Limiti infiniti e all'infinito: definizioni con M ed ε, verifiche ed esercizi svolti

Nell’articolo sul limite di una funzione abbiamo visto il caso più semplice: $x$ si avvicina a un numero $x_0$ e $f(x)$ si avvicina a un numero $\ell$. Ma una funzione può anche esplodere vicino a un punto, come $\frac{1}{x^2}$ vicino a 0, e $x$ può crescere senza fine, come quando ci chiediamo cosa fa $e^{-x}$ per $x$ enorme. Sono i limiti infiniti e all’infinito: servono a trovare gli asintoti, sono un passo obbligato dello studio di funzione e all’esame capita spesso la richiesta «verifica con la definizione che…». In questa pagina vediamo le definizioni rigorose dei tre nuovi tipi di limite e come si leggono, il loro significato sul grafico, i limiti infiniti da destra e da sinistra, le verifiche con la definizione passo passo, la definizione unica con gli intorni, i limiti delle funzioni elementari, le funzioni che non hanno limite all’infinito, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Due nuovi modi di avvicinarsi

Nella definizione di limite ci sono due «vicinanze»: $x$ vicino a $x_0$ e $f(x)$ vicino a $\ell$. Per estenderla basta decidere cosa vuol dire essere «vicini a infinito»:

• $x$ vicino a $+\infty$ vuol dire $x$ abbastanza grande: oltre una certa soglia, $x > N$;
• $f(x)$ vicino a $+\infty$ vuol dire $f(x)$ più grande di qualsiasi soglia $M$ fissata in anticipo.

Per $-\infty$ si girano le disuguaglianze: $x < -N$ e $f(x) < -M$. Combinando «$x$ tende a un numero o a infinito» con «$f(x)$ tende a un numero o a infinito» otteniamo quattro tipi di limite. Il primo lo conosci già; qui studiamo gli altri tre.

In tutte le definizioni sottintendiamo che $x$ stia nel dominio di $f$ e che al punto ci si possa avvicinare con punti del dominio: per $x \to x_0$ serve che $x_0$ sia un punto di accumulazione del dominio, per $x \to +\infty$ che il dominio contenga numeri grandi quanto si vuole, per esempio una semiretta $(a, +\infty)$.

Limite infinito in un punto

Guarda $f(x) = \frac{1}{x^2}$ vicino a 0: con $x = 0{,}1$ vale 100, con $x = 0{,}01$ vale 10 000, con $x = 0{,}001$ vale un milione. Non si avvicina a nessun numero: supera qualsiasi soglia. Scriviamo

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$$

In simboli: $\forall M > 0\ \exists \delta > 0 : 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta \Rightarrow f(x) > M$. Pensala come una sfida. Lo sfidante fissa un’altezza $M$, alta quanto vuole: è la retta orizzontale $y = M$. Tu rispondi con una striscia verticale tra $x_0 - \delta$ e $x_0 + \delta$ in cui il grafico, escluso il punto $x_0$, sta tutto sopra quella retta. Il limite è $+\infty$ se riesci a rispondere a ogni $M$. Più $M$ è alto, più la striscia deve essere stretta: $\delta$ dipende da $M$.

Sul grafico la retta verticale $x = x_0$ è un asintoto verticale: la curva le si avvicina salendo (o scendendo) senza fine. Come si cercano e perché non si attraversano lo trovi nell’articolo sugli asintoti.

Verifica passo passo: un limite più infinito

Verifichiamo che $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^2} = +\infty$. La scaletta è sempre la stessa:

1. fissa la soglia $M > 0$ e scrivi la disuguaglianza da ottenere, $f(x) > M$;
2. risolvila e cerca un intorno di $x_0$ (escluso $x_0$) in cui è vera;
3. leggi il $\delta$, che deve dipendere solo da $M$;
4. controlla con un numero.

