Cambiamento di base dei logaritmi: formula, dimostrazione, calcolatrice ed esercizi

Di solito la calcolatrice ha due tasti per i logaritmi: $\ln$ e $\log$ in base 10. Eppure negli esercizi compaiono logaritmi in base 2, 3, 7, $\frac{1}{2}$, e spesso in basi diverse nella stessa espressione. Per tutti questi casi c’è un’unica formula, che completa le proprietà dei logaritmi: il cambiamento di base. All’esame la usi per calcolare, per risolvere equazioni e disequazioni con basi diverse, per confrontare due logaritmi e per trovare il dominio quando la $x$ sta nella base. In questa pagina vediamo l’idea, la formula con le sue condizioni e due dimostrazioni, la calcolatrice e quante cifre tenere, le conseguenze (reciproco, catene, base potenza, la potenza con un logaritmo all’esponente), perché tutti i logaritmi sono proporzionali, bit e raddoppi, quando conviene cambiare base, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: cambiare base è cambiare unità di misura

Un logaritmo è un esponente: $\log_a b$ è l’esponente da dare alla base $a$ per ottenere $b$, cioè, quando è un intero positivo, quanti fattori $a$ servono. Prova a misurare tutto con un’altra base, per esempio 3:

$$9 = 3^2 \qquad 243 = 3^5$$

In base 3, il 9 «è lungo» 2 passi e il 243 è lungo 5 passi. Quanti «passi da 9» servono per arrivare a 243? Esattamente $\frac{5}{2}$, e infatti $9^{5/2} = \left(3^2\right)^{5/2} = 3^5 = 243$. Quindi

$$\log_9 243 = \frac{\log_3 243}{\log_3 9} = \frac{5}{2}$$

È come misurare un tavolo con i passi: se il tavolo è lungo 6 spanne e un tuo passo è lungo 3 spanne, il tavolo è lungo $\frac{6}{3} = 2$ passi. La spanna è la nuova base: un’unità di misura comoda, che alla fine si semplifica.

La formula

Per ricordarla: la base vecchia $a$ finisce al denominatore, l’argomento $b$ al numeratore, e la base nuova $c$ compare sopra e sotto.

Perché quelle condizioni. Tutti e tre i logaritmi devono esistere: per questo le basi $a$ e $c$ sono positive e diverse da 1, e l’argomento $b$ è positivo. In più il denominatore non deve annullarsi, e infatti $\log_c a = 0$ solo per $a = 1$, che è escluso. Nota anche che $c$ è qualsiasi: il quoziente viene sempre lo stesso, come il tavolo è lungo 2 passi sia misurando in spanne sia in centimetri.

Prima dimostrazione: con le potenze

Chiamiamo $p = \log_c a$ e $q = \log_c b$. Per la definizione di logaritmo $a = c^p$ e $b = c^q$. Ora $x = \log_a b$ significa $a^x = b$, cioè

$$\begin{gathered} \left(c^p\right)^x = c^q \\ c^{px} = c^q \end{gathered}$$

Siccome $c \neq 1$, la funzione $c^t$ è iniettiva: due potenze di $c$ sono uguali solo se gli esponenti sono uguali. Quindi $px = q$. E siccome $a \neq 1$, $p \neq 0$: possiamo dividere e otteniamo $x = \frac{q}{p}$, cioè la formula.

Seconda dimostrazione: con la proprietà della potenza

Chiamiamo $x = \log_a b$, cioè $a^x = b$. Applichiamo $\log_c$ a entrambi i membri e usiamo la proprietà della potenza:

$$\begin{gathered} \log_c\left(a^x\right) = \log_c b \\ x \log_c a = \log_c b \end{gathered}$$

Siccome $a \neq 1$, $\log_c a \neq 0$, quindi possiamo dividere: $x = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. È lo stesso ragionamento che abbiamo fatto nelle equazioni esponenziali con i logaritmi, dove avevamo usato la formula prima di dimostrarla.

Un controllo con i numeri

Sappiamo che $\log_4 64 = 3$, perché $4^3 = 64$. Con la nuova base 2 e con la nuova base $e$:

$$\begin{gathered} \frac{\log_2 64}{\log_2 4} = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{\ln 64}{\ln 4} \approx \frac{4{,}1589}{1{,}3863} \approx 3{,}000 \end{gathered}$$

Due basi nuove diverse, lo stesso risultato.

