Serie a termini positivi: criteri del confronto, dimostrazioni ed esercizi svolti

Quasi tutte le serie dello scritto di Analisi 1 non si sanno sommare: non sono geometriche né telescopiche. Per decidere se convergono si usa l’idea più potente del capitolo: confrontarle con una serie di cui sai già tutto. Con i termini positivi funziona benissimo, e risolve la maggior parte degli esercizi sul carattere di una serie. In questa pagina vediamo perché una serie a termini positivi converge o diverge ma non è mai irregolare, il criterio del confronto e il verso giusto per usarlo, la serie armonica generalizzata, il criterio del confronto asintotico, il metodo della parte principale con i limiti notevoli e la formula di Taylor, i casi difficili con logaritmi e potenze, perché servono termini positivi, la scaletta per gli esercizi, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Le serie a termini positivi

Una serie $\sum a_n$ si dice a termini positivi se $a_n \geq 0$ per ogni $n$ (a rigore «non negativi», ma si dice così). Le sue somme parziali hanno un comportamento semplicissimo: a ogni passo si aggiunge un numero positivo o nullo, quindi possono solo salire.

$$s_{n + 1} = s_n + a_{n + 1} \geq s_n$$

È come riempire una vasca un bicchiere alla volta: il livello non scende mai. O si ferma sotto un certo segno, o supera qualunque segno. Non può andare su e giù.

Perché è vero. La successione $(s_n)$ è crescente. Per il teorema delle successioni monotone, una successione crescente ha sempre limite: se è limitata superiormente tende al suo estremo superiore, che è un numero reale; altrimenti tende a $+\infty$. Nel primo caso la serie converge, nel secondo diverge.

La conseguenza pratica è enorme: per dimostrare che una serie a termini positivi converge non serve calcolare la somma, basta trovare un tetto per le somme parziali. È esattamente quello che fa il criterio del confronto.

Basta definitivamente. I primi termini sono in numero finito e non cambiano il carattere della serie (lo abbiamo visto nelle serie numeriche). Se $a_n \geq 0$ da $n_0$ in poi, da lì le somme parziali crescono, e la serie converge o diverge a $+\infty$. Per esempio $\frac{n - 3}{n^3}$ è negativo solo per $n = 1, 2$. Se invece i termini sono definitivamente negativi, si studia $\sum (-a_n)$.

Il criterio del confronto

L’idea: se ogni termine di una serie è più piccolo del termine corrispondente di un’altra, anche le somme parziali lo sono. Se la serie più grande ha somma finita, quella più piccola ha un tetto, e quindi converge.

Nella figura i termini $a_n = \frac{\sin^2 n}{n^2}$, in arancione, saltano in modo irregolare, ma stanno sempre sotto $b_n = \frac{1}{n^2}$, in blu, perché $0 \leq \sin^2 n \leq 1$. L’altezza di ogni barra è proprio il termine. Sotto, le somme parziali: quelle arancioni stanno sotto quelle blu, che a loro volta stanno sotto la somma $\frac{\pi^2}{6}$.

Dimostrazione

I primi termini non cambiano il carattere, quindi possiamo supporre che la disuguaglianza valga per ogni $n$. Chiamiamo $A_n = a_1 + \dots + a_n$ e $B_n = b_1 + \dots + b_n$ le somme parziali, e $B$ la somma di $\sum b_n$. Sommando le disuguaglianze termine a termine, e ricordando che le somme parziali di una serie a termini positivi stanno sotto la sua somma:

$$A_n \leq B_n \leq B$$

Le somme parziali $A_n$ hanno il tetto $B$, quindi per il teorema di prima $\sum a_n$ converge, e passando al limite $\sum a_n \leq B$. Il punto 2 è il punto 1 letto al contrario: se $\sum b_n$ convergesse, convergerebbe anche $\sum a_n$, che invece diverge.

Il verso giusto

Il criterio funziona in due versi soltanto: una serie più piccola di una convergente converge, una serie più grande di una divergente diverge. Gli altri due versi non dicono niente:

• $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ è vero, ma la serie armonica diverge: stare sotto una serie divergente non impedisce di convergere (e infatti $\sum \frac{1}{n^2}$ converge);
• $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n^2}$ è vero, ma stare sopra una serie convergente non impedisce di divergere (e infatti $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge).