Per $x \neq 2$ entrambi i membri sono positivi, quindi passando ai reciproci il verso si inverte:

$$\begin{gathered} \frac{1}{(x - 2)^2} > M \\ {} \iff (x - 2)^2 < \frac{1}{M} \\ {} \iff \lvert x - 2 \rvert < \frac{1}{\sqrt{M}} \end{gathered}$$

Quindi basta $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Controllo: con $M = 10\,000$ viene $\delta = 0{,}01$; per $x = 2{,}009$ si ha $(x - 2)^2 = 0{,}000081$ e $f(x) \approx 12\,346$, più di 10 000. Non serve il $\delta$ più grande possibile: va bene anche qualsiasi $\delta$ più piccolo.

Da destra e da sinistra

Il limite destro $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$ si definisce allo stesso modo, ma guardando solo i punti a destra: per ogni $M > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che $x_0 < x < x_0 + \delta$ implica $f(x) > M$. Per il limite sinistro si usa $x_0 - \delta < x < x_0$.

Prendi $\frac{1}{x}$ vicino a 0. Per $x > 0$ si ha $\frac{1}{x} > M$ se $x < \frac{1}{M}$; per $x < 0$, moltiplicando per $x$ negativo e girando il verso, si ha $\frac{1}{x} < -M$ se $x > -\frac{1}{M}$. In tutti e due i casi basta $\delta = \frac{1}{M}$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \\ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \end{gathered}$$

Nella figura, a sinistra, $\frac{1}{x^2}$: dentro la striscia azzurra tutto il grafico sta sopra la retta $y = M$, da entrambi i lati. A destra $\frac{1}{x}$: nella striscia il ramo di destra sta sopra $y = M$, quello di sinistra sotto $y = -M$.

Come per i limiti finiti, se la funzione è definita da tutti e due i lati, il limite in $x_0$ è $+\infty$ se e solo se sono $+\infty$ sia il limite destro sia quello sinistro. Quindi $\frac{1}{x^2} \to +\infty$, mentre per $\frac{1}{x}$ il limite in 0 non esiste: non è $+\infty$, perché a sinistra la funzione è negativa; non è $-\infty$, perché a destra è positiva; non è un numero, perché da destra supera ogni soglia. La retta $x = 0$ è comunque un asintoto verticale, perché basta un lato. La regola pratica dei segni, $\frac{\ell}{0^+}$ e $\frac{\ell}{0^-}$, la trovi in operazioni con i limiti.

Esempio: il logaritmo in 0. A sinistra di 0 il logaritmo non esiste, quindi ha senso solo il limite da destra. Fissato $M > 0$, siccome l’esponenziale è crescente,

$$\ln x < -M \iff 0 < x < e^{-M}$$

e basta $\delta = e^{-M}$: $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$. Il logaritmo però scende lentissimo: con $M = 10$ viene $\delta = e^{-10} \approx 0{,}0000454$, cioè per andare sotto $-10$ serve $x$ minore di circa 5 centomillesimi.

Limite finito all’infinito

Ora facciamo crescere $x$. Prendi $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$: con $x = 13$ vale $2{,}7$, con $x = 103$ vale $2{,}07$, con $x = 1003$ vale $2{,}007$. Si avvicina a 2.

La sfida ora è questa: lo sfidante disegna la fascia orizzontale tra $\ell - \varepsilon$ e $\ell + \varepsilon$, sottile quanto vuole; tu devi trovare un punto $N$ dopo il quale il grafico resta sempre dentro la fascia. Sul grafico la retta $y = \ell$ è un asintoto orizzontale. Attenzione: prima di $N$ la funzione può fare quello che vuole, anche attraversare l’asintoto.