Con la calcolatrice

In pratica la nuova base è quasi sempre $e$ o 10, i due tasti della calcolatrice:

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$$

La scaletta:

1. Stima tra quali interi cade il risultato, come abbiamo visto nella definizione di logaritmo.
2. Calcola $\ln b$ diviso $\ln a$ in un solo passaggio, senza ricopiare valori arrotondati.
3. Controlla che il risultato rispetti la stima.

Per esempio $\log_7 50 = \frac{\ln 50}{\ln 7} \approx 2{,}010$: appena sopra 2, ed è giusto, perché $7^2 = 49$, quasi 50. Fare una stima prima del calcolo è il modo migliore per accorgersi degli errori di battitura.

Ecco tre esempi, calcolati con $\ln$ e con $\log_{10}$:

Risultato	Con $\ln$	Con $\log_{10}$
$\log_2 10 \approx 3{,}322$	$\dfrac{2{,}30259}{0{,}69315}$	$\dfrac{1}{0{,}30103}$
$\log_3 50 \approx 3{,}561$	$\dfrac{3{,}91202}{1{,}09861}$	$\dfrac{1{,}69897}{0{,}47712}$
$\log_{0{,}5} 7 \approx -2{,}807$	$\dfrac{1{,}94591}{-0{,}69315}$	$\dfrac{0{,}84510}{-0{,}30103}$

Le due colonne danno lo stesso numero, e le stime tornano: $2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4$; $3^3 = 27 < 50 < 81 = 3^4$; con la base $0{,}5$, minore di 1, e l’argomento maggiore di 1 il logaritmo è negativo, e siccome $0{,}5^{-2} = 4 < 7 < 8 = 0{,}5^{-3}$ sta tra $-3$ e $-2$. In effetti $\log_{0{,}5} 7 = -\log_2 7$.

C’è anche un modo di vedere la formula. $\log_2 10$ è il numero di volte in cui l’altezza $\ln 2$ sta nell’altezza $\ln 10$. Se usi $\log_{10}$ al posto di $\ln$, tutte le altezze cambiano dello stesso fattore, e il rapporto resta lo stesso.

Quante cifre tenere

Di solito il risultato si dà con 4 cifre significative. Nei passaggi intermedi ne servono di più: se ricopi i logaritmi con 4 cifre, l’ultima cifra del risultato può sbagliare di uno. Per esempio $\frac{0{,}8451}{-0{,}3010} \approx -2{,}808$, mentre il valore giusto è $-2{,}807$. Per questo nella tabella i logaritmi hanno 5 o 6 cifre; ancora meglio, fai la divisione in un solo passaggio, con tutte le cifre della calcolatrice.

Quando la base è vicina a 1 l’arrotondamento fa danni veri, perché il denominatore è piccolo. Un capitale all’1% annuo, con l’interesse composto, raddoppia quando $1{,}01^t = 2$, cioè dopo $t = \log_{1{,}01} 2$ anni:

$$\begin{gathered} \log_{1{,}01} 2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}01} \\ {} \approx \frac{0{,}693147}{0{,}00995033} \approx 69{,}66 \end{gathered}$$

Se scrivi $\ln 1{,}01 \approx 0{,}01$, che ha una sola cifra significativa, ottieni $69{,}31$: sbagli già la terza cifra. Conta le cifre significative, non i decimali: arrotondato a 4 decimali, $\ln 1{,}01$ diventa $0{,}0100$ e l’errore resta.

Le conseguenze più utili

Dalla formula del cambiamento di base seguono alcune regole che negli esercizi fanno risparmiare un sacco di conti. In tutte, ogni numero che fa da base deve essere positivo e diverso da 1, e ogni argomento positivo.

Scambiare base e argomento

Per $a > 0$ e $b > 0$, entrambi diversi da 1 perché entrambi fanno da base, scegliamo come nuova base proprio $b$:

$$\begin{gathered} \log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a} \\ \text{cioè}\;\; \log_a b \cdot \log_b a = 1 \end{gathered}$$

Scambiando base e argomento si ottiene il reciproco. Per esempio $\log_2 8 = 3$ e $\log_8 2 = \frac{1}{3}$. Oppure, con la calcolatrice: $\log_{10} 2 = \frac{1}{\log_2 10} \approx \frac{1}{3{,}3219} \approx 0{,}3010$.