Tre esempi veloci:

• $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n + n}$: si ha $\frac{1}{2^n + n} \leq \frac{1}{2^n}$, e la serie geometrica di ragione $\frac{1}{2}$ converge. Quindi converge.
• $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\ln n}$: siccome $\ln n < n$, si ha $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$, e la serie armonica diverge. Quindi diverge.
• $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 n}{n^2}$: è la serie della figura, e converge per confronto con $\sum \frac{1}{n^2}$. La somma vale $\frac{\pi - 1}{2} \approx 1{,}07$, ma per dimostrarlo servono le serie di Fourier: per sapere che converge basta il confronto.

La serie armonica generalizzata

Il confronto è utile solo se hai un buon catalogo di serie con cui confrontare. Le serie campione sono due famiglie: le serie geometriche $\sum q^n$, che per $q \geq 0$ convergono se e solo se $q < 1$, e la serie armonica generalizzata. Qui $\alpha$ è la lettera greca «alfa» e indica un numero fisso, lo stesso per tutti gli $n$.

Dimostrazione

• Se α ≤ 0. I termini valgono 1 (con $\alpha = 0$) o tendono a $+\infty$: non tendono a 0, e per la condizione necessaria la serie diverge.
• Se 0 < α ≤ 1. Per $n \geq 1$ si ha $n^\alpha \leq n$, quindi $\frac{1}{n^\alpha} \geq \frac{1}{n}$: la serie sta sopra la serie armonica, che diverge, e diverge anche lei.
• Se α = 2. Per $n \geq 2$ si ha $n^2 > n(n - 1)$, quindi

$$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$$

A destra c’è una serie telescopica: da $n = 2$ in poi è la serie di Mengoli con l’indice spostato, e vale 1. Per confronto $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, e la sua somma è minore di $1 + 1 = 2$ (il primo termine più la serie di Mengoli).

• Se α > 2. Si ha $\frac{1}{n^\alpha} \leq \frac{1}{n^2}$, e la serie converge per confronto con il caso precedente.
• Se 1 < α < 2. Qui i due confronti non bastano: $\frac{1}{n^{3/2}}$, per esempio, sta sotto $\frac{1}{n}$ e sopra $\frac{1}{n^2}$, proprio i due versi che non dicono niente. La strada più rapida è il criterio dell’integrale, con $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha}$ che converge per $\alpha > 1$. Ma basta anche un trucco elementare, che funziona per ogni $\alpha > 1$.

Il trucco dei blocchi. Raggruppiamo i termini in blocchi lunghi 1, 2, 4, 8, … come nella dimostrazione di Oresme per la serie armonica, ma stavolta stimiamo dall’alto. Il blocco che va da $n = 2^k$ a $n = 2^{k + 1} - 1$ ha $2^k$ termini, ognuno al massimo uguale al primo, $\frac{1}{2^{k\alpha}}$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{(2^k)^\alpha} + \dots + \frac{1}{(2^{k + 1} - 1)^\alpha} \\ {} \leq \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = q^k \\ \text{con} \quad q = \frac{1}{2^{\alpha - 1}} \end{gathered}$$

Siccome $\alpha > 1$, la ragione $q$ è minore di 1. Ogni somma parziale $s_n$ è al massimo la somma dei primi blocchi, presi in numero sufficiente a contenere i termini fino ad $a_n$, quindi è minore della somma della serie geometrica, $\sum q^k = \frac{1}{1 - q}$. Le somme parziali hanno un tetto: la serie converge. Con $\alpha = \frac{3}{2}$ il tetto è circa $3{,}41$, e la somma vera è circa $2{,}61$.

Sul confine i numeri ingannano

Il confine è proprio $\alpha = 1$. Nella figura ci sono le somme parziali di $\sum \frac{1}{n}$, $\sum \frac{1}{n^{1{,}1}}$ e $\sum \frac{1}{n^2}$, con $n$ fino a cento milioni; sull’asse orizzontale ogni tacca moltiplica $n$ per cento. La serie di $\frac{1}{n^2}$ si assesta subito vicino a $\frac{\pi^2}{6}$. Le altre due salgono entrambe, e all’inizio sono quasi indistinguibili: eppure la prima diverge, mentre la seconda converge a circa $10{,}58$. Con cento milioni di termini è ancora a 9, e per arrivare a meno di $0{,}1$ dalla somma ne servirebbero circa $10^{20}$. Sommando al computer non si distingue una serie convergente da una divergente: servono i teoremi.