Verifica passo passo: un limite finito all’infinito

Verifichiamo che $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = 2$. Prima semplifichiamo la distanza da 2:

$$\begin{gathered} f(x) - 2 = \frac{2x + 1 - 2(x - 3)}{x - 3} \\ {} = \frac{7}{x - 3} \end{gathered}$$

Ci interessano solo gli $x$ grandi, quindi possiamo prendere $x > 3$: il denominatore è positivo e il valore assoluto si toglie senza cambiare segno. Fissato $\varepsilon > 0$:

$$\begin{gathered} \frac{7}{x - 3} < \varepsilon \\ {} \iff x - 3 > \frac{7}{\varepsilon} \\ {} \iff x > 3 + \frac{7}{\varepsilon} \end{gathered}$$

Basta $N = 3 + \frac{7}{\varepsilon}$, che è sempre maggiore di 3, quindi l’ipotesi $x > 3$ è rispettata. Controllo: con $\varepsilon = 0{,}01$ viene $N = 703$; per $x = 704$ si ha $f(x) = \frac{1409}{701} \approx 2{,}00999$, che dista da 2 meno di $0{,}01$.

Esempio: l’esponenziale a meno infinito. Verifichiamo che $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Basta considerare $\varepsilon < 1$: un $N$ che va bene per una tolleranza stretta va bene anche per una più larga. La distanza da 0 è $e^x$, e

$$e^x < \varepsilon \iff x < \ln \varepsilon$$

Siccome $\varepsilon < 1$, $\ln \varepsilon$ è negativo: basta $N = -\ln \varepsilon = \ln\frac{1}{\varepsilon}$. Con $\varepsilon = 0{,}001$ viene $N = \ln 1000 \approx 6{,}91$, e infatti $e^{-7} \approx 0{,}00091$.

Limite infinito all’infinito

Il primo esempio è il logaritmo: $\ln x > M$ se e solo se $x > e^M$, quindi basta $N = e^M$ e $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$. Cresce lentissimo (per superare 10 serve $x > 22\,026$), ma prima o poi supera qualsiasi soglia.

Verifica passo passo: un polinomio

Verifichiamo che $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 5x) = +\infty$. Fissato $M > 0$, la disuguaglianza $x^2 - 5x > M$ è di secondo grado. Le radici di $x^2 - 5x - M = 0$ sono

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4M}}{2}$$

e la parabola è positiva fuori dalle radici. Per $x$ grande basta allora

$$N = \frac{5 + \sqrt{25 + 4M}}{2}$$

Controllo con $M = 1\,000\,000$: viene $N \approx 1002{,}5$. Infatti con $x = 1003$ si ha $x^2 - 5x = 1\,000\,994$, appena sopra il milione, mentre con $x = 1002$ si ha $998\,994$, ancora sotto.

Il trucco della minorazione. Spesso la disuguaglianza $f(x) > M$ non si sa risolvere. Allora si cerca una funzione più semplice $g$ con $f(x) \geq g(x)$ per $x$ grande e $g(x) \to +\infty$: se $g(x) > M$, a maggior ragione $f(x) > M$. Qui, per $x \geq 10$, vale $x - 5 \geq \frac{x}{2}$, quindi

$$x^2 - 5x = x\,(x - 5) \geq \frac{x^2}{2}$$

e $\frac{x^2}{2} > M$ per $x > \sqrt{2M}$. Basta $N = \max\{10, \sqrt{2M}\}$. Per $M$ pari a un milione dà circa 1414, più del necessario, ma va benissimo: non si cerca l’$N$ migliore, ne basta uno. È la stessa idea del confronto con l’infinito.

Una sola definizione per tutti i casi

Tutte queste definizioni dicono la stessa cosa, se usiamo gli intorni. Un intorno di un numero $c$ è un intervallo $(c - r, c + r)$, con $r > 0$; un intorno di $+\infty$ è una semiretta $(a, +\infty)$, uno di $-\infty$ una semiretta $(-\infty, a)$. Nella retta reale estesa $\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ ogni punto ha i suoi intorni.