Con la proprietà della potenza si fanno calcoli che sembrano impossibili:

$$\begin{gathered} \log_2 9 \cdot \log_3 4 = \left(2 \log_2 3\right) \cdot \left(2 \log_3 2\right) \\ {} = 4 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 4 \end{gathered}$$

Le catene di logaritmi

Quando l’argomento di un logaritmo è la base del successivo, i logaritmi si «incastrano». Per $a, b > 0$ diversi da 1 e $c > 0$:

$$\begin{gathered} \log_a b \cdot \log_b c = \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln c}{\ln b} \\ {} = \frac{\ln c}{\ln a} = \log_a c \end{gathered}$$

I $\ln b$ si semplificano. E la catena può essere lunga quanto vuoi: con tre anelli $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d = \log_a d$, per esempio

$$\log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = 3$$

Con sei anelli consecutivi, scritti con $\ln$, ogni numeratore si semplifica con il denominatore successivo; è un prodotto telescopico:

$$\begin{gathered} \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdots \log_7 8 \\ {} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 4}{\ln 3} \cdots \frac{\ln 8}{\ln 7} \\ {} = \frac{\ln 8}{\ln 2} = 3 \end{gathered}$$

Quando la base è una potenza

Per $a > 0$ con $a \neq 1$, $b > 0$ e $k \neq 0$ (con $k = 0$ la base sarebbe $a^0 = 1$), l’esponente della base esce come reciproco:

$$\log_{a^k} b = \frac{\log_a b}{\log_a a^k} = \frac{1}{k} \log_a b$$

Per esempio $\log_8 x = \frac{1}{3} \log_2 x$, $\log_{\sqrt{5}} 7 = 2 \log_5 7$ (perché $\sqrt{5} = 5^{1/2}$) e, con $k = -1$, si ritrova la formula $\log_{1/a} b = -\log_a b$ che avevamo dimostrato nella funzione logaritmica. Funziona anche con esponenti negativi e frazionari insieme: $\frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-1/2}$, quindi $\log_{1/\sqrt{3}} 27 = -2 \log_3 27 = -6$.

Questa regola è preziosa quando un’espressione mescola basi che sono potenze dello stesso numero. Per $x > 0$:

$$\begin{gathered} \log_2 x + \log_4 x + \log_8 x \\ {} = \log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 x + \frac{1}{3}\log_2 x \\ {} = \frac{11}{6} \log_2 x \end{gathered}$$

Una potenza con un logaritmo all’esponente

C’è un’identità curiosa, che negli esercizi d’esame compare più spesso di quanto immagini. Per $a > 0$, $c > 0$ e $b > 0$ con $b \neq 1$:

$$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$$

Perché è vero. I due membri sono positivi e hanno lo stesso logaritmo in base $b$: a sinistra $\log_b c \cdot \log_b a$, a destra $\log_b a \cdot \log_b c$. Siccome il logaritmo è iniettivo, i due numeri sono uguali. In alternativa, scrivi $a = b^{\log_b a}$: allora $a^{\log_b c} = b^{\log_b a \cdot \log_b c}$, e l’esponente non cambia scambiando $a$ e $c$.

Serve a scambiare base e argomento quando uno dei due è comodo:

$$\begin{gathered} 8^{\log_2 5} = 5^{\log_2 8} = 5^3 = 125 \\ 9^{\log_3 7} = 7^{\log_3 9} = 7^2 = 49 \end{gathered}$$

E risolve confronti che sembrano impossibili: chi è più grande tra $3^{\log_2 7}$ e $7^{\log_2 3}$? Nessuno dei due: sono uguali, circa $21{,}85$. Con $b = e$ l’identità diventa $a^{\ln c} = c^{\ln a}$: per esempio $2^{\ln 3} = 3^{\ln 2}$, il confronto che trovi nelle potenze con base ed esponente variabili.

Tutti i logaritmi sono proporzionali

Con il cambiamento di base, per ogni $x > 0$:

$$\log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x$$

Il numero $\frac{1}{\ln a}$ non dipende da $x$: è una costante. Quindi tutti i logaritmi sono multipli del logaritmo naturale:

$$\begin{gathered} \log_2 x \approx 1{,}4427 \, \ln x \\ \log_{10} x \approx 0{,}4343 \, \ln x \end{gathered}$$

Allo stesso modo, con la catena, $\log_2 x = \log_2 10 \cdot \log_{10} x \approx 3{,}32 \, \log_{10} x$. È come un righello con i centimetri da un lato e i pollici dall’altro: i numeri sono gli stessi punti, cambia solo l’unità con cui leggi la distanza da 1.

