raddoppio in $T_2 = \frac{\ln 2}{k}$; dimezzamento in $T = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau \ln 2$.
• $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$, definita dove $f(x) > 0$ e $g(x)$ esiste (alcuni testi aggiungono $f = 0$ con $g > 0$).
• $f^g$ è sempre positiva; $f^g > 1$ quando $g$ e $f - 1$ hanno lo stesso segno, $f^g = 1$ quando $g = 0$ oppure $f = 1$.
• $x^x$ ha dominio $x > 0$ e minimo $e^{-1/e} \approx 0{,}692$ in $x = \frac{1}{e}$; $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ ha dominio $x < -1$ oppure $x > 0$ e si avvicina a $e$.
• Equazioni con la $x$ nella base e nell’esponente: condizioni, logaritmo dei due membri, attenzione alla base 1.
• $a^{\ln c} = c^{\ln a}$: per esempio $2^{\ln 3} = 3^{\ln 2} \approx 2{,}14$.

Hai visto tutte le proprietà. Prima degli esercizi, un ripasso di quello che non si deve fare: gli errori più comuni con i logaritmi.