Per scrivere esplicitamente un caso qualsiasi scegli una riga per $x$ e una per $f(x)$ in questa tabella:

Punto	Condizione su $x$	Condizione su $f(x)$
numero	${0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta}$	${\lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon}$
$+\infty$	${x > N}$	${f(x) > M}$
$-\infty$	${x < -N}$	${f(x) < -M}$

e componi la frase «per ogni [tolleranza su $f$] esiste [soglia su $x$] tale che [condizione su $x$] implica [condizione su $f(x)$]». Per i limiti da una parte sola la prima riga diventa $x_0 < x < x_0 + \delta$ oppure $x_0 - \delta < x < x_0$. Tre righe per $x$ e tre per $f(x)$ danno nove combinazioni, ognuna con un esempio da ricordare:

$x \to$	$f(x) \to$	Esempio
$2$	$4$	$x^2$
$0$	$+\infty$	$\frac{1}{x^2}$
$0$	$-\infty$	$\ln \lvert x \rvert$
$+\infty$	$0$	$\frac{1}{x}$
$+\infty$	$+\infty$	$\ln x$
$+\infty$	$-\infty$	$-x^2$
$-\infty$	$0$	$e^x$
$-\infty$	$+\infty$	$x^2$
$-\infty$	$-\infty$	$x^3$

Per esempio, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ si scrive: per ogni $M > 0$ esiste $N$ tale che $x < -N$ implica $x^2 > M$. Basta $N = \sqrt{M}$, perché per $x < -\sqrt{M}$ si ha $\lvert x \rvert > \sqrt{M}$.

Un po’ di nomi. Una funzione con limite finito si dice convergente; con limite $+\infty$ o $-\infty$ si dice divergente (positivamente o negativamente). In tutti e due i casi il limite esiste e la funzione si dice regolare; se il limite non esiste, è non regolare.

La versione con le successioni

C’è un modo equivalente di dire la stessa cosa, con le successioni: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ se e solo se, per ogni successione $x_n$ del dominio con $x_n \neq x_0$ e $x_n \to x_0$, si ha $f(x_n) \to \ell$. Vale anche quando $x_0$ o $\ell$ sono $\pm\infty$ ed è a volte chiamata teorema ponte o di collegamento; un suo caso particolare, con $x_n = n$, si usa nel calcolo dei limiti di successioni. Il suo uso più comodo è al contrario: se trovi due successioni che tendono a $x_0$ lungo le quali $f$ tende a valori diversi, il limite non esiste.

I limiti delle funzioni elementari

Dai grafici delle funzioni elementari si leggono i limiti agli estremi del dominio, quelli che userai in ogni esercizio. Vanno saputi a memoria:

Funzione	$x \to$	Limite
$x^a$, $a > 0$	$+\infty$ $0^+$	$+\infty$ $0$
$x^a$, $a < 0$	$+\infty$ $0^+$	$0$ $+\infty$
$x^n$, $n$ pari	$-\infty$	$+\infty$
$x^n$, $n$ dispari	$-\infty$	$-\infty$
$a^x$, $a > 1$	$+\infty$ $-\infty$	$+\infty$ $0$
$a^x$, $0 < a < 1$	$+\infty$ $-\infty$	$0$ $+\infty$
$\log_a x$, $a > 1$	$+\infty$ $0^+$	$+\infty$ $-\infty$
$\log_a x$, $0 < a < 1$	$+\infty$ $0^+$	$-\infty$ $+\infty$
$\tan x$	$\frac{\pi}{2}^-$ $\frac{\pi}{2}^+$	$+\infty$ $-\infty$
$\arctan x$	$+\infty$ $-\infty$	$\frac{\pi}{2}$ $-\frac{\pi}{2}$
$e^{1/x}$	$0^+$ $0^-$	$+\infty$ $0$
$\sin x$, $\cos x$	$\pm\infty$	non esiste

Nella tabella $n$ è un intero positivo. Per le potenze con esponente intero negativo, $\frac{1}{x^n}$, c’è anche il lato sinistro di 0: per $x \to 0^-$ il limite è $+\infty$ se $n$ è pari e $-\infty$ se è dispari.