Geometricamente, il grafico di $\log_a x$ è quello di $\ln x$ dilatato o compresso in verticale, e ribaltato se $0 < a < 1$, perché allora $\ln a < 0$. Ecco perché, nei grafici con basi diverse, le curve hanno tutte la stessa forma e passano tutte per $(1, 0)$.

Ed ecco perché in Analisi si usa quasi solo $\ln$: qualsiasi altro logaritmo è $\ln$ moltiplicato per una costante, e le formule di limiti, derivate e integrali sono più semplici in base $e$. Per lo stesso motivo ogni esponenziale si può scrivere in base $e$: $a^x = e^{x \ln a}$. Lo vediamo nell’articolo sulle potenze con base ed esponente variabili.

A cosa serve: bit, raddoppi e confronti

Il logaritmo in base 2 e i bit

Un intero positivo $N$ si scrive con $k$ cifre binarie (bit) quando $2^{k-1} \leq N < 2^k$, cioè quando $k - 1 \leq \log_2 N < k$. Quanti bit servono per scrivere un miliardo?

$$\log_2 10^9 = 9 \log_2 10 \approx 29{,}90$$

Quindi $k - 1 = 29$ e servono 30 bit: infatti $2^{29} = 536\,870\,912$ è meno di un miliardo e $2^{30} = 1\,073\,741\,824$ è di più.

Il logaritmo in base 2 conta anche i dimezzamenti. Un amico pensa un numero da 1 a 1 000 000 e tu puoi fare solo domande del tipo «è maggiore di 500 000?». Con la domanda giusta, ogni risposta dimezza i candidati. Con $k$ risposte sì/no si distinguono al massimo $2^k$ casi, quindi servono $k$ domande con $2^k \geq 10^6$:

$$k \geq \log_2 10^6 = 6 \log_2 10 \approx 19{,}93$$

Bastano 20 domande, e meno di 20 non bastano. È l’idea della ricerca binaria, con cui un computer trova un nome in un elenco ordinato.

Nel 1948 Claude Shannon, nell’articolo A Mathematical Theory of Communication, misurò l’informazione proprio con i logaritmi. Scrisse che scegliere la base del logaritmo equivale a scegliere un’unità di misura: con la base 2 si ottengono le binary digits, in breve bit, una parola suggerita da John Tukey; con la base 10 le cifre decimali, con la base $e$ le «unità naturali». E aggiunse che per passare dalla base $a$ alla base $b$ basta moltiplicare per $\log_b a$: è il cambiamento di base.

Raddoppiare e triplicare

Una grandezza che a ogni unità di tempo viene moltiplicata per $q > 1$ raddoppia in un tempo $T_2 = \log_q 2$ e triplica in $T_3 = \log_q 3$. Con un tasso $r$, per esempio un interesse composto, $q = 1 + r$ e $T_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, come nelle equazioni esponenziali. Con la catena $\log_q 3 = \log_q 2 \cdot \log_2 3$:

$$T_3 = T_2 \cdot \log_2 3 \approx 1{,}585 \, T_2$$

qualunque sia la velocità di crescita. Se i batteri raddoppiano ogni 20 minuti, come nella crescita esponenziale, triplicano in circa $20 \cdot 1{,}585 \approx 31{,}7$ minuti.

Confrontare logaritmi con basi diverse

Qual è più grande, $\log_9 20$ o $\log_{27} 90$? Le basi sono potenze di 3, quindi si porta tutto in base 3: $\log_9 20 = \frac{1}{2} \log_3 20$ e $\log_{27} 90 = \frac{1}{3} \log_3 90$. Per togliere le frazioni moltiplichiamo entrambi per 6, che non cambia il verso:

$$\begin{gathered} 6 \log_9 20 = 3 \log_3 20 = \log_3 8000 \\ 6 \log_{27} 90 = 2 \log_3 90 = \log_3 8100 \end{gathered}$$

Siccome $\log_3$ è strettamente crescente, è più grande $\log_{27} 90$: circa $1{,}3653$ contro $1{,}3634$. Con una differenza così piccola, stimare i due logaritmi tra due interi non basterebbe: la base comune trasforma il confronto in quello tra 8000 e 8100.