Esponente	Serie di ${\frac{1}{n^\alpha}}$	Esempi
${\alpha \leq 1}$	diverge	${\frac{1}{n},\ \frac{1}{\sqrt{n}}}$
${\alpha > 1}$	converge	${\frac{1}{n^2},\ \frac{1}{n^{3/2}},\ \frac{1}{n^{1{,}1}}}$

Quanto vale la somma di $\sum \frac{1}{n^2}$? La domanda la pose Pietro Mengoli nel 1650, e per decenni resistette ai migliori matematici, compresi i Bernoulli. La risolse Eulero nel 1734: la somma è $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}645$. È il problema di Basilea, dal nome della città di Eulero e dei Bernoulli.

Con un logaritmo

Una famiglia ancora più fine si ottiene aggiungendo un logaritmo, con un secondo esponente $\beta$ («beta»):

$$\begin{gathered} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha\,(\ln n)^\beta} \;\text{ converge} \\ \iff \alpha > 1 \;\text{ oppure }\; \alpha = 1,\ \beta > 1 \end{gathered}$$

Comanda la potenza di $n$; il logaritmo decide solo quando $\alpha = 1$, cioè proprio sul confine. I casi con $\alpha \neq 1$ li dimostriamo tra poco con il confronto asintotico; il caso $\alpha = 1$ si fa con il criterio dell’integrale.

Il criterio del confronto asintotico

Prendi $\displaystyle\sum \frac{n + 3}{n^3 + 2n}$. Per $n$ grande il $+3$ e il $+2n$ contano poco: il termine «si comporta come» $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$, e la serie dovrebbe convergere. Il confronto diretto chiede una disuguaglianza esatta: qui si trova ($n + 3 \leq 4n$ e $n^3 + 2n \geq n^3$ danno un termine al massimo $\frac{4}{n^2}$), ma con seni, logaritmi ed esponenziali diventa un incubo. Il confronto asintotico trasforma quel «si comporta come» in un teorema: basta calcolare un limite.

I casi 2 e 3 si ricordano così: $\ell = 0$ vuol dire che $a_n$ è molto più piccolo di $b_n$, e quindi eredita la convergenza; $\ell = +\infty$ vuol dire che $a_n$ è molto più grande, e quindi eredita la divergenza. Negli altri due versi non si conclude niente, come nel confronto diretto.

Dimostrazione

Caso 1. Per la definizione di limite con $\varepsilon = \frac{\ell}{2}$, definitivamente il rapporto dista da $\ell$ meno di $\frac{\ell}{2}$. Moltiplicando per $b_n > 0$:

$$\begin{gathered} \frac{\ell}{2} < \frac{a_n}{b_n} < \frac{3\ell}{2} \\ \frac{\ell}{2}\,b_n < a_n < \frac{3\ell}{2}\,b_n \end{gathered}$$

Se $\sum b_n$ converge, converge anche $\sum \frac{3\ell}{2} b_n$ e, per confronto con la disuguaglianza di destra, $\sum a_n$. Se $\sum b_n$ diverge, diverge anche $\sum \frac{\ell}{2} b_n$ e, per confronto con quella di sinistra, $\sum a_n$.

Caso 2. Se $\frac{a_n}{b_n} \to 0$, definitivamente $\frac{a_n}{b_n} < 1$, cioè $0 \leq a_n < b_n$: si applica il confronto.

Caso 3. Se $\frac{a_n}{b_n} \to +\infty$, definitivamente $\frac{a_n}{b_n} > 1$, cioè $a_n > b_n > 0$: di nuovo il confronto.

Il metodo della parte principale

Il confronto asintotico si usa quasi sempre così: si sostituisce $a_n$ con la sua parte principale, cioè l’espressione più semplice $b_n$ con $a_n \sim b_n$, di solito della forma $\frac{c}{n^\alpha}$. Poi si conclude con la serie armonica generalizzata: la costante non conta, conta solo l’esponente.

$$\begin{gathered} a_n \sim \frac{c}{n^\alpha} \;\text{ con } c > 0: \\ \sum a_n \text{ converge} \iff \alpha > 1 \end{gathered}$$

Per trovare la parte principale si usa il principio di sostituzione: in un prodotto o in un quoziente ogni fattore si può sostituire con uno asintotico.

