Equazioni esponenziali con i logaritmi: basi diverse, metodo ed esercizi svolti

Le equazioni esponenziali con i logaritmi sono quelle in cui l’incognita sta all’esponente, ma i numeri non si possono scrivere come potenze della stessa base: per esempio $2^x = 5$ oppure $3^{x+1} = 2^{2x-1}$. Con i metodi visti finora, cioè riportare alla stessa base e la sostituzione, risolvi solo le equazioni con potenze «belle»; con i logaritmi risolvi anche quelle con numeri qualsiasi. Agli esami di Analisi 1 le ritrovi nelle equazioni e disequazioni, quando cerchi gli zeri di una funzione nello studio di funzione e nei problemi di crescita e decadimento. In questa pagina vediamo il logaritmo in due righe, perché $a^x = b$ ha una sola soluzione quando $b > 0$, il metodo del logaritmo dei due membri con il cambiamento di base, quanti decimali scrivere, i casi con una sola potenza, con basi diverse, con somme di potenze e con la sostituzione, tre applicazioni con i numeri, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Partiamo dall’esempio più semplice:

$$2^x = 5$$

5 non è una potenza intera di 2: $2^2 = 4$ e $2^3 = 8$. Eppure l’equazione ha una soluzione, compresa tra 2 e 3. Il grafico lo mostra chiaramente: la retta orizzontale $y = 5$ incontra la curva $y = 2^x$ in un punto. Per scrivere quel numero serve un nuovo simbolo, il logaritmo.

Il logaritmo in due righe

Definizione. Dati $a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$, il logaritmo in base $a$ di $b$ è l’esponente da dare ad $a$ per ottenere $b$:

$$a^x = b \iff x = \log_a b$$

Qualche esempio:

$$\begin{gathered} \log_2 8 = 3 \ \ (\text{perché } 2^3 = 8) \\ \log_3 \frac{1}{9} = -2 \\ \log_{10} 1000 = 3 \\ \log_7 1 = 0 \end{gathered}$$

Quindi la soluzione di $2^x = 5$ si scrive semplicemente $x = \log_2 5$. Il logaritmo con base $e$, il numero di Nepero, si chiama logaritmo naturale e si scrive $\ln$: $\ln b = \log_e b$.

Qui ci basta questo: la definizione con tutte le sue conseguenze la trovi nell’articolo sul logaritmo. Dalle proprietà dei logaritmi useremo una sola regola, valida per $a > 0$, per ogni base $c$ ammessa e per ogni $k$ reale:

$$\log_c\left(a^k\right) = k \cdot \log_c a$$

In parole: il logaritmo porta l’esponente davanti.

Perché è vero. Chiama $y = \log_c a$, cioè $c^y = a$. Allora $a^k = \left(c^y\right)^k = c^{ky}$, quindi l’esponente da dare a $c$ per ottenere $a^k$ è $ky$. Cioè $\log_c\left(a^k\right) = ky = k \log_c a$.

Quando c’è una soluzione, e perché è una sola

Teorema. Sia $a > 0$ con $a \neq 1$. L’equazione $a^x = b$:

• ha una e una sola soluzione, $x = \log_a b$, se $b > 0$;
• non ha soluzioni se $b \leq 0$.

Perché è vero. Ci sono tre cose da controllare.

1. Nessuna soluzione se $b \leq 0$. Una potenza con base positiva è positiva per ogni esponente reale. Quindi $2^x = -4$ e $2^x = 0$ sono impossibili, e infatti $\log_2(-4)$ e $\log_2 0$ non esistono.
2. Al massimo una soluzione. La funzione esponenziale è strettamente crescente se $a > 1$ e strettamente decrescente se $0 < a < 1$. In entrambi i casi è iniettiva: esponenti diversi danno potenze diverse, quindi non possono esserci due soluzioni.
3. Almeno una soluzione se $b > 0$. Serve che l’immagine di $a^x$ sia tutto l’intervallo $(0, +\infty)$, cioè che ogni numero positivo venga raggiunto. Si dimostra con la continuità dell’esponenziale e il teorema dei valori intermedi, che vedrai nel capitolo sulla continuità. Qui ci basta il grafico: la curva non ha salti, da una parte si avvicina quanto vuoi a 0 e dall’altra supera qualsiasi numero.