Nelle scale logaritmiche, come decibel e pH, la base è 10 per definizione; se in una formula ti serve $\ln$, il fattore di conversione è sempre lo stesso: $\ln x = \ln 10 \cdot \log_{10} x \approx 2{,}303 \, \log_{10} x$.

Quando conviene cambiare base

Nelle equazioni e disequazioni con logaritmi in basi diverse le proprietà del prodotto e del quoziente non si possono usare finché le basi non sono uguali. Come scegliere la base comune:

1. se le basi sono potenze dello stesso numero (2, 4, 8), scegli la più piccola e usa $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$;
2. se le basi sono scollegate, come 2 e 5, passa a $\ln$;
3. se la $x$ sta nella base, usa il reciproco $\log_x a = \frac{1}{\log_a x}$, con le condizioni $x > 0$ e $x \neq 1$.

Il primo caso è la regola «stessa base» delle equazioni logaritmiche con le proprietà, il terzo porta alle equazioni con sostituzione. Vediamo il secondo.

Esempio. Risolvi $\log_2 x - \log_5 x = 1$.

C.E.: $x > 0$. Passiamo ai logaritmi naturali e raccogliamo $\ln x$:

$$\begin{gathered} \frac{\ln x}{\ln 2} - \frac{\ln x}{\ln 5} = 1 \\ \ln x \cdot \frac{\ln 5 - \ln 2}{\ln 2 \cdot \ln 5} = 1 \\ \ln x = \frac{\ln 2 \cdot \ln 5}{\ln 5 - \ln 2} \approx 1{,}2175 \end{gathered}$$

Quindi $x = e^{1{,}2175\ldots} \approx 3{,}379$, accettabile. Verifica: $\log_2 3{,}379 \approx 1{,}756$ e $\log_5 3{,}379 \approx 0{,}756$, e la differenza è 1.

Con le disequazioni c’è un’insidia: se una base è minore di 1, il suo $\ln$ è negativo, e moltiplicando per questo numero il verso si rovescia. Per esempio $\log_{0{,}5} x > 2$ diventa $\frac{\ln x}{\ln 0{,}5} > 2$, cioè $\ln x < 2 \ln 0{,}5$, quindi $0 < x < \frac{1}{4}$.

Gli errori più comuni

• Scrivere la formula capovolta. $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$, non $\frac{\ln a}{\ln b}$. Controllo rapido: $\log_2 8$ deve venire 3, e $\frac{\ln 8}{\ln 2} \approx \frac{2{,}079}{0{,}693} \approx 3$.
• «Semplificare» il quoziente di logaritmi. $\frac{\ln 8}{\ln 2}$ non è $\ln 4$ e non è 4: è $\log_2 8 = 3$.
• Dimenticare il reciproco con la base potenza. $\log_9 x = \frac{1}{2} \log_3 x$, non $2 \log_3 x$: è l’esponente dell’argomento che scende davanti così com’è.
• Credere che ogni prodotto di logaritmi si semplifichi. $\log_2 3 \cdot \log_5 7$ non ha nessuna semplificazione: la catena funziona solo se l’argomento di uno è la base dell’altro. Altri controesempi sono negli errori più comuni con i logaritmi.
• Scambiare base e argomento quando uno vale 1. $\log_3 1 = 0$ non ha reciproco: $\log_1 3$ non esiste.
• Perdere le condizioni quando la base è variabile. Scrivere $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$ richiede $x > 0$ e $x \neq 1$; dimenticarlo fa accettare soluzioni che annullano un denominatore.
• Arrotondare troppo presto. Con basi vicine a 1 un logaritmo arrotondato al denominatore rovina il risultato: dividi con tutte le cifre e arrotonda alla fine.
• Non guardare il segno di ln a nelle disequazioni. Con una base tra 0 e 1, $\ln a < 0$ e il verso si inverte.

Esercizi svolti

1. Tre logaritmi con la calcolatrice

Testo. Stima tra quali interi consecutivi cadono $\log_5 2000$, $\log_{1{,}2} 3$ e $\log_{0{,}8} 0{,}3$, poi calcolali con 4 cifre significative. Che significato ha il secondo?