Potenze e radici

Si tengono le potenze più alte, al numeratore e al denominatore.

Esempio 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n + 1}{n^3 + 2}$. Al numeratore comanda $n$, al denominatore $n^3$, quindi $\frac{n + 1}{n^3 + 2} \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$: la serie converge. Il limite del rapporto, per controllo, è $\frac{n^3 + n^2}{n^3 + 2} \to 1$.

Per una frazione di polinomi, con termini definitivamente positivi, la serie converge se e solo se il grado del denominatore supera quello del numeratore di almeno 2. Con le radici gli esponenti diventano frazionari, come in $\sqrt{n^3 + 1} \sim n^{3/2}$, e conta che la differenza sia maggiore di 1.

Funzioni di 1/n: i limiti notevoli

Siccome $\frac{1}{n} \to 0$, ogni asintotico dei limiti notevoli per $x \to 0$ vale con $x = \frac{1}{n}$, ma anche con $x = \frac{1}{n^2}$, $x = \frac{1}{\sqrt{n}}$ o qualunque altra quantità che tende a 0:

Per ${x \to 0}$	Nella serie
${\sin x \sim x}$	${\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}}$
${1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}}$	${1 - \cos\frac{1}{n} \sim \frac{1}{2n^2}}$
${\ln(1 + x) \sim x}$	${\ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2}}$
${e^x - 1 \sim x}$	${e^{1/n} - 1 \sim \frac{1}{n}}$
${\arctan x \sim x}$	${\arctan\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}}$

Esempio 2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \sin\frac{1}{n}$. I termini sono positivi, perché $0 < \frac{1}{n} \leq 1 < \pi$, e $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$: la serie diverge.

Esempio 3. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 - \cos\frac{1}{n}\right)$. Si ha $1 - \cos\frac{1}{n} \sim \frac{1}{2n^2}$: la serie converge. Il seno di un numero piccolo è piccolo come il numero; $1 - \cos$ è piccolo come il suo quadrato.

Esempio 4. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)$. Con $x = \frac{1}{n^2}$ si ha $\ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2}$: converge. Con $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}$, invece, la serie diverge.

Esempio 5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(e^{1/n} - 1\right)$. Si ha $e^{1/n} - 1 \sim \frac{1}{n}$: diverge.

Esempio 6. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right)$. Una differenza non si sostituisce: prima la si trasforma in un quoziente, razionalizzando. Al denominatore $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \sim 2\sqrt{n}$, quindi

$$\begin{gathered} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \\ {} \sim \frac{1}{2\sqrt{n}} \end{gathered}$$

L’esponente è $\frac{1}{2} \leq 1$: la serie diverge, e infatti le sue somme parziali valgono $\sqrt{n + 1} - 1$.

Le differenze: serve Taylor

In una somma o in una differenza il principio di sostituzione non vale, perché le parti principali possono cancellarsi. In $\frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n}$, sostituendo $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$ si otterrebbe 0, che non è asintotico a niente. Serve la formula di Taylor: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. Con $x = \frac{1}{n}$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n} = \frac{1}{6n^3} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right) \\ {} \sim \frac{1}{6n^3} \end{gathered}$$

I termini sono positivi, perché $\sin x < x$ per $x > 0$, e la serie converge. La regola pratica: sviluppa fino al primo termine che non si cancella.

Logaritmi e potenze: i casi limite del confronto

Un logaritmo non è asintotico a nessuna potenza: $\ln n$ va all’infinito, ma più lentamente di qualunque potenza di $n$, anche piccolissima. È la gerarchia degli infiniti: per ogni $k > 0$ e ogni $\varepsilon > 0$

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(\ln n)^k}{n^\varepsilon} = 0$$

Il trucco è allora confrontare con una potenza leggermente diversa, e usare i casi $\ell = 0$ e $\ell = +\infty$.

Esempio 7. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2}$. Il logaritmo «ruba» un po’ di esponente, ma meno di qualunque potenza. Confrontiamo con $\frac{1}{n^{3/2}}$, a metà strada tra $\frac{1}{n^2}$ e $\frac{1}{n}$:

$$\frac{\ln n / n^2}{1 / n^{3/2}} = \frac{\ln n}{\sqrt{n}} \longrightarrow 0$$

Siamo nel caso $\ell = 0$ e $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge: la serie converge, e la sua somma è circa $0{,}94$.