In una frase: l’esponenziale è una funzione biiettiva da $\mathbb{R}$ a $(0, +\infty)$, e il logaritmo è la sua inversa. Graficamente, ogni retta orizzontale $y = b$ con $b > 0$ taglia il grafico di $a^x$ esattamente una volta, quelle con $b \leq 0$ mai.

E la base 1? È esclusa perché $1^x = 1$ per ogni $x$: l’equazione $1^x = 5$ non ha soluzioni e $1^x = 1$ ne ha infinite.

Il metodo: il logaritmo dei due membri

Se due numeri positivi sono uguali, hanno anche lo stesso logaritmo. E vale il viceversa, perché il logaritmo è iniettivo. Quindi applicare il logaritmo a entrambi i membri di un’equazione con membri positivi è un passaggio equivalente: non aggiunge e non toglie soluzioni. Con le potenze di base positiva i membri sono sempre positivi, e la base del logaritmo la scegli tu.

Con $\ln$, l’equazione $2^x = 5$ diventa:

$$\begin{gathered} \ln\left(2^x\right) = \ln 5 \\ x \ln 2 = \ln 5 \\ x = \frac{\ln 5}{\ln 2} \end{gathered}$$

Si può dividere per $\ln 2$ perché non è zero: $\ln a = 0$ solo per $a = 1$, che come base non è ammessa. Con $\log_{10}$ si ottiene allo stesso modo $x = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}$. Ma la soluzione è una sola, $x = \log_2 5$, quindi:

$$\log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}$$

È la formula del cambiamento di base, $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$, che serve per la calcolatrice: di solito ha solo i tasti $\ln$ e $\log$, quest’ultimo in base 10. Con i valori

$$\begin{gathered} \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx \frac{1{,}6094}{0{,}6931} \\ \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} \approx \frac{0{,}6990}{0{,}3010} \end{gathered}$$

e facendo la divisione con tutte le cifre della calcolatrice, le due strade danno lo stesso numero: $\log_2 5 \approx 2{,}3219$. Controllo: $2^{2{,}3219} \approx 4{,}9999$, e il valore sta tra 2 e 3, come prevedeva il grafico.

Forma esatta e valore approssimato

$\log_2 5$ è un numero irrazionale. Se fosse una frazione $\frac{p}{q}$ con $p$ e $q$ interi positivi, avremmo $2^{p/q} = 5$, cioè $2^p = 5^q$: un numero pari uguale a uno dispari, impossibile. Quindi qualsiasi scrittura decimale è solo un’approssimazione.

Le regole pratiche:

• all’esame la risposta è la forma esatta, come $x = \log_2 5$ o $x = \frac{\ln 5}{\ln 2}$; il decimale si aggiunge come controllo;
• in un esercizio di matematica bastano 3 o 4 decimali, con la virgola: $x \approx 2{,}3219$;
• si arrotonda solo alla fine. Con i valori a 4 decimali scritti sopra la divisione dà 2,3220 oppure 2,3223: già la quarta cifra balla. Con $\ln 5 \approx 1{,}6$ e $\ln 2 \approx 0{,}7$ si otterrebbe 2,29, sbagliato già alla seconda cifra;
• nei problemi applicati le cifre del risultato devono essere coerenti con quelle dei dati, come vedremo con il carbonio 14.

Una potenza uguale a un numero

Il caso più frequente: l’equazione si riduce a $a^{f(x)} = b$, che per $b > 0$ equivale a $f(x) = \log_a b$. Ecco la scaletta.