Perché è vero. Quasi ogni riga si verifica con la definizione in poche righe. Per esempio, per $a > 0$ e $x > 0$ si ha $x^a > M \iff x > M^{1/a}$; per $a > 1$ si ha $a^x > M \iff x > \log_a M$ e $\log_a x > M \iff x > a^M$. Le basi tra 0 e 1 si riportano a queste, perché $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$ e $\log_a x = -\log_{1/a} x$: ecco perché i limiti si scambiano. La tangente in $\frac{\pi}{2}^-$ è $\frac{\sin x}{\cos x}$ con il seno che tende a 1 e il coseno a $0^+$. L’arcotangente è crescente e i suoi valori si avvicinano quanto vuoi a $\frac{\pi}{2}$ senza superarlo, quindi tende al suo estremo superiore, per il teorema sulle funzioni monotone. Infine $e^{1/x}$ è una composizione: da destra $\frac{1}{x} \to +\infty$, da sinistra $\frac{1}{x} \to -\infty$.

Questi limiti, insieme alle regole delle operazioni, sono i mattoni del calcolo dei limiti e dei limiti notevoli; per sapere chi vince tra potenze, esponenziali e logaritmi c’è la gerarchia degli infiniti.

Funzioni senza limite all’infinito

Non tutte le funzioni hanno un limite all’infinito. Il seno, per $x \to +\infty$, continua a oscillare tra $-1$ e $1$: non si avvicina a nessun numero e non diverge. Dimostriamolo con due successioni:

$$\begin{gathered} x_n = 2n\pi \implies \sin x_n = 0 \\ y_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies \sin y_n = 1 \end{gathered}$$

Entrambe tendono a $+\infty$. Se il limite di $\sin x$ esistesse, finito o infinito, per la versione con le successioni sia $\sin x_n$ sia $\sin y_n$ dovrebbero tendere a quel limite. Ma la prima vale sempre 0 e la seconda sempre 1, e il limite di una successione è unico: contraddizione. Il limite non esiste, e lo stesso vale per $\cos x$.

Più sorprendente è $f(x) = x\sin x$. Con le stesse successioni:

$$\begin{gathered} f(x_n) = 2n\pi \cdot 0 = 0 \\ f(y_n) = y_n \cdot 1 = y_n \to +\infty \end{gathered}$$

Due valori diversi, quindi il limite non esiste. Eppure la funzione non è limitata: lungo $y_n$ supera qualsiasi soglia, e nei punti $\frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ vale $-x$, quindi scende anche sotto qualsiasi soglia. Oscilla tra le rette $y = x$ e $y = -x$ con ampiezza sempre più grande.

Essere illimitata non vuol dire tendere all’infinito

Se $f(x) \to +\infty$ per $x \to +\infty$, allora $f$ è illimitata superiormente: qualunque $M$ tu scelga, prima o poi $f(x) > M$. Il contrario è falso, e $x\sin x$ è il controesempio: supera ogni soglia, ma solo in alcuni punti. La definizione di limite chiede di più: $f(x) > M$ per tutti gli $x > N$.

E tendere a $+\infty$ non vuol dire nemmeno crescere. La funzione $x + 2\sin x$ tende a $+\infty$, perché $x + 2\sin x \geq x - 2$ e $x - 2 \to +\infty$. Però non è crescente: in $\frac{\pi}{2}$ vale circa $3{,}57$, in $\frac{3\pi}{2}$ circa $2{,}71$. Sale «a singhiozzo», ma, fissata una soglia qualsiasi, da un certo punto in poi resta sempre sopra.