Esempio 8. $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n}$. Rispetto a $\frac{1}{n}$ il rapporto è $\frac{1}{\ln n} \to 0$, ma la serie armonica diverge: caso $\ell = 0$ nel verso sbagliato. Rispetto a $\frac{1}{n^{1{,}1}}$ il rapporto $\frac{n^{0{,}1}}{\ln n}$ tende a $+\infty$, ma quella serie converge: di nuovo il verso sbagliato. Il termine è troppo vicino al confine, e decide il criterio dell’integrale: siccome $\int_2^t \frac{dx}{x \ln x} = \ln(\ln t) - \ln(\ln 2) \to +\infty$, la serie diverge. Lentissimamente: con un milione di termini la somma parziale è appena $3{,}4$.

Lo stesso schema dimostra i casi $\alpha \neq 1$ della serie con il logaritmo vista sopra. Se $\alpha > 1$ si confronta con $\frac{1}{n^p}$, con $1 < p < \alpha$: il rapporto è $\frac{1}{n^{\alpha - p} (\ln n)^\beta} \to 0$. Se $\alpha < 1$ si confronta con $\frac{1}{n}$: il rapporto è $\frac{n^{1 - \alpha}}{(\ln n)^\beta} \to +\infty$. In entrambi i casi vale per ogni $\beta$, anche negativo.

Esempio 9. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(n^{1/n} - 1\right)$. Si scrive $n^{1/n} = e^{\ln n / n}$, e l’esponente $\frac{\ln n}{n}$ tende a 0. Con $e^x - 1 \sim x$:

$$\begin{gathered} n^{1/n} - 1 = e^{\ln n / n} - 1 \\ {} \sim \frac{\ln n}{n} \end{gathered}$$

Per $n \geq 3$ si ha $\ln n > 1$, quindi $\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}$: la serie di $\frac{\ln n}{n}$ diverge per confronto con la serie armonica, e la serie data diverge per confronto asintotico.

Esempio 10: una trappola. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{1 + 1/n}}$. L’esponente $1 + \frac{1}{n}$ è maggiore di 1 per ogni $n$: allora converge? No. Il teorema parla di un esponente $\alpha$ fisso, mentre qui l’esponente si avvicina a 1 sempre di più. Infatti, siccome $n^{1/n} = e^{\ln n / n} \to e^0 = 1$,

$$\frac{1 / n^{1 + 1/n}}{1 / n} = \frac{1}{n^{1/n}} \longrightarrow 1$$

Quindi $\frac{1}{n^{1 + 1/n}} \sim \frac{1}{n}$ e la serie diverge. Lo si vede anche senza limiti: $n^{1/n} \leq 2$ per ogni $n$ (il valore più grande è $\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44$), quindi il termine è almeno $\frac{1}{2n}$.

Esempio 11: una sfida. $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$. Qui crescono insieme la base e l’esponente. Riscriviamo con l’esponenziale:

$$\begin{gathered} (\ln n)^{\ln n} = e^{\ln n \cdot \ln(\ln n)} \\ {} = \left(e^{\ln n}\right)^{\ln(\ln n)} = n^{\ln(\ln n)} \end{gathered}$$

È una potenza di $n$ con esponente $\ln(\ln n)$, che va all’infinito, anche se lentissimamente. Quando $\ln(\ln n) \geq 2$, cioè per $n \geq e^{e^2} \approx 1618{,}2$, si ha $(\ln n)^{\ln n} \geq n^2$, quindi

$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} \leq \frac{1}{n^2} \quad \text{per } n \geq 1619$$

e la serie converge per confronto (la somma è circa $5{,}72$). Con un esponente fisso, invece, $\sum \frac{1}{(\ln n)^k}$ diverge per ogni $k$, perché $(\ln n)^k < n$ definitivamente.

Attenzione: servono termini positivi

Tutti i criteri di questa pagina valgono solo per serie a termini positivi, almeno definitivamente. Con termini di segno variabile possono sbagliare.

Il confronto. Si ha $-1 \leq \frac{1}{n^2}$ per ogni $n$, e $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, ma $\sum (-1)$ diverge a $-\infty$. L’ipotesi $0 \leq a_n$ serve.