1. Isola la potenza: porta tutto il resto dall’altra parte e dividi per il coefficiente. Solo quando la potenza è da sola puoi passare al logaritmo.
2. Guarda il segno del secondo membro: se è negativo o nullo l’equazione è impossibile, e hai finito.
3. Cerca una potenza «bella»: se il numero è una potenza della base, usa la stessa base, senza logaritmi.
4. Passa al logaritmo: $f(x) = \log_a b$.
5. Risolvi in $x$ e scrivi forma esatta e valore approssimato.
6. Controlla sostituendo il valore approssimato nell’equazione di partenza.

Esempio 1: prima si isola. $3 \cdot 5^x - 4 = 20$.

$$\begin{gathered} 3 \cdot 5^x = 24 \\ 5^x = 8 \\ x = \log_5 8 = \frac{\ln 8}{\ln 5} \approx 1{,}2920 \end{gathered}$$

Controllo: $5^{1{,}2920} \approx 8$, e $3 \cdot 8 - 4 = 20$. Se invece avessi $5 \cdot 2^x = 40$, isolando trovi $2^x = 8 = 2^3$, cioè $x = 3$: il logaritmo non serve. E con $2 \cdot 3^x + 7 = 1$ arrivi a $3^x = -3$: impossibile.

Esempio 2: esponente di primo grado. Con $a^{mx+n} = b$, dove $m \neq 0$ e $b > 0$, si ottiene

$$\begin{gathered} mx + n = \log_a b \\ x = \frac{\log_a b - n}{m} \end{gathered}$$

Per esempio:

$$\begin{gathered} 3^{x-1} = 7 \iff x - 1 = \log_3 7 \\ x = 1 + \log_3 7 \approx 2{,}7712 \end{gathered}$$

Con la base $e$ il logaritmo naturale arriva direttamente. Da $e^{2x-1} = 5$:

$$\begin{gathered} 2x - 1 = \ln 5 \\ x = \frac{1 + \ln 5}{2} \approx 1{,}3047 \end{gathered}$$

Esempio 3: esponente di secondo grado. $2^{x^2} = 5$ dà

$$\begin{gathered} x^2 = \log_2 5 \\ x = \pm\sqrt{\log_2 5} \approx \pm 1{,}5238 \end{gathered}$$

Due soluzioni, perché $\log_2 5 > 0$. Attenzione: $2^{x^2} = \frac{1}{2}$ porta a $x^2 = -1$, impossibile, anche se il secondo membro è positivo. Il controllo del segno del passo 2 è necessario, ma non sempre basta.

Due potenze con basi diverse

Quando le basi non si possono rendere uguali, come 2 e 3, si applica $\ln$ a entrambi i membri e si portano gli esponenti davanti:

$$\begin{gathered} a^{f(x)} = b^{g(x)} \\ {} \iff f(x) \ln a = g(x) \ln b \end{gathered}$$

Se gli esponenti sono di primo grado si ottiene un’equazione di primo grado: $\ln a$ e $\ln b$ sono solo numeri. Se il coefficiente di $x$ si annulla, l’equazione è impossibile o sempre vera: per esempio $2^{x+1} = 4^{x/2}$ diventa $(x + 1)\ln 2 = x \ln 2$, cioè $\ln 2 = 0$, impossibile.

Esempio 4. $3^{x+1} = 2^{2x-1}$.

Si applica $\ln$ e si portano davanti gli esponenti:

$$\begin{gathered} \ln\left(3^{x+1}\right) = \ln\left(2^{2x-1}\right) \\ (x + 1)\ln 3 = (2x - 1)\ln 2 \end{gathered}$$

Si svolgono i prodotti, si portano i termini con $x$ a sinistra e si raccoglie $x$:

$$\begin{gathered} x\ln 3 + \ln 3 = 2x\ln 2 - \ln 2 \\ x\ln 3 - 2x\ln 2 = -\ln 2 - \ln 3 \\ x\,(\ln 3 - 2\ln 2) = -(\ln 2 + \ln 3) \end{gathered}$$