Il simbolo dell’infinito

Il simbolo $\infty$ lo introdusse il matematico inglese John Wallis nel 1655, nel trattato De sectionibus conicis. Wallis non spiegò la sua scelta; una delle ipotesi è che l’abbia preso da una variante del simbolo romano per 1000. La freccia di $x \to x_0$ è molto più recente: si diffuse solo all’inizio del Novecento. Ricorda però che $\pm\infty$ non sono numeri: scrivere che il limite è $+\infty$ è un modo breve per dire che $f(x)$ supera ogni soglia.

Gli errori più comuni

• Scrivere che la funzione «vale infinito». $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ non dice quanto vale $f(0)$, che non esiste: dice che vicino a 0 i valori superano ogni soglia. E con $\pm\infty$ non si fanno i conti come con i numeri, come spiega la retta reale estesa.
• Guardare un solo lato. Per $\frac{1}{x}$ in 0, da destra viene $+\infty$ e da sinistra $-\infty$: il limite non esiste. Quando il denominatore cambia segno, calcola sempre i due limiti laterali.
• Far dipendere δ o N da x. Nella verifica $\delta$ (o $N$) deve dipendere solo da $M$ (o da $\varepsilon$). Scrivere $\delta = \lvert x - 2 \rvert$ non ha senso: $\delta$ va scelto prima di guardare gli $x$.
• Togliere il valore assoluto senza guardare il segno. $\left\lvert \frac{7}{x - 3} \right\rvert = \frac{7}{x - 3}$ solo per $x > 3$; per $x \to -\infty$ il segno del denominatore è opposto e bisogna tenerne conto.
• Usare x > N anche per meno infinito. Per $x \to -\infty$ la condizione è $x < -N$: sono gli $x$ molto negativi, non quelli grandi.
• Credere che ogni esponenziale esploda. Con base tra 0 e 1, $a^x \to 0$ per $x \to +\infty$ e $\log_a x \to -\infty$: i limiti si scambiano rispetto alla base maggiore di 1.
• Confondere illimitata con divergente. $x\sin x$ supera ogni soglia ma torna sempre a 0: non ha limite. Per dimostrarlo bastano due successioni con limiti diversi.

Esercizi svolti

1. Un limite meno infinito

Testo. Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\infty$.

Fissato $M > 0$, dobbiamo trovare $\delta > 0$ tale che $0 < \lvert x \rvert < \delta$ implichi $-\frac{2}{x^2} < -M$. Cambiando segno ai due membri il verso si gira, e poi passiamo ai reciproci di numeri positivi:

$$\begin{gathered} -\frac{2}{x^2} < -M \iff \frac{2}{x^2} > M \\ {} \iff x^2 < \frac{2}{M} \\ {} \iff \lvert x \rvert < \sqrt{\frac{2}{M}} \end{gathered}$$

Basta $\delta = \sqrt{\frac{2}{M}}$. Controllo: con $M = 200$ viene $\delta = \sqrt{0{,}01} = 0{,}1$; per $x = 0{,}09$ si ha $f(x) = -\frac{2}{0{,}0081} \approx -246{,}9$, che è sotto $-200$. Il limite è verificato: la retta $x = 0$ è un asintoto verticale e il grafico scende da entrambi i lati.

2. Limiti laterali con i segni

Testo. Data $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 4}$, calcola i limiti per $x \to 2^+$, $x \to 2^-$, $x \to -2^+$ e $x \to -2^-$. Esistono i limiti per $x \to 2$ e per $x \to -2$?

Il dominio è $x \neq \pm 2$. Scomponiamo il denominatore: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. In $x = 2$ il numeratore tende a $-1$; il fattore $x + 2$ tende a 4, positivo, e $x - 2$ tende a $0^+$ da destra e a $0^-$ da sinistra:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{-1}{0^+} = -\infty \\ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{-1}{0^-} = +\infty \end{gathered}$$

In $x = -2$ il numeratore tende a $-5$; il fattore $x - 2$ tende a $-4$, negativo, mentre $x + 2$ tende a $0^+$ da destra e a $0^-$ da sinistra. Il denominatore ha quindi il segno opposto a $x + 2$: è $0^-$ da destra e $0^+$ da sinistra.