Per il primo: $5^4 = 625$ e $5^5 = 3125$, quindi sta tra 4 e 5.

$$\log_5 2000 = \frac{\ln 2000}{\ln 5} \approx \frac{7{,}6009}{1{,}6094} \approx 4{,}723$$

Per il secondo: $1{,}2^6 \approx 2{,}986$ e $1{,}2^7 \approx 3{,}583$, quindi sta tra 6 e 7, vicinissimo a 6. Qui la base è vicina a 1, e $\ln 1{,}2$ va tenuto con tutte le cifre:

$$\log_{1{,}2} 3 = \frac{\ln 3}{\ln 1{,}2} \approx \frac{1{,}0986}{0{,}18232} \approx 6{,}026$$

Significa che una grandezza che cresce del 20% a ogni periodo triplica dopo circa 6 periodi.

Per il terzo: base e argomento sono entrambi minori di 1, quindi il logaritmo è positivo. Siccome $0{,}8^5 \approx 0{,}328$ e $0{,}8^6 \approx 0{,}262$, e $0{,}8^x$ è decrescente, sta tra 5 e 6:

$$\log_{0{,}8} 0{,}3 = \frac{\ln 0{,}3}{\ln 0{,}8} \approx \frac{-1{,}2040}{-0{,}22314} \approx 5{,}396$$

I risultati sono circa $4{,}723$, $6{,}026$ e $5{,}396$, tutti dentro le stime.

2. Reciproci e catene

Testo. Calcola senza calcolatrice: a) $\frac{1}{\log_2 10} + \frac{1}{\log_5 10}$; b) $\log_3 7 \cdot \log_7 5 \cdot \log_5 2 \cdot \log_2 81$.

a) Ogni frazione è un logaritmo con base e argomento scambiati:

$$\begin{gathered} \frac{1}{\log_2 10} + \frac{1}{\log_5 10} = \log_{10} 2 + \log_{10} 5 \\ {} = \log_{10} 10 = 1 \end{gathered}$$

b) L’argomento di ogni logaritmo è la base del successivo: è una catena con quattro anelli, e resta la prima base con l’ultimo argomento.

$$\begin{gathered} \log_3 7 \cdot \log_7 5 \cdot \log_5 2 \cdot \log_2 81 \\ {} = \log_3 81 = 4 \end{gathered}$$

Con $\ln$ si vede perché: scrivendo ogni fattore come quoziente, $\ln 7$, $\ln 5$ e $\ln 2$ compaiono una volta sopra e una sotto, e resta $\frac{\ln 81}{\ln 3}$. I risultati sono 1 e 4.

3. Basi che sono potenze

Testo. Calcola a) $\log_{1/16} 8$ e b) $\log_{\sqrt[3]{25}} 125$; poi c) risolvi $\log_{\sqrt{2}} x - \log_{1/4} x = 5$.

a) $\frac{1}{16} = 2^{-4}$ e $8 = 2^3$, quindi con $k = -4$:

$$\log_{2^{-4}} 2^3 = -\frac{1}{4} \cdot 3 = -\frac{3}{4}$$

Controllo: $\left(\frac{1}{16}\right)^{-3/4} = 16^{3/4} = 8$.

b) $\sqrt[3]{25} = 5^{2/3}$ e $125 = 5^3$, quindi con $k = \frac{2}{3}$ il logaritmo vale $\frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}$. Controllo: $\left(5^{2/3}\right)^{9/2} = 5^3$.

c) C.E.: $x > 0$. Portiamo tutto in base 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ dà $\log_{\sqrt{2}} x = 2\log_2 x$, e $\frac{1}{4} = 2^{-2}$ dà $\log_{1/4} x = -\frac{1}{2} \log_2 x$. Quindi

$$\begin{gathered} 2 \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 x = 5 \\ \frac{5}{2} \log_2 x = 5 \\ \log_2 x = 2 \end{gathered}$$

cioè $x = 4$, accettabile. Verifica: $\log_{\sqrt{2}} 4 = 4$ e $\log_{1/4} 4 = -1$, e $4 - (-1) = 5$. I risultati: $-\frac{3}{4}$, $\frac{9}{2}$ e $x = 4$.