Il coefficiente $\ln 3 - 2\ln 2 = \ln \frac{3}{4}$ non è zero (è negativo), quindi si divide. Cambiando segno sopra e sotto e usando le proprietà dei logaritmi:

$$\begin{gathered} x = \frac{\ln 2 + \ln 3}{2\ln 2 - \ln 3} = \frac{\ln 6}{\ln \frac{4}{3}} \\ x \approx \frac{1{,}7918}{0{,}2877} \approx 6{,}2283 \end{gathered}$$

Controllo: $3^{7{,}2283} \approx 2810$ e $2^{11{,}4566} \approx 2810$. Il grafico spiega perché la soluzione è una sola. Siccome $2^{2x-1} = \frac{4^x}{2}$, la curva arancione ha base 4: parte più in basso (per $x = 0$ vale $\frac{1}{2}$ contro 3), ma cresce più in fretta e supera l’altra una volta sola.

C’è anche un modo più geometrico di vederla: dopo il logaritmo, i due membri $(x + 1)\ln 3$ e $(2x - 1)\ln 2$ sono due rette in $x$, con pendenze diverse. Il logaritmo trasforma un esponenziale con esponente di primo grado in una funzione di primo grado, e due rette non parallele si incontrano in un punto solo.

Potevi anche usare il logaritmo in base 2, che semplifica il secondo membro: $(x + 1)\log_2 3 = 2x - 1$. Il risultato è lo stesso, solo scritto in un altro modo. Se invece i due esponenti sono uguali, come in $2^{x-3} = 5^{x-3}$, non serve nessun logaritmo: l’unica soluzione è quella che annulla l’esponente, come visto nelle equazioni esponenziali.

Somme di potenze: prima si raccoglie

Il logaritmo si applica ai due membri, non ai singoli termini: $\ln(A + B)$ non è $\ln A + \ln B$. Quando ci sono somme, prima si arriva a una sola potenza per membro.

Esempio 5: stessa base. $2^{x+1} + 2^x = 21$. Siccome $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, si raccoglie $2^x$:

$$\begin{gathered} 2^x\,(2 + 1) = 21 \\ 2^x = 7 \\ x = \log_2 7 \approx 2{,}8074 \end{gathered}$$

Se a destra ci fosse stato 12, avresti trovato $3 \cdot 2^x = 12$, cioè $2^x = 4$ e $x = 2$, senza logaritmi.

Esempio 6: basi diverse, stesso esponente. Le potenze con lo stesso esponente si moltiplicano moltiplicando le basi: $2^x \cdot 3^x = 6^x$. Così $2^x \cdot 3^{x+1} = 15$ diventa:

$$\begin{gathered} 3 \cdot 2^x \cdot 3^x = 15 \\ 3 \cdot 6^x = 15 \\ 6^x = 5 \\ x = \log_6 5 = \frac{\ln 5}{\ln 6} \approx 0{,}8982 \end{gathered}$$

Se invece compaiono somme con due basi diverse, come $5^{x+1} + 5^x = 3^{x+2} - 3^x$, si raccoglie separatamente per ogni base e poi si divide: lo vediamo nell’esercizio 4.

Sostituzioni con soluzioni «brutte»

Con la sostituzione $t = a^x$, che è sempre positivo, capita spesso di trovare valori di $t$ che non sono potenze intere della base. Nessun problema: si chiude con il logaritmo.

Esempio 7. $4^x - 2^x - 6 = 0$. Con $t = 2^x$, e quindi $4^x = t^2$:

$$\begin{gathered} t^2 - t - 6 = 0 \\ (t - 3)(t + 2) = 0 \\ t = 3 \ \text{ oppure } \ t = -2 \end{gathered}$$

Si scarta $t = -2$, perché $2^x$ non è mai negativo (e $\log_2(-2)$ non esiste). Resta $2^x = 3$, cioè $x = \log_2 3 \approx 1{,}5850$.