$$\begin{gathered} \lim_{x \to -2^+} f(x) = \frac{-5}{0^-} = +\infty \\ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \frac{-5}{0^+} = -\infty \end{gathered}$$

Controllo numerico: $f(2{,}01) \approx -24{,}7$, $f(1{,}99) \approx 25{,}3$, $f(-1{,}99) \approx 125{,}1$, $f(-2{,}01) \approx -124{,}9$. In entrambi i punti i limiti laterali sono diversi, quindi i limiti per $x \to 2$ e per $x \to -2$ non esistono. Le rette $x = 2$ e $x = -2$ sono asintoti verticali, da tutti e due i lati.

3. Trovare N per una tolleranza data

Testo. Verifica che $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x - 1} = 2$ e trova da quale punto in poi $f(x)$ dista da 2 meno di $0{,}01$.

Calcoliamo la distanza da 2:

$$\begin{gathered} f(x) - 2 = \frac{2x - 2(x - 1)}{x - 1} \\ {} = \frac{2}{x - 1} \end{gathered}$$

Per $x \to -\infty$ ci interessano gli $x < 1$, dove il denominatore è negativo: quindi $\lvert x - 1 \rvert = 1 - x$. Fissato $\varepsilon > 0$:

$$\begin{gathered} \frac{2}{1 - x} < \varepsilon \iff 1 - x > \frac{2}{\varepsilon} \\ {} \iff x < 1 - \frac{2}{\varepsilon} \end{gathered}$$

Quindi, con $N = \frac{2}{\varepsilon} - 1$, se $x < -N$ allora $\lvert f(x) - 2 \rvert < \varepsilon$: il limite è verificato. Con $\varepsilon = 0{,}01$ viene $N = 199$: basta $x < -199$. Controllo: $f(-200) = \frac{400}{201} \approx 1{,}99005$, che dista da 2 circa $0{,}00995$; in $x = -199$ la distanza è esattamente $0{,}01$, il confine. Siccome $f(x) - 2 < 0$, a sinistra il grafico si avvicina all’asintoto $y = 2$ da sotto.

4. Un limite infinito all’infinito con la minorazione

Testo. Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x + 1} = +\infty$.

Risolvere direttamente $\frac{x^2 + 1}{x + 1} > M$ porta a una disequazione di secondo grado con il parametro $M$. Conviene prima dividere: siccome $x^2 + 1 = (x + 1)(x - 1) + 2$,

$$\frac{x^2 + 1}{x + 1} = x - 1 + \frac{2}{x + 1}$$

Per $x > -1$ l’ultima frazione è positiva, quindi $f(x) > x - 1$. Ora minoriamo: $x - 1 > M$ se $x > M + 1$. Allora con $N = M + 1$:

$$x > N \implies f(x) > x - 1 > M$$

Controllo con $M = 1000$: per $x = 1002$ si ha $f(x) = \frac{1\,004\,005}{1003} \approx 1001{,}002$, più di 1000. Il limite è $+\infty$; anzi la divisione mostra che il grafico si avvicina alla retta $y = x - 1$, il suo asintoto obliquo.

5. Illimitata ma senza limite

Testo. Stabilisci se esistono $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,(2 + \sin x)$ e $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,(1 + \sin x)$.

Primo limite. Siccome $\sin x \geq -1$, il fattore $2 + \sin x$ è sempre almeno 1. Per $x > 0$ quindi $x\,(2 + \sin x) \geq x$, e $x \to +\infty$: per il confronto il limite è $+\infty$. Con la definizione basta $N = M$.