Il confronto asintotico. Prendi

$$\begin{gathered} a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n} \\ b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{gathered}$$

Il rapporto è $\frac{a_n}{b_n} = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \to 1$, quindi $a_n \sim b_n$. Eppure $\sum b_n$ converge per il criterio di Leibniz, mentre $\sum a_n$ diverge: è la somma di una serie convergente e della serie armonica. Con un milione di termini le somme parziali di $\sum b_n$ sono ferme vicino a $-0{,}60$, quelle di $\sum a_n$ sono già a $13{,}8$ e continuano a salire. Il motivo: i termini $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ si compensano a vicenda, mentre $\frac{1}{n}$, trascurabile termine per termine, si accumula senza fine.

Con i segni variabili si studia prima la serie dei valori assoluti, cioè la convergenza assoluta, e se i segni si alternano si prova Leibniz.

La scaletta per le serie a termini positivi

1. Controlla il segno. Servono termini definitivamente positivi; se sono definitivamente negativi, cambia segno; se il segno varia, passa ai valori assoluti.
2. Condizione necessaria. Se $a_n$ non tende a 0, la serie diverge a $+\infty$ e hai finito.
3. Cerca la parte principale. Potenze più alte, limiti notevoli con argomenti che tendono a 0, Taylor nelle differenze, gerarchia degli infiniti.
4. Confronta con una serie campione. Se $a_n \sim \frac{c}{n^\alpha}$ decide $\alpha > 1$; se $a_n \sim c\,q^n$ decide $q < 1$.
5. Se resta un logaritmo, confronta con una potenza leggermente diversa (casi $\ell = 0$ e $\ell = +\infty$); sul confine, come per $\frac{1}{n \ln n}$, usa il criterio dell’integrale.
6. Se il rapporto non ha limite, per esempio con un fattore $\sin n$, maggiora o minora e usa il confronto diretto.
7. Con fattoriali e potenze n-esime, o se la parte principale non si trova, prova il criterio del rapporto e della radice.

Gli errori più comuni

• Usare il confronto nel verso sbagliato. Stare sotto una serie divergente, o sopra una convergente, non dice niente: $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ non prova nulla su $\sum \frac{1}{n^2}$.
• Dimenticare di controllare il segno. Confronto e confronto asintotico valgono solo per termini definitivamente positivi: con segni variabili, $a_n \sim b_n$ non basta.
• Credere che basti un esponente maggiore di 1 per ogni n. L’esponente deve essere un numero fisso: $\sum \frac{1}{n^{1 + 1/n}}$ diverge.
• Sostituire con gli asintotici dentro una differenza. In $\frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n}$ si otterrebbe 0: serve Taylor, oppure trasformare prima la differenza in un quoziente, come con le radici.
• Usare un limite notevole con un argomento che non tende a 0. $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$, ma $\sin n$ non è asintotico a $n$: oscilla tra $-1$ e 1.
• Sbagliare il quadrato nell’asintotico. $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ con $x = \frac{1}{\sqrt{n}}$ dà $\frac{1}{2n}$, non $\frac{1}{2n^2}$.
• Concludere con ℓ = 0 o ℓ = +∞ nel verso sbagliato. $\ell = 0$ trasmette solo la convergenza di $\sum b_n$, $\ell = +\infty$ solo la divergenza.

Esercizi svolti

1. Maggiorare o minorare

Testo. Studia il carattere di (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 + \sin n}{n^2}$ e (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 + \sin n}{n}$.

Siccome $-1 \leq \sin n \leq 1$, il numeratore sta tra 1 e 3: i termini sono positivi. Il rapporto con $\frac{1}{n^2}$, o con $\frac{1}{n}$, è $2 + \sin n$, che non ha limite: il confronto asintotico non si applica, e si usa quello diretto.

(a) Vogliamo dimostrare la convergenza, quindi serve una maggiorazione con una serie convergente:

$$0 < \frac{2 + \sin n}{n^2} \leq \frac{3}{n^2}$$

La serie di $\frac{3}{n^2}$ converge, quindi la serie converge.

(b) Qui la maggiorazione $\frac{2 + \sin n}{n} \leq \frac{3}{n}$ è vera ma inutile: $\sum \frac{3}{n}$ diverge, e stare sotto una serie divergente non dice niente. Serve una minorazione:

$$\frac{2 + \sin n}{n} \geq \frac{1}{n}$$

La serie armonica diverge, quindi la serie diverge. Stesso numeratore, conclusioni opposte: decide l’esponente del denominatore.