Esempio 8. $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$. Con $t = e^x$ si ottiene $t^2 - 5t + 6 = 0$, con soluzioni $t = 2$ e $t = 3$, entrambe positive. Quindi $e^x = 2$ oppure $e^x = 3$:

$$\begin{gathered} x = \ln 2 \approx 0{,}6931 \\ x = \ln 3 \approx 1{,}0986 \end{gathered}$$

Controllo per $x = \ln 3$: $e^{2\ln 3} = 9$, e $9 - 15 + 6 = 0$.

Tre applicazioni

Ora possiamo rispondere alle domande lasciate in sospeso in crescita e decadimento esponenziale. In tutti e tre i casi l’incognita è un tempo, che sta all’esponente.

Quanto ci mette un capitale a raddoppiare

Un capitale $C_0$ al tasso annuo $r$, con gli interessi reinvestiti, dopo $t$ anni vale $C_0 (1 + r)^t$. Al 3% il capitale raddoppia quando:

$$\begin{gathered} C_0 \cdot 1{,}03^t = 2\,C_0 \\ 1{,}03^t = 2 \\ t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}45 \text{ anni} \end{gathered}$$

$C_0$ si semplifica: il tempo di raddoppio non dipende da quanto investi. Se gli interessi vengono accreditati una volta l’anno, il doppio si supera alla fine del 24° anno: $1{,}03^{23} \approx 1{,}974$ e $1{,}03^{24} \approx 2{,}033$.

La regola del 72 stima il tempo di raddoppio dividendo 72 per il tasso percentuale: $\frac{72}{3} = 24$ anni. Funziona perché, per tassi piccoli, $\ln(1 + r)$ è circa uguale a $r$:

$$t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)} \approx \frac{0{,}693}{r}$$

Con il tasso in percentuale viene circa $69{,}3$ diviso il tasso. Si usa 72 perché $\ln(1 + r)$ è un po’ più piccolo di $r$, e quindi il tempo vero è un po’ più lungo, e perché 72 si divide per 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12. È una regola pratica, non un teorema:

Tasso	Regola del 72	Valore esatto
1%	72 anni	69,7 anni
3%	24 anni	23,4 anni
6%	12 anni	11,9 anni
10%	7,2 anni	7,3 anni

La regola è antica: compare già nella Summa de arithmetica di Luca Pacioli, stampata a Venezia nel 1494, con l’esempio di un capitale al 6% che raddoppia in 12 anni.

Il carbonio 14

Una sostanza radioattiva con tempo di dimezzamento $T$ si riduce secondo la legge $N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$. Per il carbonio 14 il valore classico è $T \approx 5730$ anni. Dopo quanto tempo ne resta il 30%? $N_0$ si semplifica, e si passa al logaritmo:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0{,}3 \\ \frac{t}{5730} \cdot \ln\frac{1}{2} = \ln 0{,}3 \\ t = 5730 \cdot \frac{\ln 0{,}3}{\ln 0{,}5} \approx 9953 \text{ anni} \end{gathered}$$

Entrambi i logaritmi sono negativi, quindi il quoziente è positivo, circa 1,737. Ed è sensato che il risultato stia tra $T$ e $2T$: dopo $T$ resta il 50%, dopo $2T$ il 25%, e il 30% sta in mezzo.

Quante cifre ha senso dare? Il valore 5730 anni ha un’incertezza di circa 40 anni, e le misure più recenti danno circa 5700 anni: con 5700 il risultato sarebbe circa 9900 anni. Quindi la risposta onesta è «circa 9950 anni», non «9952,8 anni».

In Fisica la stessa legge si scrive $N_0\, e^{-\lambda t}$, con la costante di decadimento $\lambda$ (la lettera greca «lambda»). Il legame con $T$ si trova imponendo che dopo un tempo $T$ resti la metà:

$$\begin{gathered} e^{-\lambda T} = \frac{1}{2} \iff -\lambda T = -\ln 2 \\ \lambda = \frac{\ln 2}{T} \end{gathered}$$

Per il carbonio 14, $\lambda \approx \dfrac{0{,}6931}{5730} \approx 1{,}21 \cdot 10^{-4}$ all’anno.