Secondo limite. Ora il fattore $1 + \sin x$ è maggiore o uguale a 0, ma si annulla infinite volte. Prendiamo due successioni che tendono a $+\infty$:

$$\begin{gathered} x_n = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \implies f(x_n) = 0 \\ y_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies f(y_n) = 2y_n \end{gathered}$$

La prima dà valori che tendono a 0, la seconda valori che tendono a $+\infty$: il limite non esiste. Eppure la funzione è illimitata superiormente, perché $2y_n$ supera ogni soglia. La differenza tra i due casi sta tutta nel fattore: $2 + \sin x$ non scende mai sotto 1, e la minorazione funziona; $1 + \sin x$ torna a 0 per sempre, e nessuna funzione che tende a $+\infty$ può stare sotto $f$.

6. Un esercizio da esame

Testo. Data $f(x) = e^{\frac{1}{x - 1}}$, calcola i limiti agli estremi del dominio, verifica con la definizione quello per $x \to 1^+$ e deduci gli asintoti.

I limiti. Il dominio è $x \neq 1$. Guardiamo prima l’esponente $\frac{1}{x - 1}$ e poi applichiamo l’esponenziale, come per $e^{1/x}$ nella tabella:

• per $x \to 1^+$ l’esponente tende a $+\infty$, quindi $f(x) \to +\infty$;
• per $x \to 1^-$ l’esponente tende a $-\infty$, quindi $f(x) \to 0$;
• per $x \to \pm\infty$ l’esponente tende a 0, quindi $f(x) \to e^0 = 1$.

La verifica. Fissiamo $M > 1$ (se un $\delta$ va bene per una soglia alta, va bene anche per una più bassa). Siccome l’esponenziale è crescente e $\ln M > 0$, per $x > 1$:

$$\begin{gathered} e^{\frac{1}{x - 1}} > M \iff \frac{1}{x - 1} > \ln M \\ {} \iff x - 1 < \frac{1}{\ln M} \end{gathered}$$

Basta $\delta = \frac{1}{\ln M}$: se $1 < x < 1 + \delta$, allora $f(x) > M$. Controllo: con $M = e^{10} \approx 22\,026$ viene $\delta = 0{,}1$; per $x = 1{,}09$ l’esponente è circa $11{,}1$ e $f(x) \approx 66\,910$, ben sopra la soglia.

Gli asintoti. La retta $x = 1$ è un asintoto verticale solo da destra: da sinistra il grafico arriva verso il punto $(1, 0)$, che non gli appartiene. La retta $y = 1$ è un asintoto orizzontale da entrambe le parti. Altri esercizi di questo tipo li trovi negli esercizi svolti sui limiti.

In sintesi

• Limite infinito in un punto: $\forall M > 0\ \exists \delta > 0 : 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta \Rightarrow f(x) > M$. La retta $x = x_0$ è un asintoto verticale.
• Da destra e da sinistra il comportamento può cambiare: $\frac{1}{x} \to \pm\infty$ per $x \to 0^\pm$, quindi il limite in 0 non esiste; $\frac{1}{x^2} \to +\infty$ da entrambi i lati.
• Limite finito all’infinito: $\forall \varepsilon > 0\ \exists N : x > N \Rightarrow \lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon$. La retta $y = \ell$ è un asintoto orizzontale.
• Limite infinito all’infinito: $\forall M > 0\ \exists N : x > N \Rightarrow f(x) > M$. Per $x \to -\infty$ si usa $x < -N$.
• Per verificare si risolve la disuguaglianza su $f(x)$ e si legge $\delta$ o $N$; se è difficile, si minora $f$ con una funzione più semplice.
• Tutti i casi sono una sola definizione con gli intorni, con nove combinazioni di $x_0$ e $\ell$ finiti o infiniti.
• Con base tra 0 e 1 esponenziali e logaritmi scambiano i loro limiti; $\sin x$ e $\cos x$ all’infinito non hanno limite.
• Per dire che un limite non esiste bastano due successioni con limiti diversi. Una funzione illimitata, come $x\sin x$, non è per forza divergente.

Prima di imparare a calcolare i limiti, vediamo i teoremi che dicono come si comportano, dall’unicità al confronto: teoremi sui limiti.