2. Potenze e radici

Testo. Studia (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt[3]{n^2} + 1}{n\sqrt{n} + 2}$ e (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n + 1}}{n^2 - 3n + 5}$.

Scriviamo le radici come potenze: $\sqrt[3]{n^2} = n^{2/3}$ e $n\sqrt{n} = n^{3/2}$. I termini sono positivi: in (b) il denominatore ha discriminante $9 - 20 < 0$, quindi è sempre positivo.

(a) Al numeratore comanda $n^{2/3}$, al denominatore $n^{3/2}$. Siccome $\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6}$:

$$\begin{gathered} \frac{n^{2/3} + 1}{n^{3/2} + 2} \sim \frac{n^{2/3}}{n^{3/2}} \\ {} = \frac{1}{n^{5/6}} \end{gathered}$$

L’esponente è $\frac{5}{6} \leq 1$: la serie diverge.

(b) Si ha $\sqrt{n + 1} \sim n^{1/2}$ e $n^2 - 3n + 5 \sim n^2$, quindi

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{n + 1}}{n^2 - 3n + 5} \sim \frac{n^{1/2}}{n^2} \\ {} = \frac{1}{n^{3/2}} \end{gathered}$$

L’esponente è $\frac{3}{2} > 1$: la serie converge. Conta la differenza tra l’esponente del denominatore e quello del numeratore, $\frac{5}{6}$ nel primo caso e $\frac{3}{2}$ nel secondo: deve superare 1.

3. Limiti notevoli e condizione necessaria

Testo. Studia (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{n}\left(1 - \cos\frac{1}{n}\right)$ e (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n\left(1 - \cos\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$.

I termini sono positivi, perché $1 - \cos x > 0$ per $0 < x \leq 1$. Usiamo $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, facendo attenzione all’argomento.

(a) Con $x = \frac{1}{n}$ si ha $1 - \cos\frac{1}{n} \sim \frac{1}{2n^2}$, quindi

$$\begin{gathered} \sqrt{n}\left(1 - \cos\frac{1}{n}\right) \sim \frac{n^{1/2}}{2n^2} \\ {} = \frac{1}{2n^{3/2}} \end{gathered}$$

L’esponente è $\frac{3}{2} > 1$: la serie converge.

(b) Con $x = \frac{1}{\sqrt{n}}$ si ha $x^2 = \frac{1}{n}$, quindi $1 - \cos\frac{1}{\sqrt{n}} \sim \frac{1}{2n}$ e

$$n\left(1 - \cos\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \sim \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$$

I termini tendono a $\frac{1}{2}$, non a 0: per la condizione necessaria la serie diverge, senza bisogno di confronti. Controllare per prima cosa il limite dei termini fa risparmiare tempo.

4. Confronto con una serie geometrica

Testo. Studia (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n + n^3}{3^n + 1}$ e (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n}$.

(a) Per la gerarchia degli infiniti l’esponenziale batte la potenza, $n^3 = o(2^n)$, quindi $2^n + n^3 \sim 2^n$; e $3^n + 1 \sim 3^n$. Allora

$$\frac{2^n + n^3}{3^n + 1} \sim \frac{2^n}{3^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n$$

La serie geometrica di ragione $\frac{2}{3}$ converge: per confronto asintotico la serie converge.

(b) Qui $\frac{n^2}{2^n}$ non è asintotico a una geometrica, per colpa di $n^2$. Ma una potenza è trascurabile rispetto a un esponenziale, quindi confrontiamo con una geometrica di ragione un po’ più grande di $\frac{1}{2}$, per esempio $\frac{3}{4}$:

$$\frac{n^2 / 2^n}{(3/4)^n} = n^2 \left(\frac{2}{3}\right)^n \longrightarrow 0$$

Caso $\ell = 0$ con $\sum \left(\frac{3}{4}\right)^n$ convergente: la serie converge (la sua somma è 6). È lo stesso trucco dei logaritmi, un gradino più su nella gerarchia.

5. Una parte principale con Taylor

Testo. Studia $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(n\sin\frac{1}{n} - \cos\frac{1}{n}\right)$.