Il caffè che si raffredda

Secondo la legge di raffreddamento di Newton, un modello approssimato ma molto usato, un caffè a 90 °C in una stanza a 20 °C ha dopo $t$ minuti la temperatura

$$\theta(t) = 20 + 70 \cdot e^{-kt}$$

dove $\theta$ è la lettera greca «theta» e $k > 0$ è una costante. Se dopo 10 minuti il caffè è a 60 °C, quando arriverà a 40 °C? Prima si trova $k$, isolando la potenza prima di passare al logaritmo:

$$\begin{gathered} 20 + 70\,e^{-10k} = 60 \\ e^{-10k} = \frac{4}{7} \\ k = \frac{1}{10}\ln\frac{7}{4} \approx 0{,}0560 \end{gathered}$$

(da $-10k = \ln\frac{4}{7} = -\ln\frac{7}{4}$). Poi si risolve $\theta(t) = 40$ allo stesso modo:

$$\begin{gathered} 20 + 70\,e^{-kt} = 40 \\ e^{-kt} = \frac{2}{7} \\ t = \frac{1}{k}\ln\frac{7}{2} \approx 22{,}4 \text{ minuti} \end{gathered}$$

Nota che per scendere da 60 a 40 °C servono circa 12,4 minuti, più dei 10 serviti per scendere da 90 a 60 °C: più il caffè si avvicina alla temperatura della stanza, più rallenta.

Gli errori più comuni

• Spezzare il logaritmo di una somma. $\ln\left(2^x + 3\right)$ non è $x\ln 2 + \ln 3$: in generale $\ln(A + B) \neq \ln A + \ln B$. Ne parliamo in errori comuni con i logaritmi.
• Fare il logaritmo termine per termine. Da $2^{x+1} + 2^x = 21$ scrivere $(x + 1)\ln 2 + x\ln 2 = \ln 21$ porta a $x \approx 1{,}70$, sbagliato: la soluzione è $\log_2 7 \approx 2{,}81$. Prima si raccoglie.
• «Semplificare» i quozienti di logaritmi. $\dfrac{\ln 5}{\ln 2}$ non è $\ln \frac{5}{2} \approx 0{,}92$ e non è $\frac{5}{2}$: è $\log_2 5 \approx 2{,}32$.
• Passare al logaritmo prima di isolare la potenza. In $3 \cdot 5^x - 4 = 20$ il logaritmo del primo membro non si semplifica; prima si arriva a $5^x = 8$.
• Dimenticare che serve $b > 0$. $2^x = -3$ è impossibile: non si scrive $x = \log_2(-3)$, che non esiste. Lo stesso vale per le soluzioni $t \leq 0$ dopo una sostituzione.
• Perdere il segno con le basi minori di 1. $\ln \frac{1}{2}$ è negativo, quindi $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 5$ ha soluzione $x \approx -2{,}32$, non $+2{,}32$.
• Arrotondare troppo presto. Con $\ln 5 \approx 1{,}6$ e $\ln 2 \approx 0{,}7$ esce 2,29 invece di 2,32: si calcola con tutte le cifre e si arrotonda alla fine.
• Mescolare le basi nella formula. $\dfrac{\ln 5}{\log_{10} 2}$ non è $\log_2 5$: sopra e sotto ci vuole lo stesso logaritmo.

Esercizi svolti

1. Una potenza uguale a un numero

Testo. Risolvi $6^{x-2} = 15$, dando la soluzione esatta e un valore approssimato.