4. La potenza con il logaritmo all’esponente

Testo. a) Calcola $27^{\log_9 4}$. b) Risolvi $3^{\log_2 x} + x^{\log_2 3} = 54$.

a) Scambiamo base e argomento con $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Siccome $9^{3/2} = 27$, si ha $\log_9 27 = \frac{3}{2}$:

$$27^{\log_9 4} = 4^{\log_9 27} = 4^{3/2} = 8$$

b) C.E.: $x > 0$, perché servono $\log_2 x$ e la potenza $x^{\log_2 3}$ con esponente reale. Per l’identità, $x^{\log_2 3} = 3^{\log_2 x}$: i due termini sono uguali! Quindi

$$\begin{gathered} 2 \cdot 3^{\log_2 x} = 54 \\ 3^{\log_2 x} = 27 = 3^3 \\ \log_2 x = 3 \end{gathered}$$

cioè $x = 8$, accettabile. Verifica: $3^3 + 8^{\log_2 3} = 27 + 3^{\log_2 8} = 27 + 27 = 54$. Senza l’identità l’equazione sembra irrisolvibile; con l’identità è di primo grado.

5. Un confronto senza calcolatrice

Testo. Senza calcolatrice, stabilisci se è più grande $\log_5 6$ o $\log_6 7$.

Entrambi sono poco più di 1, e trovare un numero semplice «in mezzo» è difficile. Il trucco: con il reciproco $\log_5 6 = \frac{1}{\log_6 5}$, e così le basi diventano uguali. Chiamiamo $u = \log_6 5$ e $v = \log_6 7$, entrambi positivi. Moltiplicando per $u > 0$, la disuguaglianza $v < \frac{1}{u}$ equivale a $uv < 1$: è questa che proviamo a dimostrare.

Per due numeri positivi vale $uv \leq \left(\frac{u + v}{2}\right)^2$, perché la differenza tra i due membri è $\left(\frac{u - v}{2}\right)^2 \geq 0$. E la somma è facile:

$$u + v = \log_6 35 < \log_6 36 = 2$$

Quindi $0 < \frac{u + v}{2} < 1$ e $uv \leq \left(\frac{u + v}{2}\right)^2 < 1$. Allora $\log_6 7 < \log_5 6$: è più grande $\log_5 6$, circa $1{,}113$ contro $1{,}086$. Lo stesso ragionamento, con $n(n + 2) < (n + 1)^2$, mostra che $\log_n (n + 1)$ diminuisce al crescere dell’intero $n \geq 2$.

6. Da esame: le basi con la x

Testo. Risolvi $\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2$.

Le tre basi devono essere positive e diverse da 1: $x > 0$, $x \neq 1$, $x \neq \frac{1}{2}$ e $x \neq \frac{1}{4}$. Tutti gli argomenti valgono 2: con il reciproco portiamo tutto in base 2 e poniamo $t = \log_2 x$.

$$\begin{gathered} \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} = \frac{1}{t} \\ \log_{2x} 2 = \frac{1}{\log_2 (2x)} = \frac{1}{1 + t} \\ \log_{4x} 2 = \frac{1}{\log_2 (4x)} = \frac{1}{2 + t} \end{gathered}$$

Le condizioni diventano $t \neq 0$, $t \neq -1$ e $t \neq -2$: sono proprio i denominatori. L’equazione è

$$\begin{gathered} \frac{1}{t(1 + t)} = \frac{1}{2 + t} \\ t(1 + t) = 2 + t \\ t^2 = 2 \end{gathered}$$

quindi $t = \sqrt{2}$ oppure $t = -\sqrt{2}$, entrambi accettabili. Tornando alla $x$:

$$\begin{gathered} x = 2^{\sqrt{2}} \approx 2{,}665 \\ x = 2^{-\sqrt{2}} \approx 0{,}375 \end{gathered}$$

Verifica con $t = \sqrt{2}$: a sinistra $\frac{1}{\sqrt{2}\left(1 + \sqrt{2}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2} + 2}$, uguale al secondo membro. L’equazione ha due soluzioni. Altri esercizi sul capitolo sono negli esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi.

In sintesi

• $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, con $a, c > 0$ diversi da 1 e $b > 0$; con la calcolatrice $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$.
• Prima stima, poi dividi in un solo passaggio e arrotonda alla fine, soprattutto con basi vicine a 1.
• $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ e $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, anche con più anelli.
• $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ per $k \neq 0$; con $k = -1$, $\log_{1/a} b = -\log_a b$.
• $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$.
• Tutti i logaritmi sono multipli di $\ln x$: $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$, e $\log_2 x \approx 3{,}32 \log_{10} x$.
• Con basi diverse si porta tutto alla stessa base; se la $x$ sta nella base, la base deve essere positiva e diversa da 1.

Ora che hai tutte le proprietà, mettiamole insieme per calcolare e semplificare: espressioni con i logaritmi.