Con $x = \frac{1}{n} \to 0$ il termine è $\frac{\sin x}{x} - \cos x$. Entrambi i pezzi tendono a 1: la differenza tende a 0 e la condizione necessaria non dice niente. Gli asintotici al primo ordine darebbero $1 - 1 = 0$, inutile. Serve la formula di Taylor al secondo ordine:

$$\begin{gathered} \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \\ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \end{gathered}$$

Dividendo la prima per $x$ si ottiene $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$. Sottraendo la seconda, gli 1 si cancellano:

$$\begin{gathered} \frac{\sin x}{x} - \cos x = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \\ {} = \frac{x^2}{3} + o(x^2) \sim \frac{x^2}{3} \end{gathered}$$

Tornando a $n$, il termine è asintotico a $\frac{1}{3n^2}$. I termini sono positivi: $\frac{\sin x}{x} > \cos x$ equivale a $\tan x > x$, vero per $0 < x < \frac{\pi}{2}$, e qui $x = \frac{1}{n} \leq 1$. Per confronto asintotico con $\frac{1}{n^2}$ la serie converge.

6. Un parametro e un logaritmo

Testo. Al variare di $\alpha > 0$, studia $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \ln n \cdot \left(1 - \cos\frac{1}{n^\alpha}\right)$.

Segno. Per $n \geq 2$ si ha $\ln n > 0$ e $0 < \frac{1}{n^\alpha} < 1$, quindi $1 - \cos\frac{1}{n^\alpha} > 0$: i termini sono positivi.

Parte principale. Siccome $\alpha > 0$, l’argomento $\frac{1}{n^\alpha}$ tende a 0, e con $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$:

$$a_n \sim \ln n \cdot \frac{1}{2n^{2\alpha}} = \frac{\ln n}{2n^{2\alpha}}$$

Per il confronto asintotico basta studiare $\sum \frac{\ln n}{n^{2\alpha}}$: la costante $\frac{1}{2}$ non conta.

Se α > 1/2. Allora $2\alpha > 1$. Prendiamo l’esponente intermedio $p = \alpha + \frac{1}{2}$, che sta tra 1 e $2\alpha$:

$$\frac{\ln n / n^{2\alpha}}{1 / n^{p}} = \frac{\ln n}{n^{\alpha - 1/2}} \longrightarrow 0$$

perché $\alpha - \frac{1}{2} > 0$ e il logaritmo è più lento di ogni potenza. Siccome $p > 1$, la serie di $\frac{1}{n^p}$ converge: caso $\ell = 0$, la serie converge.

Se 0 < α ≤ 1/2. Allora $2\alpha \leq 1$. Per $n \geq 3$ si ha $\ln n > 1$, quindi $\frac{\ln n}{n^{2\alpha}} > \frac{1}{n^{2\alpha}}$, e $\sum \frac{1}{n^{2\alpha}}$ diverge: per confronto la serie diverge.

In conclusione la serie converge se e solo se $\alpha > \frac{1}{2}$. Il caso più delicato è $\alpha = \frac{1}{2}$, con il termine asintotico a $\frac{\ln n}{2n}$: appena più grande di quello della serie armonica, e infatti diverge. Altri esercizi su tutti i criteri del capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle serie.

In sintesi

• Una serie a termini positivi, anche solo definitivamente, converge o diverge a $+\infty$, mai irregolare: converge se e solo se le somme parziali sono limitate.
• Confronto: se $0 \leq a_n \leq b_n$ definitivamente, $\sum b_n$ convergente fa convergere $\sum a_n$, e $\sum a_n$ divergente fa divergere $\sum b_n$. Gli altri versi non dicono niente.
• Serie campione: $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge se e solo se $\alpha > 1$, con $\alpha$ fisso; $\sum q^n$, con $q \geq 0$, se e solo se $q < 1$.
• Confronto asintotico: se $\frac{a_n}{b_n} \to \ell$ con $0 < \ell < +\infty$, stesso carattere; $\ell = 0$ trasmette la convergenza di $\sum b_n$, $\ell = +\infty$ la divergenza.
• Parte principale: potenze più alte, limiti notevoli con argomento che tende a 0, Taylor quando in una differenza qualcosa si cancella.
• Logaritmi: $\ln n$ è più lento di ogni potenza, e si confronta con una potenza leggermente diversa. $\sum \frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}$ converge se e solo se $\alpha > 1$, oppure $\alpha = 1$ e $\beta > 1$.
• Con termini di segno variabile i criteri del confronto non valgono: $a_n \sim b_n$ non basta.

Resta da vedere da vicino il legame tra serie e integrali, che decide i casi di confine come $\frac{1}{n \ln n}$: è il criterio dell’integrale.