Prima una stima: $6^1 = 6$ e $6^2 = 36$, quindi $x - 2$ è compreso tra 1 e 2, e $x$ tra 3 e 4. 15 non è una potenza intera di 6, quindi si passa al logaritmo:

$$\begin{gathered} x - 2 = \log_6 15 \\ x = 2 + \frac{\ln 15}{\ln 6} \approx 2 + 1{,}5114 \\ x \approx 3{,}5114 \end{gathered}$$

Controllo: $6^{1{,}5114} \approx 15$. La soluzione è $x = 2 + \log_6 15 \approx 3{,}5114$, tra 3 e 4 come previsto.

2. Prima isolare la potenza

Testo. Risolvi $2 \cdot 5^{3x-1} + 3 = 17$. Che cosa cambia se al posto di 17 c’è 1?

Si isola la potenza, poi si passa al logaritmo:

$$\begin{gathered} 2 \cdot 5^{3x-1} = 14 \\ 5^{3x-1} = 7 \\ 3x - 1 = \log_5 7 \\ x = \frac{1 + \log_5 7}{3} \end{gathered}$$

Con $\log_5 7 = \dfrac{\ln 7}{\ln 5} \approx 1{,}2091$ si ha $x \approx \dfrac{2{,}2091}{3} \approx 0{,}7364$. Con 1 al posto di 17 si arriva invece a $2 \cdot 5^{3x-1} = -2$, cioè $5^{3x-1} = -1$: l’equazione è impossibile, perché una potenza di base positiva non è mai negativa.

3. Basi diverse

Testo. Risolvi $5^{2x-1} = 3^{x+1}$.

Si applica $\ln$ ai due membri, si svolgono i prodotti e si raccoglie $x$:

$$\begin{gathered} (2x - 1)\ln 5 = (x + 1)\ln 3 \\ 2x\ln 5 - \ln 5 = x\ln 3 + \ln 3 \\ 2x\ln 5 - x\ln 3 = \ln 3 + \ln 5 \\ x\,(2\ln 5 - \ln 3) = \ln 3 + \ln 5 \end{gathered}$$

Con le proprietà dei logaritmi, $\ln 3 + \ln 5 = \ln 15$ e $2\ln 5 - \ln 3 = \ln \frac{25}{3}$, che è positivo:

$$\begin{gathered} x = \frac{\ln 15}{\ln \frac{25}{3}} \approx \frac{2{,}7081}{2{,}1203} \\ x \approx 1{,}2772 \end{gathered}$$

Controllo: $5^{1{,}5544} \approx 12{,}20$ e $3^{2{,}2772} \approx 12{,}20$. L’unica soluzione è $x = \dfrac{\ln 15}{\ln (25/3)} \approx 1{,}2772$.

4. Raccogliere per basi

Testo. Risolvi $5^{x+1} + 5^x = 3^{x+2} - 3^x$.

Non si può applicare il logaritmo ai singoli termini. Si raccoglie $5^x$ a sinistra e $3^x$ a destra:

$$\begin{gathered} 5^x\,(5 + 1) = 3^x\,(3^2 - 1) \\ 6 \cdot 5^x = 8 \cdot 3^x \end{gathered}$$

Si divide per $6 \cdot 3^x$, che è positivo, e si usa $\frac{5^x}{3^x} = \left(\frac{5}{3}\right)^x$:

$$\begin{gathered} \left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \\ x = \frac{\ln \frac{4}{3}}{\ln \frac{5}{3}} \approx \frac{0{,}2877}{0{,}5108} \approx 0{,}5632 \end{gathered}$$

Controllo: $6 \cdot 5^{0{,}5632} \approx 14{,}85$ e $8 \cdot 3^{0{,}5632} \approx 14{,}85$. La soluzione è $x = \log_{5/3} \frac{4}{3} \approx 0{,}5632$.

5. Un’equazione omogenea con base minore di 1

Testo. Risolvi $4^x + 6^x = 6 \cdot 9^x$.

Le basi sono $2^2$, $2 \cdot 3$ e $3^2$: è un’equazione omogenea. Si divide tutto per $9^x$, che è positivo, e si pone $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x > 0$. Siccome $\left(\frac{4}{9}\right)^x = t^2$ e $\left(\frac{6}{9}\right)^x = t$:

$$\begin{gathered} \left(\frac{4}{9}\right)^x + \left(\frac{6}{9}\right)^x = 6 \\ t^2 + t - 6 = 0 \\ (t + 3)(t - 2) = 0 \end{gathered}$$

Si scarta $t = -3$ e resta $t = 2$:

$$\begin{gathered} \left(\frac{2}{3}\right)^x = 2 \\ x = \frac{\ln 2}{\ln \frac{2}{3}} \approx \frac{0{,}6931}{-0{,}4055} \approx -1{,}7095 \end{gathered}$$

Il denominatore è negativo perché la base $\frac{2}{3}$ è minore di 1, e infatti la soluzione è negativa: $\left(\frac{2}{3}\right)^x$ vale 2, più di 1, solo per $x < 0$. Controllo senza decimali: se $\left(\frac{2}{3}\right)^x = 2$, allora $4^x = 4 \cdot 9^x$ e $6^x = 2 \cdot 9^x$, e la somma è proprio $6 \cdot 9^x$.

6. Una popolazione che cresce

Testo. Una colonia di batteri passa da 2000 a 5000 individui in 3 ore. Supponendo una crescita esponenziale $N(t) = 2000 \cdot a^t$, con $t$ in ore, trova il fattore orario $a$, il tempo di raddoppio e dopo quanto tempo la colonia supera i 100 000 individui.

Dal dato delle 3 ore, $2000 \cdot a^3 = 5000$, cioè $a^3 = 2{,}5$:

$$a = \sqrt[3]{2{,}5} \approx 1{,}3572$$

La colonia cresce di circa il 35,7% ogni ora. Per i conti successivi conviene la forma esatta $\ln a = \frac{1}{3}\ln 2{,}5$. Il tempo di raddoppio $T$ risolve $a^T = 2$:

$$\begin{gathered} a^T = 2 \\ T = \frac{\ln 2}{\ln a} = \frac{3\ln 2}{\ln 2{,}5} \approx 2{,}27 \text{ ore} \end{gathered}$$

cioè circa 2 ore e 16 minuti. Infine:

$$\begin{gathered} 2000 \cdot a^t = 100\,000 \\ a^t = 50 \\ t = \frac{3 \ln 50}{\ln 2{,}5} \approx 12{,}81 \text{ ore} \end{gathered}$$

Controllo: dopo 12 ore, siccome $a^{12} = \left(a^3\right)^4$, si ha $N = 2000 \cdot 2{,}5^4 = 78\,125$; dopo 13 ore circa 106 000. La colonia supera i 100 000 individui dopo circa 12 ore e 48 minuti, sempre che il modello esponenziale valga ancora.

Altri esercizi, anche con stessa base e parametri, li trovi negli esercizi svolti sulle equazioni esponenziali.

In sintesi

• Per $a > 0$, $a \neq 1$: $a^x = b \iff x = \log_a b$. C’è una e una sola soluzione se $b > 0$, nessuna se $b \leq 0$.
• Metodo: si isola la potenza, poi si applica il logaritmo ai due membri e si usa $\log_c\left(a^k\right) = k\log_c a$.
• Con la calcolatrice: $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a} = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$.
• Basi diverse: $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ diventa $f(x)\ln a = g(x)\ln b$; si raccoglie la $x$. Se $0 < a < 1$, $\ln a < 0$.
• Con le somme prima si raccoglie (anche per basi) o si sostituisce $t = a^x$, tenendo solo $t > 0$.
• Si scrive la forma esatta e si arrotonda solo alla fine, con un numero di cifre coerente con i dati.
• Tempo di raddoppio al tasso $r$: $\dfrac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$; decadimento: $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}$.

Ci sono infine equazioni in cui l’incognita sta sia all’esponente sia fuori, come $2^x = 3 - x$: lì l’algebra non basta e si ragiona con i grafici. È l’argomento della risoluzione grafica delle equazioni esponenziali.